Построение графиков используют, чтобы показать зависимость одной величины от другой. При этом на одной оси откладывают изменение одной величины, а на другой оси - изменение другой величины. При прямолинейном равномерном движении скорость тела остается постоянной, меняются только время и зависимый от него пройденный путь. Поэтому наибольший интерес для такого движения представляет график, отражающий зависимость пути от времени.

При построении такого графика на одной из осей координатной плоскости отмечается изменение времени (t). Например, 1 с, 2 с, 3 с и т. д. Пусть это будет ось x . На другой оси (в данном случае y ) отмечается изменение пройденного пути. Например, 10 м, 20 м, 30 м и т. д.

Начало системы координат принимается за начало движения. Это точка старта, в которой промежуток времени, потраченный на движение, равен нулю, и пройденный путь также равен нулю. Это первая точка графика зависимости пути от времени.

Далее на координатной плоскости находят вторую точку графика. Для этого для какого-либо времени пути находят пройденный за это время путь. Если скорость тела равна 30 м/с, то это может быть точка с координатами (1; 30) или (2; 60) и так далее.

После того, как вторая точка отмечена, проводят луч через две точки (первая - начало координат). Начало луча - это начало координат. Данный луч и является графиком зависимости пути от времени при прямолинейном равномерном движении. У луча нет конца, это говорит о том, что чем больше затраченное на путь время, тем больше будет пройденный путь.

Вообще говорят, что графиком зависимости пути от времени является прямая, проходящая через начало координат.

Чтобы доказать, что графиком является прямая, а, допустим, не ломаная линия, можно построить ряд точек на координатной плоскости. Например, если скорость равна 5 км/ч, то на координатной плоскости можно отметить точки (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20). Затем соединить их последовательно между собой. Вы увидите, что получится прямая.

Чем больше скорость тела, тем быстрее увеличивается пройденный путь. Если на одной и той же координатной плоскости начертить зависимости пути от времени для двух тел, движущихся с разными скоростями, то график тела, которое движется быстрее, будет иметь больший угол с положительным направлением оси времени.

Например, если одно тело движется со скоростью 10 км/ч, а второе - 20 км/ч, то на координатной плоскости можно отметить точки (1; 10) для одного тела и (1; 20) для другого. Понятно, что вторая точка находится дальше от оси времени, и прямая через нее образует больший угол, чем прямая через точку, отмеченную для первого тела.

Графики зависимости пути от времени при прямолинейном равномерном движении можно использовать для быстрого нахождения затраченного времени по известному значению пройденного пути или пути по известному времени. Для этого надо провести перпендикулярную линию из значения координатной оси, которое известно, до пересечения с графиком. Далее из полученной точки пересечения провести перпендикуляр к другой оси, получив тем самым искомое значение.

Кроме графиков зависимости пути от времени, можно построить графики зависимости пути от скорости и скорости от времени. Однако, так как при прямолинейном равномерном движении скорость постоянна, эти графики представляют собой прямые, параллельные осям пути или времени и проходящие на уровне заявленной скорости.

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

v x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

s = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна

v = s 1 / t 1 = tg α

где α – угол наклона графика к оси времени.

Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к графику зависимости координаты от времени равен скорости:

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

tg α 1 > tg α 2

следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3 < 0

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Связь угловых и линейных величин

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скоростиопределяется скоростью вращения телаи расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток временитело повернулось на угол(рис 2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем

Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.

Основные понятия.

Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:

Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол. Если начальный угол отличен от нуля и равенφ 0 , тогда угол поворота будет равен Проекцияна ось ХО 1 равна . По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точкабудет совершать колебания относительно точки- вверх, вниз и т.д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота;- фаза колебаний;– начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.

Периодом Т называется время одного полного колебания. По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.

Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т.е. повернется на угол 2π радиан:

Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т.е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:

Пружынный маятник упругие силы.

Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня). На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в -произвольное положение шарика.

Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания. Сила сжатия F = -kx , где k - коэффициент жесткости пружины. Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

кинетическая .

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии. Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы. В данном случае:

. В положении б) :.

Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

. Определим отсюда скорость:

Но в свою очередь и, следовательно,. Разделим переменные. Интегрируя это выражение, получим:,

где - постоянная интегрирования. Из последнего следует, что

Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания. Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = -kx, называются квазиупругими. Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания. При этом:

смещение:
скорость:
ускорение:

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещенияи, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:M = FL . Момент инерции J в данном случае Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

Его решение ,

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Затухающие колебания.

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

и обозначим:

где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда

Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.

Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим

Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция

Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величинуобычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз

Вынужденные колебания.

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы .

Пусть эта сила изменяется со временем по закону , гдеамплитуда вынуждающей силы. Возвращающая силаи сила сопротивленияТогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде.

Урок на тему : «Скорость прямолинейного равноускоренного

движения. Графики скорости».

Обучающая цель : ввести формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжить формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, совершенствовать умения учащихся решать задачи аналитическим и графическим способами.

Развивающая цель : развитие у школьников теоретического, творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений

Мотивационная цель : пробуждение интереса к изучению физики и информатики

Ход урока.

1.Организационный момент .

Учитель:- Здравствуйте,ребята.Сегодня на уроке мы изучим тему «Скорость»,повторим тему «Ускорение», на уроке мы с вами выучим формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжим формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, будем совершенствовать умения решать задачи аналитическим и графическим способами.Я рада видеть Вас на уроке здоровыми. Не удивляйтесь,что я с этого начала наш урок: здоровье каждого из вас -самое главное для меня и других учителей. Как вы думаете,что общего может быть между нашим здоровьем и темой «Скорость»?(слайд)

Учащиеся высказывают мнение по данному вопросу.

Учитель:- Знание по данной теме может помочь предугадывать возникновение ситуаций, опасных для жизни человека, например, возникающих при дорожном движении и др.

2.Актуализация знаний.

Повторение темы «Ускорение» проводится в виде ответов обучающихся на такие вопросы:

1.что такое ускорение (слайд);

2.формула и единицы измерения ускорения(слайд);

3.равнопеременное движение(слайд);

4.графики ускорения (слайд);

5. составьте задачу с использованием изученного материала.

6.Законы или определения, приведенные ниже,имеют ряд неточностей.Дайте правильные формулировки.

Перемещением тела называют отрезок ,соединяющий начальное и конечное положение тела.

Скорость равномерного прямолинейного движения- это путь , пройденный телом за единицу времени.

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Ускорение- это величина, численно равная отношению скорости ко времени.

Тело,у которого малые размеры,называется материальной точкой.

Основная задача механики состоит в том, чтобы знать положение тела

Кратковременная самостоятельная работа по карточкам-7 минут.

Красная карточка-оценка «5»;синяя карточка- оценка «4»;зеленая карточка- оценка «3»

.К 1

1.какое движение называется равноускоренным?

2.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.

3. Ускорение тела равно 5 м\с 2 , что это означает?

4. Скорость спуска парашютиста после раскрытия парашюта уменьшилась от 60 м\с до 5 м\с за 1,1 с. Найдите ускорение парашютиста.

1.Что называется ускорением?

3. Ускорение тела равно 3 м\с 2 . Что это означает?

4. С каким ускорением движется автомобиль, если за 10с его скорость увеличилась от 5 м\с до 10 м\с

1.Что называется ускорением?

2. Назовите единицы измерения ускорения?

3.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.

4. 3. Ускорение тела равно 2 м\с 2 , что это означает?

3.Изучение нового материала .

1.Вывод формулы скорости из формулы ускорения. У доски под руководством учителя ученик пишет вывод формулы

2.Графическое представление движения.

На слайде презентации рассматривают графики скорости

.

4.Решение задач на данную тему по материалам ГИ А

Слайды презентации.

1. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце 5-ой секунды, считая, что характер движения тела не изменяется.

9 м/ с

10 м/ с

12 м/ с

14 м/ с

2.По графику зависимости скорости движения тела от времени. Найдите скорость тела в момент времени t = 4 с.

3.На рисунке изображен график зависимости скорости движения материальной точки от времени. Определите скорость тела в момент времени t = 12 с , считая, что характер движения тела не изменяется.

4.На рисунке приведен график скорости некоторого тела. Определите скорость тела в момент времени t = 2 с.

5.На рисунке представлен график зависимости проекции скорости грузовика на ось х от вре ме ни. Проекция ускорения грузовика на эту ось в момент t =3 с равна

6.Тело начинает прямолинейное движение из состояния покоя, и его ускорение меняется со временем так, как показано на графике. Через 6 с после начала движения модуль скорости тела будет равен

7.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем у велосипедиста. В один и тот же момент времени скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста

1) в 1,5 раза

2) в √3 раза

3) в 3 раза

5.Итоги урока.(Рефлексия по данной теме.)

Что особенно запомнилось и поразило из учебного материала.

6.Домашнее задание .

7. Оценки за урок.

§ 14. ГРАФИКИ ПУТИ И СКОРОСТИ

Определение пути по графику скорости

В физике и математике используют три способа подачи информации о связи между различными величинами: а) в виде формулы, например, s =v ∙ t; б) в виде таблицы; в) в виде графика (рисунка).

Зависимость скорости от времени v(t) - график скорости изображается с помощью двух взаимно перпендикулярных осей. Вдоль горизонтальной оси будем откладывать время, а по вертикальной - скорость (рис. 14.1). Надо заблаговременно продумать масштаб, чтобы рисунок не был слишком большим или слишком малым. У конца оси указывают букву, которая является обозначением численно равна площади заштрихованного прямоугольника abcd величины, что на ней откладывается. Возле буквы указывают единицу измерения этой величины. Например, возле оси времени указывают t, с, а возле оси скорости v(t), мес. Выбирают масштаб и наносят деления на каждую ось.

Рис. 14.1. График скорости тела, равномерно движущегося со скоростью 3 м/сек. Путь, пройденный телом со 2-й по 6-ю секунды,

Изображение равномерного движения таблицей и графиками

Рассмотрим равномерное движение тела со скоростью 3 м/с, то есть числовое значение скорости будет постоянным в течение всего времени движения. Сокращенно это записывают так: v = const (константа, то есть постоянная величина). В нашем примере она равна трем: v = 3 . Вы уже знаете, что информацию о зависимости одной величины от другой можно подавать в виде таблицы (массива, как говорят в информатике):

Из таблицы видно, что во все указанные моменты времени скорость равна 3 м/сек. Пусть масштаб оси времени 2 кл. = 1 с, а оси скорости 2 кл. = 1 м/сек. График зависимости скорости от времени (сокращенно говорят: график скорости) приведены на рисунке 14.1.

С помощью графика скорости можно найти путь, который тело проходит за определенный интервал времени. Для этого нужно сопоставить два факта: с одной стороны, путь можно найти, умножив скорость на время, а с другой - произведение скорости на время, как видно из рисунка - это площадь прямоугольника со сторонами t и v.

Например, со второй до шестой секунды тело двигалось в течение четырех секунд и прошло 3 м/с ∙ 4 с = 12 м. Это площадь прямоугольника аbсd, длина которого равна 4 с (отрезок ad вдоль оси времени) и высота 3 м/с (отрезок аb вдоль вертикали). Площадь, правда, несколько необычная, поскольку измеряется не в м 2 , а в г. Следовательно, площадь под графиком скорости численно равна пройденному пути.

График пути

График пути s(t) можно изобразить, используя формулу s = v ∙ t, то есть в нашем случае, когда скорость составляет 3 м/с: s = 3 ∙ t. Построим таблицу:

Вдоль горизонтальной оси снова откладывают время (t, с), а вдоль вертикальной - путь. Возле оси пути пишем: s, м (рис. 14.2).

Определение скорости по графику пути

Изобразим теперь на одном рисунке два графика, которые будут соответствовать движениям со скоростями 3 м/с (прямая 2) и 6 м/с (прямая 1) (рис. 14.3). Видно, что чем больше скорость тела, тем круче линия точек графика.

Существует и обратная задача: имея график движения, нужно определить скорость и записать уравнение пути (рис. 14.3). Рассмотрим прямую 2. От начала движения и до момента времени t = 2 с тело прошло путь s = 6 м. Следовательно, его скорость: v = = 3 . Выбор другого интервала времени ничего не изменит, например, на момент t = 4 с путь, пройденный телом от начала движения, составляет s = 12 м. Отношение опять равна 3 м/сек. Но так и должно быть, поскольку тело движется с постоянной скоростью. Поэтому проще всего было бы выбрать интервал времени 1 с, ведь путь, пройденный телом за одну секунду, численно равна скорости. Путь, пройденный первым телом (график 1) за 1 с, равна 6 м, то есть скорость первого тела равна 6 м/сек. Соответствующие зависимости пути от времени в этих двух тел будут:

s 1 = 6 ∙ t и s 2 =3 ∙ t.

Рис. 14.2. График пути. Остальные точек, кроме шести, указанных в таблице, поставленные в задании, что движение упровдож всего времени был равномерным

Рис. 14.3. График пути в случае разных скоростей

Подведем итоги

В физике используют три способа подачи информации: графический, аналитический (по формулам) и таблицей (массивом). Третий способ более приспособлен для решения на компьютере.

Путь численно равен площади под графиком скорости.

Чем круче график s(t), тем больше скорость.

Творческие задания

14.1. Начертите графики скорости и пути, когда скорость тела равномерно увеличивается, или уменьшается.

Упражнение 14

1. Как определяют путь на графике скорости?

2. Можно ли записать формулу для зависимости пути от времени, имея график s(t)?

3. Или изменится угол наклона графика пути, если масштаб на осях уменьшить вдвое?

4. Почему график пути равномерного движения изображается прямой?

5. Какое из тел (рис. 14.4) имеет наибольшую скорость?

6. Назовите три способа представления информации о движении тела, а также (по вашему мнению) их преимущества и недостатки.

7. Как можно определить путь по графику скорости?

8. а) Чем отличаются графики пути для тел, движущихся с разными скоростями? б) Что в них общего?

9. По графику (рис. 14.1) найдите путь, пройденный телом от начала первой до конца третьей секунды.

10. Какой путь прошло тело (рис. 14.2) за: а) две секунды; б) четыре секунды? в) Укажите, где начинается третья секунда движения, и где она заканчивается.

11. Изобразите на графиках скорости и пути движение со скоростью а) 4 м/с; б) 2 м/сек.

12. Запишите формулу зависимости пути от времени для движений, изображенных на рис. 14.3.

13. а) Найдите скорости тел по графикам (рис. 14.4); б) запишите соответствующие уравнения пути и скорости. в) Постройте графики скорости этих тел.

14. Постройте графики пути и скорости для тел, движения которых заданы уравнениями: s 1 = 5 ∙ t и s 2 = 6 ∙ t. Чему равны скорости тел?

15. По графикам (рис. 14.5) определите: а) скорости тела; б) пути, пройденные ими за первые 5 сек. в) Запишите уравнение пути и постройте соответствующие графики для всех трех движений.

16. Начертите график пути для движения первого тела относительно второго (рис. 14.3).

Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат - скорость (проекцию скорости) тела. В равноускоренном движении скорость тела с течением времени изменяется. Если тело движется вдоль оси О х, зависимость его скорости от времени выражается формулами
v x =v 0x +a x t и v x =at (при v 0x = 0).

Из этих формул видно, что зависимость v х от t линейная, следовательно, графиком скорости является прямая линия. Если тело движется с некоторой начальной скоростью, эта прямая пересекает ось ординат в точке v 0x . Если же начальная скорость тела равна нулю, график скорости проходит через начало координат.

Графики скорости прямолинейного равноускоренного движения изображены на рис. 9. На этом рисунке графики 1 и 2 соответствуют движению с положительной проекцией ускорения на ось О х (скорость увеличивается), а график 3 соответствует движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость уменьшается). График 2 соответствует движению без начальной скорости, а графики 1 и 3 - движению с начальной скоростью v ox . Угол наклона a графика к оси абсцисс зависит от ускорения движения тела. Как видно из рис. 10 и формулы (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

По графикам скорости можно определить путь, пройденный телом за промежуток времени t. Для этого определим площадь трапеции и треугольника, закрашенных на рис. 11.

В выбранном масштабе одно основание трапеции численно равно модулю проекции начальной скорости v 0x тела, а другое ее основание - модулю прокции его скорости v х в момент времени t. Высота трапеции численно равна длительности промежутка времени t. Площадь трапеции

S=(v 0x +v x)/2t.

Использовав формулу (1.11), после преобразований находим, что площадь трапеции

S=v 0x t+at 2 /2.

путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью, численно равен площади трапеции, ограниченной графиком скорости, осями координат и ординатой, соответствующей значению скорости тела в момент времени t.

В выбранном масштабе высота треугольника (рис. 11,б) численно равна модулю проекции скорости v х тела в момент времени t, а основание треугольника численно равно длительности промежутка времени t. Площадь треугольника S=v x t/2.

Использовав формулу 1.12, после преобразований находим, что площадь треугольника

Правая часть последнего равенства представляет собой выражение, определяющее путь, пройденный телом. Следовательно, путь, пройденный в прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, численно равен площади треугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и ординатой, соответствующей скорости тела в момент времени t.