Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, засегнахме темата „Пирамида“. Тази тема ни хареса, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашата бъдеща професия на архитектурата е вдъхновена от тази фигура, смятаме, че тя може да ни тласне към отлични проекти.

Здравината на архитектурните структури е най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, ние говорим заза онази геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответния архитектурна форма. Оказва се, че геометричната форма също определя здравината на една архитектурна конструкция.

От древни времена египетските пирамиди се считат за най-издръжливите архитектурни структури. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голяма площоснования. От друга страна, формата на пирамида гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Целта на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията си и намерете практическо приложение.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

· Научете историческа информация за пирамидата

· Разгледайте пирамидата като геометрична фигура

· Намерете приложение в бита и архитектурата

· Намерете приликите и разликите между пирамидите, разположени в различни частиСвета

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата е положено в Древен Египет и Вавилон, но активно се развива през Древна Гърция. Първият, който установява обема на пирамидата, е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите „Елементи“ и също така извежда първото определение на пирамида: твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробници на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза - в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Изграждането на пирамидата, в която гърците и римляните вече виждат паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, обрекла целия народ на Египет на безсмислено строителство, беше най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистична идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата през свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известни са и специалните култови почести, които са били отдавани на самата пирамида.

Основни понятия

Пирамидасе нарича многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх.

апотема- височина на страничния ръб правилна пирамида, изтеглен от върха му;

Странични лица- триъгълници, срещащи се във връх;

Странични ребра - общи аспектистранични ръбове;

Върхът на пирамидата- точка, свързваща страничните ребра и не лежаща в равнината на основата;

Височина- перпендикулярен сегмент, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основни свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Площта на страничната и общата повърхност на пирамидата.

Площта на страничната повърхност на пирамида (пълна и пресечена) е сумата от площите на всичките й странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всичките й лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- основен периметър;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

стр. 1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща повърхност на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S 1 + S 2- основна площ

Обем на пирамида

форма volume ula се използва за пирамиди от всякакъв вид.

з- височина на пирамидата.

Ъгли на пирамида

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат ​​двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Ъглите, образувани от страничния ръб и неговата проекция върху равнината на основата, се наричат ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, образуван от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Пирамидни секции

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, следователно сечението на пирамидата, определено от режеща равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонален разрез

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако една пирамида е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава странични ребраи височините на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамида– пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

За правилна пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенни ъглиравни в основата

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични ръбове

Пресечена пирамида- част от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечена пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е центърът на основата, SO=8 cm, BD=30 cm Намерете страничния ръб SA.

Разрешаване на проблеми

номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.

Помислете за OSB: OSB е правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 =SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамидата е монументална структура под формата на обикновена правилна геометрична пирамида, в която страните се събират в една точка. Според функционалното си предназначение пирамидите в древността са били места за погребение или култови поклонения. Основата на пирамидата може да бъде с триъгълна, четириъгълна или многоъгълна форма с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Има значителен брой пирамиди, построени от различни култури. Древен святпредимно като храмове или паметници. Големите пирамиди включват египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структурипод формата на пирамиди. Сградите на пирамидите напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетските пирамиди са най-големите архитектурни паметници Древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. В допълнение към офисите и сервизните помещения, вътре в обема има доста просторна концертна зала, която има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който е „мълчалив, непроменен и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-великия музей в света. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.

Учениците се сблъскват с концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрия. Вината е в известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, когато започват да изучават този прекрасен полиедър, повечето ученици вече ясно си го представят. Всички горепосочени атракции имат правилна форма. какво стана правилна пирамида, и какви свойства има, ще бъдат обсъдени допълнително.

Определение

Има доста определения за пирамида. От древни времена той е много популярен.

Например Евклид го определя като телесна фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Heron предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигурата, която има основа и равнини под формата на триъгълници,събиращи се в една точка.

Въз основа на съвременна интерпретация, пирамидата е представена като пространствен многостен, състоящ се от определен k-ъгълник и k плоски триъгълни фигури, които имат една обща точка.

Нека го разгледаме по-подробно, от какви елементи се състои:

• K-gon се счита за основа на фигурата;
• 3-ъгълни форми изпъкват като ръбове на страничната част;
• горната част, от която произхождат страничните елементи, се нарича връх;
• всички сегменти, свързващи един връх, се наричат ​​ръбове;
• ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, съдържаща се във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
• във всеки страничен елемент може да се начертае перпендикуляр, наречен апотема, към страната на нашия полиедър.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи с помощта на израза k+1.

важно!Пирамида с правилна форма е стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгълник с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много свойства,които са уникални за нея. Нека ги изброим:

1. Основата е фигура с правилна форма.
2. Ръбовете на пирамидата, които ограничават страничните елементи, имат еднакви числени стойности.
3. Страничните елементи са равнобедрени триъгълници.
4. Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, докато е в същото време централна точканадписан и описан.
5. Всички странични ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.
6. Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Благодарение на всички изброени свойства, извършването на изчисления на елементи е много по-лесно. Въз основа на горните свойства, обръщаме внимание на два знака:

1. В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните стени ще имат равни ъгли с основата.
2. Когато се описва окръжност около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат равни дължини и равни ъгли с основата.

Основата е квадрат

Правилна четириъгълна пирамида - многостен, чиято основа е квадрат.

Има четири странични лица, които изглеждат равнобедрени.

Квадратът е изобразен на равнина, но се основава на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако е необходимо да се свърже страната на квадрат с неговия диагонал, използвайте следната формула: диагоналът е равен на произведението от страната на квадрата и квадратния корен от две.

Тя се основава на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е многостен, чиято основа е правилен 3-ъгълник.

Ако основата е правилен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. В този случай трябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:

• ъгълът на наклона на ребрата към всяка основа е 60 градуса;
• размерът на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
• всяко лице може да действа като основа;
• , начертани вътре във фигурата, това са равни елементи.

Сечения на многостен

Във всеки полиедър има няколко вида секцииплосък. Често в училищен курс по геометрия те работят с двама:

• аксиален;
• успоредно на основата.

Аксиалното сечение се получава, когато равнината пресича многостена, който минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от линиите на пресичане с всички лица, което води до триъгълник.

внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина е успоредна на основата, тогава резултатът е втората опция. В този случай имаме фигура в напречно сечение, подобна на основата.

Например, ако основата е квадрат, тогава сечението, успоредно на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малки размери.

При решаване на проблеми при това условие те използват знаци и свойства на подобие на фигури, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на подобие.

Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя отрязва горна частполиедър, то в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че основите на пресечен многостен са подобни многоъгълници. В този случай страничните лица са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечен полиедър, е необходимо да се начертае височината в аксиалното сечение, тоест в трапеца.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхността и обема на пирамида.

Има два вида стойности на повърхността:

• площ на страничните елементи;
• площ на цялата повърхност.

От самото име става ясно за какво иде реч. Страничната повърхност включва само страничните елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да изведем формулата за площта на страничните елементи:

1. Площта на равнобедрен 3-ъгълник е равна на Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотемата.
2. Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се съберат площите на четирите фигури Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Изразът е опростен по този начин, защото стойността 4a = Rosn, където Rosn е периметърът на основата. А изразът 1/2*Rosn е неговият полупериметър.
3. И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилна пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата: Sside = Rosn * L.

Площта на общата повърхност на пирамидата се състои от сумата от площите на страничните равнини и основата: Sp.p = Sside + Sbas.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обем на правилна пирамидаравно на произведението на площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbas*H, където H е височината на полиедъра.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезните ресурси за

Какво е пирамида?

как изглежда тя

Виждате: в долната част на пирамидата (те казват „ в основата") някакъв многоъгълник и всички върхове на този многоъгълник са свързани с някаква точка в пространството (тази точка се нарича " връх»).

Цялата тази структура все още съществува странични лица, странични ребраИ базови ребра. Още веднъж, нека начертаем пирамида заедно с всички тези имена:

Някои пирамиди може да изглеждат много странни, но все пак са пирамиди.

Ето, например, е напълно „косо“ пирамида.

И още малко за имената: ако в основата на пирамидата има триъгълник, значи пирамидата се нарича триъгълна, ако е четириъгълна, то четириъгълна, а ако е стоъгълник, то... познайте сами .

В същото време точката, в която падна височина, наречена височина основа. Моля, имайте предвид, че в „кривите“ пирамиди височинаможе дори да се окаже извън пирамидата. като това:

И в това няма нищо лошо. Прилича на тъп триъгълник.

Правилна пирамида.

Много сложни думи? Нека дешифрираме: „В основата - правилно“ - това е разбираемо. Сега нека си припомним, че правилният многоъгълник има център - точка, която е центърът на и , и .

Е, думите „върхът е проектиран в центъра на основата“ означават, че основата на височината попада точно в центъра на основата. Вижте колко гладко и сладко изглежда правилна пирамида.

Шестоъгълна: в основата има правилен шестоъгълник, върхът е проектиран в центъра на основата.

Четириъгълна: основата е квадрат, върхът се проектира в точката на пресичане на диагоналите на този квадрат.

Триъгълна: в основата има правилен триъгълник, върхът е проектиран в точката на пресичане на височините (те също са медиани и ъглополовящи) на този триъгълник.

Много важни свойстваправилна пирамида:

В дясната пирамида

• всички странични ръбове са равни.
• всички странични лица са равнобедрени триъгълници и всички тези триъгълници са равни.

Обем на пирамида

Основната формула за обема на пирамида:

Откъде точно дойде? Това не е толкова просто и в началото просто трябва да запомните, че пирамидата и конусът имат обем във формулата, но цилиндърът не.

Сега нека изчислим обема на най-популярните пирамиди.

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен. Трябва да намерим и.

Това е района правилен триъгълник.

Нека си припомним как да търсим тази област. Използваме формулата за площ:

За нас „ “ е това, а „ “ също е това, а.

Сега нека го намерим.

Според Питагоровата теорема за

каква е разликата Това е кръговият радиус в защото пирамидаправилнои следователно центърът.

Тъй като - точката на пресичане на медианите също.

(Питагоровата теорема за)

Нека го заместим във формулата за.

И нека заместим всичко във формулата за обем:

Внимание:ако имате правилен тетраедър (т.е.), тогава формулата се оказва така:

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен.

Няма нужда да търсите тук; В крайна сметка основата е квадрат и следователно.

Ще го намерим. Според Питагоровата теорема за

знаем ли Е, почти. Вижте:

(видяхме това, като го разгледахме).

Заместете във формулата за:

И сега заместваме и във формулата за обем.

Нека страната на основата да е равна и страничният ръб.

Как да намерим? Вижте, шестоъгълникът се състои от точно шест еднакви правилни триъгълника. Вече потърсихме площта на правилен триъгълник при изчисляване на обема на правилна триъгълна пирамида; тук използваме формулата, която намерихме.

Сега нека го намерим.

Според Питагоровата теорема за

Но какво значение има? Това е просто, защото (и всички останали също) е правилно.

Нека заместим:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПИРАМИДА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Пирамидата е многостен, който се състои от всеки плосък многоъгълник (), точка, която не лежи в равнината на основата (върхът на пирамидата) и всички сегменти, свързващи върха на пирамидата с точките на основата (странични ръбове).

Перпендикуляр, пуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.

Правилна пирамида- пирамида, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.

Свойство на правилна пирамида:

• В правилната пирамида всички странични ръбове са равни.
• Всички странични лица са равнобедрени триъгълници и всички тези триъгълници са равни.

Обем на пирамидата:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и НАЙ-ВАЖНОТО – до живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение. Нека да разгледаме какво е правилна пирамида и какви свойства има. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.

В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение.

Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точката П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точките Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. получаваме птриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи така нататък.

Определение. Многостен RA 1 A 2 ...A n, съставен от п-квадрат A 1 A 2...A nИ птриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се извиква п- въглищна пирамида. ориз. 1.

ориз. 1

Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).

Р- върха на пирамидата.

ABCD- основата на пирамидата.

RA- странично ребро.

AB- основно ребро.

От точка Рнека изпуснем перпендикуляра RNкъм базовата равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.

ориз. 2

Пълната повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, тоест площта на всички странични лица, и площта на основата:

S пълен = S страничен + S основен

Пирамидата се нарича правилна, ако:

• основата му е правилен многоъгълник;
• сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.

Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида

Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).

Р- върха на пирамидата. Основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка ЗА, точката на пресичане на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.

ориз. 3

Обяснение: в правилното пВ триъгълника центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът е проектиран в центъра.

Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемаи е обозначен з а.

1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;

2. Страничните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

Ще дадем доказателство за тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.

дадени: PABCD- правилна четириъгълна пирамида,

ABCD- квадрат,

RO- височина на пирамидата.

Докажи:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Вижте фиг. 4.

ориз. 4

Доказателство.

RO- височина на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕлежи в него. Значи триъгълници ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.

Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = VO = CO = НАПРАВЕТЕ.

След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕса равни, което означава, че тези триъгълници са равни от двете страни. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = RS = PD.Точка 1 е доказана.

Сегменти ABИ слънцеса равни, защото са страни на един и същ квадрат, RA = PB = RS. Значи триъгълници AVRИ VSR -равнобедрен и равен от три страни.

По подобен начин намираме, че триъгълниците ABP, VCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, както се изисква да се докаже в параграф 2.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:

За да докажем това, нека изберем правилна триъгълна пирамида.

дадени: RAVS- правилна триъгълна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- височина.

Докажи: . Вижте фиг. 5.

ориз. 5

Доказателство.

RAVS- правилна триъгълна пирамида. това е AB= AC = BC. Нека ЗА- център на триъгълника ABC, Тогава ROе височината на пирамидата. В основата на пирамидата лежи равностранен триъгълник ABC. Забележете това .

Триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълна пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е доказана.

Радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m, височината на пирамидата е 4 m. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.

дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,

ABCD- квадрат,

r= 3 м,

RO- височина на пирамидата,

RO= 4 м.

Намерете: S страна. Вижте фиг. 6.

ориз. 6

Решение.

Според доказаната теорема,.

Нека първо намерим страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.

След това, m.

Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:

Помислете за триъгълник BCD. Нека М- средата на страната DC. защото ЗА- средно BD, Това (м).

Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. т.е. RM- медиана и следователно височина в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.

RO- височина на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен ОМ, лежейки в него. Да намерим апотемата RMот правоъгълен триъгълник ROM.

Сега можем да намерим странична повърхностпирамиди:

отговор: 60 м2.

Радиусът на окръжността, описана около основата на правилна триъгълна пирамида, е равен на m. Площта на страничната повърхност е 18 m 2. Намерете дължината на апотемата.

дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 м2.

Намерете: . Вижте фиг. 7.

ориз. 7

Решение.

В правоъгълен триъгълник ABCДаден е радиусът на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник с помощта на теоремата за синусите.

Познавайки страната на правилен триъгълник (m), намираме неговия периметър.

По теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. След това:

отговор: 4 м.

И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида и доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.

Референции

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал "Yaklass" ()
2. Интернет портал „Фестивал педагогически идеи"Първи септември" ()
3. Интернет портал “Slideshare.net” ()

домашна работа

1. Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете, че несвързаните ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
3. Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
4. RAVS- правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.

Четириъгълна пирамидае многостен, чиято основа е квадрат, а всичките му странични лица са еднакви равнобедрени триъгълници.

Този полиедър има много различни свойства:

• Неговите странични ръбове и съседните двустенни ъгли са равни един на друг;
• Площите на страничните лица са еднакви;
• В основата на правилна четириъгълна пирамида лежи квадрат;
• Височината, спусната от върха на пирамидата, пресича точката, в която се пресичат диагоналите на основата.

Всички тези свойства го правят лесен за намиране. Въпреки това, доста често, в допълнение към това, е необходимо да се изчисли обемът на полиедъра. За да направите това, използвайте формулата за обема на четириъгълна пирамида:

Тоест обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на височината на пирамидата и площта на основата. Тъй като е равно на неговия продукт равни страни, тогава веднага въвеждаме формулата за площта на квадрат в израза за обем.
Нека разгледаме пример за изчисляване на обема на четириъгълна пирамида.

Нека ни е дадена четириъгълна пирамида, в основата на която лежи квадрат със страна a = 6 cm. Страничен ръбпирамида е равно на b = 8 см. Намерете обема на пирамидата.

За да намерим обема на даден полиедър, ни трябва дължината на неговата височина. Следователно ще го намерим чрез прилагане на Питагоровата теорема. Първо, нека изчислим дължината на диагонала. В синия триъгълник това ще бъде хипотенузата. Също така си струва да запомните, че диагоналите на квадрата са равни един на друг и са разделени наполовина в пресечната точка:


Сега от червения триъгълник намираме височината h, от която се нуждаем. Тя ще бъде равна на:

Нека заместим необходимите стойности и да намерим височината на пирамидата:

Сега, знаейки височината, можем да заменим всички стойности във формулата за обема на пирамидата и да изчислим необходимата стойност:

По този начин, знаейки няколко прости формули, успяхме да изчислим обема на правилна четириъгълна пирамида. Не забравяйте, че тази стойност се измерва в кубични единици.