РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Воспользуемся полученной нами ранее барометрической формулой:

и получим зависимость концентрации молекул от высоты. Поскольку

Если изобразить графики зависимостей в соответствии с (9.17) при различных температурах, то легко видеть, что с понижением температуры основная часть молекул располагается ближе к поверхности Земли. При абсолютном нуле все молекулы должны были бы расположиться на поверхности. Наоборот, при высоких температурах молекулы располагаются почти равномерно.

Конкретное распределение молекул устанавливается в результате действия противоположных факторов: сила притяжения концентрирует молекулы вблизи поверхности, а тепловое движение разбрасывает по всем высотам.

В числителе показателя степени экспоненты (9.17) стоит фактически энергия молекулы в поле силы тяжестиε р . Поэтому (9.17) можно записать в виде

Больцман доказал, что распределение (9.18) справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении в любом потенциальном поле . Поэтому распределение (18) называют распределением Больцмана . Это распределение можно представить в виде

где – количество молекул, попадающих в пределы объема , расположенного в точке с координатами x, y, z.

Это распределение можно объединить с распределением Максвелла, выделив из молекулы, компоненты скорости которых лежат в пределах от до ,от до , от до :

Очень часто энергия частиц может только дискретные значения из ряда: . В этом случае распределение Больцмана дает количество частиц , которые находятся в состоянии с энергией и имеет вид:

где – коэффициент пропорциональности, который определяется из условия нормировки. В этом случае условие нормировки сводится к требованию того, чтобы сумма частиц во всех состояниях была равна общему количеству частиц в системе :

Найдем значение нолрмирующего множителя, подставив (9.21) в (9.22):

Таким образом, окончательно распределение Больцмана для систем с дискретными разрешенными значениями энергии можно записать в виде:

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЕС

Понятие «статистический вес » (используется также термин термодинамическая вероятность ) является одним из основных в статистической физике. Чтобы сформулировать его определение необходимо сначала определить понятия макросостояние и микросостояние .

Одно и тоже состояние макроскопического тела можно охарактеризовать по-разному. Если состояние охарактеризовано заданием макроскопических параметров состояния (давление, объем, температура, плотность и т.п.) то такое состояние будем называть макросостоянием .

Если состояние охарактеризовано путем задания координат и скоростей всех молекул тела, то такое состояние будем называть микросостоянием .

Очевидно, что одно и то же макросостояние может быть реализовано различными способами, то есть различными микросостояниями. Число различных микросостояниий, которыми может быть реализовано данное макросостояние называется статистическим весом или термодинамической вероятностью .

Для пояснения указанных понятий рассмотрим модель (!) - сосуд, в котором находятся N молекул. Предположим, что сосуд разделен на две одинаковые части, и различные макросостояния отличаются количеством молекул в левой и правой половинах сосуда . Поэтому в рамках модели будем считать состояние молекулы заданным, если известно, в какой из половин сосуда она находится .

Различные микросостояния отличаются при этом тем, какие именно молекулы находятся справа и слева. 1,2 – 3,4 (как показано на рисунке 9.5) одно из состояний. 1,3 – 2,4 – другое микросостояние.

Каждая из молекул может с равной вероятностью находиться и слева, и справа. Поэтому вероятность i -той молекуле находиться, например, справа равна ½. Появление в левой части сосуда той молекулы наряду с той является статистически независимым событием , поэтому вероятность нахождения слева двух молекул равна ½ ½ = ¼; трех молекул – 1/8; четырех – 1/16 и т.д. Следовательно, вероятность любого размещения (микросостояния) молекул равна .

Утверждение о том, что, вероятности каждого их микросостояний равны, называются эргодической гипотезой , и оно лежит в основе статистической физики.

Рассмотрим N = 4. Каждое из размещений молекул в половинах сосуда является конкретным микросостоянием. Тогда макросостоянию с числом молекул слева соответствует 1 микросостояние. Статистический вес такого макросостояния равен 1, а вероятность его реализации – 1/16. Для иных макростоляний можно утверждать следующее:

Соответствует 6 микросостояний статистический вес 6, 6/16

Соответствует 4 микросостояния статистический вес 4, 4/16

Соответствует 1 микросостояние статистический вес 1, 1/16

Теперь можно видеть, что вследствие принятия эргодической гипотезы, статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной!) реализации данного макросостояния.

Если в сосуде содержится N молекул, то можно доказать, что статвес макросостояния, заключающегося в том, что слева n молекул, а справа (N – n)

Если для четырех молекул вероятность собраться в одной из половин сосуда составляет 1/16, то есть вполне ощутимую величину, то уже для N = 24 эта вероятность составляет порядка .

При нормальных условиях в 4 см 3 воздуха содержится около 10 20 молекул. Вероятность собраться им в одной из частей сосуда оценивается величиной .

Таким образом, с увеличением количества молекул в системе вероятность существенных отклонений от приблизительного равенства количеств молекул в частях сосуда очень быстро убывает. Это соответствует тому, что статвес состояний с приблизительно равным количеством молекул в половинах оказывается очень большим и быстро убывает по мере отклонения от равенства молекул в частях.

Если число N не очень велико, то с течением времени наблюдаются – заметные отклонения количества молекул в одной из половины от N / 2 . Случайные отклонения физической величиныx от ее среднего значения называются флуктуациям:

Среднее арифметическое абсолютной флуктуации равно нулю. Поэтому в качестве характеристики флуктуаций чаще рассматривают среднюю квадратичную флуктуацию :

Более удобной и показательной является относительная флуктуация :

Причем в статистической физике доказывается соотношение:

т.е. величина относительной флуктуации обратно пропорционально корню из количества частиц в системе . Это утверждение подтверждает наш качественный вывод.

Аналогично количеству молекул в одной из половин сосуда флуктуируют вблизи средних значений и другие макроскопические характеристики состояния – давление, плотность, и т.п.

Рассмотрим природу равновесных и неравновесных состояний и процессов с точки зрения статистической физики. Равновесным , по определению, является такое состояние, которое не имеет тенденции к изменению с течением времени. Ясно, что таким свойством в наибольшей мере будет обладать наиболее вероятное из всех макросостояний системы, то есть состояние, реализуемое наибольшим количеством микросостояний, а значит обладающее наибольшим статистическим весом. Поэтому равновесное состояние можно определить как состояние, статвес которого максимален .

Примером типичного необратимого процесса может служить распространение на весь объем сосуда молекул газа, первоначально сосредоточенных в одной из его половин. Этот процесс является необратимым, так как вероятность того, что в результате теплового движения все молекулы соберутся в одной из половин сосуда, очень мала. Соответственно всегда необратимым является процесс , обратный которому крайне маловероятен .

ЛЕКЦИЯ № 10 СТАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

10.1. ЭНТРОПИЯ

Как мы установили, вероятность состояния системы пропорциональна ее статическому весу, поэтому в качестве характеристики вероятности состояния можно было бы использовать сам статвес W. Однако W не является аддитивной величиной. Поэтому для характеристики состояния системы используют величину

которую называют энтропией системы. Действительно, если мы рассмотрим две системы по 4 молекулы в каждой, то статистический вес состояния, когда в каждой из подсистем находится, например, по одной молекуле слева будет равен 16, т.е. . Это соотношение справедливо для любых состояний. Следовательно, статвес неаддитивен . В то же время энтропия состояния результирующей системы т.е. является величиной аддитивной .

Поскольку при протекании необратимых процессов в изолированной системе она переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, можно утверждать, что энтропия изолированной системы возрастает при протекании в ней необратимых процессов .

Равновесное состояние является наиболее вероятным состоянием, а значит, энтропия системы перешедшей в равновесное состояние максимальна.

Поэтому можно утверждать, что энтропия изолированной системы остается постоянной, если она находится в равновесном состоянии, или возрастает, если в ней протекают необратимые процессы.

Утверждение о том, что энтропия изолированной системы не убывает, называетсявторым началом термодинамики или законом возрастания энтропии .

Энтропия является , очевидно, функциейсостояния и должна определятся параметрами состояния. Самыми простыми свойствами обладает одноатомный идеальный газ – его состояния полностью определяется заданием двух параметров, например, температуры и объема. Соответственно его энтропию можно определить как функцию температуры и объема: . Соответствующие вычисления показывают, что энтропия моля идеального газа определяется выражением

где - есть некоторая константа, с точностью до которой определяется энтропия.

Формула(6) оказывается справедливой для любых тел, необходимо только чтобы сообщение количества тепла было обратимым .

Остановимся на физической сущности энтропии .

Введем определения: состояние, осуществляемое относительно малым числом способов будет называться упорядоченным или неслучайным . Состояние, осуществляемое большим количеством способов – беспорядочным или случайным .

Тогда можно утверждать, что энтропия является количественной мерой степени беспорядка в системе . Сообщение системе количества тепла приводит к усилению теплового движения молекул, а значит и к росту энтропии. При этом, чем выше температура системы, тем меньше доля беспорядка вносимого сообщением данного , в чем и заключается физический смысл формулы(6).

Если количество тепла сообщается системе в ходе необратимого процесса, то ее энтропия возрастает не только за счет получения тепла, но и за счет протекания необходимых процессов, поскольку необратимый процесс сопровождается ростом вероятности состояния системы, ее статистического веса

В этом случае под в(7) подразумевается температура резервуара, из которого система получает . Объединяя (6) и(7) вместе можно записать:

При абсолютном нуле всякая система находится в основном состоянии , т. е. состоянии с наименьшей энергией. Статический вес этого вполне определенного состояния равен единице , а значит энтропия системы равна нулю. Это соответствует теореме Нернста , согласно которой энтропия всякого тела стремится к нулю при стремлении к нулю его температуры :

Теорему Нернста называют также третьим началом термодинамики .

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP, а разность давлений dP будет равна весу газа mg в объеме V с площадью основания S = 1 м 2 и высотой dh (V=Sdh), отнесенному к S.

Выразим плотность газа ρ через давление P из уравнения Менделеева-Клапейрона

Проинтегрируем отдельно левую и правую части уравнения. Считая температуру постоянной T=const, получим lnP = - , где С – постоянная интегрирования. Выражение для давления будет Постоянную интегрирования определяют из граничного условия. Еслиh = 0, то С = Р 0 и тогда

Это уравнение носит название барометрической формулы и показывает зависимость давления газа от высоты.

Видно, что чем тяжелее молекулы и чем ниже температура, тем быстрее уменьшается давление с увеличением высоты.

Заменим в формуле давление, выразив его через концентрацию молекул из уравнений P = nkT, P 0 = n 0 kT и

где n 0 - концентрация молекул на высоте h=0;

n - концентрация молекул на высоте h≠0.

Данная формула описывает изменение концентрации молекул от высоты h в потенциальном поле земного тяготения и от температуры Т. Можно отметить две тенденции, определяющих распределение молекул по высоте:

1. Притяжение молекул к Земле (mg) стремится расположить их на поверхности Земли.

2. Тепловое движение (kT) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам от 0 до .

В результате этих конкурирующих процессов распределение молекул газа по высоте имеет промежуточный вид.

Потенциальная энергия молекулы  Р =mgh. Следовательно, полученная формула представляет собой распределение молекул по значениям потенциальной энергии

Это формула функции распределения Больцмана. Здесь n 0 концентрация моле-кул в том месте, где  Р = 0, n –концентрация молекул в той точке простран-ства, где молекула обладает потенциальной энергией  p ≠ 0. Молекулы стремятся расположиться с наибольшей плотностью там, где у них минимальная потенциальная энергия

Закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана - по значениям потенциальной энергии.

Больцман доказал, что формула распределения справедлива не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Контрольные вопросы

Что такое степень свободы молекул?

Чему равно число степеней свободы одно-, двух- и трехатомной молекул?

Сформулируйте закон распределения энергии по степеням свободы молекул.

Приведите выражение функции распределения молекул по скоростям.

По каким формулам определяются среднеарифметическая, наиболее вероятная и среднеквадратичная скорости молекул?

Каково выражение для функции распределения Больцмана по значениям потенциальной энергии?

Тесты

чему равно число степеней свободы двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

Сколько степеней свободы приходится на вращательное движение у двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

Какое из приведенных выражений описывает наиболее вероятную скорость?

Распределение Больцмана

Статистика Максвелла - Больцмана - статистический метод описания физических систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (то есть классического идеального газа); предложена в 1871 г. австрийским физиком Л. Больцманом .

Вывод распределения

Из общего распределения Гиббса. Рассмотрим систему частиц, находящуюся в однородном поле. В таком поле каждая молекула идеального газа обладает полной энергией

Где

Кинетическая энергия её поступательного движения, а - потенциальная энергия во внешнем поле, которая зависит от её положения.

Подставим это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа (где - вероятность того, что частица находится в состоянии со значениями координат и импульсов , в интервале )

,

где интеграл состояний равен:

интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Далее интеграл состояний можно написать в виде:

,

мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы газа при наличии внешнего поля имеет вид:

.

Полученное распределение вероятностей, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объема, носит название распределение Максвелла - Больцмана .

Некоторые свойства

При рассмотрении распределения Максвелла - Больцмана, бросается в глаза важное свойство - его можно представить как произведение двух множетелей:

.

Первый множитель есть ничто иное как распределение Максвелла, оно характеризует распределение вероятностей по импульсам. Второй множитель зависит только лишь от координат частиц и определяется видом её потенциальной энергии. Он характеризует вероятность обнаружения частицы в объеме dV.

Согласно теории вероятности , распределение Максвелла - Больцмана можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий - вероятность данного значения импульса и данного положения молекулы. Первая из них:

представляет распределение Максвелла; вторая вероятность:

Распределение Больцмана. Очевидно, что каждое из них нормировано на единицу.

Независимость вероятностей дает важный результат: вероятность данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не зависит от её импульса. Это значит что распределение частиц по импульсам (скоростям) не зависит от поля, другими словами остается тем же самым от точки к точке пространства, в котором заключен газ. Меняется лишь вероятность обнаружения частицы или, что то же самое, число частиц.

См.также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Распределение Больцмана" в других словарях:

распределение Больцмана - Bolcmano skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Boltzmann distribution; Boltzmann distribution law vok. Boltzmannsche Verteilung, f; Boltzmannsches Verteilungsgesetz, n; Boltzmann Verteilung, f rus. больцмановское распределение,… … Fizikos terminų žodynas

Статистич. метод описания физ. св в систем, содержащих большое число невзаимодействующих ч ц, движущихся по законам классич. механики (т. е. св в классич. идеального газа). Создана австр. физиком Л. Больцманом в 1868 71. В Б. с. рассматривается… … Физическая энциклопедия

Распределение Гиббса распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики: Все доступные микросостояния системы равновероятны. Равновесию соответствует наиболее вероятное… … Википедия

Физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. е. газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю.… … Большая советская энциклопедия

Как функция от ε/μ, построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается Статистика Ферми Дирака в статистической физике квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с… … Википедия

Статистически равновесная ф ция распределения по импульсам р и координатам r ч ц идеального газа, молекулы к рого движутся по законам классич. механики, во внеш. потенц. поле: f(p, r) = Aехр{ (р2/2m+U(r))/kT}. (1) Здесь p2/2m кинетич. энергия… … Физическая энциклопедия

- (Максвелла Больцмана распределение) равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f e E/kT, где E сумма кинетической и потенциальной энергий … Большой Энциклопедический словарь

- (Максвелла Больцмана распределение), равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям во внешнем силовом поле (например, в поле тяготения); определяется функцией распределения f ≈ e E/kT, где Е сумма кинетической и потенциальной… … Энциклопедический словарь

Функция плотности распределения Распределение Максвелла распределение вероятности, встречающееся в физике и химии. Оно лежит в основании кинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и… … Википедия

Одним из важнейших объектов изучения статистической физики является так называемый идеальный газ. Под этим названием подразумевают газ, взаимодействие между частицами (молекулами) которого настолько слабо, что им можно пренебречь. Физически допустимость такого пренебрежения может быть обеспечена либо малостью взаимодействия частиц при любых расстояниях между ними, либо достаточной разреженностью газа. В последнем, наиболее важном случае разреженность газа приводит к тому, что его молекулы почти всегда находятся на значительных расстояниях друг от друга, на которых силы взаимодействия уже достаточно малы.

Отсутствие взаимодействия между молекулами позволяет свести квантовомеханическую задачу об определении уровней энергии всего газа в целом к задаче об определении уровней энергии отдельной молекулы. Эти уровни мы будем обозначать посредством , где индекс k представляет собой совокупность квантовых чисел, определяющих состояние молекулы. Энергии выразятся тогда в виде сумм энергий каждой из молекул.

Надо, однако, иметь в виду, что даже при отсутствии непосредственного силового взаимодействия в квантовой механике имеет место своеобразное взаимное влияние частиц, находящихся в одинаковом квантовом состоянии (так называемые обменные эффекты). Так, если частицы подчиняются статистике Ферми, то это влияние проявляется в том, что в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы); аналогичное влияние, проявляющееся иным образом, имеет место и для частиц, подчиняющихся статистике Бозе.

Обозначим посредством число частиц в газе, находящихся в k-м квантовом состоянии; числа называют числами заполнения различных квантовых состояний.

Поставим задачу о вычислении средних значений этих чисел, причем обратимся к подробному изучению чрезвычайно важного случая, когда все числа

Физически этот случай соответствует достаточно разреженному газу. В дальнейшем будет установлен критерий, обеспечивающий выполнение этого условия, но уже сейчас укажем, что фактически оно выполняется для всех обычных молекулярных или атомных газов. Это условие нарушилось бы лишь при таких больших плотностях, при которых вещество фактически уже ни в какой мере нельзя было бы рассматривать как идеальный газ.

Условие для средних чисел заполнения означает, что в каждый момент времени в каждом квантовом состоянии фактически находится не более одной частицы. В связи с этим можно пренебрегать не только непосредственным силовым взаимодействием частиц, но и их косвенным квантовомеханическим взаимным влиянием, упомянутым выше. Это обстоятельство в свою очередь позволяет применить к отдельным молекулам формулу распределения Гиббса.

Действительно, распределение Гиббса было выведено нами для тел, являющихся относительно малыми, но в то же время макроскопическими частями каких-либо больших замкнутцх систем. Макроскопичность тел давала возможность считать их квазизамкнутыми, т. е. в известном смысле пренебречь их взаимодействием с другими частями системы. В рассматриваемом случае квазизамкнутыми являются отдельные молекулы газа, хотя они отнюдь не представляют собой макроскопических тел.

Применив к молекулам газа формулу распределения Гиббса, мы можем утверждать, что вероятность молекуле находиться в состоянии, а потому и среднее число молекул в этом состоянии, пропорциональны :

где а - постоянная, определяющаяся условием нормировки

(N - полное число частиц в газе). Распределение молекул идеального газа по различным состояниям, определяемое формулой (37,2), называется распределением Больцмана (оно было открыто Больцманом для классической статистики в 1877 г.).

Постоянный коэффициент в (37,2) может быть выражен через термодинамические величины газа. Для этого дадим еще один вывод этой формулы, основанный на применении распределения Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии.

Мы имеем право сделать это (даже если числа не малы), поскольку непосредственного силового взаимодействия между этими и остальными частицами (как и между всеми вообще частицами идеального газа) нет, а квантовомеханические обменные эффекты имеют место лишь для частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Полагая в общей формуле распределения Гиббса с переменным числом частиц и приписывая индекс k величине получим распределение вероятностей различных значений в виде

и мы получаем распределение Больцмана в виде

Таким образом, коэффициент в формуле (37,2) оказываете» выраженным через химический потенциал газа.

Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы $m_0\ ,$ движущаяся со скоростью $\overrightarrow{v}\ $имеет энергию ${\varepsilon }_p$, которая выражается формулой:

Вероятность ($dw$) нахождения этой частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ равно:

Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:

Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ -- плотность вероятности нахождения частицы в объеме $dxdydz$ вблизи точки с координатами $\left(x,y,z\right)$. Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:

Коэффициент $A_1$ находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:

Что такое распределение Больцмана

Распределением Больцмана называют выражение:

Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент $A_1$ не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке ($x_0,y_{0,}z_0$) задана концентрация $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_{0,}z_0)=\frac{dn}{{dx}_0dy_0{dz}_0}$, потенциальная энергия в той же точке $U_0=U_0\left(x_0,y_{0,}z_0\right).$ Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:

для второй точки:

Выразим $A_1$ из (9), подставим в (10):

Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой $U_0\left(x,y,z\right)=0$.

Распределение Больцмана в поле сил тяжести

Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:

\\ }dxdydz\ \left(12\right),\]

где $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ -- потенциальная энергия молекулы массы $m_0$ в поле тяжести Земли, $g$ -- ускорение свободного падения, $z$ -- высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:

\[\rho ={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_0gz}{kT}\right]\ }\ \left(13\right).\]

Выражение (13) называют барометрической формулой.

При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы "не осели на дно", необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:

где $V_0$- объем частиц, $\rho $- плотность частиц, ${\rho }_0$ -- плотность жидкости, h -- расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:

\\ }\ \left(15\right).\]

Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.

Пример 1

Задание: В поле силы тяжести находятся два вертикальных сосуда с разными газами (водород при $T_1=200K\ $ и гелий при $T_2=400K)$. Сравнить плотности этих газов на высоте h, если на уровне h=0 плотности газов были одинаковы.

В качестве основы для решения задачи используем барометрическую формулу:

\[\rho ={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_0gz}{kT}\right]\ }\left(1.1\right)\]

Запишем (1.1) для водорода:

\[{\rho }_1={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_{H_2}gh}{kT_1}\right]\ }\left(1.2\right),\]

где $m_{H_2}=\frac{{\mu }_{H_2}}{N_A}$ , ${\mu }_{H_2}\ $- молярная масса водорода, $N_A$ -- постоянная Авогадро.

Запишем (1.1) для гелия:

\[{\rho }_2={\rho }_0{exp \left[-\frac{m_{He}gh}{kT_2}\right]\ }\left(1.3\right),\]

где $m_{H_2}=\frac{{\mu }_{He}}{N_A}$ , ${\mu }_{He}\ $- молярная масса гелия.

Найдем отношение плотностей:

\[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{{exp \left[-\frac{\frac{{\mu }_{H_2}}{N_A}\ gh}{kT_1}\right]\ }}{{exp \left[-\frac{\frac{{\mu }_{He}}{N_A}gh}{kT_2}\right]\ }}=exp\frac{gh}{kN_A}\left[-\frac{{\mu }_{H_2}}{T_1}+\frac{{\mu }_{He}}{T_2}\right]=exp\frac{gh\left({\mu }_{He}T_1-{\mu }_{H_2}T_2\right)}{kN_AT_1T_2}\ \left(1.4\right).\]

Подставим имеющиеся данные, вычислим отношения плотностей:

\[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=exp\frac{gh\left(4\cdot 200-2\cdot 400\right)}{kN_A200\cdot 400}=1\]

Ответ: Плотности газов одинаковы.

Пример 2

Задание: Эксперименты с распределением взвешенных частиц в жидкости проводил, начиная с 1906 г., Ж.Б. Перрен. Он использовал распределение частиц гуммигута в воде для измерения постоянной Авогадро. При этом плотность частиц гуммигута составляла $\rho =1,2\cdot {10}^3\frac{кг}{м^3}$, их объем $V_0=1,03\cdot {10}^{-19}м^3.$ Температура, при которой проводился эксперимент, T=277K. Найдите высоту h, на которой плотность распределения гуммигута уменьшилась в два раза.

Используем распределение концентрации частиц, взвешенных в жидкости:

\\ }\left(2.1\right).\]

Зная плотность воды ${\rho }_0=1000\frac{кг}{м^3},$ имеем: $V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)=1,03 {10}^{-19}\left(1,2-1\right){\cdot 10}^3=0,22 {10}^{-16}\ (кг)$. Подставим полученный результат в (2.1):

\\ }\] \\ }\]

\[\frac{n_0\left(h_1\right)}{n_0\left(h_2\right)}=exp{- \left[\frac{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}{kT}\right]\ }\cdot \left=2\ (2.2)\]

Прологарифмируем правую и левую части (2.2):

\[{ln \left(2\right)\ }={- \left[\frac{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}{kT}\right]\ }\cdot \triangle h\to \triangle h=\frac{{ln \left(2\right)\ }kT}{V_0\left(\rho -{\rho }_0\right)g}=\frac{{ln \left(2\right)\ }\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot 277}{0,22\cdot {10}^{-16}\cdot 9,8}=\] \[=1,23\ \cdot {10}^{-5}\left(м\right).\]

Ответ: Плотность распределения гуммигута уменьшится в два раза при изменении высоты на $1,23\ \cdot {10}^{-5}м$.