Μια συνάρτηση λέγεται άρτια (περιττή) αν για οποιαδήποτε και η ισότητα

.

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα
.

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

Παράδειγμα 6.2. Εξετάστε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή

1)
; 2)
; 3)
.

Λύση.

1) Η συνάρτηση ορίζεται όταν
. Θα βρούμε
.

Εκείνοι.
. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

2) Η συνάρτηση ορίζεται όταν

Εκείνοι.
. Επομένως, αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.

3) η συνάρτηση ορίζεται για , δηλ. Για

,
. Επομένως η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Ας το ονομάσουμε συνάρτηση γενικής μορφής.

3. Μελέτη της συνάρτησης για μονοτονία.

Λειτουργία
ονομάζεται αύξηση (μείωση) σε ένα ορισμένο διάστημα εάν σε αυτό το διάστημα το καθένα υψηλότερη τιμήΤο όρισμα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης.

Οι συναρτήσεις που αυξάνονται (μειώνονται) σε ένα ορισμένο διάστημα ονομάζονται μονοτονικές.

Εάν η συνάρτηση
διαφοροποιήσιμο στο διάστημα
και έχει θετική (αρνητική) παράγωγο
, μετά η συνάρτηση
αυξάνεται (μειώνεται) σε αυτό το διάστημα.

Παράδειγμα 6.3. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας συναρτήσεων

1)
; 3)
.

Λύση.

1) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Ας βρούμε την παράγωγο.

Η παράγωγος είναι ίση με μηδέν αν
Και
. Το πεδίο ορισμού είναι ο αριθμητικός άξονας, διαιρούμενος με τελείες
,
κατά διαστήματα. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε διάστημα.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι αρνητική, η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι θετική, επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.

2) Αυτή η συνάρτηση ορίζεται εάν
ή

.

Προσδιορίζουμε το πρόσημο του τετραγωνικού τριωνύμου σε κάθε διάστημα.

Έτσι, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Ας βρούμε την παράγωγο
,
, Αν
, δηλ.
, Αλλά
. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα
.

Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι αρνητική, επομένως, η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα
. Στο μεσοδιάστημα
η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα
.

4. Μελέτη της συνάρτησης στο άκρο.

Τελεία
ονομάζεται μέγιστο (ελάχιστο) σημείο της συνάρτησης
, αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου αυτό είναι για όλους
από αυτή τη γειτονιά ισχύει η ανισότητα

.

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται ακραία σημεία.

Εάν η συνάρτηση
στο σημείο έχει ακρότατο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη άκρου).

Τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα.

5. Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακραίου.

Κανόνας 1. Εάν κατά τη μετάβαση (από αριστερά προς τα δεξιά) μέσω του κρίσιμου σημείου παράγωγο
αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», μετά στο σημείο λειτουργία
έχει μέγιστο? εάν από "-" σε "+", τότε το ελάχιστο. Αν
δεν αλλάζει πρόσημο, τότε δεν υπάρχει ακραίο.

Κανόνας 2. Αφήστε στο σημείο
πρώτη παράγωγος συνάρτησης
ίσο με μηδέν
, και η δεύτερη παράγωγος υπάρχει και είναι διαφορετική από το μηδέν. Αν
, Οτι – μέγιστο σημείο, εάν
, Οτι – ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6.4. Εξερευνήστε τις μέγιστες και ελάχιστες λειτουργίες:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Λύση.

1) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
.

Ας βρούμε την παράγωγο
και λύνουμε την εξίσωση
, δηλ.
.Από εδώ
– κρίσιμα σημεία.

Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα,
.

Κατά τη διέλευση από σημεία
Και
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «–» σε «+», επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα 1
– ελάχιστοι βαθμοί.

Όταν διέρχεται από ένα σημείο
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από «+» σε «–», έτσι
– μέγιστο σημείο.

,
.

2) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
. Ας βρούμε την παράγωγο
.

Έχοντας λύσει την εξίσωση
, θα βρούμε
Και
– κρίσιμα σημεία. Αν ο παρονομαστής
, δηλ.
, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει. Ετσι,
– τρίτο κρίσιμο σημείο. Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου κατά διαστήματα.

Επομένως, η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο στο σημείο
, μέγιστο σε πόντους
Και
.

3) Μια συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής αν
, δηλ. στο
.

Ας βρούμε την παράγωγο

.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Γειτονιές σημείων
δεν ανήκουν στον τομέα του ορισμού, επομένως δεν είναι ακραίες. Ας εξετάσουμε λοιπόν τα κρίσιμα σημεία
Και
.

4) Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στο διάστημα
. Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα 2. Βρείτε την παράγωγο
.

Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο
και προσδιορίστε το πρόσημο του στα σημεία

Σε σημεία
η λειτουργία έχει ένα ελάχιστο.

Σε σημεία
η συνάρτηση έχει μέγιστο.

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτό καθολική μέθοδοςθα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, αφού το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν ορισμένο κανόνα, το οποίο εφαρμόζεται διαδοχικά απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

Η εξάρτηση μιας μεταβλητής y από μια μεταβλητή x, στην οποία κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή του y, ονομάζεται συνάρτηση. Για τον προσδιορισμό χρησιμοποιήστε τον συμβολισμό y=f(x). Κάθε συνάρτηση έχει μια σειρά από βασικές ιδιότητες, όπως μονοτονία, ισοτιμία, περιοδικότητα και άλλες.

Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στην ιδιότητα ισοτιμίας.

Μια συνάρτηση y=f(x) καλείται ακόμα κι αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

2. Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x, που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, πρέπει να είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο -x. Δηλαδή, για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = f(-x).

Γράφημα άρτιας συνάρτησης

Εάν σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας άρτιας συνάρτησης, θα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^2 είναι άρτια. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Επομένως f(x) = f(-x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^2.

Το σχήμα δείχνει ότι το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy.

Γράφημα περιττής συνάρτησης

Μια συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται περιττή αν ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο συνθήκες:

1. Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το σημείο Ο. Δηλαδή, εάν κάποιο σημείο a ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε το αντίστοιχο σημείο -a πρέπει επίσης να ανήκει στο πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης.

2. Για οποιοδήποτε σημείο x, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη ισότητα από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: f(x) = -f(x).

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς το σημείο Ο - την αρχή των συντεταγμένων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y=x^3 είναι περιττή. Ας το ελέγξουμε. Το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, που σημαίνει ότι είναι συμμετρικός ως προς το σημείο Ο.

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Επομένως f(x) = -f(x). Έτσι, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις, που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιττή. Παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης y=x^3.

Το σχήμα δείχνει ξεκάθαρα ότι η περιττή συνάρτηση y=x^3 είναι συμμετρική ως προς την αρχή.

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι:

• σχηματίζουν την έννοια της ισοτιμίας και της περιττότητας μιας συνάρτησης, διδάσκουν την ικανότητα προσδιορισμού και χρήσης αυτών των ιδιοτήτων όταν έρευνα λειτουργίας, σχεδίαση?
• να αναπτύξουν τη δημιουργική δραστηριότητα των μαθητών, λογική σκέψη, ικανότητα σύγκρισης, γενίκευσης.
• καλλιεργούν τη σκληρή δουλειά και τη μαθηματική κουλτούρα. αναπτύξουν επικοινωνιακές δεξιότητες .

Εξοπλισμός: εγκατάσταση πολυμέσων, διαδραστικός πίνακας, φυλλάδια.

Μορφές εργασίας: μετωπική και ομαδική με στοιχεία ερευνητικών και ερευνητικών δραστηριοτήτων.

Πηγές πληροφοριών:

1. Άλγεβρα 9η τάξη A.G. Mordkovich. Σχολικό βιβλίο.
2. Άλγεβρα 9ης τάξης A.G. Mordkovich. Βιβλίο προβλημάτων.
3. Άλγεβρα 9η τάξη. Καθήκοντα για τη μάθηση και την ανάπτυξη των μαθητών. Belenkova E.Yu. Λεμπεντίντσεβα Ε.Α.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Οργανωτική στιγμή

Θέτοντας στόχους και στόχους για το μάθημα.

2. Έλεγχος της εργασίας

Νο. 10.17 (βιβλίο προβλημάτων 9ης δημοτικού. A.G. Mordkovich).

ΕΝΑ) στο = φά(Χ), φά(Χ) =

σι) φά (–2) = –3; φά (0) = –1; φά(5) = 69;

γ) 1. Δ( φά) = [– 2; + ∞)
2. Ε( φά) = [– 3; + ∞)
3. φά(Χ) = 0 στο Χ ~ 0,4
4. φά(Χ) >0 στο Χ > 0,4 ; φά(Χ) < 0 при – 2 < Χ < 0,4.
5. Η συνάρτηση αυξάνεται με Χ € [– 2; + ∞)
6. Η λειτουργία περιορίζεται από κάτω.
7. στο naim = – 3, στο naib δεν υπάρχει
8. Η συνάρτηση είναι συνεχής.

(Έχετε χρησιμοποιήσει αλγόριθμο εξερεύνησης συναρτήσεων;) Ολίσθηση.

2. Ας ελέγξουμε τον πίνακα που σας ζητήθηκε από τη διαφάνεια.

Γεμίστε τον πίνακα
	Τομέα	Συναρτήσεις μηδενικά	Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου		Συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης με Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Επικαιροποίηση γνώσεων

– Δίνονται οι λειτουργίες.
– Καθορίστε το εύρος ορισμού για κάθε λειτουργία.
– Συγκρίνετε την τιμή κάθε συνάρτησης για κάθε ζεύγος τιμών ορίσματος: 1 και – 1; 2 και – 2.
– Για ποιες από αυτές τις λειτουργίες στον τομέα ορισμού ισχύουν οι ισότητες φά(– Χ) = φά(Χ), φά(– Χ) = – φά(Χ)? (εισάγετε τα ληφθέντα δεδομένα στον πίνακα) Διαφάνεια

		φά(1) και φά(– 1)	φά(2) και φά(– 2)	γραφικά	φά(– Χ) = –φά(Χ)	φά(– Χ) = φά(Χ)
1. φά(Χ) =
2. φά(Χ) = Χ 3
3. φά(Χ) = | Χ |
4.φά(Χ) = 2Χ – 3
5. φά(Χ) =	Χ ≠ 0
6. φά(Χ)=	Χ > –1		και δεν ορίζεται

4. Νέο υλικό

– Εκτέλεση αυτή η δουλειά, παιδιά, εντοπίσαμε μια ακόμη ιδιότητα της συνάρτησης, άγνωστη σε εσάς, αλλά όχι λιγότερο σημαντική από τις άλλες - αυτή είναι η ομοιότητα και η παραδοξότητα της συνάρτησης. Καταγράψτε το θέμα του μαθήματος: "Ζυγές και περιττές συναρτήσεις", το καθήκον μας είναι να μάθουμε να προσδιορίζουμε την ομοιότητα και την περιττότητα μιας συνάρτησης, να μάθουμε τη σημασία αυτής της ιδιότητας στη μελέτη συναρτήσεων και τη δημιουργία γραφημάτων.
Ας βρούμε λοιπόν τους ορισμούς στο σχολικό βιβλίο και ας διαβάσουμε (σελ. 110) . Ολίσθηση

Def. 1 Λειτουργία στο = φά (Χ), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται ακόμη και, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧΕκτελείται το Є X ισότητα f(–x)= f(x). Δώσε παραδείγματα.

Def. 2 Λειτουργία y = f(x), που ορίζεται στο σύνολο X καλείται Περιττός, εάν για οποιαδήποτε τιμή ΧЄ X ισχύει η ισότητα f(–х)= –f(х). Δώσε παραδείγματα.

Πού συναντήσαμε τους όρους «άρτιος» και «μονός»;
Ποια από αυτές τις συναρτήσεις θα είναι άρτια, πιστεύετε; Γιατί; Ποια είναι περίεργα; Γιατί;
Για οποιαδήποτε λειτουργία της φόρμας στο= x n, Οπου n– ένας ακέραιος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή όταν n– περιττό και η συνάρτηση είναι άρτια όταν n- ακόμη και.
– Προβολή λειτουργιών στο= και στο = 2Χ– Τα 3 δεν είναι ούτε ζυγά ούτε περιττά, γιατί ισότητες δεν ικανοποιούνται φά(– Χ) = – φά(Χ), φά(– Χ) = φά(Χ)

Η μελέτη του αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή ονομάζεται μελέτη της ισοτιμίας μιας συνάρτησης. Ολίσθηση

Στους ορισμούς 1 και 2 μιλούσαμε για τις τιμές της συνάρτησης στα x και – x, επομένως υποτίθεται ότι η συνάρτηση ορίζεται επίσης στην τιμή Χ, και σε - Χ.

Def 3. Αν ένα αριθμητικό σύνολο, μαζί με κάθε στοιχείο του x, περιέχει και το αντίθετο στοιχείο –x, τότε το σύνολο Χονομάζεται συμμετρικό σύνολο.

Παραδείγματα:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) είναι συμμετρικά σύνολα και , [–5;4] είναι ασύμμετρα.

– U ακόμη και λειτουργίεςείναι το πεδίο ορισμού συμμετρικό σύνολο; Τα περίεργα;
– Αν Δ( φά) είναι ένα ασύμμετρο σύνολο, τότε ποια είναι η συνάρτηση;
– Έτσι, εάν η συνάρτηση στο = φά(Χ) – άρτιο ή περιττό, τότε το πεδίο ορισμού του είναι D( φά) είναι ένα συμμετρικό σύνολο. Είναι αληθής η αντίστροφη πρόταση: αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ένα συμμετρικό σύνολο, τότε είναι άρτιο ή περιττό;
– Αυτό σημαίνει ότι η παρουσία ενός συμμετρικού συνόλου του πεδίου ορισμού είναι απαραίτητη προϋπόθεση, αλλά όχι επαρκής.
– Πώς λοιπόν εξετάζετε μια συνάρτηση για ισοτιμία; Ας προσπαθήσουμε να δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο.

Ολίσθηση

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ισοτιμία

1. Προσδιορίστε εάν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι συμμετρικό. Αν όχι, τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Εάν ναι, τότε μεταβείτε στο βήμα 2 του αλγορίθμου.

2. Γράψτε μια έκφραση για φά(–Χ).

3. Συγκρίνετε φά(–Χ).Και φά(Χ):

• Αν φά(–Χ).= φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι άρτια.
• Αν φά(–Χ).= – φά(Χ), τότε η συνάρτηση είναι περιττή.
• Αν φά(–Χ) ≠ φά(Χ) Και φά(–Χ) ≠ –φά(Χ), τότε η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Παραδείγματα:

Εξετάστε τη συνάρτηση α) για ισοτιμία στο= x 5 +; σι) στο= ; V) στο= .

Λύση.

α) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), συμμετρικό σύνολο.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => συνάρτηση h(x) = x 5 + περιττός.

β) y =,

στο = φά(Χ), D(f) = (–∞; –9); (–9; +∞), ένα ασύμμετρο σύνολο, που σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

V) φά(Χ) = , y = f (x),

1) Δ( φά) = (–∞; 3] ≠ ; β) (∞; –2), (–4; 4];

Επιλογή 2

1. Είναι το δεδομένο σύνολο συμμετρικό: α) [–2;2]; β) (∞; 0], (0; 7) ?

ΕΝΑ); β) y = x (5 – x 2). 2. Εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία:

α) y = x 2 (2x – x 3), β) y =

3. Στο Σχ. έχει κατασκευαστεί ένα γράφημα στο = φά(Χ), για όλα Χ, ικανοποιώντας την προϋπόθεση Χ? 0.
Γράφημα τη συνάρτηση στο = φά(Χ), Αν στο = φά(Χ) είναι μια άρτια συνάρτηση.

3. Στο Σχ. έχει κατασκευαστεί ένα γράφημα στο = φά(Χ), για όλα τα x που ικανοποιούν την συνθήκη x; 0.
Γράφημα τη συνάρτηση στο = φά(Χ), Αν στο = φά(Χ) είναι μια περιττή συνάρτηση.

Αξιολόγηση από ομοτίμους στη διαφάνεια.

6. Εργασία για το σπίτι: Αρ. 11.11, 11.21, 11.22;

Απόδειξη της γεωμετρικής σημασίας της ιδιότητας ισοτιμίας.

***(Ανάθεση επιλογής Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης).

1. Η περιττή συνάρτηση y = f(x) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Για οποιαδήποτε μη αρνητική τιμή της μεταβλητής x, η τιμή αυτής της συνάρτησης συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης g( Χ) = Χ(Χ + 1)(Χ + 3)(Χ– 7). Βρείτε την τιμή της συνάρτησης h( Χ) = στο Χ = 3.

7. Συνοψίζοντας

Μελέτη συναρτήσεων.

1) D(y) – Τομέας ορισμού: το σύνολο όλων αυτών των τιμών της μεταβλητής x. για τα οποία έχουν νόημα οι αλγεβρικές εκφράσεις f(x) και g(x).

Εάν μια συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο, τότε ο τομέας ορισμού αποτελείται από όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής για τις οποίες ο τύπος έχει νόημα.

2) Ιδιότητες της συνάρτησης: ζυγός/περιττός, περιοδικότητα:

Οι συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τις αλλαγές στο πρόσημο του ορίσματος ονομάζονται περιττές και ζυγές.

Περιττή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αλλάζει την τιμή της στο αντίθετο όταν αλλάζει το πρόσημο της ανεξάρτητης μεταβλητής (συμμετρική σε σχέση με το κέντρο των συντεταγμένων).

Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που δεν αλλάζει την τιμή της όταν αλλάζει το πρόσημο της ανεξάρτητης μεταβλητής (συμμετρική ως προς την τεταγμένη).

Ούτε άρτια ούτε περιττή συνάρτηση (συνάρτηση γενική εικόνα) είναι μια συνάρτηση που δεν έχει συμμετρία. Αυτή η κατηγορία περιλαμβάνει συναρτήσεις που δεν εμπίπτουν στις προηγούμενες 2 κατηγορίες.

Οι συναρτήσεις που δεν ανήκουν σε καμία από τις παραπάνω κατηγορίες καλούνται ούτε ζυγός ούτε περιττός(ή γενικές λειτουργίες).

Περιττές συναρτήσεις

Περιττή ισχύς όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Ακόμη και λειτουργίες

Ακόμη και η δύναμη όπου είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός.

Μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της μετά από ένα ορισμένο κανονικό διάστημα ορίσματος, δηλαδή δεν αλλάζει την τιμή της όταν προσθέτει στο όρισμα κάποιο σταθερό μη μηδενικό αριθμό (περίοδος της συνάρτησης) σε ολόκληρο τον τομέα του ορισμός.

3) Μηδενικά (ρίζες) μιας συνάρτησης είναι τα σημεία όπου γίνεται μηδέν.

Εύρεση του σημείου τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Oy. Για να γίνει αυτό πρέπει να υπολογίσετε την τιμή φά(0). Βρείτε επίσης τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Βόδι, γιατί να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης φά(Χ) = 0 (ή βεβαιωθείτε ότι δεν υπάρχουν ρίζες).

Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα ονομάζονται μηδενικά της συνάρτησης. Για να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης, πρέπει να λύσετε την εξίσωση, δηλαδή να βρείτε εκείνες τις τιμές του "x" στις οποίες η συνάρτηση γίνεται μηδέν.

4) Διαστήματα σταθερότητας ζωδίων, σημεία σε αυτά.

Διαστήματα όπου η συνάρτηση f(x) διατηρεί πρόσημο.

Ένα διάστημα σταθερού πρόσημου είναι ένα διάστημα σε κάθε σημείο του οποίου η συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική.

ΠΑΝΩ από τον άξονα x.

ΚΑΤΩ από τον άξονα.

5) Συνέχεια (σημεία ασυνέχειας, φύση της ασυνέχειας, ασύμπτωτες).

Μια συνεχής συνάρτηση είναι μια συνάρτηση χωρίς «άλματα», δηλαδή μια συνάρτηση στην οποία μικρές αλλαγές στο όρισμα οδηγούν σε μικρές αλλαγές στην τιμή της συνάρτησης.

Αφαιρούμενα σημεία διακοπής

Αν το όριο της συνάρτησης υπάρχει, αλλά η συνάρτηση δεν ορίζεται σε αυτό το σημείο ή το όριο δεν συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο:

,

τότε το σημείο ονομάζεται αφαιρούμενο σημείο θραύσηςσυναρτήσεις (σε σύνθετη ανάλυση, ένα αφαιρούμενο ενικό σημείο).

Αν «διορθώνουμε» τη συνάρτηση στο σημείο της αφαιρούμενης ασυνέχειας και βάλουμε , τότε παίρνουμε μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα δεδομένο σημείο. Αυτή η λειτουργία σε μια συνάρτηση καλείται επεκτείνοντας τη λειτουργία σε συνεχήή επαναπροσδιορισμός της συνάρτησης κατά συνέχεια, που δικαιολογεί το όνομα του σημείου ως σημείο μεταθέσιμοςρήξη.

Σημεία ασυνέχειας πρώτου και δεύτερου είδους

Εάν μια συνάρτηση έχει ασυνέχεια σε ένα δεδομένο σημείο (δηλαδή, το όριο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο απουσιάζει ή δεν συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο), τότε για αριθμητικές συναρτήσεις υπάρχουν δύο πιθανές επιλογές συνδέονται με την ύπαρξη αριθμητικών συναρτήσεων μονομερή όρια:

αν υπάρχουν και τα δύο μονόπλευρα όρια και είναι πεπερασμένα, τότε ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους. Τα αφαιρούμενα σημεία ασυνέχειας είναι σημεία ασυνέχειας πρώτου είδους.

εάν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια δεν υπάρχει ή δεν είναι πεπερασμένη τιμή, τότε ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο ασυνέχειας δεύτερου είδους.

Ασύμπτωτο - ευθεία, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από ένα σημείο της καμπύλης σε αυτό ευθείατείνει στο μηδέν καθώς το σημείο απομακρύνεται κατά μήκος του κλάδου στο άπειρο.

Κατακόρυφος

Κατακόρυφη ασύμπτωτη - οριακή γραμμή .

Κατά κανόνα, κατά τον προσδιορισμό της κατακόρυφης ασύμπτωτης, δεν αναζητούν ένα όριο, αλλά δύο μονόπλευρες (αριστερά και δεξιά). Αυτό γίνεται για να προσδιοριστεί πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση καθώς προσεγγίζει την κατακόρυφη ασύμπτωτη από διαφορετικές κατευθύνσεις. Για παράδειγμα:

Οριζόντιος

Οριζόντια ασύμπτωτη - ευθείαείδη, με την επιφύλαξη της ύπαρξης όριο

.

Κεκλιμένος

Πλάγια ασύμπτωτη - ευθείαείδη, με την επιφύλαξη της ύπαρξης όρια

Σημείωση: μια συνάρτηση δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο πλάγιες (οριζόντιες) ασύμπτωτες.

Σημείωση: εάν τουλάχιστον ένα από τα δύο όρια που αναφέρονται παραπάνω δεν υπάρχει (ή είναι ίσο με ), τότε η πλάγια ασύμπτωτη στο (ή ) δεν υπάρχει.

εάν στο στοιχείο 2.), τότε , και το όριο βρίσκεται από τον τύπο οριζόντια ασύμπτωτη, .

6) Εύρεση διαστημάτων μονοτονίας. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης φά(Χ)(δηλαδή διαστήματα αύξησης και μείωσης). Αυτό γίνεται με την εξέταση του πρόσημου της παραγώγου φά(Χ). Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την παράγωγο φά(Χ) και λύστε την ανισότητα φά(Χ)0. Στα διαστήματα όπου ισχύει αυτή η ανισότητα, η συνάρτηση φά(Χ) αυξάνει. Όπου ισχύει η αντίστροφη ανισότητα φά(Χ)0, συνάρτηση φά(Χ) μειώνεται.

Εύρεση τοπικού εξτρέμ. Έχοντας βρει τα διαστήματα της μονοτονίας, μπορούμε να προσδιορίσουμε αμέσως τα τοπικά ακραία σημεία όπου μια αύξηση αντικαθίσταται από μια μείωση, εντοπίζονται τοπικά μέγιστα και όπου μια μείωση αντικαθίσταται από μια αύξηση, εντοπίζονται τοπικά ελάχιστα. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία. Εάν μια συνάρτηση έχει κρίσιμα σημεία που δεν είναι τοπικά ακραία σημεία, τότε είναι χρήσιμο να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης και σε αυτά τα σημεία.

Εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης y = f(x) σε ένα τμήμα (συνέχεια)

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: φά(Χ). 2. Βρείτε τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν: φά(Χ)=0Χ 1, Χ 2 ,... 3. Προσδιορίστε τη συσχέτιση σημείων Χ 1 ,Χ 2 , … τμήμα [ ένα; σι]: ας Χ 1ένα;σι, ΕΝΑ Χ 2ένα;σι .