Πώς να βρείτε το μέσο ενός τριγώνου: ένα πρόβλημα γεωμετρίας. Τα κύρια στοιχειώδη προβλήματα στην Ευκλείδεια γεωμετρία ήρθαν σε εμάς από την αρχαιότητα. Περιέχουν την ίδια την πρωταρχική ουσία και τις απαραίτητες βασικές γνώσεις για την ανθρώπινη αντίληψη των χωρικών μορφών. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι το πρόβλημα της εύρεσης του μέσου ενός τριγώνου. Σήμερα, αυτό το πρόβλημα θεωρείται ως μια εκπαιδευτική τεχνική για την ανάπτυξη των πνευματικών ικανοτήτων των μαθητών. Στον αρχαίο κόσμο, η γνώση για το πώς να βρεθεί το μέσο ενός τριγώνου χρησιμοποιήθηκε επίσης στην πράξη: στη διαχείριση γης, στην κατασκευή διαφόρων μηχανισμών κ.λπ. Ποια είναι η ουσία αυτού του γεωμετρικού rebus;

Ποια είναι η διάμεσος; Πριν λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να εξοικειωθείτε με την απλούστερη γεωμετρική ορολογία σχετικά με τα τρίγωνα. Πρώτα απ 'όλα, κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές, τρεις πλευρές και τρεις γωνίες, από όπου προέρχεται και το όνομα αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς ονομάζονται οι γραμμές που συνδέουν τις κορυφές με τις αντίθετες πλευρές: ύψος, διχοτόμος και διάμεσος.

Το ύψος είναι μια ευθεία κάθετη στην πλευρά απέναντι από την κορυφή από την οποία έχει σχεδιαστεί. διχοτόμος - διαιρεί μια γωνία στο μισό. Η διάμεσος χωρίζει την πλευρά απέναντι από την εξερχόμενη κορυφή στο μισό. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να ξέρετε πώς να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος, επειδή είναι το σημείο τομής των διαμέσου του τριγώνου που είναι το μέσο του.

Βρείτε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου. Η εύρεση του μέσου ενός τμήματος είναι επίσης ένα κλασικό γεωμετρικό πρόβλημα, για την επίλυση του οποίου θα χρειαστείτε μια πυξίδα και έναν χάρακα χωρίς διαιρέσεις. Τοποθετούμε τη βελόνα της πυξίδας στο τελικό σημείο του τμήματος και σχεδιάζουμε ένα ημικύκλιο μεγαλύτερο από το μισό τμήμα στη μέση του τελευταίου. Κάνουμε το ίδιο στην άλλη πλευρά του τμήματος. Τα ημικύκλια που προκύπτουν θα τέμνονται αναγκαστικά σε δύο σημεία, επειδή οι ακτίνες τους είναι μεγαλύτερες από το μισό του αρχικού τμήματος.

Συνδέουμε τα δύο σημεία τομής του κύκλου με μια ευθεία χρησιμοποιώντας έναν χάρακα. Αυτή η γραμμή τέμνει το αρχικό τμήμα ακριβώς στη μέση του. Τώρα, γνωρίζοντας πώς να βρούμε το μέσο ενός τμήματος, το κάνουμε αυτό με κάθε πλευρά του τριγώνου. Αφού βρείτε όλα τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, είστε έτοιμοι να κατασκευάσετε το δικό του μέσο.

Χτίζουμε το μέσο του τριγώνου. Συνδέοντας τις κορυφές του τριγώνου με τα μέσα των απέναντι πλευρών με ευθείες γραμμές, παίρνουμε τρεις διάμεσους. Αυτό μπορεί να εκπλήξει μερικούς, αλλά ένας από τους νόμους της αρμονίας αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι ότι και οι τρεις διάμεσοι τέμνονται πάντα σε ένα σημείο. Είναι αυτό το σημείο που θα είναι το επιθυμητό μέσο του τριγώνου, το οποίο δεν είναι τόσο δύσκολο να βρεθεί εάν ξέρετε πώς να κατασκευάσετε το μέσο του τμήματος.

Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι το σημείο τομής των διάμεσων αντιπροσωπεύει όχι μόνο το γεωμετρικό, αλλά και το «φυσικό» μέσο του τριγώνου. Δηλαδή, αν, για παράδειγμα, κόψετε ένα τρίγωνο από κόντρα πλακέ, βρείτε τη μέση του και τοποθετήσετε αυτό το σημείο στην άκρη της βελόνας, τότε ιδανικά μια τέτοια φιγούρα θα ισορροπήσει και δεν θα πέσει. Η στοιχειώδης γεωμετρία περιέχει πολλά τέτοια συναρπαστικά «μυστικά», η γνώση των οποίων βοηθά στην κατανόηση της αρμονίας του περιβάλλοντος κόσμου και της φύσης πιο περίπλοκων πραγμάτων.

Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των 2 πλευρών του. Αντίστοιχα, κάθε τρίγωνο έχει τρεις μεσαίες γραμμές. Γνωρίζοντας την ποιότητα της μέσης γραμμής, καθώς και τα μήκη των πλευρών του τριγώνου και τις γωνίες του, μπορείτε να προσδιορίσετε το μήκος της μέσης γραμμής.

Θα χρειαστείτε

• Πλευρές τριγώνου, γωνίες τριγώνου

Οδηγίες

1. Έστω στο τρίγωνο ABC MN η μέση γραμμή που συνδέει τα μέσα των πλευρών AB (σημείο M) και AC (σημείο N) Κατά ιδιότητα, η μέση γραμμή ενός τριγώνου που συνδέει τα μέσα 2 πλευρών είναι παράλληλη με την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της. το. Αυτό σημαίνει ότι η μέση γραμμή MN θα είναι παράλληλη με την πλευρά BC και ίση με BC/2. Κατά συνέπεια, για να προσδιοριστεί το μήκος της μέσης γραμμής του τριγώνου, αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της πλευράς αυτής της συγκεκριμένης τρίτης πλευράς.

2. Ας είναι τώρα γνωστές οι πλευρές, τα μεσαία σημεία των οποίων συνδέονται με τη μεσαία γραμμή MN, δηλαδή AB και AC, καθώς και η μεταξύ τους γωνία BAC. Επειδή MN είναι η μεσαία γραμμή, τότε AM = AB/2, και AN = AC/2 Στη συνέχεια, σύμφωνα με το συνημιτονικό θεώρημα, αντικειμενικά: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Επομένως, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Εάν οι πλευρές AB και AC είναι γνωστές, τότε η μεσαία γραμμή MN μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας τη γωνία ABC ή ACB. Ας πούμε ότι η γωνία ABC είναι διάσημη. Επειδή σύμφωνα με την ιδιότητα της μέσης γραμμής το ΜΝ είναι παράλληλο προς το BC, τότε οι γωνίες ΑΒΓ και ΑΜΝ είναι αντίστοιχες και, κατά συνέπεια, ΑΒΓ = ΑΜΝ. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα συνημιτόνου: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Συνεπώς, η πλευρά MN μπορεί να βρεθεί από την τετραγωνική εξίσωση (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Συμβουλή 2: Πώς να βρείτε την πλευρά ενός τετράγωνου τριγώνου

Ένα τετράγωνο τρίγωνο λέγεται ορθότερα ορθογώνιο τρίγωνο. Οι σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών αυτού του γεωμετρικού σχήματος συζητούνται λεπτομερώς στον μαθηματικό κλάδο της τριγωνομετρίας.

Θα χρειαστείτε

• - χαρτί?
• - στυλό
• – τραπέζια Bradis;
• - αριθμομηχανή.

Οδηγίες

1. Ανακαλύπτω πλευράορθογώνιος τρίγωνομε την υποστήριξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών: c2 = a2+b2, όπου c είναι η υποτείνουσα τρίγωνο, α και β είναι τα πόδια του. Για να εφαρμόσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος οποιωνδήποτε 2 πλευρών ενός ορθογωνίου τρίγωνο .

2. Εάν οι συνθήκες καθορίζουν τις διαστάσεις των ποδιών, βρείτε το μήκος της υποτείνουσας. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, εξάγετε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των ποδιών, τετραγωνίζοντας το καθένα από αυτά εκ των προτέρων.

3. Υπολογίστε το μήκος του ενός σκέλους αν γνωρίζετε τις διαστάσεις της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, εξάγετε την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ της υποτείνουσας στο τετράγωνο και του προπορευόμενου σκέλους επίσης στο τετράγωνο.

4. Εάν το πρόβλημα καθορίζει την υποτείνουσα και μία από τις οξείες γωνίες που γειτνιάζουν με αυτήν, χρησιμοποιήστε πίνακες Bradis. Παρέχουν τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για μεγάλο αριθμό γωνιών. Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή με συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου, καθώς και θεωρήματα τριγωνομετρίας που περιγράφουν τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός ορθογωνίου τρίγωνο .

5. Βρείτε τα σκέλη χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις: a = c*sin?, b = c*cos?, όπου a είναι το πόδι απέναντι από τη γωνία;, b είναι το πόδι δίπλα στη γωνία;. Υπολογίστε το μέγεθος των πλευρών με τον ίδιο τρόπο τρίγωνο, αν δίνεται η υποτείνουσα και μια άλλη οξεία γωνία: b = c*sin?, a = c*cos?, όπου b είναι το σκέλος απέναντι από τη γωνία; και το σκέλος είναι δίπλα στη γωνία;.

6. Στην περίπτωση που παίρνουμε το σκέλος α και την οξεία γωνία που βρίσκεται δίπλα του;, μην ξεχνάτε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών γωνιών είναι πάντα ίσο με 90°: ? + ? = 90°. Να βρείτε την τιμή της γωνίας απέναντι από το σκέλος α: ; = 90° – ?. Ή χρησιμοποιήστε τύπους τριγωνομετρικής αναγωγής: αμαρτία; = αμαρτία (90° – ?) = cos ?; tg; = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg;.

7. Αν έχουμε σκέλος α και την οξεία γωνία απέναντι από αυτό;, χρησιμοποιώντας πίνακες Bradis, αριθμομηχανή και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, να υπολογίσετε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας τον τύπο: c=a*sin?, σκέλος: b=a*tg?.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

1 Πρόσθετη κατασκευή που οδηγεί στο θεώρημα της μέσης γραμμής του τριγώνου, στις ιδιότητες του τραπεζίου και της ομοιότητας των τριγώνων.

Και αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.
Συμπέρασμα 2.

2 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

3 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα τριγώνων.

Από αυτό είναι σαφές ότι

1 Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια οξεία γωνία είναι παρόμοια. Μια ματιά στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Τα τρίγωνα με εκκολάπτουσες και μη πλευρές είναι παρόμοια στο ότι οι δύο γωνίες τους είναι ίσες. Επομένως πού

Αυτό σημαίνει ότι οι υποδεικνυόμενες σχέσεις εξαρτώνται μόνο από την οξεία γωνία του ορθογωνίου τριγώνου και ουσιαστικά την καθορίζουν. Αυτός είναι ένας από τους λόγους για την εμφάνιση τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Συχνά η σύνταξη τριγωνομετρικών συναρτήσεων γωνιών σε όμοια ορθογώνια τρίγωνα είναι πιο ξεκάθαρη από τη σύνταξη σχέσεων ομοιότητας!

2 Ένα παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι ένα ύψος χαμηλωμένο στην υποτείνουσα. Παραγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος με βάση την ομοιότητα τριγώνων.

Ας χαμηλώσουμε το ύψος CH στην υποτείνουσα AB. Έχουμε τρία παρόμοια τρίγωνα ABC, AHC και CHB. Ας γράψουμε παραστάσεις για τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Από αυτό είναι σαφές ότι . Προσθέτοντας, παίρνουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού:

Για μια άλλη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, δείτε το σχόλιο του Προβλήματος 4.
3 Σημαντικό παράδειγμα πρόσθετης κατασκευής είναι η κατασκευή γωνίας ίσης με μία από τις γωνίες ενός τριγώνου.

Από την κορυφή της ορθής γωνίας σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που σχηματίζει γωνία με σκέλος CA ίση με τη γωνία CAB του δεδομένου ορθογωνίου τριγώνου ABC. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ACM με γωνίες βάσης. Αλλά το άλλο τρίγωνο που προκύπτει από αυτήν την κατασκευή θα είναι επίσης ισοσκελές, αφού κάθε γωνία του στη βάση είναι ίση (από την ιδιότητα των γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου και από την κατασκευή - η γωνία "αφαιρέθηκε" από τη σωστή γωνία). Λόγω του ότι τα τρίγωνα BMC και AMC είναι ισοσκελές με κοινή πλευρά MC, έχουμε την ισότητα MB=MA=MC, δηλ. M.C. διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, και αυτή ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Συμπέρασμα 1.Το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται γύρω από αυτό το τρίγωνο, αφού αποδεικνύεται ότι το μέσο της υποτείνουσας απέχει από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου.
Συμπέρασμα 2.Η μεσαία γραμμή ενός ορθογωνίου τριγώνου, που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με το μέσο του σκέλους, είναι παράλληλη με το απέναντι σκέλος και ισούται με το μισό του.

Στα ισοσκελή τρίγωνα BMC και AMC, ας χαμηλώσουμε τα ύψη MH και MG στις βάσεις. Εφόσον σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που χαμηλώνει στη βάση είναι επίσης η διάμεσος (και η διχοτόμος), τότε το MH και το MG είναι οι γραμμές ενός ορθογωνίου τριγώνου που συνδέει το μέσο της υποτείνουσας με τα μέσα των σκελών. Από κατασκευή, αποδεικνύεται ότι είναι παράλληλα με τα απέναντι σκέλη και ίσα με τα μισά τους, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα MHC και MGC είναι ίσα (και το MHCG είναι ορθογώνιο). Αυτό το αποτέλεσμα είναι η βάση για την απόδειξη του θεωρήματος για τη μέση γραμμή ενός αυθαίρετου τριγώνου και, περαιτέρω, τη μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς και την ιδιότητα της αναλογικότητας των τμημάτων που κόβονται από παράλληλες ευθείες σε δύο ευθείες που τα τέμνουν.

Καθήκοντα
Χρήση ιδιοτήτων ομοιότητας -1
Χρήση βασικών ιδιοτήτων - 2
Χρησιμοποιώντας επιπλέον σχηματισμό 3-4

1 2 3 4

Το ύψος που πέφτει από την κορυφή μιας ορθής γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα των μηκών των τμημάτων στα οποία διαιρεί την υποτείνουσα.

Η λύση φαίνεται προφανής αν γνωρίζετε την εξαγωγή του Πυθαγόρειου θεωρήματος από την ομοιότητα των τριγώνων:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
από όπου \(h^2=c_1c_2\).

Να βρείτε τον τόπο σημείων (GMT) τομής των διαμέσου όλων των πιθανών ορθογωνίων τριγώνων των οποίων η υποτείνουσα ΑΒ είναι σταθερή.

Το σημείο τομής των διαμέσων οποιουδήποτε τριγώνου αποκόπτει το ένα τρίτο από τη διάμεσο, μετρώντας από το σημείο τομής του με την αντίστοιχη πλευρά. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που σχεδιάζεται από τη σωστή γωνία είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Επομένως, το επιθυμητό GMT είναι ένας κύκλος ακτίνας ίσος με το 1/6 του μήκους της υποτείνουσας, με ένα κέντρο στη μέση αυτής της (σταθερής) υποτείνουσας.

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγορες λύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Ένα τετράπλευρο στο οποίο μόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες λέγεται τραπεζοειδές.

Οι παράλληλες πλευρές ενός τραπεζοειδούς ονομάζονται του αιτιολογικό, και λέγονται όσες πλευρές δεν είναι παράλληλες πλευρές. Εάν οι πλευρές είναι ίσες, τότε ένα τέτοιο τραπέζιο είναι ισοσκελές. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ονομάζεται ύψος του τραπεζοειδούς.

Τραπεζοειδής μεσαία γραμμή

Η μέση γραμμή είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρικών πλευρών του τραπεζοειδούς. Η μέση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι παράλληλη με τις βάσεις του.

Θεώρημα:

Εάν η ευθεία που διασχίζει το μέσο της μιας πλευράς είναι παράλληλη με τις βάσεις του τραπεζοειδούς, τότε διχοτομεί τη δεύτερη πλευρά του τραπεζοειδούς.

Θεώρημα:

Το μήκος της μεσαίας γραμμής είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων της

MN || ΑΒ || DC
AM = MD; BN=NC

MN μέση γραμμή, AB και CD - βάσεις, AD και BC - πλευρικές πλευρές

MN = (AB + DC)/2

Θεώρημα:

Το μήκος της μέσης γραμμής ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των μηκών των βάσεων του.

Το κύριο καθήκον: Να αποδείξετε ότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς διχοτομεί ένα τμήμα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στη μέση των βάσεων του τραπεζοειδούς.

Μέση γραμμή του τριγώνου

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου ονομάζεται μέση γραμμή του τριγώνου. Είναι παράλληλη με την τρίτη πλευρά και το μήκος της είναι ίσο με το μισό μήκος της τρίτης πλευράς.
Θεώρημα: Αν μια ευθεία που τέμνει το μέσο της μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι παράλληλη με την άλλη πλευρά του τριγώνου, τότε διχοτομεί την τρίτη πλευρά.

AM = MC και BN = NC =>

Εφαρμογή των ιδιοτήτων της μέσης γραμμής ενός τριγώνου και τραπεζοειδούς

Διαίρεση ενός τμήματος σε έναν ορισμένο αριθμό ίσων μερών.
Εργασία: Διαιρέστε το τμήμα ΑΒ σε 5 ίσα μέρη.
Λύση:
Έστω p μια τυχαία ακτίνα της οποίας η αρχή είναι το σημείο Α και η οποία δεν βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ. Παραμερίζουμε διαδοχικά 5 ίσα τμήματα στο p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​A 5
Συνδέουμε το Α 5 με το Β και χαράσσουμε τέτοιες γραμμές μέσω των Α 4, Α 3, Α 2 και Α 1 που είναι παράλληλες με το Α 5 Β. Τέμνουν το ΑΒ αντίστοιχα στα σημεία Β 4, Β 3, Β 2 και Β 1. Αυτά τα σημεία χωρίζουν το τμήμα ΑΒ σε 5 ίσα μέρη. Πράγματι, από το τραπέζιο BB 3 A 3 A 5 βλέπουμε ότι BB 4 = B 4 B 3. Με τον ίδιο τρόπο, από το τραπέζιο B 4 B 2 A 2 A 4 παίρνουμε B 4 B 3 = B 3 B 2

Ενώ από το τραπέζιο B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Τότε από το B 2 AA 2 προκύπτει ότι B 2 B 1 = B 1 A. Συμπερασματικά παίρνουμε:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Είναι σαφές ότι για να διαιρέσουμε το τμήμα ΑΒ σε έναν άλλο αριθμό ίσων μερών, πρέπει να προβάλλουμε τον ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων στην ακτίνα p. Και μετά συνεχίστε με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω.