Το θέμα «αριθμητική πρόοδος» μελετάται στο γενική πορείαάλγεβρα στα σχολεία της 9ης τάξης. Αυτό το θέμα είναι σημαντικό για περαιτέρω σε βάθος μελέτημαθηματικά των σειρών αριθμών. Σε αυτό το άρθρο θα εξοικειωθούμε με την αριθμητική πρόοδο, τη διαφορά της, καθώς και τυπικά προβλήματα που μπορεί να αντιμετωπίσουν οι μαθητές.

Η έννοια της αλγεβρικής προόδου

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενο στοιχείο μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο εάν εφαρμόσουμε κάποιο μαθηματικό νόμο. Υπάρχουν δύο απλοί τύποι προόδου: η γεωμετρική και η αριθμητική, η οποία ονομάζεται επίσης αλγεβρική. Ας το δούμε πιο αναλυτικά.

Ας φανταστούμε μερικά ρητός αριθμός, το συμβολίζουμε με το σύμβολο a 1, όπου ο δείκτης το δηλώνει σειριακός αριθμόςστην υπό εξέταση σειρά. Ας προσθέσουμε κάποιον άλλο αριθμό σε ένα 1 και ας τον ονομάσουμε d. Τότε το δεύτερο στοιχείο της σειράς μπορεί να αντικατοπτρίζεται ως εξής: a 2 = a 1 +d. Τώρα προσθέστε ξανά d, παίρνουμε: a 3 = a 2 +d. Συνεχίζοντας αυτή τη μαθηματική πράξη, μπορείτε να πάρετε μια ολόκληρη σειρά αριθμών, η οποία θα ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.

Όπως γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, για να βρείτε το nο στοιχείο αυτής της ακολουθίας, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: a n = a 1 + (n-1)*d. Πράγματι, αντικαθιστώντας το n=1 στην παράσταση, παίρνουμε ένα 1 = a 1, εάν n = 2, τότε ο τύπος ακολουθεί: a 2 = a 1 + 1*d, και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα, εάν η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι 5 και a 1 = 1, τότε αυτό σημαίνει ότι η αριθμητική σειρά του εν λόγω τύπου έχει τη μορφή: 1, 6, 11, 16, 21, ... μπορεί να δει, κάθε ένα από τα μέλη του είναι 5 περισσότερα από το προηγούμενο .

Τύποι διαφοράς αριθμητικής προόδου

Από τον παραπάνω ορισμό της υπό εξέταση σειράς αριθμών, προκύπτει ότι για να την ορίσετε πρέπει να γνωρίζετε δύο αριθμούς: a 1 και d. Το τελευταίο ονομάζεται διαφορά αυτής της προόδου. Καθορίζει μοναδικά τη συμπεριφορά ολόκληρης της σειράς. Πράγματι, εάν το d είναι θετικό, τότε η αριθμητική σειρά θα αυξάνεται συνεχώς, αντίθετα, εάν το d είναι αρνητικό, οι αριθμοί στη σειρά θα αυξάνονται μόνο σε απόλυτη τιμή, ενώ η απόλυτη τιμή τους θα μειώνεται με την αύξηση του αριθμού n.

Ποια είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου; Ας εξετάσουμε δύο βασικούς τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αυτής της τιμής:

1. d = a n+1 -a n, αυτός ο τύπος προκύπτει απευθείας από τον ορισμό της υπό εξέταση σειράς αριθμών.
2. d = (-a 1 +a n)/(n-1), αυτή η έκφραση προκύπτει αν εκφράσουμε το d από τον τύπο που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου. Σημειώστε ότι αυτή η έκφραση γίνεται απροσδιόριστη (0/0) εάν n=1. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τουλάχιστον 2 στοιχεία της σειράς για να προσδιορίσουμε τη διαφορά της.

Αυτοί οι δύο βασικοί τύποι χρησιμοποιούνται για την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν την εύρεση της διαφοράς μιας προόδου. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τύπος που πρέπει επίσης να γνωρίζετε.

Άθροισμα πρώτων στοιχείων

Ο τύπος με τον οποίο μπορείτε να προσδιορίσετε το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού όρων μιας αλγεβρικής προόδου, σύμφωνα με ιστορικά στοιχεία, αποκτήθηκε για πρώτη φορά από τον «πρίγκιπα» των μαθηματικών τον 18ο αιώνα, τον Carl Gauss. Ο Γερμανός επιστήμονας, ενώ ήταν ακόμη αγόρι δημοτικό σχολείοσχολείο του χωριού, παρατήρησε ότι για να διπλώσει ακέραιοι αριθμοίστη σειρά από το 1 έως το 100, πρέπει πρώτα να αθροίσετε το πρώτο στοιχείο και το τελευταίο (η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το άθροισμα του προτελευταίου και του δεύτερου, του προτελευταίου και του τρίτου στοιχείου και ούτω καθεξής) και στη συνέχεια αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό αυτών των αθροισμάτων, δηλαδή επί 50.

Ο τύπος, ο οποίος αντικατοπτρίζει το δηλωμένο αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να γενικευτεί σε μια αυθαίρετη περίπτωση. Θα μοιάζει με: S n = n/2*(a n +a 1). Σημειώστε ότι για να βρείτε την υποδεικνυόμενη τιμή, δεν απαιτείται γνώση της διαφοράς d εάν είναι γνωστοί δύο όροι της προόδου (a n και a 1).

Παράδειγμα Νο. 1. Προσδιορίστε τη διαφορά, γνωρίζοντας δύο όρους της σειράς a1 και an

Θα σας δείξουμε πώς να εφαρμόσετε τους τύπους που αναφέρονται παραπάνω στο άρθρο. Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα: η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι άγνωστη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί με τι θα ισούται εάν a 13 = -5,6 και a 1 = -12,1.

Αφού γνωρίζουμε τις τιμές δύο στοιχείων σειρά αριθμών, και ένας από αυτούς είναι ο πρώτος αριθμός, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Νο. 2 για να προσδιορίσετε τη διαφορά d. Έχουμε: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. Στην παράσταση χρησιμοποιήσαμε την τιμή n=13, αφού είναι γνωστός ο όρος με τον συγκεκριμένο τακτικό αριθμό.

Η διαφορά που προκύπτει δείχνει ότι η πρόοδος αυξάνεται, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία που δίνονται στις συνθήκες εργασίας έχουν αρνητική τιμή. Μπορεί να φανεί ότι ένα 13 >a 1, αν και |a 13 |<|a 1 |.

Παράδειγμα Νο. 2. Θετικοί όροι της εξέλιξης στο παράδειγμα Νο. 1

Ας χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε στο προηγούμενο παράδειγμα για να λύσουμε ένα νέο πρόβλημα. Διατυπώνεται ως εξής: από ποιον αύξοντα αριθμό θα αρχίσουν να παίρνουν θετικές τιμές τα στοιχεία της προόδου στο παράδειγμα Νο. 1;

Όπως αποδείχθηκε, η πρόοδος στην οποία τα 1 = -12,1 και d = 0,54167 αυξάνεται, επομένως, από έναν ορισμένο αριθμό οι αριθμοί θα αρχίσουν να παίρνουν μόνο θετικές τιμές. Για τον προσδιορισμό αυτού του αριθμού n, είναι απαραίτητο να λυθεί μια απλή ανισότητα, η οποία γράφεται μαθηματικά ως εξής: a n >0 ή, χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο, ξαναγράφουμε την ανισότητα: a 1 + (n-1)*d>0. Είναι απαραίτητο να βρούμε το άγνωστο n, ας το εκφράσουμε: n>-1*a 1 /d + 1. Τώρα μένει να αντικαταστήσουμε γνωστές αξίεςδιαφορά και τον πρώτο όρο της ακολουθίας. Παίρνουμε: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ή n>23,338. Εφόσον το n μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες τιμές, από την προκύπτουσα ανισότητα προκύπτει ότι οποιοιδήποτε όροι της σειράς έχουν αριθμό μεγαλύτερο από 23 θα είναι θετικοί.

Ας ελέγξουμε την απάντηση που λάβαμε χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για να υπολογίσουμε το 23ο και το 24ο στοιχείο αυτής της αριθμητικής προόδου. Έχουμε: a 23 = -12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (αρνητικός αριθμός); a 24 = -12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (θετική τιμή). Έτσι, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σωστό: ξεκινώντας από n=24, όλα τα μέλη της σειράς αριθμών θα είναι μεγαλύτερα από το μηδέν.

Παράδειγμα Νο. 3. Πόσα κούτσουρα θα χωρέσουν;

Ας παρουσιάσουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα: κατά την υλοτόμηση, αποφασίστηκε να στοιβάζονται οι πριονισμένοι κορμοί ο ένας πάνω στον άλλο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσοι κορμοί μπορούν να στοιβάζονται με αυτόν τον τρόπο, γνωρίζοντας ότι θα χωρέσουν συνολικά 10 σειρές;

Ένα ενδιαφέρον πράγμα μπορεί να παρατηρηθεί σε αυτήν τη μέθοδο αναδίπλωσης αρχείων καταγραφής: κάθε επόμενη σειρά θα περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο, δηλαδή λαμβάνει χώρα μια αλγεβρική πρόοδος, η διαφορά της οποίας είναι d = 1. Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των αρχείων καταγραφής σε κάθε σειρά είναι μέλος αυτής της προόδου, και λαμβάνοντας επίσης υπόψη ότι ένα 1 = 1 (μόνο ένα αρχείο καταγραφής θα χωράει στην κορυφή), βρίσκουμε τον αριθμό a 10. Έχουμε: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Δηλαδή, στη 10η σειρά, που βρίσκεται στο έδαφος, θα υπάρχουν 10 κορμοί.

Το συνολικό άθροισμα αυτής της «πυραμιδικής» δομής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Gauss. Παίρνουμε: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 κούτσουρα.

Πρώτο επίπεδο

Αριθμητική πρόοδος. Λεπτομερής θεωρίαμε παραδείγματα (2019)

Αριθμητική ακολουθία

Λοιπόν, ας καθίσουμε και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με μια ευρύτερη έννοια ως μια άπειρη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα; Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου όρου της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολα, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, α, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

• ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός όρου προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, πρέπει να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ανέθεσε την ακόλουθη εργασία στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως (σύμφωνα με άλλες πηγές) χωρίς αποκλεισμούς». Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε χειροκίνητα όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Το έχεις δοκιμάσει; Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες;

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, πνευματώδεις άνθρωποι έκαναν πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε Αρχαία Αίγυπτοςκαι το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - η κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος εάν τοποθετηθούν τούβλα από τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα; Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες;
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές η Μάσα θα κάνει squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Κατά την αποθήκευση των κορμών, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε το καθένα ανώτερο στρώμαπεριέχει ένα ημερολόγιο λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.

3. Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ας το συνοψίσουμε

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
4. Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με τον αριθμό ονομάζεται το οο μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα; Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά; Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας στον προηγούμενο αριθμό. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
3. Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, εάν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
   Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος εύρεσης του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτήν την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γείτονά του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Αλλά δεν γνωρίζουμε τις έννοιες τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα "κατά μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των πρώτων στοιχείων \(n\).
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχεις τα πάντα απαραίτητες πληροφορίεςγια την επίλυση σχεδόν κάθε προβλήματος αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως; Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να γίνει μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε περίπτωση, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Το θέμα «αριθμητική πρόοδος» μελετάται στο μάθημα της γενικής άλγεβρας στα σχολεία της 9ης τάξης. Αυτό το θέμα είναι σημαντικό για περαιτέρω σε βάθος μελέτη των μαθηματικών των σειρών αριθμών. Σε αυτό το άρθρο θα εξοικειωθούμε με την αριθμητική πρόοδο, τη διαφορά της, καθώς και τυπικά προβλήματα που μπορεί να αντιμετωπίσουν οι μαθητές.

Η έννοια της αλγεβρικής προόδου

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε επόμενο στοιχείο μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο εάν εφαρμόσουμε κάποιο μαθηματικό νόμο. Υπάρχουν δύο απλοί τύποι προόδου: η γεωμετρική και η αριθμητική, η οποία ονομάζεται επίσης αλγεβρική. Ας το δούμε πιο αναλυτικά.

Ας φανταστούμε κάποιον ρητό αριθμό, τον συμβολίζουμε με το σύμβολο a1, όπου ο δείκτης δείχνει τον αύξοντα αριθμό του στη σειρά που εξετάζουμε. Ας προσθέσουμε κάποιον άλλο αριθμό στο a1 και ας τον ονομάσουμε d. Τότε το δεύτερο στοιχείο της σειράς μπορεί να αντικατοπτρίζεται ως εξής: a2 = a1+d. Τώρα προσθέστε ξανά d, παίρνουμε: a3 = a2+d. Συνεχίζοντας αυτή τη μαθηματική πράξη, μπορείτε να πάρετε μια ολόκληρη σειρά αριθμών, η οποία θα ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.

Όπως γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, για να βρείτε το nο στοιχείο αυτής της ακολουθίας, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: an = a1 + (n-1)*d. Πράγματι, αντικαθιστώντας n=1 στην παράσταση, παίρνουμε a1 = a1, εάν n = 2, τότε ο τύπος ακολουθεί: a2 = a1 + 1*d, και ούτω καθεξής.

Για παράδειγμα, εάν η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι 5 και a1 = 1, τότε αυτό σημαίνει ότι η αριθμητική σειρά του υπό εξέταση τύπου έχει τη μορφή: 1, 6, 11, 16, 21, ... Όπως μπορείτε δες, κάθε ένα από τα μέλη του είναι 5 περισσότερα από το προηγούμενο.

Τύποι διαφοράς αριθμητικής προόδου

Από τον παραπάνω ορισμό της υπό εξέταση σειράς αριθμών, προκύπτει ότι για να την ορίσετε πρέπει να γνωρίζετε δύο αριθμούς: a1 και d. Το τελευταίο ονομάζεται διαφορά αυτής της προόδου. Καθορίζει μοναδικά τη συμπεριφορά ολόκληρης της σειράς. Πράγματι, εάν το d είναι θετικό, τότε η αριθμητική σειρά θα αυξάνεται συνεχώς, αντίθετα, εάν το d είναι αρνητικό, οι αριθμοί στη σειρά θα αυξάνονται μόνο σε απόλυτη τιμή, ενώ η απόλυτη τιμή τους θα μειώνεται με την αύξηση του αριθμού n.

Ποια είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου; Ας εξετάσουμε δύο βασικούς τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό αυτής της τιμής:

d = an+1-an, αυτός ο τύπος προκύπτει απευθείας από τον ορισμό της υπό εξέταση σειράς αριθμών.

d = (-a1+an)/(n-1), αυτή η έκφραση προκύπτει αν εκφράσουμε το d από τον τύπο που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο του άρθρου. Σημειώστε ότι αυτή η έκφραση γίνεται απροσδιόριστη (0/0) εάν n=1. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τουλάχιστον 2 στοιχεία της σειράς για να προσδιορίσουμε τη διαφορά της.

Αυτοί οι δύο βασικοί τύποι χρησιμοποιούνται για την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν την εύρεση της διαφοράς μιας προόδου. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τύπος που πρέπει επίσης να γνωρίζετε.

Άθροισμα πρώτων στοιχείων

Ο τύπος με τον οποίο μπορείτε να προσδιορίσετε το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού όρων μιας αλγεβρικής προόδου, σύμφωνα με ιστορικά στοιχεία, αποκτήθηκε για πρώτη φορά από τον «πρίγκιπα» των μαθηματικών τον 18ο αιώνα, τον Carl Gauss. Ένας Γερμανός επιστήμονας, ενώ ήταν ακόμη αγόρι στις δημοτικές τάξεις ενός σχολείου χωριού, παρατήρησε ότι για να προσθέσουμε φυσικούς αριθμούς στη σειρά από το 1 έως το 100, είναι απαραίτητο να αθροίσουμε πρώτα το πρώτο στοιχείο και το τελευταίο (η τιμή που προκύπτει θα να είναι ίσο με το άθροισμα του προτελευταίου και του δεύτερου, του προτελευταίου και του τρίτου στοιχείου , και ούτω καθεξής), και στη συνέχεια αυτός ο αριθμός πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό αυτών των ποσών, δηλαδή επί 50.

Ο τύπος, ο οποίος αντικατοπτρίζει το δηλωμένο αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, μπορεί να γενικευτεί σε μια αυθαίρετη περίπτωση. Θα μοιάζει με: Sn = n/2*(an+a1). Σημειώστε ότι για να βρείτε την υποδεικνυόμενη τιμή, δεν απαιτείται γνώση της διαφοράς d εάν είναι γνωστοί δύο όροι της προόδου (an και a1).

Παράδειγμα Νο. 1. Προσδιορίστε τη διαφορά, γνωρίζοντας δύο όρους της σειράς a1 και an

Θα σας δείξουμε πώς να εφαρμόσετε τους τύπους που αναφέρονται παραπάνω στο άρθρο. Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα: η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι άγνωστη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί με τι θα ισούται εάν a13 = -5,6 και a1 = -12,1.

Δεδομένου ότι γνωρίζουμε τις τιμές δύο στοιχείων μιας αριθμητικής ακολουθίας και ένα από αυτά είναι ο πρώτος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Νο. 2 για να προσδιορίσουμε τη διαφορά d. Έχουμε: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. Στην παράσταση χρησιμοποιήσαμε την τιμή n=13, αφού είναι γνωστός ο όρος με τον συγκεκριμένο τακτικό αριθμό.

Η διαφορά που προκύπτει δείχνει ότι η πρόοδος αυξάνεται, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία που δίνονται στις συνθήκες εργασίας έχουν αρνητική τιμή. Είναι σαφές ότι a13>a1, αν και |a13|<|a1|.

Παράδειγμα Νο. 2. Θετικοί όροι της εξέλιξης στο παράδειγμα Νο. 1

Ας χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε στο προηγούμενο παράδειγμα για να λύσουμε ένα νέο πρόβλημα. Διατυπώνεται ως εξής: από ποιον αύξοντα αριθμό θα αρχίσουν να παίρνουν θετικές τιμές τα στοιχεία της προόδου στο παράδειγμα Νο. 1;

Όπως αποδείχθηκε, η πρόοδος στην οποία a1 = -12,1 και d = 0,54167 αυξάνεται, επομένως, από έναν ορισμένο αριθμό οι αριθμοί θα αρχίσουν να παίρνουν μόνο θετικές τιμές. Για τον προσδιορισμό αυτού του αριθμού n, είναι απαραίτητο να λυθεί μια απλή ανίσωση, η οποία γράφεται μαθηματικά ως εξής: an>0 ή, χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο τύπο, ξαναγράφουμε την ανίσωση: a1 + (n-1)*d>0. Είναι απαραίτητο να βρούμε το άγνωστο n, ας το εκφράσουμε: n>-1*a1/d + 1. Τώρα μένει να αντικαταστήσουμε τις γνωστές τιμές της διαφοράς και τον πρώτο όρο της ακολουθίας. Παίρνουμε: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ή n>23,338. Εφόσον το n μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες τιμές, από την προκύπτουσα ανισότητα προκύπτει ότι οποιοιδήποτε όροι της σειράς έχουν αριθμό μεγαλύτερο από 23 θα είναι θετικοί.

Ας ελέγξουμε την απάντηση που λάβαμε χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για να υπολογίσουμε το 23ο και το 24ο στοιχείο αυτής της αριθμητικής προόδου. Έχουμε: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (αρνητικός αριθμός); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (θετική τιμή). Έτσι, το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σωστό: ξεκινώντας από n=24, όλα τα μέλη της σειράς αριθμών θα είναι μεγαλύτερα από το μηδέν.

Παράδειγμα Νο. 3. Πόσα κούτσουρα θα χωρέσουν;

Ας παρουσιάσουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα: κατά την υλοτόμηση, αποφασίστηκε να στοιβάζονται οι πριονισμένοι κορμοί ο ένας πάνω στον άλλο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσοι κορμοί μπορούν να στοιβάζονται με αυτόν τον τρόπο, γνωρίζοντας ότι θα χωρέσουν συνολικά 10 σειρές;

Ένα ενδιαφέρον πράγμα μπορεί να παρατηρηθεί σε αυτήν τη μέθοδο αναδίπλωσης αρχείων καταγραφής: κάθε επόμενη σειρά θα περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο, δηλαδή λαμβάνει χώρα μια αλγεβρική πρόοδος, η διαφορά της οποίας είναι d = 1. Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των αρχείων καταγραφής σε κάθε σειρά είναι μέλος αυτής της προόδου, και λαμβάνοντας επίσης υπόψη ότι a1 = 1 (μόνο ένα αρχείο καταγραφής θα χωράει στην κορυφή), βρίσκουμε τον αριθμό a10. Έχουμε: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Δηλαδή, στη 10η σειρά, που βρίσκεται στο έδαφος, θα υπάρχουν 10 κορμοί.

Το συνολικό άθροισμα αυτής της «πυραμιδικής» δομής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Gauss. Παίρνουμε: S10 = 10/2*(10+1) = 55 κούτσουρα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτό το θέμα συχνά φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο. Ευρετήρια γραμμάτων η θητείαπροόδους, διαφορές προόδου - όλα αυτά είναι κάπως μπερδεμένα, ναι... Ας καταλάβουμε την έννοια της αριθμητικής προόδου και όλα θα βελτιωθούν αμέσως.)

Η έννοια της αριθμητικής προόδου.

Η αριθμητική πρόοδος είναι μια πολύ απλή και ξεκάθαρη έννοια. Έχετε αμφιβολίες; Μάταια.) Δείτε μόνοι σας.

Θα γράψω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Μπορείτε να επεκτείνετε αυτή τη σειρά; Ποιοι αριθμοί θα ακολουθήσουν, μετά το πέντε; Όλοι... ε..., εν ολίγοις, όλοι θα συνειδητοποιήσουν ότι θα ακολουθήσουν οι αριθμοί 6, 7, 8, 9 κ.λπ.

Ας περιπλέκουμε το έργο. Σας δίνω μια ημιτελή σειρά αριθμών:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Θα μπορείτε να πιάσετε το μοτίβο, να επεκτείνετε τη σειρά και να ονομάσετε έβδομοςαριθμός σειράς;

Αν καταλάβατε ότι αυτός ο αριθμός είναι 20, συγχαρητήρια! Όχι μόνο ένιωσες βασικά σημείααριθμητική πρόοδος,αλλά και τα χρησιμοποίησε με επιτυχία στις επιχειρήσεις! Αν δεν το έχετε καταλάβει, διαβάστε.

Τώρα ας μεταφράσουμε τα βασικά σημεία από τις αισθήσεις στα μαθηματικά.)

Πρώτο βασικό σημείο.

Η αριθμητική πρόοδος ασχολείται με σειρές αριθμών.Αυτό στην αρχή προκαλεί σύγχυση. Έχουμε συνηθίσει να λύνουμε εξισώσεις, να σχεδιάζουμε γραφήματα και όλα αυτά... Αλλά εδώ επεκτείνουμε τη σειρά, βρίσκουμε τον αριθμό της σειράς...

Είναι εντάξει. Απλώς οι προόδους είναι η πρώτη γνωριμία με έναν νέο κλάδο των μαθηματικών. Η ενότητα ονομάζεται "Σειρά" και λειτουργεί συγκεκριμένα με σειρές αριθμών και εκφράσεων. Συνήθισε το.)

Δεύτερο σημείο κλειδί.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε αριθμός είναι διαφορετικός από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Στο πρώτο παράδειγμα, αυτή η διαφορά είναι μία. Όποιο νούμερο κι αν πάρεις, είναι ένα παραπάνω από τον προηγούμενο. Στο δεύτερο - τρία. Οποιοσδήποτε αριθμός είναι τρεις περισσότεροι από τον προηγούμενο. Στην πραγματικότητα, αυτή η στιγμή είναι που μας δίνει την ευκαιρία να κατανοήσουμε το μοτίβο και να υπολογίσουμε τους επόμενους αριθμούς.

Τρίτο βασικό σημείο.

Αυτή η στιγμή δεν είναι εντυπωσιακή, ναι... Αλλά είναι πολύ, πολύ σημαντική. Να τος: Κάθε αριθμός προόδου βρίσκεται στη θέση του.Υπάρχει ο πρώτος αριθμός, υπάρχει ο έβδομος, υπάρχει ο σαράντα πέμπτος κ.λπ. Αν τα αναμίξετε τυχαία, το μοτίβο θα εξαφανιστεί. Η αριθμητική πρόοδος θα εξαφανιστεί επίσης. Αυτό που μένει είναι απλώς μια σειρά αριθμών.

Αυτό είναι το όλο θέμα.

Φυσικά, σε νέο θέμαεμφανίζονται νέοι όροι και ονομασίες. Πρέπει να τα ξέρεις. Διαφορετικά δεν θα καταλάβετε την εργασία. Για παράδειγμα, θα πρέπει να αποφασίσετε κάτι σαν:

Γράψτε τους πρώτους έξι όρους της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 2 = 5, d = -2,5.

Εμπνευσμένο;) Γράμματα, μερικά ευρετήρια... Και η εργασία, παρεμπιπτόντως, δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλή. Απλά πρέπει να κατανοήσετε την έννοια των όρων και των ονομασιών. Τώρα θα κατακτήσουμε αυτό το θέμα και θα επιστρέψουμε στην εργασία.

Όροι και ονομασίες.

Αριθμητική πρόοδοςείναι μια σειρά αριθμών στους οποίους κάθε αριθμός είναι διαφορετικός από τον προηγούμενο κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η ποσότητα ονομάζεται . Ας δούμε αυτή την έννοια με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αριθμητική διαφορά προόδου.

Αριθμητική διαφορά προόδουείναι το ποσό με το οποίο οποιοσδήποτε αριθμός προόδου περισσότεροτο προηγούμενο.

Ενας σημαντικό σημείο. Παρακαλώ δώστε προσοχή στη λέξη "περισσότερο".Μαθηματικά, αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός προόδου είναι προσθέτονταςδιαφορά αριθμητικής προόδου στον προηγούμενο αριθμό.

Για να υπολογίσουμε, ας πούμε δεύτεροςαριθμοί της σειράς, πρέπει να πρώτααριθμός Προσθήκηαυτή ακριβώς τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Για υπολογισμό πέμπτος- η διαφορά είναι απαραίτητη ΠροσθήκηΠρος την τέταρτος,καλά, κλπ.

Αριθμητική διαφορά προόδουΜπορεί θετικός,τότε κάθε αριθμός της σειράς θα αποδειχθεί πραγματικός περισσότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται αυξανόμενη.Για παράδειγμα:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Εδώ λαμβάνεται κάθε αριθμός προσθέτονταςθετικός αριθμός, +5 στον προηγούμενο.

Η διαφορά μπορεί να είναι αρνητικός,τότε κάθε αριθμός στη σειρά θα είναι λιγότερο από το προηγούμενο.Αυτή η εξέλιξη ονομάζεται (δεν θα το πιστεύετε!) μειώνεται.

Για παράδειγμα:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Εδώ λαμβάνεται και κάθε αριθμός προσθέτονταςστο προηγούμενο, αλλά ήδη αρνητικός αριθμός, -5.

Παρεμπιπτόντως, όταν εργάζεστε με την πρόοδο, είναι πολύ χρήσιμο να προσδιορίσετε αμέσως τη φύση της - εάν αυξάνεται ή μειώνεται. Αυτό βοηθά πολύ στην πλοήγηση στην απόφαση, στον εντοπισμό των λαθών σας και στη διόρθωσή τους πριν να είναι πολύ αργά.

Αριθμητική διαφορά προόδουσυνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε.

Πως να βρεις ρε? Πολύ απλό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε από οποιονδήποτε αριθμό της σειράς προηγούμενοςαριθμός. Αφαιρώ. Παρεμπιπτόντως, το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ονομάζεται "διαφορά".)

Ας ορίσουμε, για παράδειγμα, ρεγια την αύξηση της αριθμητικής προόδου:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Παίρνουμε όποιον αριθμό στη σειρά θέλουμε, για παράδειγμα, 11. Αφαιρούμε από αυτόν προηγούμενος αριθμόςεκείνοι. 8:

Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Για αυτήν την αριθμητική πρόοδο, η διαφορά είναι τρεις.

Μπορείς να το πάρεις οποιονδήποτε αριθμό προόδου,επειδή για μια συγκεκριμένη εξέλιξη ρε-πάντα το ίδιο.Τουλάχιστον κάπου στην αρχή της σειράς, τουλάχιστον στη μέση, τουλάχιστον οπουδήποτε. Δεν μπορείτε να πάρετε μόνο τον πρώτο αριθμό. Απλά γιατί ο πρώτος αριθμός κανένα προηγούμενο.)

Παρεμπιπτόντως, γνωρίζοντας αυτό d=3, η εύρεση του έβδομου αριθμού αυτής της προόδου είναι πολύ απλή. Ας προσθέσουμε 3 στον πέμπτο αριθμό - παίρνουμε τον έκτο, θα είναι 17. Ας προσθέσουμε τρία στον έκτο αριθμό, παίρνουμε τον έβδομο αριθμό - είκοσι.

Ας ορίσουμε ρεγια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Υπενθυμίζω ότι, ανεξάρτητα από τα σημάδια, να καθορίσει ρεανάγκη από οποιοδήποτε αριθμό αφαιρέστε το προηγούμενο.Επιλέξτε οποιονδήποτε αριθμό προόδου, για παράδειγμα -7. Ο προηγούμενος αριθμός του είναι -2. Επειτα:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: ακέραιος, κλασματικός, παράλογος, οποιοσδήποτε αριθμός.

Άλλοι όροι και ονομασίες.

Κάθε αριθμός της σειράς καλείται μέλος μιας αριθμητικής προόδου.

Κάθε μέλος της προόδου έχει τον δικό του αριθμό.Τα νούμερα είναι αυστηρά στη σειρά, χωρίς κανένα κόλπο. Πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο κ.λπ. Για παράδειγμα, στην εξέλιξη 2, 5, 8, 11, 14, ... δύο είναι ο πρώτος όρος, πέντε είναι ο δεύτερος, έντεκα είναι ο τέταρτος, καλά, καταλαβαίνετε...) Παρακαλώ κατανοήστε ξεκάθαρα - τους ίδιους τους αριθμούςμπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, ολόκληρο, κλασματικό, αρνητικό, οτιδήποτε, αλλά αρίθμηση αριθμών- αυστηρά με τη σειρά!

Πώς να γράψετε μια εξέλιξη σε γενική εικόνα? Κανένα πρόβλημα! Κάθε αριθμός σε μια σειρά γράφεται ως γράμμα. Για να δηλώσετε μια αριθμητική πρόοδο, συνήθως χρησιμοποιείται το γράμμα ένα. Ο αριθμός μέλους υποδεικνύεται από ένα ευρετήριο κάτω δεξιά. Γράφουμε όρους διαχωρισμένους με κόμμα (ή ερωτηματικά), ως εξής:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....

Α'1- αυτός είναι ο πρώτος αριθμός, α 3- τρίτο, κλπ. Τίποτα φανταχτερό. Αυτή η σειρά μπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής: (α ν).

Προόδους συμβαίνουν πεπερασμένο και άπειρο.

Τελικόςη εξέλιξη έχει περιορισμένο αριθμό μελών. Πέντε, τριάντα οκτώ, οτιδήποτε. Αλλά είναι ένας πεπερασμένος αριθμός.

Απειροςπρόοδος - έχει άπειρο αριθμό μελών, όπως μπορείτε να μαντέψετε.)

Μπορείτε να γράψετε την τελική εξέλιξη μέσα από μια σειρά όπως αυτή, όλους τους όρους και μια τελεία στο τέλος:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5.

Ή όπως αυτό, αν υπάρχουν πολλά μέλη:

ένα 1, ένα 2, ... ένα 14, ένα 15.

Στη σύντομη καταχώρηση θα πρέπει να αναφέρετε επιπλέον τον αριθμό των μελών. Για παράδειγμα (για είκοσι μέλη), όπως αυτό:

(a n), n = 20

Μια άπειρη πρόοδος μπορεί να αναγνωριστεί από την έλλειψη στο τέλος της σειράς, όπως στα παραδείγματα αυτού του μαθήματος.

Τώρα μπορείτε να λύσετε τις εργασίες. Οι εργασίες είναι απλές, καθαρά για την κατανόηση της σημασίας μιας αριθμητικής προόδου.

Παραδείγματα εργασιών για την αριθμητική πρόοδο.

Ας δούμε αναλυτικά την εργασία που δόθηκε παραπάνω:

1. Γράψτε τους πρώτους έξι όρους της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 2 = 5, d = -2,5.

Μεταφέρουμε την εργασία σε καθαρή γλώσσα. Δίνεται άπειρη αριθμητική πρόοδος. Ο δεύτερος αριθμός αυτής της εξέλιξης είναι γνωστός: α 2 = 5.Η διαφορά εξέλιξης είναι γνωστή: d = -2,5.Πρέπει να βρούμε τον πρώτο, τον τρίτο, τον τέταρτο, τον πέμπτο και τον έκτο όρο αυτής της εξέλιξης.

Για λόγους σαφήνειας, θα γράψω μια σειρά σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Οι πρώτοι έξι όροι, όπου ο δεύτερος όρος είναι πέντε:

ένα 1, 5, ένα 3, ένα 4, ένα 5, ένα 6,....

α 3 = Α2 + ρε

Αντικατάσταση σε έκφραση α 2 = 5Και d = -2,5. Μην ξεχνάτε το μείον!

α 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Ο τρίτος όρος αποδείχθηκε μικρότερος από τον δεύτερο. Όλα είναι λογικά. Αν ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο αρνητικόςτιμή, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός θα είναι μικρότερος από τον προηγούμενο. Η πρόοδος μειώνεται. Εντάξει, ας το λάβουμε υπόψη.) Μετράμε τον τέταρτο όρο της σειράς μας:

α 4 = α 3 + ρε

α 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

α 5 = α 4 + ρε

α 5=0+(-2,5)= - 2,5

α 6 = α 5 + ρε

α 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Έτσι, υπολογίστηκαν όροι από τον τρίτο έως τον έκτο. Το αποτέλεσμα είναι η ακόλουθη σειρά:

ένα 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Μένει να βρεθεί ο πρώτος όρος Α'1σύμφωνα με το γνωστό δεύτερο. Αυτό είναι ένα βήμα προς την άλλη κατεύθυνση, προς τα αριστερά.) Άρα, η διαφορά της αριθμητικής προόδου ρεδεν πρέπει να προστεθεί σε Α2, ΕΝΑ Πάρε μακριά:

Α'1 = Α2 - ρε

Α'1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Αυτό είναι. Απάντηση στην εργασία:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Παρεμπιπτόντως, θα ήθελα να σημειώσω ότι λύσαμε αυτό το έργο επαναλαμβανόμενοςτρόπος. Αυτή η τρομερή λέξη σημαίνει μόνο την αναζήτηση ενός μέλους της εξέλιξης σύμφωνα με τον προηγούμενο (παρακείμενο) αριθμό.Θα εξετάσουμε άλλους τρόπους εργασίας με την πρόοδο παρακάτω.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από αυτό το απλό έργο.

Θυμάμαι:

Αν γνωρίζουμε τουλάχιστον έναν όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο αυτής της προόδου.

Θυμάσαι; Αυτό το απλό συμπέρασμα σάς επιτρέπει να λύσετε τα περισσότερα από τα προβλήματα του σχολικού μαθήματος σε αυτό το θέμα. Όλες οι εργασίες περιστρέφονται γύρω από τρεις κύριες παραμέτρους: μέλος μιας αριθμητικής προόδου, διαφορά μιας προόδου, αριθμός ενός μέλους της προόδου.Ολα.

Φυσικά, όλη η προηγούμενη άλγεβρα δεν ακυρώνεται.) Οι ανισότητες, οι εξισώσεις και άλλα πράγματα συνδέονται με την πρόοδο. Αλλά σύμφωνα με την ίδια την εξέλιξη- όλα περιστρέφονται γύρω από τρεις παραμέτρους.

Για παράδειγμα, ας δούμε μερικές δημοφιλείς εργασίες σε αυτό το θέμα.

2. Γράψτε την πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο ως σειρά εάν n=5, d = 0,4 και a 1 = 3,6.

Όλα είναι απλά εδώ. Όλα έχουν ήδη δοθεί. Πρέπει να θυμάστε πώς μετρώνται τα μέλη μιας αριθμητικής προόδου, να τα μετράτε και να τα γράφετε. Συνιστάται να μην χάσετε τις λέξεις στις συνθήκες εργασίας: "τελικό" και " n=5". Για να μην μετράτε μέχρι να είστε εντελώς μπλε στο πρόσωπο.) Υπάρχουν μόνο 5 (πέντε) μέλη σε αυτήν την εξέλιξη:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

α 4 = α 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

α 5 = α 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Μένει να γράψουμε την απάντηση:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Μια άλλη εργασία:

3. Προσδιορίστε αν ο αριθμός 7 θα είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 = 4,1; d = 1,2.

Χμ... Ποιος ξέρει; Πώς να καθορίσετε κάτι;

Πώς-πώς... Γράψτε την εξέλιξη σε μορφή σειράς και δείτε αν θα υπάρχει επτά εκεί ή όχι! Μετράμε:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

α 4 = α 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Τώρα φαίνεται ξεκάθαρα ότι είμαστε μόλις επτά γλίστρησε μέσαμεταξύ 6,5 και 7,7! Το επτά δεν εμπίπτει στη σειρά των αριθμών μας και, επομένως, το επτά δεν θα είναι μέλος της δεδομένης εξέλιξης.

Απάντηση: όχι.

Και εδώ υπάρχει ένα πρόβλημα που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

4. Αρκετοί διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; 15; Χ; 9; 6; ...

Εδώ είναι μια σειρά γραμμένη χωρίς τέλος και αρχή. Κανένας αριθμός μελών, καμία διαφορά ρε. Είναι εντάξει. Για να λυθεί το πρόβλημα, αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Ας δούμε και ας δούμε τι είναι δυνατό για να ξέρειςαπό αυτή τη σειρά; Ποιες είναι οι τρεις βασικές παράμετροι;

Αριθμοί μελών; Δεν υπάρχει ούτε ένας αριθμός εδώ.

Αλλά υπάρχουν τρεις αριθμοί και - προσοχή! - λέξη "σταθερός"σε κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι τα νούμερα είναι αυστηρά τακτοποιημένα, χωρίς κενά. Υπάρχουν δύο σε αυτή τη σειρά; γειτονικόςγνωστοί αριθμοί; Ναι έχω! Αυτά είναι το 9 και το 6. Επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου! Αφαιρέστε από το έξι προηγούμενοςαριθμός, δηλ. εννέα:

Έχουν μείνει απλά μικροπράγματα. Ποιος αριθμός θα είναι ο προηγούμενος για το Χ; Δεκαπέντε. Αυτό σημαίνει ότι το X μπορεί να βρεθεί εύκολα με απλή πρόσθεση. Προσθέστε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο 15:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: x=12

Επιλύουμε μόνοι μας τα παρακάτω προβλήματα. Σημείωση: αυτά τα προβλήματα δεν βασίζονται σε τύπους. Απλώς για να κατανοήσουμε την έννοια μιας αριθμητικής προόδου.) Απλώς γράφουμε μια σειρά από αριθμούς και γράμματα, κοιτάμε και καταλαβαίνουμε.

5. Βρείτε τον πρώτο θετικό όρο της αριθμητικής προόδου εάν a 5 = -3; d = 1,1.

6. Είναι γνωστό ότι ο αριθμός 5,5 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 = 1,6; d = 1,3. Προσδιορίστε τον αριθμό n αυτού του μέλους.

7. Είναι γνωστό ότι στην αριθμητική πρόοδο a 2 = 4; a 5 = 15,1. Βρείτε ένα 3.

8. Αρκετοί διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου καταγράφονται:

...; 15.6; Χ; 3.4; ...

Βρείτε τον όρο της προόδου που υποδεικνύεται με το γράμμα x.

9. Το τρένο άρχισε να κινείται από τον σταθμό, αυξάνοντας ομοιόμορφα την ταχύτητα κατά 30 μέτρα ανά λεπτό. Ποια θα είναι η ταχύτητα του τρένου σε πέντε λεπτά; Δώστε την απάντησή σας σε km/h.

10. Είναι γνωστό ότι στην αριθμητική πρόοδο a 2 = 5; a 6 = -5. Βρείτε ένα 1.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7.7; 7.5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Όλα λειτούργησαν; Φοβερο! Μπορείτε να ελέγξετε την αριθμητική πρόοδο για περισσότερα υψηλό επίπεδο, στα επόμενα μαθήματα.

Δεν πήγαν όλα καλά; Κανένα πρόβλημα. Στην Ειδική Ενότητα 555, όλα αυτά τα προβλήματα επιλύονται κομμάτι-κομμάτι.) Και, φυσικά, περιγράφεται μια απλή πρακτική τεχνική που αναδεικνύει αμέσως τη λύση σε τέτοιες εργασίες ξεκάθαρα, ξεκάθαρα, με μια ματιά!

Παρεμπιπτόντως, στο παζλ του τρένου υπάρχουν δύο προβλήματα στα οποία οι άνθρωποι σκοντάφτουν συχνά. Το ένα είναι καθαρά από την άποψη της προόδου, και το δεύτερο είναι γενικό για τυχόν προβλήματα στα μαθηματικά, αλλά και στη φυσική. Αυτή είναι μια μετάφραση των διαστάσεων από το ένα στο άλλο. Δείχνει πώς πρέπει να λυθούν αυτά τα προβλήματα.

Σε αυτό το μάθημα εξετάσαμε τη βασική σημασία μιας αριθμητικής προόδου και τις κύριες παραμέτρους της. Αυτό είναι αρκετό για να λύσει σχεδόν όλα τα προβλήματα σε αυτό το θέμα. Προσθήκη ρεστους αριθμούς, γράψε μια σειρά, όλα θα λυθούν.

Η λύση δακτύλου λειτουργεί καλά για πολύ κοντά κομμάτια μιας σειράς, όπως στα παραδείγματα σε αυτό το σεμινάριο. Εάν η σειρά είναι μεγαλύτερη, οι υπολογισμοί γίνονται πιο περίπλοκοι. Για παράδειγμα, αν στο πρόβλημα 9 στην ερώτηση αντικαταστήσουμε "πέντε λεπτά"επί «τριάντα πέντε λεπτά»το πρόβλημα θα επιδεινωθεί σημαντικά.)

Και υπάρχουν επίσης εργασίες που είναι απλές στην ουσία, αλλά παράλογες όσον αφορά τους υπολογισμούς, για παράδειγμα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Λοιπόν, θα προσθέσουμε το 1/6 πολλές, πολλές φορές;! Μπορείς να αυτοκτονήσεις!

Μπορείτε.) Εάν δεν γνωρίζετε έναν απλό τύπο με τον οποίο μπορείτε να λύσετε τέτοιες εργασίες σε ένα λεπτό. Αυτή η φόρμουλα θα είναι στο επόμενο μάθημα. Και αυτό το πρόβλημα λύνεται εκεί. Σε ένα λεπτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.