Η έννοια του λογάριθμου και η βασική λογαριθμική ταυτότητα

Η έννοια του λογάριθμου και η βασική λογαριθμική ταυτότητα συνδέονται στενά, γιατί ο ορισμός του λογάριθμου στη μαθηματική σημειογραφία είναι .

Βασικά λογαριθμική ταυτότηταπροκύπτει από τον ορισμό του λογάριθμου:

Ορισμός 1

Λογάριθμοςκαλούν τον εκθέτη $n$, όταν αυξάνονται στον οποίο οι αριθμοί $a$ παίρνουν τον αριθμό $b$.

Σημείωση 1

Εκθετική εξίσωσηΤο $a^n=b$ για $a > 0$, το $a \ne 1$ δεν έχει λύσεις για το μη θετικό $b$ και έχει μια ρίζα για το θετικό $b$. Αυτή η ρίζα ονομάζεται λογάριθμος του αριθμού $b$ στη βάση του $a$και γράψε:

$a^(\log_(a) β)=b$.

Ορισμός 2

Εκφραση

$a^(\log_(a) β)=b$

που ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότηταυπό την προϋπόθεση ότι $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Παράδειγμα 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Κύριοςη λογαριθμική ταυτότητα ονομάζεται επειδή χρησιμοποιείται σχεδόν πάντα κατά την εργασία με λογάριθμους. Επιπλέον, με τη βοήθειά του τεκμηριώνονται οι βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων.

Παράδειγμα 2

$7^5=16.807$, επομένως $\log_(7)16.807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, επομένως $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, επομένως $\log_(11)⁡1=0$.

Ας σκεφτούμε συνέπεια της βασικής λογαριθμικής ταυτότητας:

Ορισμός 3

Αν δύο λογάριθμοι με για τους ίδιους λόγουςείναι ίσες, που σημαίνει ότι οι λογαριθμικές παραστάσεις είναι ίσες:

αν $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, τότε $b=c$.

Ας σκεφτούμε περιορισμούς, που χρησιμοποιούνται για τη λογαριθμική ταυτότητα:

Επειδή όταν ανεβάζουμε την ενότητα σε οποιαδήποτε δύναμη, παίρνουμε πάντα μία, και η ισότητα $x=\log_(a)⁡b$ υπάρχει μόνο για $b=1$, τότε η $\log_(1)⁡1$ θα είναι οποιαδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να αποφύγετε αυτήν την ασάφεια, πάρτε $a \ne 1$.

Ο λογάριθμος για $a=0$, σύμφωνα με τον ορισμό, μπορεί να υπάρχει μόνο για $b=0$. Επειδή Όταν ανεβάζουμε το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ, παίρνουμε πάντα μηδέν, τότε ο $\log_(0)⁡0$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να αποφύγετε αυτήν την ασάφεια, πάρτε $a \ne 0$. Για $α ορθολογικό και παράλογοςλογαριθμικές τιμές, επειδή ένας βαθμός με ορθολογικό και παράλογο εκθέτη μπορεί να υπολογιστεί μόνο για θετικές βάσεις. Για να αποτρέψετε αυτήν την κατάσταση, πάρτε $a > 0$.

$b > 0$ προκύπτει από τη συνθήκη $a > 0$, αφού $x=\log_(a)⁡b$, και η ισχύς ενός θετικού αριθμού a θα είναι πάντα θετική.

Η βασική λογαριθμική ταυτότητα χρησιμοποιείται συχνά για την απλοποίηση λογαριθμικών εκφράσεων.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε $81^(\log_(9) 7)$.

Λύση.

Για να χρησιμοποιηθεί η βασική λογαριθμική ταυτότητα, είναι απαραίτητο η βάση του λογαρίθμου και οι δυνάμεις να είναι ίδιες. Ας γράψουμε τη βάση του πτυχίου με τη μορφή:

Τώρα μπορούμε να γράψουμε:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα power:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μπορεί τώρα να εφαρμοστεί σε κάθε παράγοντα:

$=7 \cdot 7=49$.

Σημείωση 2

Για να εφαρμόσετε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα, μπορείτε επίσης να καταφύγετε στην αντικατάσταση της βάσης του λογαρίθμου με την έκφραση που εμφανίζεται κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και αντίστροφα.

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Λύση.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Απάντηση: $11$.

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ταυτοποίηση συγκεκριμένο άτομοή σύνδεση μαζί του.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Συνεχίζουμε να μελετάμε τους λογάριθμους. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για υπολογισμός λογαρίθμων, αυτή η διαδικασία ονομάζεται λογάριθμος. Αρχικά θα κατανοήσουμε τον υπολογισμό των λογαρίθμων εξ ορισμού. Στη συνέχεια, ας δούμε πώς βρίσκονται οι τιμές των λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στον υπολογισμό των λογαρίθμων μέσω των αρχικά καθορισμένων τιμών άλλων λογαρίθμων. Τέλος, ας μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε λογαριθμικούς πίνακες. Ολόκληρη η θεωρία παρέχεται με παραδείγματα με λεπτομερείς λύσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός λογαρίθμων εξ ορισμού

Στις πιο απλές περιπτώσεις είναι δυνατό να εκτελεστεί αρκετά γρήγορα και εύκολα βρίσκοντας τον λογάριθμο εξ ορισμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο πώς συμβαίνει αυτή η διαδικασία.

Η ουσία του είναι να αντιπροσωπεύει τον αριθμό b με τη μορφή a c, από τον οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, ο αριθμός c είναι η τιμή του λογαρίθμου. Δηλαδή, εξ ορισμού, η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων αντιστοιχεί στην εύρεση του λογάριθμου: log a b=log a a c =c.

Έτσι, ο υπολογισμός ενός λογάριθμου εξ ορισμού καταλήγει στην εύρεση ενός αριθμού c τέτοιο ώστε a c = b, και ο ίδιος ο αριθμός c είναι η επιθυμητή τιμή του λογαρίθμου.

Λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες στις προηγούμενες παραγράφους, όταν ο αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογαρίθμου δίνεται από μια ορισμένη ισχύ της βάσης του λογαρίθμου, μπορείτε αμέσως να υποδείξετε με τι ισούται ο λογάριθμος - αυτό ίσο με τον δείκτηβαθμούς. Ας δείξουμε λύσεις σε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε το log 2 2 −3 και υπολογίστε επίσης τον φυσικό λογάριθμο του αριθμού e 5,3.

Λύση.

Ο ορισμός του λογάριθμου μας επιτρέπει να πούμε αμέσως ότι log 2 2 −3 =−3. Πράγματι, ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση 2 προς την ισχύ −3.

Ομοίως, βρίσκουμε τον δεύτερο λογάριθμο: lne 5.3 =5.3.

Απάντηση:

log 2 2 −3 =−3 και lne 5,3 =5,3.

Εάν ο αριθμός b κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου δεν προσδιορίζεται ως δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, τότε πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά για να δείτε εάν είναι δυνατόν να καταλήξετε σε μια αναπαράσταση του αριθμού b με τη μορφή a c . Συχνά αυτή η αναπαράσταση είναι αρκετά προφανής, ειδικά όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση προς τη δύναμη του 1, ή 2, ή 3, ...

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους λογαρίθμους log 5 25 και .

Λύση.

Είναι εύκολο να δούμε ότι 25=5 2, αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον πρώτο λογάριθμο: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του δεύτερου λογάριθμου. Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη 7: (δείτε αν χρειάζεται). Ως εκ τούτου, .

Ας ξαναγράψουμε τον τρίτο λογάριθμο με την παρακάτω μορφή. Τώρα μπορείτε να το δείτε αυτό , από το οποίο συμπεραίνουμε ότι . Επομένως, με τον ορισμό του λογάριθμου .

Εν συντομία, η λύση θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής: .

Απάντηση:

ημερολόγιο 5 25=2, Και .

Όταν κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου υπάρχει ένα αρκετά μεγάλο φυσικός αριθμός, τότε δεν θα ήταν κακό να το συνυπολογίσουμε σε πρωταρχικούς παράγοντες. Συχνά βοηθάει στην αναπαράσταση ενός τέτοιου αριθμού ως κάποιας ισχύος της βάσης του λογαρίθμου, και επομένως ο υπολογισμός αυτού του λογάριθμου εξ ορισμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή του λογάριθμου.

Λύση.

Ορισμένες ιδιότητες των λογαρίθμων σας επιτρέπουν να καθορίσετε αμέσως την τιμή των λογαρίθμων. Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την ιδιότητα του λογαρίθμου μιας μονάδας και την ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού, ίσο με τη βάση: log 1 1=log a a 0 =0 και log a a=log a a 1 =1 . Όταν δηλαδή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου υπάρχει αριθμός 1 ή αριθμός α ίσος με τη βάση του λογαρίθμου, τότε σε αυτές τις περιπτώσεις οι λογάριθμοι είναι ίσοι με 0 και 1, αντίστοιχα.

Παράδειγμα.

Με τι ισούνται οι λογάριθμοι και το log10;

Λύση.

Αφού , τότε από τον ορισμό του λογάριθμου προκύπτει .

Στο δεύτερο παράδειγμα, ο αριθμός 10 κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου συμπίπτει με τη βάση του, άρα ο δεκαδικός λογάριθμος του δέκα είναι ίσος με ένα, δηλαδή lg10=lg10 1 =1.

Απάντηση:

ΚΑΙ lg10=1.

Σημειώστε ότι ο υπολογισμός των λογαρίθμων εξ ορισμού (που συζητήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) συνεπάγεται τη χρήση του log ισότητας a a p =p, που είναι μια από τις ιδιότητες των λογαρίθμων.

Στην πράξη, όταν ένας αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και η βάση του λογαρίθμου αναπαρίστανται εύκολα ως δύναμη ενός συγκεκριμένου αριθμού, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιηθεί ο τύπος , που αντιστοιχεί σε μία από τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης ενός λογάριθμου που επεξηγεί τη χρήση αυτού του τύπου.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο.

Λύση.

Απάντηση:

.

Οι ιδιότητες των λογαρίθμων που δεν αναφέρονται παραπάνω χρησιμοποιούνται επίσης στους υπολογισμούς, αλλά θα μιλήσουμε για αυτό στις επόμενες παραγράφους.

Εύρεση λογαρίθμων μέσω άλλων γνωστών λογαρίθμων

Οι πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο συνεχίζουν το θέμα της χρήσης των ιδιοτήτων των λογαρίθμων κατά τον υπολογισμό τους. Αλλά εδώ η κύρια διαφορά είναι ότι οι ιδιότητες των λογαρίθμων χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν τον αρχικό λογάριθμο με όρους άλλου λογάριθμου, η τιμή του οποίου είναι γνωστή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για διευκρίνιση. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι το log 2 3≈1.584963, τότε μπορούμε να βρούμε, για παράδειγμα, το log 2 6 κάνοντας έναν μικρό μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Στο παραπάνω παράδειγμα, αρκούσε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ένα ευρύτερο οπλοστάσιο ιδιοτήτων των λογαρίθμων προκειμένου να υπολογιστεί ο αρχικός λογάριθμος μέσω των δεδομένων.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο του 27 στη βάση του 60 αν γνωρίζετε ότι το log 60 2=a και το log 60 5=b.

Λύση.

Πρέπει λοιπόν να βρούμε το αρχείο καταγραφής 60 27 . Είναι εύκολο να δούμε ότι 27 = 3 3 , και ο αρχικός λογάριθμος, λόγω της ιδιότητας του λογάριθμου της ισχύος, μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3·log 60 3 .

Τώρα ας δούμε πώς να εκφράσουμε το log 60 3 με όρους γνωστών λογαρίθμων. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού ίσου με τη βάση μας επιτρέπει να γράψουμε το ημερολόγιο ισότητας 60 60=1. Από την άλλη πλευρά, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ετσι, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ως εκ τούτου, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Τέλος, υπολογίζουμε τον αρχικό λογάριθμο: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Απάντηση:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ξεχωριστά, αξίζει να αναφερθεί η έννοια του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου της μορφής . Σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από λογάριθμους με οποιαδήποτε βάση σε λογάριθμους με συγκεκριμένη βάση, οι τιμές των οποίων είναι γνωστές ή είναι δυνατό να τις βρείτε. Συνήθως, από τον αρχικό λογάριθμο, χρησιμοποιώντας τον τύπο μετάβασης, μετακινούνται σε λογάριθμους σε μία από τις βάσεις 2, e ή 10, αφού για αυτές τις βάσεις υπάρχουν πίνακες λογαρίθμων που επιτρέπουν τον υπολογισμό των τιμών τους με έναν ορισμένο βαθμό ακρίβεια. Στην επόμενη παράγραφο θα δείξουμε πώς γίνεται αυτό.

Πίνακες λογαρίθμων και οι χρήσεις τους

Για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των λογαριθμικών τιμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν πίνακες λογαρίθμων. Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος πίνακας λογαρίθμων βάσης 2 είναι ο πίνακας φυσικούς λογάριθμουςκαι πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων. Όταν εργάζεστε σε μετρικό σύστημαΓια τον λογισμό, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα λογαρίθμων με βάση τη βάση δέκα. Με τη βοήθειά του θα μάθουμε να βρίσκουμε τις τιμές των λογαρίθμων.

Ο παρουσιαζόμενος πίνακας σας επιτρέπει να βρείτε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών από 1.000 έως 9.999 (με τρία δεκαδικά ψηφία) με ακρίβεια ενός δέκατου χιλιοστού. Θα αναλύσουμε την αρχή της εύρεσης της τιμής ενός λογαρίθμου χρησιμοποιώντας έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων σε συγκεκριμένο παράδειγμα– είναι πιο ξεκάθαρο έτσι. Ας βρούμε το log1.256.

Στην αριστερή στήλη του πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε τα δύο πρώτα ψηφία του αριθμού 1,256, δηλαδή βρίσκουμε το 1,2 (αυτός ο αριθμός είναι κυκλωμένος με μπλε για ευκρίνεια). Το τρίτο ψηφίο του αριθμού 1.256 (ψηφίο 5) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα αριστερά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός είναι κυκλωμένος με κόκκινο χρώμα). Το τέταρτο ψηφίο του αρχικού αριθμού 1.256 (ψηφίο 6) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα δεξιά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός κυκλώνεται με μια πράσινη γραμμή). Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς στα κελιά του πίνακα λογαρίθμων στη διασταύρωση της επισημασμένης γραμμής και των στηλών (αυτοί οι αριθμοί επισημαίνονται πορτοκάλι). Το άθροισμα των σημειωμένων αριθμών δίνει την επιθυμητή τιμή του δεκαδικού λογάριθμου με ακρίβεια στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα, να βρούμε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών που έχουν περισσότερα από τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, καθώς και εκείνων που ξεπερνούν το εύρος από 1 έως 9,999; Ναι μπορείς. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας υπολογίσουμε το lg102.76332. Πρώτα πρέπει να γράψετε αριθμός σε τυπική μορφή: 102.76332=1.0276332·10 2. Μετά από αυτό, η μάντισσα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, έχουμε 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ενώ ο αρχικός δεκαδικός λογάριθμος είναι περίπου ίσο με τον λογάριθμοτον αριθμό που προκύπτει, δηλαδή παίρνουμε log102.76332≈lg1.028·10 2. Τώρα εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του λογάριθμου: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή του λογαρίθμου lg1.028 από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ως αποτέλεσμα, ολόκληρη η διαδικασία υπολογισμού του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Συμπερασματικά, αξίζει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιώντας έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων μπορείτε να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή οποιουδήποτε λογαρίθμου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο μετάβασης για να μεταβείτε σε δεκαδικούς λογάριθμους, να βρείτε τις τιμές τους στον πίνακα και να εκτελέσετε τους υπόλοιπους υπολογισμούς.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το αρχείο καταγραφής 2 3 . Σύμφωνα με τον τύπο μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου, έχουμε . Από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε log3≈0,4771 και log2≈0,3010. Ετσι, .

Βιβλιογραφία.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).

Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (a>0, a δεν είναι ίσος με 1) είναι ένας αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Σημειώστε ότι ο λογάριθμος ενός μη θετικού αριθμού είναι απροσδιόριστος. Επιπλέον, η βάση του λογάριθμου πρέπει να είναι ένας θετικός αριθμός που δεν είναι ίσος με 1. Για παράδειγμα, αν τετραγωνίσουμε το -2, παίρνουμε τον αριθμό 4, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι ο λογάριθμος βάσης -2 του 4 είναι ίσος έως 2.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Είναι σημαντικό το εύρος του ορισμού της δεξιάς και της αριστερής πλευράς αυτού του τύπου να είναι διαφορετικό. Αριστερή πλευράορίζεται μόνο για b>0, a>0 και a ≠ 1. Δεξί μέροςορίζεται για οποιοδήποτε b, αλλά δεν εξαρτάται καθόλου από το a. Έτσι, η εφαρμογή της βασικής λογαριθμικής «ταυτότητας» κατά την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή στην ΟΔ.

Δύο προφανείς συνέπειες του ορισμού του λογάριθμου

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Πράγματι, όταν ανεβάζουμε τον αριθμό a στην πρώτη δύναμη, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό, και όταν τον ανεβάζουμε στη μηδενική ισχύ, παίρνουμε ένα.

Λογάριθμος του γινομένου και λογάριθμος του πηλίκου

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Θα ήθελα να προειδοποιήσω τους μαθητές να μην εφαρμόζουν αλόγιστα αυτούς τους τύπους κατά την επίλυση λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες. Όταν τα χρησιμοποιείτε "από αριστερά προς τα δεξιά", το ODZ στενεύει και όταν μετακινείται από το άθροισμα ή τη διαφορά λογαρίθμων στον λογάριθμο του γινομένου ή του πηλίκου, το ODZ επεκτείνεται.

Πράγματι, η έκφραση log a (f (x) g (x)) ορίζεται σε δύο περιπτώσεις: όταν και οι δύο συναρτήσεις είναι αυστηρά θετικές ή όταν η f(x) και η g(x) είναι και οι δύο μικρότερες από το μηδέν.

Μετατρέποντας αυτήν την παράσταση στο άθροισμα log a f (x) + log a g (x), αναγκαζόμαστε να περιοριστούμε μόνο στην περίπτωση που f(x)>0 και g(x)>0. Υπάρχει στένωση της περιοχής αποδεκτές τιμές, και αυτό είναι κατηγορηματικά απαράδεκτο, γιατί μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων. Παρόμοιο πρόβλημα υπάρχει για τον τύπο (6).

Ο βαθμός μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Και πάλι θα ήθελα να προτρέψω την προσοχή. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Η αριστερή πλευρά της ισότητας ορίζεται προφανώς για όλες τις τιμές του f(x) εκτός από το μηδέν. Η δεξιά πλευρά είναι μόνο για f(x)>0! Βγάζοντας τον βαθμό από τον λογάριθμο, περιορίζουμε ξανά το ODZ. Η αντίστροφη διαδικασία οδηγεί σε επέκταση του εύρους των αποδεκτών τιμών. Όλες αυτές οι παρατηρήσεις ισχύουν όχι μόνο για την ισχύ 2, αλλά και για οποιαδήποτε άρτια δύναμη.

Φόρμουλα για μετάβαση σε νέα βάση

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Οτι σπάνια περίπτωση, όταν το ODZ δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν έχετε επιλέξει σοφά τη βάση c (θετική και όχι ίση με 1), η φόρμουλα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση είναι απολύτως ασφαλής.

Αν επιλέξουμε τον αριθμό b ως νέα βάση c, παίρνουμε ένα σημαντικό ειδική περίπτωσητύποι (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Μερικά απλά παραδείγματα με λογάριθμους

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε: log2 + log50.
Λύση. log2 + log50 = log100 = 2. Χρησιμοποιήσαμε το άθροισμα των λογαρίθμων τύπου (5) και τον ορισμό του δεκαδικού λογαρίθμου.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε: lg125/lg5.
Λύση. log125/log5 = log 5 125 = 3. Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τη μετάβαση σε νέα βάση (8).

Πίνακας τύπων που σχετίζονται με λογάριθμους

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου του ενός. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή καταγράψτε ένα 1=0για οποιοδήποτε a>0, a≠1. Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη: αφού ένα 0 =1 για οποιοδήποτε a ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το log ισότητας a 1=0 που πρέπει να αποδειχθεί προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0, log1=0 και .

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: ο λογάριθμος ενός αριθμού ίσου με τη βάση είναι ίσος με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, αφού a 1 =a για οποιοδήποτε a, τότε εξ ορισμού λογάριθμο ημερολόγιο a a=1.

Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι οι ισότητες log 5 5=1, log 5.6 5.6 και lne=1.

Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 και .

Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμών x και y είναι ίσο με το γινόμενο των λογαρίθμων αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, και εφόσον από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y, τότε ένα log a x ·a log a y =x·y. Έτσι, ένα log a x+log a y =x·y, από το οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, προκύπτει η ισότητα που αποδεικνύεται.

Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου ενός προϊόντος: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και .

Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού n θετικών αριθμών x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Αυτή η ισότητα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς προβλήματα.

Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος του γινομένου μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα τριών φυσικών λογαρίθμων των αριθμών 4, e και.

Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ίσο με τη διαφοράλογάριθμους αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός πηλίκου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0, a≠1, x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται καθώς και ο τύπος για τον λογάριθμο ενός προϊόντος: αφού , τότε εξ ορισμού του λογάριθμου.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: .

Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Ας γράψουμε αυτή την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης ως τύπο: log a b p =p·log a |b|, όπου a>0, a≠1, b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός b p έχει νόημα και b p >0.

Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα ως θετική β. Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας της ισχύος, είναι ίση με a p·log a b . Άρα καταλήγουμε στην ισότητα b p =a p·log a b, από την οποία, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p·log a b.

Μένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό β. Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π. Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, από όπου log a b p =p·log a |b| .

Για παράδειγμα, και ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της νης ρίζας είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n με τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, , όπου a>0, a≠1, n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός, b>0.

Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ.), που ισχύει για κάθε θετικό b, και στην ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος: .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: .

Τώρα ας αποδείξουμε τύπος για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμουείδος . Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε την εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b·log c a. Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b =log a b log c α. Αυτό αποδεικνύει την ισότητα log c b=log a b·log c a, που σημαίνει ότι έχει αποδειχθεί και ο τύπος μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου.

Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και .

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μετάβαση σε φυσικούς ή δεκαδικούς λογάριθμους, ώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή ενός λογαρίθμου από έναν πίνακα λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση λογαρίθμου επιτρέπει επίσης, σε ορισμένες περιπτώσεις, να βρεθεί η τιμή ενός δεδομένου λογαρίθμου όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.

Συχνά χρησιμοποιείται μια ειδική περίπτωση του τύπου για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμου για c=b της φόρμας . Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, .

Ο τύπος χρησιμοποιείται επίσης συχνά , που είναι βολικό για την εύρεση τιμών λογαρίθμου. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής ενός λογάριθμου της φόρμας . Εχουμε . Για να αποδείξουμε τον τύπο αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου α: .

Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2, b 1 log a b 2 , και για a>1 – η ανισότητα log a b 1

Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας περιοριστούμε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι αν ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται σύμφωνα με παρόμοια αρχή.

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b≤log a 2 b . Με βάση τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως Και αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ισχύουν οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1

Βιβλιογραφία.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).