Σύμφωνα με τη λαογραφία τόσο διαδεδομένη μεταξύ των φυσικών, συνέβη ως εξής: το 1926, ένας θεωρητικός φυσικός με το όνομα μίλησε σε ένα επιστημονικό σεμινάριο στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Μίλησε για περίεργες νέες ιδέες στον αέρα, για το πώς τα μικροσκοπικά αντικείμενα συχνά συμπεριφέρονται περισσότερο σαν κύματα παρά σαν σωματίδια. Τότε ένας ηλικιωμένος δάσκαλος ζήτησε να μιλήσει και είπε: «Σρέντινγκερ, δεν βλέπεις ότι όλα αυτά είναι ανοησίες; Ή δεν ξέρουμε όλοι ότι τα κύματα είναι απλώς κύματα που περιγράφονται με κυματικές εξισώσεις;» Ο Schrödinger το θεώρησε ως προσωπική προσβολή και ξεκίνησε να αναπτύξει μια εξίσωση κυμάτων για να περιγράψει τα σωματίδια στο πλαίσιο της κβαντικής μηχανικής - και αντιμετώπισε έξοχα αυτό το έργο.

Εδώ πρέπει να γίνει μια εξήγηση. Στον καθημερινό μας κόσμο, η ενέργεια μεταφέρεται με δύο τρόπους: από την ύλη όταν κινείται από μέρος σε μέρος (για παράδειγμα, μια κινούμενη ατμομηχανή ή ο άνεμος) - τα σωματίδια εμπλέκονται σε αυτή τη μεταφορά ενέργειας - ή με κύματα (για παράδειγμα, ραδιοκύματα που μεταδίδονται από ισχυρούς πομπούς και πιάνονται από τις κεραίες των τηλεοράσεων μας). Δηλαδή, στον μακρόκοσμο όπου ζούμε εσείς και εγώ, όλοι οι φορείς ενέργειας χωρίζονται αυστηρά σε δύο τύπους - σωματιδιακούς (αποτελούμενοι από υλικά σωματίδια) ή κυματοειδείς. Επιπλέον, κάθε κύμα περιγράφεται από έναν ειδικό τύπο εξισώσεων - κυματικές εξισώσεις. Χωρίς εξαίρεση, όλα τα κύματα - κύματα ωκεανού, σεισμικά κύματα βράχου, ραδιοκύματα από μακρινούς γαλαξίες - περιγράφονται με τον ίδιο τύπο κυματικής εξίσωσης. Αυτή η εξήγηση είναι απαραίτητη για να καταστεί σαφές ότι εάν θέλουμε να αναπαραστήσουμε τα φαινόμενα του υποατομικού κόσμου με όρους κυμάτων κατανομής πιθανοτήτων (βλέπε Κβαντομηχανική), αυτά τα κύματα πρέπει επίσης να περιγραφούν από την αντίστοιχη κυματική εξίσωση.

Ο Schrödinger εφάρμοσε την κλασική διαφορική εξίσωση της κυματικής συνάρτησης στην έννοια των κυμάτων πιθανότητας και απέκτησε την περίφημη εξίσωση που φέρει το όνομά του. Ακριβώς όπως η συνηθισμένη εξίσωση συνάρτησης κύματος περιγράφει τη διάδοση, για παράδειγμα, κυματισμών στην επιφάνεια του νερού, η εξίσωση Schrödinger περιγράφει τη διάδοση ενός κύματος της πιθανότητας εύρεσης ενός σωματιδίου σε δεδομένο σημείοχώρος. Οι κορυφές αυτού του κύματος (σημεία μέγιστης πιθανότητας) δείχνουν πού στο διάστημα είναι πιο πιθανό να καταλήξει το σωματίδιο. Αν και η εξίσωση Schrödinger ανήκει στην περιοχή ανώτερα μαθηματικά, είναι τόσο σημαντικό για την κατανόηση της σύγχρονης φυσικής που θα την παρουσιάσω ακόμα εδώ - στην απλούστερη μορφή της (η λεγόμενη «μονοδιάστατη ακίνητη εξίσωση Schrödinger»). Τα παραπάνω κυματική συνάρτησηΗ κατανομή πιθανοτήτων, που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα (psi), είναι μια λύση στην ακόλουθη διαφορική εξίσωση (είναι εντάξει αν δεν την καταλαβαίνετε, απλά λάβετε υπόψη ότι αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η πιθανότητα συμπεριφέρεται σαν κύμα):

όπου είναι η απόσταση, είναι η σταθερά του Planck, και , και είναι, αντίστοιχα, η μάζα, η συνολική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου.

Η εικόνα των κβαντικών γεγονότων που μας δίνει η εξίσωση του Schrödinger είναι ότι τα ηλεκτρόνια και άλλα στοιχειώδη σωματίδια συμπεριφέρονται σαν κύματα στην επιφάνεια του ωκεανού. Με την πάροδο του χρόνου, η κορυφή του κύματος (που αντιστοιχεί στη θέση όπου είναι πιο πιθανό να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο) κινείται στο χώρο σύμφωνα με την εξίσωση που περιγράφει αυτό το κύμα. Δηλαδή, αυτό που παραδοσιακά θεωρούσαμε σωματίδιο συμπεριφέρεται σαν κύμα στον κβαντικό κόσμο.

Όταν ο Schrödinger δημοσίευσε για πρώτη φορά τα αποτελέσματά του, μια καταιγίδα ξέσπασε σε ένα φλιτζάνι τσαγιού στον κόσμο της θεωρητικής φυσικής. Το γεγονός είναι ότι σχεδόν ταυτόχρονα εμφανίστηκε το έργο του σύγχρονου του Schrödinger, Werner Heisenberg (βλ. Αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg), στο οποίο ο συγγραφέας πρότεινε την έννοια της «μηχανικής μήτρας», όπου επιλύθηκαν τα ίδια προβλήματα της κβαντικής μηχανικής. σε μια άλλη, πιο σύνθετη μορφή μήτρας μαθηματικής άποψης. Η αναταραχή προκλήθηκε από το γεγονός ότι οι επιστήμονες φοβούνταν απλώς ότι δύο εξίσου πειστικές προσεγγίσεις για την περιγραφή του μικροκόσμου μπορεί να έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Οι ανησυχίες ήταν μάταιες. Την ίδια χρονιά, ο ίδιος ο Schrödinger απέδειξε την πλήρη ισοδυναμία των δύο θεωριών - δηλαδή, η εξίσωση του πίνακα προκύπτει από την εξίσωση του κύματος και το αντίστροφο. τα αποτελέσματα είναι πανομοιότυπα. Σήμερα, χρησιμοποιείται κυρίως η εκδοχή του Schrödinger (μερικές φορές αποκαλούμενη "κυματομηχανική") επειδή η εξίσωσή του είναι λιγότερο επαχθής και ευκολότερη στη διδασκαλία.

Ωστόσο, δεν είναι τόσο εύκολο να φανταστεί κανείς και να αποδεχτεί ότι κάτι σαν ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν κύμα. ΣΕ Καθημερινή ζωήσυγκρουόμαστε είτε με σωματίδιο είτε με κύμα. Η μπάλα είναι ένα σωματίδιο, ο ήχος είναι ένα κύμα, και αυτό είναι. Στον κόσμο της κβαντικής μηχανικής, όλα δεν είναι τόσο απλά. Στην πραγματικότητα - και τα πειράματα το έδειξαν σύντομα - στον κβαντικό κόσμο, οι οντότητες διαφέρουν από τα αντικείμενα που γνωρίζουμε και έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Το φως, το οποίο σκεφτόμαστε ως κύμα, μερικές φορές συμπεριφέρεται σαν σωματίδιο (που ονομάζεται φωτόνιο), και σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια και τα πρωτόνια μπορούν να συμπεριφέρονται σαν κύματα (δείτε την Αρχή της Συμπληρωματικότητας).

Αυτό το πρόβλημα συνήθως ονομάζεται διπλή ή διπλή σωματιδιακή-κυματική φύση των κβαντικών σωματιδίων και είναι χαρακτηριστικό, προφανώς, όλων των αντικειμένων του υποατομικού κόσμου (βλ. Θεώρημα Bell). Πρέπει να καταλάβουμε ότι στον μικρόκοσμο οι συνηθισμένες διαισθητικές ιδέες μας σχετικά με τις μορφές που μπορεί να πάρει η ύλη και πώς μπορεί να συμπεριφερθεί απλά δεν ισχύουν. Το ίδιο το γεγονός ότι χρησιμοποιούμε την κυματική εξίσωση για να περιγράψουμε την κίνηση αυτού που έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε ως σωματίδια είναι ξεκάθαρη απόδειξη αυτού. Όπως σημειώνεται στην Εισαγωγή, δεν υπάρχει ιδιαίτερη αντίφαση σε αυτό. Εξάλλου, δεν έχουμε επιτακτικούς λόγους να πιστεύουμε ότι αυτό που παρατηρούμε στον μακρόκοσμο πρέπει να αναπαραχθεί με ακρίβεια στο επίπεδο του μικρόκοσμου. Ωστόσο, η διττή φύση των στοιχειωδών σωματιδίων παραμένει μια από τις πιο μπερδεμένες και ανησυχητικές πτυχές της κβαντικής μηχανικής για πολλούς ανθρώπους, και δεν είναι υπερβολή να πούμε ότι όλα τα προβλήματα ξεκίνησαν με τον Erwin Schrödinger.

Εγκυκλοπαίδεια του James Trefil «Η Φύση της Επιστήμης. 200 νόμοι του σύμπαντος».

Ο James Trefil είναι καθηγητής φυσικής στο Πανεπιστήμιο George Mason (ΗΠΑ), ένας από τους πιο διάσημους δυτικούς συγγραφείς δημοφιλών επιστημονικών βιβλίων.

Σχόλια: 0

Ο Max Planck, ένας από τους ιδρυτές της κβαντικής μηχανικής, ήρθε στις ιδέες της κβαντοποίησης της ενέργειας, προσπαθώντας να εξηγήσει θεωρητικά τη διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και ατόμων που ανακαλύφθηκαν πρόσφατα και, ως εκ τούτου, να λύσει το πρόβλημα της ακτινοβολίας του μαύρου σώματος. Συνειδητοποίησε ότι για να εξηγήσει το παρατηρούμενο φάσμα εκπομπής των ατόμων, είναι απαραίτητο να θεωρηθεί δεδομένο ότι τα άτομα εκπέμπουν και απορροφούν ενέργεια σε μέρη (που ο επιστήμονας ονόμασε κβάντα) και μόνο σε μεμονωμένες συχνότητες κυμάτων.

Απολύτως μαύρο σώμα, που απορροφά πλήρως την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία οποιασδήποτε συχνότητας, όταν θερμαίνεται, εκπέμπει ενέργεια με τη μορφή κυμάτων ομοιόμορφα κατανεμημένα σε ολόκληρο το φάσμα συχνοτήτων.

Η λέξη "quantum" προέρχεται από το λατινικό quantum ("πόσο, πόσο") και το αγγλικό quantum ("ποσότητα, μερίδα, κβαντικό"). «Μηχανική» ήταν από καιρό το όνομα που δόθηκε στην επιστήμη της κίνησης της ύλης. Κατά συνέπεια, ο όρος «κβαντική μηχανική» σημαίνει την επιστήμη της κίνησης της ύλης σε μέρη (ή, στη σύγχρονη επιστημονική γλώσσα, την επιστήμη της κίνησης της κβαντισμένης ύλης). Ο όρος «κβάντο» επινοήθηκε από τον Γερμανό φυσικό Μαξ Πλανκ για να περιγράψει την αλληλεπίδραση του φωτός με τα άτομα.

Ένα από τα γεγονότα του υποατομικού κόσμου είναι ότι τα αντικείμενά του - όπως τα ηλεκτρόνια ή τα φωτόνια - δεν είναι καθόλου παρόμοια με τα συνηθισμένα αντικείμενα του μακρόκοσμου. Δεν συμπεριφέρονται ούτε σαν σωματίδια ούτε σαν κύματα, αλλά σαν εντελώς ειδικούς σχηματισμούς που παρουσιάζουν και κυματικές και σωματικές ιδιότητες ανάλογα με τις περιστάσεις. Είναι άλλο πράγμα να κάνεις μια δήλωση, αλλά εντελώς άλλο να συνδέεις τις πτυχές κυμάτων και σωματιδίων της συμπεριφοράς των κβαντικών σωματιδίων, περιγράφοντάς τα με μια ακριβή εξίσωση. Αυτό ακριβώς έγινε στη σχέση de Broglie.

Στην καθημερινή ζωή, υπάρχουν δύο τρόποι μεταφοράς ενέργειας στο διάστημα - μέσω σωματιδίων ή κυμάτων. ΣΕ καθημερινή ζωήΔεν υπάρχουν ορατές αντιφάσεις μεταξύ των δύο μηχανισμών μεταφοράς ενέργειας. Έτσι, μια μπάλα του μπάσκετ είναι ένα σωματίδιο, και ο ήχος είναι ένα κύμα, και όλα είναι ξεκάθαρα. Ωστόσο, στην κβαντική μηχανική τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Ακόμη και από τα πιο απλά πειράματα με κβαντικά αντικείμενα, πολύ σύντομα γίνεται σαφές ότι στον μικρόκοσμο δεν ισχύουν οι αρχές και οι νόμοι του μακρόκοσμου που γνωρίζουμε. Το φως, το οποίο έχουμε συνηθίσει να θεωρούμε κύμα, μερικές φορές συμπεριφέρεται σαν να αποτελείται από ένα ρεύμα σωματιδίων (φωτόνια) και στοιχειώδη σωματίδια, όπως ένα ηλεκτρόνιο ή ακόμα και ένα τεράστιο πρωτόνιο, συχνά εμφανίζουν τις ιδιότητες ενός κύματος.

Κυρίως, ο Αϊνστάιν διαμαρτυρήθηκε για την ανάγκη περιγραφής των φαινομένων του μικροκόσμου με όρους πιθανοτήτων και συναρτήσεων κυμάτων και όχι από τη συνήθη θέση των συντεταγμένων και των ταχυτήτων των σωματιδίων. Αυτό εννοούσε με το «ρίχνοντας τα ζάρια». Αναγνώρισε ότι η περιγραφή της κίνησης των ηλεκτρονίων ως προς τις ταχύτητες και τις συντεταγμένες τους έρχεται σε αντίθεση με την αρχή της αβεβαιότητας. Όμως, υποστήριξε ο Αϊνστάιν, πρέπει να υπάρχουν κάποιες άλλες μεταβλητές ή παράμετροι, λαμβάνοντας υπόψη τις οποίες η κβαντομηχανική εικόνα του μικροκόσμου θα επιστρέψει στο μονοπάτι της ακεραιότητας και του ντετερμινισμού. Δηλαδή, επέμεινε, μας φαίνεται μόνο ότι ο Θεός μας παίζει ζάρια, γιατί δεν τα καταλαβαίνουμε όλα. Έτσι, ήταν ο πρώτος που διατύπωσε την υπόθεση της κρυφής μεταβλητής στις εξισώσεις της κβαντομηχανικής. Βρίσκεται στο γεγονός ότι στην πραγματικότητα τα ηλεκτρόνια έχουν σταθερές συντεταγμένες και ταχύτητα, όπως οι μπάλες του μπιλιάρδου του Νεύτωνα, και η αρχή της αβεβαιότητας και η πιθανολογική προσέγγιση για τον προσδιορισμό τους στο πλαίσιο της κβαντικής μηχανικής είναι το αποτέλεσμα της ατελείας της ίδιας της θεωρίας, η οποία είναι γιατί δεν τους επιτρέπει για ορισμένους ορίζουν.

Γιούλια Ζότοβα

Θα μάθετε: Ποιες τεχνολογίες ονομάζονται κβαντικές και γιατί. Ποιο είναι το πλεονέκτημα των κβαντικών τεχνολογιών έναντι των κλασικών; Τι μπορεί και τι δεν μπορεί κβαντικός υπολογιστής. Πώς οι φυσικοί φτιάχνουν έναν κβαντικό υπολογιστή. Πότε θα δημιουργηθεί.

Ο Γάλλος φυσικός Pierre Simon Laplace έβαλε σημαντική ερώτηση, για το αν τα πάντα στον κόσμο είναι προκαθορισμένα από την προηγούμενη κατάσταση του κόσμου ή εάν μια αιτία μπορεί να προκαλέσει πολλές συνέπειες. Όπως αναμενόταν από τη φιλοσοφική παράδοση, ο ίδιος ο Laplace στο βιβλίο του «Exposition of the World System» δεν έκανε ερωτήσεις, αλλά είπε μια έτοιμη απάντηση ότι ναι, όλα στον κόσμο είναι προκαθορισμένα, ωστόσο, όπως συμβαίνει συχνά στη φιλοσοφία, η εικόνα του κόσμου που πρότεινε ο Laplace δεν έπεισε τους πάντες και έτσι η απάντησή του έδωσε αφορμή για μια συζήτηση γύρω από το θέμα που συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Παρά τη γνώμη ορισμένων φιλοσόφων ότι η κβαντική μηχανική επέλυσε αυτό το ζήτημα υπέρ μιας πιθανολογικής προσέγγισης, ωστόσο, η θεωρία του πλήρους προκαθορισμού του Laplace, ή όπως αλλιώς ονομάζεται η θεωρία του ντετερμινισμού Laplace, εξακολουθεί να συζητείται σήμερα.

Γκόρντεϊ Λέσοβικ

Πριν από λίγο καιρό, μια ομάδα συν-συγγραφέων και εγώ αρχίσαμε να αντλούμε τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής από την άποψη της κβαντικής μηχανικής. Για παράδειγμα, σε μια από τις διατυπώσεις του, η οποία αναφέρει ότι η εντροπία ενός κλειστού συστήματος δεν μειώνεται, συνήθως αυξάνεται και μερικές φορές παραμένει σταθερή εάν το σύστημα είναι ενεργειακά απομονωμένο. Χρησιμοποιώντας γνωστά αποτελέσματα από την κβαντική θεωρία πληροφοριών, έχουμε εξάγει ορισμένες συνθήκες υπό τις οποίες αυτή η δήλωση είναι αληθής. Απροσδόκητα, αποδείχθηκε ότι αυτές οι συνθήκες δεν συμπίπτουν με την κατάσταση της ενεργειακής απομόνωσης των συστημάτων.

Ο καθηγητής Φυσικής Jim Al-Khalili διερευνά την πιο ακριβή και μια από τις πιο συγκεχυμένες επιστημονικές θεωρίες - την κβαντική φυσική. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι επιστήμονες έπληξαν τα κρυμμένα βάθη της ύλης, τα υποατομικά δομικά στοιχεία του κόσμου γύρω μας. Ανακάλυψαν φαινόμενα που ήταν διαφορετικά από οτιδήποτε είχε ξαναδεί. Ένας κόσμος όπου τα πάντα μπορούν να βρίσκονται σε πολλά μέρη ταυτόχρονα, όπου η πραγματικότητα υπάρχει αληθινά μόνο όταν την παρατηρούμε. Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν αντιστάθηκε στην απλή ιδέα ότι η τυχαιότητα ήταν ο πυρήνας της φύσης. Η κβαντική φυσική υπονοεί ότι τα υποατομικά σωματίδια μπορούν να αλληλεπιδράσουν ταχύτερα από την ταχύτητα του φωτός, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία της σχετικότητας.

Νο. 1 Η ακίνητη εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή . Αυτή η εξίσωση είναι γραμμένη για...

Η ακίνητη εξίσωση Schrödinger στη γενική περίπτωση έχει τη μορφή

, όπου είναι η δυναμική ενέργεια του μικροσωματιδίου. Για τη μονοδιάστατη περίπτωση. Επιπλέον, το σωματίδιο δεν μπορεί να βρίσκεται μέσα στο δυναμικό κουτί, αλλά έξω από το κουτί, γιατί οι τοίχοι του είναι απείρως ψηλοί. Επομένως, αυτή η εξίσωση Schrödinger είναι γραμμένη για ένα σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο κουτί με απείρως ψηλά τοιχώματα.

Γραμμικός αρμονικός ταλαντωτής

ü Σωματίδια σε ένα μονοδιάστατο δυναμικό κουτί με απείρως ψηλά τοιχώματα

Σωματίδια σε ένα τρισδιάστατο δυναμικό κουτί με απείρως ψηλά τοιχώματα

Ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου

Καθιερώστε αντιστοιχίες μεταξύ κβαντομηχανικών προβλημάτων και εξισώσεων Schrödinger για αυτά.

Η γενική μορφή της ακίνητης εξίσωσης Schrödinger είναι:

Δυναμική ενέργεια σωματιδίων,

Χειριστής Laplace. Για ταυτόχρονη περίπτωση

Η έκφραση για τη δυναμική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή ενός σωματιδίου που εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση υπό τη δράση μιας οιονεί ελαστικής δύναμης, έχει τη μορφή U=.

Η τιμή της δυναμικής ενέργειας ενός ηλεκτρονίου σε ένα πλαίσιο δυναμικού με άπειρα ψηλά τοιχώματα είναι U = 0. Ένα ηλεκτρόνιο σε άτομο που μοιάζει με υδρογόνο έχει δυναμική ενέργεια Για άτομο υδρογόνου Z = 1.

Έτσι, για ένα ηλεκτρόνιο σε ένα μονοδιάστατο πλαίσιο δυναμικού, η εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή:

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κύματος, η οποία είναι μια λύση της εξίσωσης Schrödinger, μπορούμε να προσδιορίσουμε...

Επιλογές απάντησης: (Δείξτε τουλάχιστον δύο επιλογές απάντησης)

Μέσες τιμές φυσικών μεγεθών που χαρακτηρίζουν ένα σωματίδιο

Η πιθανότητα ότι ένα σωματίδιο βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη περιοχή του χώρου

Σωματιδιακή τροχιά

Θέση σωματιδίων

Η τιμή έχει την έννοια της πυκνότητας πιθανότητας (πιθανότητα ανά μονάδα όγκου), δηλαδή καθορίζει την πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκεται στην αντίστοιχη θέση στο χώρο, τότε η πιθανότητα W να ανιχνεύσει ένα σωματίδιο σε μια συγκεκριμένη περιοχή του χώρου

εξίσωση Schrödinger ( συγκεκριμένες καταστάσεις)

Αρ. 1Οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ηλεκτρονίου σε ένα μονοδιάστατο κιβώτιο δυναμικού με απείρως ψηλά τοιχώματα έχουν τη μορφή όπου είναι το πλάτος του κουτιού, ένας κβαντικός αριθμός που σημαίνει τον αριθμό του ενεργειακού επιπέδου. Εάν ο αριθμός των κόμβων συνάρτησης στο τμήμα και , τότε ισούται με...

Αριθμός κόμβων, π.χ. ο αριθμός των σημείων στα οποία εξαφανίζεται η κυματική συνάρτηση σε ένα τμήμα σχετίζεται με τον αριθμό του ενεργειακού επιπέδου από τη σχέση . Επειτα , και κατά συνθήκη αυτή η αναλογία είναι ίση με 1,5. Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει για το , βρίσκουμε ότι

Πυρηνικές αντιδράσεις.

№1 Σε μια πυρηνική αντίδραση, το γράμμα αντιπροσωπεύει ένα σωματίδιο...

Από τους νόμους της διατήρησης του αριθμού μάζας και του αριθμού φορτίου προκύπτει ότι το φορτίο του σωματιδίου είναι μηδέν και ο μαζικός αριθμός είναι 1. Επομένως, το γράμμα δηλώνει ένα νετρόνιο.

ü Νετρόνιο

Θετικόν ηλεκτρόνιο

Ηλεκτρόνιο

Το γράφημα σε ημιλογαριθμική κλίμακα δείχνει την εξάρτηση της μεταβολής του αριθμού των ραδιενεργών πυρήνων ενός ισοτόπου από το χρόνο Η σταθερά της ραδιενεργής διάσπασης είναι ίση με ... (στρογγυλοποίηση της απάντησης σε ακέραιους αριθμούς).

Ο αριθμός των ραδιενεργών πυρήνων αλλάζει με την πάροδο του χρόνου - ο αρχικός αριθμός των πυρήνων, - η σταθερά της ραδιενεργού διάσπασης Λαμβάνοντας τον λογάριθμο αυτής της έκφρασης

ln .Ως εκ τούτου, =0,07

Νόμοι διατήρησης στις πυρηνικές αντιδράσεις.

Η αντίδραση δεν μπορεί να προχωρήσει λόγω παραβίασης του νόμου διατήρησης...

Σε όλες τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, ικανοποιούνται οι νόμοι διατήρησης: ενέργεια, ορμή, γωνιακή ορμή (σπιν) και όλα τα φορτία (ηλεκτρικό, βαρυόνιο και λεπτόνιο). Αυτοί οι νόμοι διατήρησης όχι μόνο περιορίζουν τις συνέπειες των διαφόρων αλληλεπιδράσεων, αλλά καθορίζουν επίσης όλες τις πιθανότητες αυτών των συνεπειών. Για να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, πρέπει να ελέγξετε ποιος νόμος διατήρησης απαγορεύει και ποιος επιτρέπει τη δεδομένη αντίδραση αλληλομετατροπής στοιχειωδών σωματιδίων. Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης του φορτίου λεπτονίων σε ένα κλειστό σύστημα κατά τη διάρκεια οποιασδήποτε διαδικασίας, διατηρείται η διαφορά μεταξύ του αριθμού των λεπτονίων και των αντιλεπτονίων. Συμφωνήσαμε να υπολογίσουμε για τα λεπτόνια: . φορτίο λεπτονίων και για αντιλεπτόνια: . φορτίο λεπτονίων. Για όλα τα άλλα στοιχειώδη σωματίδια, τα φορτία λεπτονίων θεωρούνται μηδενικά. Η αντίδραση δεν μπορεί να προχωρήσει λόγω παραβίασης του νόμου διατήρησης του φορτίου λεπτονίων, γιατί

ü Φόρτιση Lepton

Baryon χρέωση

Γωνιακή ορμή περιστροφής

Ηλεκτρικό φορτίο

Η αντίδραση δεν μπορεί να προχωρήσει λόγω παραβίασης του νόμου διατήρησης...

Σε όλες τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις, ικανοποιούνται οι νόμοι διατήρησης: ενέργεια, ορμή, γωνιακή ορμή (σπιν) και όλα τα φορτία (ηλεκτρικό Q, βαρυόνιο Β και λεπτόνιο L) Αυτοί οι νόμοι διατήρησης όχι μόνο περιορίζουν τις συνέπειες των διαφόρων αλληλεπιδράσεων, αλλά καθορίζουν επίσης όλα τα πιθανότητες αυτών των συνεπειών. Σύμφωνα με το νόμο διατήρησης του φορτίου βαρυονίου Β, για όλες τις διεργασίες που περιλαμβάνουν βαρυόνια και αντιβαρυόνια, διατηρείται το συνολικό φορτίο βαρυονίου. Στα βαρυόνια (n, p νουκλεόνια και υπερόνια) εκχωρείται ένα φορτίο βαρυονίου

B = -1, και για όλα τα άλλα σωματίδια το φορτίο βαρυονίου είναι B = 0. Η αντίδραση δεν μπορεί να προχωρήσει λόγω παραβίασης του νόμου του φορτίου βαρυονίου Β, επειδή (+1)+(+1)

Επιλογές απαντήσεων: φορτίο λεπτονίων, γωνιακή ορμή σπιν, ηλεκτρικό φορτίο. Q=0, αντιπρωτόνιο (

Η κίνηση των μικροσωματιδίων σε διάφορα πεδία δύναμης περιγράφεται στο πλαίσιο της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής χρησιμοποιώντας την εξίσωση Schrödinger, από την οποία ακολουθούν οι πειραματικά παρατηρούμενες κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων. Αυτή η εξίσωση, όπως όλες οι βασικές εξισώσεις της φυσικής, δεν προκύπτει, αλλά υποτίθεται. Η ορθότητά του επιβεβαιώνεται από τη συμφωνία των αποτελεσμάτων υπολογισμού με την εμπειρία. Η κυματική εξίσωση Schrödinger έχει τα εξής γενική μορφή :

- (ħ 2 / 2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

όπου ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Η σταθερά του Planck;
m είναι η μάζα των σωματιδίων.
∆ - Τελιστής Laplace (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - η επιθυμητή συνάρτηση κύματος.
U (x, y, z, t) είναι η δυναμική συνάρτηση του σωματιδίου στο πεδίο δύναμης όπου κινείται.
εγώ είναι η φανταστική μονάδα.

Αυτή η εξίσωση έχει λύση μόνο υπό τις συνθήκες που επιβάλλονται στην κυματική συνάρτηση:

1. Το ψ (x, y, z, t) πρέπει να είναι πεπερασμένο, μονής τιμής και συνεχές.
2. Οι πρώτες του παράγωγες πρέπει να είναι συνεχείς.
3. λειτουργία | ψ | Το 2 πρέπει να είναι ενσωματώσιμο, το οποίο στις απλούστερες περιπτώσεις ανάγεται στην προϋπόθεση για κανονικοποίηση των πιθανοτήτων.

Για πολλούς φυσικά φαινόμενα, που εμφανίζεται στον μικρόκοσμο, η εξίσωση (8.1) μπορεί να απλοποιηθεί εξαλείφοντας την εξάρτηση του ψ από το χρόνο, δηλ. βρείτε την εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις με σταθερές τιμές ενέργειας. Αυτό είναι δυνατό εάν το πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται το σωματίδιο είναι ακίνητο, δηλ. U = U (x, y, z) δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο και έχει την έννοια της δυναμικής ενέργειας. Στη συνέχεια, μετά από μετασχηματισμούς, μπορούμε να φτάσουμε στην εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις:

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

όπου ψ = ψ (x, y, z) είναι η κυματική συνάρτηση μόνο των συντεταγμένων.
Ε είναι η παράμετρος της εξίσωσης - η συνολική ενέργεια του σωματιδίου.

Για αυτή την εξίσωση το πραγματικό φυσική έννοιαέχουν μόνο λύσεις που εκφράζονται με κανονικές συναρτήσεις ψ (που ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις), οι οποίες εμφανίζονται μόνο για ορισμένες τιμές της παραμέτρου Ε, που ονομάζονται ιδιοτιμή ενέργειας. Αυτές οι τιμές Ε μπορούν να σχηματίσουν είτε συνεχή είτε διακριτή σειρά, δηλ. τόσο συνεχές όσο και διακριτό ενεργειακό φάσμα.

Για οποιοδήποτε μικροσωματίδιο, παρουσία μιας εξίσωσης Schrödinger του τύπου (8.2), το πρόβλημα της κβαντομηχανικής ανάγεται στην επίλυση αυτής της εξίσωσης, δηλ. βρίσκοντας τις τιμές των κυματοσυναρτήσεων ψ = ψ (x, y, z), που αντιστοιχούν στο φάσμα των εγγενών ενεργειών E. Στη συνέχεια, βρείτε την πυκνότητα πιθανότητας | ψ | 2, που στην κβαντομηχανική καθορίζει την πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε μονάδα όγκου κοντά σε ένα σημείο με συντεταγμένες (x, y, z).

Μία από τις απλούστερες περιπτώσεις επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger είναι το πρόβλημα της συμπεριφοράς ενός σωματιδίου σε ένα μονοδιάστατο ορθογώνιο «πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα». Μια τέτοια «τρύπα» για ένα σωματίδιο που κινείται μόνο κατά μήκος του άξονα Χ περιγράφεται από τη δυναμική ενέργεια της μορφής

όπου l είναι το πλάτος της «τρύπας» και η ενέργεια μετριέται από τον πυθμένα της (Εικ. 8.1).

Η εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις στην περίπτωση ενός μονοδιάστατου προβλήματος θα γραφεί με τη μορφή:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0

Λόγω του γεγονότος ότι τα "τοιχώματα του λάκκου" είναι απείρως ψηλά, το σωματίδιο δεν διεισδύει πέρα ​​από το "λάκκο". Αυτό οδηγεί στις οριακές συνθήκες:

ψ (0) = ψ (l) = 0

Μέσα στο «πηγάδι» (0 ≤ x ≤ l), η εξίσωση (8.4) ανάγεται στη μορφή:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

όπου k 2 = (2m ∙ E) / ħ 2

Η λύση της εξίσωσης (8.7), λαμβάνοντας υπόψη τις οριακές συνθήκες (8.5), στην απλούστερη περίπτωση έχει τη μορφή:

ψ (x) = A ∙ αμαρτία (kx)

όπου k = (n ∙ π)/ l

για ακέραιες τιμές του n.

Από τις εκφράσεις (8.8) και (8.10) προκύπτει ότι

E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)

εκείνοι. Η ενέργεια των στατικών καταστάσεων εξαρτάται από τον ακέραιο n (που ονομάζεται κβαντικός αριθμός) και έχει συγκεκριμένες διακριτές τιμές που ονομάζονται ενεργειακά επίπεδα.

Κατά συνέπεια, ένα μικροσωματίδιο σε ένα «πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα» μπορεί να βρίσκεται μόνο σε ένα ορισμένο ενεργειακό επίπεδο E n , δηλ. σε διακριτές κβαντικές καταστάσεις n.

Αντικαθιστώντας την έκφραση (8.10) στην (8.9) βρίσκουμε τις ιδιοσυναρτήσεις

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

Η σταθερά ολοκλήρωσης Α μπορεί να βρεθεί από την κβαντομηχανική (πιθανολογική) συνθήκη κανονικοποίησης

που για αυτή την περίπτωση θα γραφτεί ως:

Από όπου, ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης, λαμβάνουμε A = √ (2 / l) και τότε έχουμε

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ αμαρτία (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)

Οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης ψ n (x) δεν έχουν φυσική σημασία, ενώ οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης | ψ n | 2 δείχνει την κατανομή της πυκνότητας πιθανότητας ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε διάφορες αποστάσεις από τα «τοιχώματα του λάκκου» (Εικ. 8.1). Είναι αυτά τα γραφήματα (καθώς και το ψ n (x) - για σύγκριση) που μελετώνται σε αυτή την εργασία και δείχνουν ξεκάθαρα ότι οι ιδέες για τις τροχιές των σωματιδίων στην κβαντομηχανική είναι αβάσιμες.

Από την έκφραση (8.11) προκύπτει ότι το ενεργειακό διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών επιπέδων είναι ίσο με

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

Από αυτό είναι σαφές ότι για τα μικροσωματίδια (όπως τα ηλεκτρόνια) στο μεγάλα μεγέθη«τρύπες» (l≈ 10 -1 m), τα επίπεδα ενέργειας βρίσκονται τόσο κοντά που σχηματίζουν ένα σχεδόν συνεχές φάσμα. Αυτή η κατάσταση εμφανίζεται, για παράδειγμα, για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια σε ένα μέταλλο. Εάν οι διαστάσεις του "πηγάδι" είναι συγκρίσιμες με τις ατομικές (l ≈ 10 -10 m), τότε προκύπτει ένα διακριτό ενεργειακό φάσμα (φάσμα γραμμής). Αυτοί οι τύποι φασμάτων μπορούν επίσης να μελετηθούν σε αυτήν την εργασία για διάφορα μικροσωματίδια.

Μια άλλη περίπτωση συμπεριφοράς μικροσωματιδίων (καθώς και μικροσυστημάτων - εκκρεμών), που συναντάται συχνά στην πράξη (και εξετάζεται στην παρούσα εργασία), είναι το πρόβλημα ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή στην κβαντομηχανική.

Όπως είναι γνωστό, η δυναμική ενέργεια ενός μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή μάζας m είναι ίση με

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

όπου ω 0 είναι η φυσική συχνότητα του ταλαντωτή ω 0 = √ (k / m);
k είναι ο συντελεστής ελαστικότητας του ταλαντωτή.

Η εξάρτηση (8.17) έχει τη μορφή παραβολής, δηλ. Το «πηγάδι δυναμικού» σε αυτή την περίπτωση είναι παραβολικό (Εικ. 8.2).

Ένας κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger (8.2), η οποία λαμβάνει υπόψη την έκφραση (8.17) για τη δυναμική ενέργεια. Η λύση αυτής της εξίσωσης γράφεται ως:

ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)

όπου N n είναι ένας σταθερός παράγοντας κανονικοποίησης ανάλογα με τον ακέραιο n.
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
Το H n (x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n, οι συντελεστές του οποίου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο για διαφορετικό ακέραιο n.
Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, μπορεί να αποδειχθεί ότι η εξίσωση Schrödinger έχει λύση (8.18) μόνο για τις ιδιοτιμές ενέργειας:

E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0

όπου n = 0, 1, 2, 3... είναι ένας κβαντικός αριθμός.

Αυτό σημαίνει ότι η ενέργεια ενός κβαντικού ταλαντωτή μπορεί να λάβει μόνο διακριτές τιμές, δηλ. κβαντισμένη. Όταν n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 λαμβάνει χώρα, δηλ. ενέργεια μηδενικού σημείου, η οποία είναι χαρακτηριστική για τα κβαντικά συστήματα και είναι άμεση συνέπεια της σχέσης αβεβαιότητας.

Όπως δείχνει μια λεπτομερής λύση της εξίσωσης Schrödinger για έναν κβαντικό ταλαντωτή, κάθε ιδιοτιμή ενέργειας για διαφορετικά n αντιστοιχεί στη δική της κυματική συνάρτηση, επειδή ο σταθερός παράγοντας κανονικοποίησης εξαρτάται από το n

και επίσης H n (x) - πολυώνυμο Chebyshev-Ermite βαθμού n.
Επιπλέον, τα δύο πρώτα πολυώνυμα είναι ίσα:

Η 0 (χ) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

Οποιοδήποτε επόμενο πολυώνυμο σχετίζεται με το nmi σύμφωνα με τον ακόλουθο επαναλαμβανόμενο τύπο:

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Οι ιδιοσυναρτήσεις του τύπου (8.18) μας επιτρέπουν να βρούμε για έναν κβαντικό ταλαντωτή την πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης μικροσωματιδίου ως | ψ n (x) | 2 και μελετήστε τη συμπεριφορά του σε διαφορετικά ενεργειακά επίπεδα. Η επίλυση αυτού του προβλήματος είναι δύσκολη λόγω της ανάγκης χρήσης μιας επαναλαμβανόμενης φόρμουλας. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί επιτυχώς μόνο χρησιμοποιώντας υπολογιστή, κάτι που γίνεται σε αυτήν την εργασία.

1. Εισαγωγή

Η κβαντική θεωρία γεννήθηκε το 1900, όταν ο Max Planck πρότεινε ένα θεωρητικό συμπέρασμα σχετικά με τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας ενός σώματος και της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από αυτό το σώμα - ένα συμπέρασμα ότι για πολύ καιρόΌπως και οι προκάτοχοί του, ο Planck πρότεινε ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται από ατομικούς ταλαντωτές, αλλά πίστευε ότι η ενέργεια των ταλαντωτών (και επομένως η ακτινοβολία που εκπέμπουν) υπήρχε με τη μορφή μικρών διακριτών τμημάτων, τα οποία ο Αϊνστάιν ονόμασε κβάντα. Η ενέργεια κάθε κβαντικού είναι ανάλογη της συχνότητας της ακτινοβολίας. Αν και η φόρμουλα που εξήχθη από τον Πλανκ προκάλεσε τον παγκόσμιο θαυμασμό, οι υποθέσεις που έκανε παρέμειναν ακατανόητες, καθώς έρχονταν σε αντίθεση με την κλασική φυσική.

Το 1905, ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε την κβαντική θεωρία για να εξηγήσει ορισμένες πτυχές του φωτοηλεκτρικού φαινομένου - την εκπομπή ηλεκτρονίων από την επιφάνεια ενός μετάλλου που εκτίθεται στο υπεριώδες φως. Στην πορεία, ο Αϊνστάιν παρατήρησε ένα φαινομενικό παράδοξο: το φως, το οποίο για δύο αιώνες ήταν γνωστό ότι ταξιδεύει ως συνεχή κύματα, μπορούσε, υπό ορισμένες συνθήκες, να συμπεριφερθεί και ως ρεύμα σωματιδίων.

Περίπου οκτώ χρόνια αργότερα, ο Niels Bohr επέκτεινε την κβαντική θεωρία στο άτομο και εξήγησε τις συχνότητες των κυμάτων που εκπέμπονται από άτομα που διεγείρονται σε μια φλόγα ή ένα ηλεκτρικό φορτίο. Ο Ernest Rutherford έδειξε ότι η μάζα ενός ατόμου είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου συγκεντρωμένη στον κεντρικό πυρήνα, ο οποίος φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίοκαι περιβάλλεται σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις από ηλεκτρόνια που μεταφέρουν αρνητικό φορτίο, με αποτέλεσμα το άτομο στο σύνολό του να είναι ηλεκτρικά ουδέτερο. Ο Bohr πρότεινε ότι τα ηλεκτρόνια θα μπορούσαν να βρίσκονται μόνο σε ορισμένες διακριτές τροχιές που αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα ενέργειας και ότι το «άλμα» ενός ηλεκτρονίου από τη μια τροχιά στην άλλη, με χαμηλότερη ενέργεια, συνοδεύεται από την εκπομπή ενός φωτονίου, η ενέργεια του οποίου είναι ίση με τη διαφορά των ενεργειών των δύο τροχιών. Η συχνότητα, σύμφωνα με τη θεωρία του Planck, είναι ανάλογη με την ενέργεια του φωτονίου. Έτσι, το μοντέλο του ατόμου του Bohr καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των διαφόρων φασματικών γραμμών που είναι χαρακτηριστικές της ουσίας που εκπέμπει ακτινοβολία και της ατομικής δομής. Παρά την αρχική του επιτυχία, το μοντέλο του ατόμου του Bohr σύντομα απαιτούσε τροποποιήσεις για να επιλύσει τις διαφορές μεταξύ θεωρίας και πειράματος. Επιπλέον, η κβαντική θεωρία σε εκείνο το στάδιο δεν παρείχε ακόμη μια συστηματική διαδικασία για την επίλυση πολλών κβαντικών προβλημάτων.

Ένα σημαντικό νέο χαρακτηριστικό της κβαντικής θεωρίας εμφανίστηκε το 1924, όταν ο de Broglie υπέβαλε μια ριζική υπόθεση σχετικά με την κυματική φύση της ύλης: εάν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φως, μερικές φορές συμπεριφέρονται σαν σωματίδια (όπως έδειξε ο Αϊνστάιν), τότε τα σωματίδια, όπως το ηλεκτρόνιο, μπορεί υπό ορισμένες συνθήκες να συμπεριφέρεται σαν κύματα. Στη διατύπωση του de Broglie, η συχνότητα που αντιστοιχεί σε ένα σωματίδιο σχετίζεται με την ενέργειά του, όπως στην περίπτωση ενός φωτονίου (σωματίδιο φωτός), αλλά η πρόταση του de Broglie μαθηματική έκφρασηήταν μια ισοδύναμη σχέση μεταξύ του μήκους κύματος, της μάζας του σωματιδίου και της ταχύτητάς του (ορμή). Η ύπαρξη ηλεκτρονιακών κυμάτων αποδείχθηκε πειραματικά το 1927 από τους Clinton Davisson και Lester Germer στις Ηνωμένες Πολιτείες και John Paget Thomson στην Αγγλία.

Εντυπωσιασμένος από τα σχόλια του Αϊνστάιν στις ιδέες του de Broglie, ο Schrödinger προσπάθησε να εφαρμόσει την κυματική περιγραφή των ηλεκτρονίων στην κατασκευή μιας συνεκτικής κβαντικής θεωρίας, που δεν σχετίζεται με το ανεπαρκές μοντέλο του ατόμου του Bohr. Κατά μία έννοια, σκόπευε να φέρει την κβαντική θεωρία πιο κοντά στην κλασική φυσική, η οποία είχε συγκεντρώσει πολλά παραδείγματα μαθηματικών περιγραφών των κυμάτων. Η πρώτη προσπάθεια, που έγινε από τον Σρέντινγκερ το 1925, κατέληξε σε αποτυχία.

Οι ταχύτητες ηλεκτρονίων στη θεωρία II του Schrödinger ήταν κοντά στην ταχύτητα του φωτός, η οποία απαιτούσε τη συμπερίληψη ειδική θεωρίαΗ σχετικότητα του Αϊνστάιν και λαμβάνοντας υπόψη τη σημαντική αύξηση της μάζας των ηλεκτρονίων που προβλέπει σε πολύ υψηλές ταχύτητες.

Ένας από τους λόγους για την αποτυχία του Schrödinger ήταν ότι δεν έλαβε υπόψη την παρουσία μιας συγκεκριμένης ιδιότητας του ηλεκτρονίου, που τώρα είναι γνωστή ως spin (η περιστροφή του ηλεκτρονίου γύρω από τον άξονά του σαν κορυφή), για την οποία λίγα ήταν γνωστά στο εκείνη τη φορά.

Ο Σρέντινγκερ έκανε την επόμενη προσπάθεια το 1926. Αυτή τη φορά οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων επιλέχθηκαν τόσο μικρές που δεν χρειαζόταν να επικαλεστούμε τη θεωρία της σχετικότητας.

Η δεύτερη προσπάθεια κατέληξε στην εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης Schrödinger, η οποία παρέχει μια μαθηματική περιγραφή της ύλης ως προς την κυματική συνάρτηση. Ο Schrödinger ονόμασε τη θεωρία του κυματομηχανική. Οι λύσεις της εξίσωσης των κυμάτων ήταν σε συμφωνία με τις πειραματικές παρατηρήσεις και είχαν βαθιά επίδραση στην μετέπειτα ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας.

Λίγο πριν, ο Werner Heisenberg, ο Max Born και ο Pascual Jordan δημοσίευσαν μια άλλη εκδοχή της κβαντικής θεωρίας, που ονομαζόταν μηχανική μήτρας, η οποία περιέγραφε κβαντικά φαινόμενα χρησιμοποιώντας πίνακες παρατηρήσιμων μεγεθών. Αυτοί οι πίνακες αντιπροσωπεύουν μαθηματικά σύνολα ταξινομημένα με συγκεκριμένο τρόπο, που ονομάζονται πίνακες, στους οποίους, σύμφωνα με γνωστούς κανόνες, μπορούν να εκτελεστούν διάφορες μαθηματικές πράξεις. Η μηχανική μήτρας επέτρεπε επίσης τη συμφωνία με τα παρατηρούμενα πειραματικά δεδομένα, αλλά σε αντίθεση με την κυματομηχανική, δεν περιείχε καμία συγκεκριμένη αναφορά σε χωρικές συντεταγμένες ή χρόνο. Ο Χάιζενμπεργκ επέμεινε ιδιαίτερα στην απόρριψη οποιωνδήποτε απλών οπτικών αναπαραστάσεων ή μοντέλων προς όφελος μόνο εκείνων των ιδιοτήτων που θα μπορούσαν να προσδιοριστούν από το πείραμα.

Ο Schrödinger έδειξε ότι η κυματομηχανική και η μηχανική πινάκων είναι μαθηματικά ισοδύναμες. Γνωστό πλέον υπό συνηθισμένο όνομαΚβαντομηχανική, αυτές οι δύο θεωρίες παρείχαν ένα πολυαναμενόμενο γενικό πλαίσιο για την περιγραφή των κβαντικών φαινομένων. Πολλοί φυσικοί προτιμούσαν την κυματομηχανική επειδή τα μαθηματικά της ήταν πιο οικεία σε αυτούς και οι έννοιές της έμοιαζαν πιο «φυσικές». Οι πράξεις σε πίνακες είναι πιο περίπλοκες.

Συνάρτηση Ψ. Ομαλοποίηση πιθανοτήτων.

Η ανακάλυψη των κυματικών ιδιοτήτων των μικροσωματιδίων έδειξε ότι η κλασική μηχανική δεν μπορεί να δώσει μια σωστή περιγραφή της συμπεριφοράς τέτοιων σωματιδίων. Υπήρχε η ανάγκη να δημιουργηθεί μια μηχανική των μικροσωματιδίων που θα λάμβανε επίσης υπόψη τις κυματικές τους ιδιότητες. Η νέα μηχανική που δημιούργησαν οι Schrödinger, Heisenberg, Dirac και άλλοι ονομάστηκε κυματική ή κβαντική μηχανική.

Κύμα Plane de Broglie

(1)

είναι ένας πολύ ιδιαίτερος κυματικός σχηματισμός που αντιστοιχεί σε ελεύθερο ομοιόμορφη κίνησησωματίδια σε μια ορισμένη κατεύθυνση και με μια ορισμένη ορμή. Αλλά ένα σωματίδιο, ακόμη και σε ελεύθερο χώρο και ειδικά σε πεδία δύναμης, μπορεί επίσης να εκτελέσει άλλες κινήσεις που περιγράφονται από πιο σύνθετες κυματικές συναρτήσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις Πλήρης περιγραφήη κατάσταση ενός σωματιδίου στην κβαντομηχανική δεν δίνεται από ένα επίπεδο de Broglie κύμα, αλλά από κάποια πιο περίπλοκη συνάρτηση

, ανάλογα με τις συντεταγμένες και τον χρόνο. Ονομάζεται κυματική συνάρτηση. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ελεύθερης κίνησης ενός σωματιδίου, η κυματική συνάρτηση μετατρέπεται σε κύμα επίπεδο de Broglie (1). Η ίδια η κυματική συνάρτηση εισάγεται ως βοηθητικό σύμβολο και δεν είναι ένα από τα άμεσα παρατηρήσιμα μεγέθη. Αλλά η γνώση του καθιστά δυνατή τη στατιστική πρόβλεψη των τιμών των ποσοτήτων που λαμβάνονται πειραματικά και επομένως έχουν πραγματικό φυσικό νόημα.

Η κυματική συνάρτηση καθορίζει τη σχετική πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Σε αυτό το στάδιο, όταν συζητούνται μόνο οι σχέσεις πιθανότητας, η κυματική συνάρτηση καθορίζεται θεμελιωδώς μέχρι έναν αυθαίρετο σταθερό παράγοντα. Εάν σε όλα τα σημεία του χώρου η κυματική συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο σταθερό (γενικά μιλώντας, μιγαδικό) αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν, τότε προκύπτει μια νέα κυματική συνάρτηση που περιγράφει ακριβώς την ίδια κατάσταση. Δεν έχει νόημα να πούμε ότι το Ψ είναι ίσο με μηδέν σε όλα τα σημεία του χώρου, επειδή μια τέτοια «κυματική συνάρτηση» δεν μας επιτρέπει ποτέ να συμπεράνουμε σχετικά με τη σχετική πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Αλλά η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό του Ψ μπορεί να περιοριστεί σημαντικά αν περάσουμε από τη σχετική πιθανότητα στην απόλυτη πιθανότητα. Ας διαθέσουμε τον αόριστο παράγοντα στη συνάρτηση Ψ έτσι ώστε η τιμή |Ψ|2dV να δίνει την απόλυτη πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου στο στοιχείο όγκου χώρου dV. Τότε |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* είναι η σύνθετη συζευγμένη συνάρτηση του Ψ) θα έχει την έννοια της πυκνότητας πιθανότητας που θα πρέπει να αναμένεται όταν προσπαθούμε να ανιχνεύσουμε ένα σωματίδιο στο διάστημα. Σε αυτή την περίπτωση, το Ψ θα εξακολουθήσει να προσδιορίζεται μέχρι έναν αυθαίρετο σταθερό μιγαδικό παράγοντα, ο συντελεστής του οποίου, ωστόσο, είναι ίσος με τη μονάδα. Με αυτόν τον ορισμό, πρέπει να πληρούται η συνθήκη κανονικοποίησης:

(2)

όπου το ολοκλήρωμα καταλαμβάνεται σε ολόκληρο τον άπειρο χώρο. Σημαίνει ότι το σωματίδιο θα ανιχνευθεί με βεβαιότητα σε όλο το διάστημα. Αν το ολοκλήρωμα του |Ψ|2 ληφθεί πάνω από έναν ορισμένο όγκο V1, υπολογίζουμε την πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στο χώρο του όγκου V1.

Η κανονικοποίηση (2) μπορεί να είναι αδύνατη εάν το ολοκλήρωμα (2) αποκλίνει. Αυτό θα συμβεί, για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός κύματος επιπέδου de Broglie, όταν η πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου είναι η ίδια σε όλα τα σημεία του χώρου. Αλλά τέτοιες περιπτώσεις θα πρέπει να θεωρηθούν ως εξιδανικεύσεις μιας πραγματικής κατάστασης στην οποία το σωματίδιο δεν πηγαίνει στο άπειρο, αλλά αναγκάζεται να παραμείνει σε περιορισμένη περιοχήχώρος. Τότε η ομαλοποίηση δεν είναι δύσκολη.

Άρα, η άμεση φυσική σημασία δεν συνδέεται με την ίδια τη συνάρτηση Ψ, αλλά με την ενότητα Ψ*Ψ της. Γιατί στην κβαντική θεωρία λειτουργούν με κυματοσυναρτήσεις Ψ, και όχι απευθείας με πειραματικά παρατηρούμενα μεγέθη Ψ*Ψ; Αυτό είναι απαραίτητο για την ερμηνεία των κυματικών ιδιοτήτων της ύλης - παρεμβολή και περίθλαση. Εδώ η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια όπως σε κάθε κυματική θεωρία. Αποδέχεται (τουλάχιστον σε γραμμική προσέγγιση) την εγκυρότητα της αρχής της υπέρθεσης των ίδιων των κυματικών πεδίων και όχι τις εντάσεις τους, και έτσι επιτυγχάνει την ένταξη στη θεωρία των φαινομένων κυματικής παρεμβολής και περίθλασης. Ομοίως, στην κβαντομηχανική η αρχή της υπέρθεσης των κυματοσυναρτήσεων γίνεται αποδεκτή ως ένα από τα κύρια αξιώματα, η οποία συνίσταται στα ακόλουθα.

Ο Heisenberg οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση κίνησης στην κβαντομηχανική, η οποία περιγράφει την κίνηση των μικροσωματιδίων σε διάφορα πεδία δύναμης, θα έπρεπε να είναι μια εξίσωση από την οποία θα ακολουθούσαν οι πειραματικά παρατηρούμενες κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων. Η κυρίαρχη εξίσωση πρέπει να είναι μια εξίσωση για την κυματοσυνάρτηση Ψ (x, y, z, t),αφού είναι ακριβώς αυτό, ή, ακριβέστερα, η ποσότητα |Ψ| 2, καθορίζει την πιθανότητα ένα σωματίδιο να είναι παρόν τη στιγμή του χρόνου tστον τόμο Δ V,δηλαδή στην περιοχή με συντεταγμένες ΧΚαι x + dx, yΚαι y + dу, zΚαι z+ dz.

Η βασική εξίσωση της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής διατυπώθηκε το 1926 από τον E. Schrödinger. Η εξίσωση Schrödinger, όπως όλες οι βασικές εξισώσεις της φυσικής (για παράδειγμα, οι εξισώσεις του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική και οι εξισώσεις του Maxwell για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο), δεν προέρχεται, αλλά υποτίθεται. Η ορθότητα αυτής της εξίσωσης επιβεβαιώνεται από τη συμφωνία με την εμπειρία των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται με τη βοήθειά της, η οποία, με τη σειρά της, της δίνει τον χαρακτήρα ενός νόμου της φύσης.

Η γενική εξίσωση Schrödinger είναι:

Οπου ? =h/(2π), Μ- μάζα σωματιδίων, Δ - τελεστής Laplace , Εγώ- φανταστική μονάδα, U(x, y, z, t) είναι η δυναμική συνάρτηση ενός σωματιδίου στο πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται, Ψ( x, y, z, t) είναι η επιθυμητή κυματική συνάρτηση του σωματιδίου.

Η εξίσωση (1) ισχύει για οποιοδήποτε σωματίδιο (με σπιν ίσο με 0) που κινείται με χαμηλή (σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός) ταχύτητα, δηλ. υ "Με.

Συμπληρώνεται από προϋποθέσεις, υπερτιθέμενη στην κυματική συνάρτηση:

1) η κυματική συνάρτηση πρέπει να είναι πεπερασμένη, σαφής και συνεχής.

2) παράγωγα πρέπει να είναι συνεχής.

3) συνάρτηση |Ψ| Το 2 πρέπει να είναι ενσωματώσιμο (αυτή η συνθήκη στις απλούστερες περιπτώσεις ανάγεται στην προϋπόθεση για την κανονικοποίηση των πιθανοτήτων).

Καλείται η εξίσωση (1). χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger.

Για πολλά φυσικά φαινόμενα που συμβαίνουν στον μικρόκοσμο, η εξίσωση (1) μπορεί να απλοποιηθεί εξαλείφοντας την εξάρτηση του Ψ από το χρόνο, δηλ. βρείτε την εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις - καταστάσεις με σταθερές τιμές ενέργειας. Αυτό είναι δυνατό εάν το πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται το σωματίδιο είναι ακίνητο, δηλαδή η συνάρτηση U = U(x, y,z) δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο και έχει την έννοια της δυνητικής ενέργειας. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση της εξίσωσης Schrödinger μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή

. (2)

Εξίσωση (2) ονομάζεται εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις.

Αυτή η εξίσωση περιλαμβάνει τη συνολική ενέργεια ως παράμετρο μισωματίδια. Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αποδεικνύεται ότι τέτοιες εξισώσεις έχουν άπειρο αριθμό λύσεων, από τις οποίες επιλέγονται λύσεις που έχουν φυσική σημασία επιβάλλοντας οριακές συνθήκες. Για την εξίσωση Schrödinger τέτοιες συνθήκες είναι προϋποθέσεις για την κανονικότητα των κυματοσυναρτήσεων: Οι νέες συναρτήσεις πρέπει να είναι πεπερασμένες, μονοσήμαντες και συνεχείς μαζί με τις πρώτες τους παραγώγους.

Έτσι, μόνο εκείνες οι λύσεις που εκφράζονται με κανονικές συναρτήσεις Ψ έχουν πραγματική φυσική σημασία. Αλλά οι κανονικές λύσεις δεν λαμβάνουν χώρα για καμία τιμή παραμέτρου ΜΙ,αλλά μόνο για ένα συγκεκριμένο σύνολο από αυτά, χαρακτηριστικό μιας δεδομένης εργασίας. Αυτές οι ενεργειακές τιμές ονομάζονται ιδιοτιμές . Οι λύσεις που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές ενέργειας ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις . Ιδιοτιμές μιμπορεί να σχηματίσει είτε συνεχή είτε διακριτή σειρά. Στην πρώτη περίπτωση, μιλούν για ένα συνεχές, ή στερεό, φάσμα, στη δεύτερη - για ένα διακριτό φάσμα.

Σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο ορθογώνιο "πηγάδι δυναμικού"με απείρως ψηλούς «τοίχους»

Ας πραγματοποιήσουμε ποιοτική ανάλυσηλύσεις της εξίσωσης Schrödinger όπως εφαρμόζεται σε ένα σωματίδιο σε ένα μονοδιάστατο ορθογώνιο «πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα». Μια τέτοια «τρύπα» περιγράφεται από τη δυναμική ενέργεια της μορφής (για λόγους απλότητας υποθέτουμε ότι το σωματίδιο κινείται κατά μήκος του άξονα Χ)

Οπου μεγάλοείναι το πλάτος της «τρύπας» και η ενέργεια μετράται από τον πυθμένα της (Εικ. 2).

Η εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις στην περίπτωση ενός μονοδιάστατου προβλήματος θα γραφεί με τη μορφή:

. (1)

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος (άπειρα ψηλά «τοιχώματα»), το σωματίδιο δεν διεισδύει πέρα ​​από την «τρύπα», επομένως η πιθανότητα ανίχνευσής του (και, κατά συνέπεια, η κυματική συνάρτηση) έξω από την «τρύπα» είναι μηδενική. Στα όρια του «λάκκου» (στο Χ= 0 και x = 1)Η συνάρτηση συνεχούς κύματος πρέπει επίσης να εξαφανιστεί.

Επομένως, οι οριακές συνθήκες σε αυτήν την περίπτωση έχουν τη μορφή:

Ψ (0) = Ψ ( μεγάλο) = 0. (2)

Μέσα στο "pit" (0 ≤ Χ≤ 0) η εξίσωση Schrödinger (1) θα μειωθεί στην εξίσωση:

ή . (3)

Οπου k 2 = 2 mE / ? 2.(4)

Γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (3):

Ψ ( Χ) = ΕΝΑαμαρτία kx + σι cos kx.

Αφού σύμφωνα με (2) Ψ (0) = 0, τότε B = 0. Τότε

Ψ ( Χ) = ΕΝΑαμαρτία kx. (5)

Συνθήκη Ψ ( μεγάλο) = ΕΝΑαμαρτία kl= 0 (2) εκτελείται μόνο όταν kl = nπ, Οπου n- ακέραιοι, δηλ. είναι απαραίτητο ότι

κ = nπ/l. (6)

Από τις εκφράσεις (4) και (6) προκύπτει ότι:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

δηλ. η ακίνητη εξίσωση Schrödinger, η οποία περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου σε ένα «πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα», ικανοποιείται μόνο για τις ιδιοτιμές E p,ανάλογα με έναν ακέραιο αριθμό Π.Επομένως, η ενέργεια Ε σελσωματίδια σε ένα «δυναμικό πηγάδι» με απείρως ψηλά «τοιχώματα» δέχονται μόνο ορισμένες διακριτές τιμές, δηλαδή κβαντισμένες.

Κβαντισμένες ενεργειακές τιμές Ε σελλέγονται επίπεδα ενέργειαςκαι τον αριθμό Π,που καθορίζει τα ενεργειακά επίπεδα ενός σωματιδίου ονομάζεται κύριος κβαντικός αριθμός.Έτσι, ένα μικροσωματίδιο σε ένα «πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα» μπορεί να βρίσκεται μόνο σε ένα ορισμένο ενεργειακό επίπεδο E p,ή, όπως λένε, το σωματίδιο βρίσκεται σε κβαντική κατάσταση Π.

Αντικατάσταση σε (5) της τιμής καπό το (6), βρίσκουμε τις ιδιοσυναρτήσεις:

.

Σταθερή ολοκλήρωσης ΕΝΑβρίσκουμε από τη συνθήκη κανονικοποίησης, η οποία για αυτήν την περίπτωση θα γραφτεί με τη μορφή:

.

Ως αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης λαμβάνουμε , και οι ιδιοσυναρτήσεις θα έχουν τη μορφή:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Γραφήματα ιδιοσυναρτήσεων (8) που αντιστοιχούν σε ενεργειακά επίπεδα (7) στο n= 1,2,3, φαίνονται στο Σχ. 3, ΕΝΑ.Στο Σχ. 3, σιδείχνει την πυκνότητα πιθανότητας ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε διάφορες αποστάσεις από τα «τοιχώματα» της οπής, ίση με Ψ n(Χ)‌ 2 = Ψ n(Χ)·Ψ n * (Χ) Για n = 1, 2 και 3. Από το σχήμα προκύπτει ότι, για παράδειγμα, σε κβαντική κατάσταση με n= 2, ένα σωματίδιο δεν μπορεί να βρίσκεται στη μέση της «τρύπας», ενώ εξίσου συχνά μπορεί να βρίσκεται στα αριστερά της και σωστά μέρη. Αυτή η συμπεριφορά του σωματιδίου δείχνει ότι οι έννοιες των τροχιών σωματιδίων στην κβαντομηχανική είναι αβάσιμες.

Από την έκφραση (7) προκύπτει ότι το ενεργειακό διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών επιπέδων είναι ίσο με:

Για παράδειγμα, για ένα ηλεκτρόνιο με διαστάσεις φρέατος μεγάλο= 10 -1 m (ελεύθερα ηλεκτρόνια σε μέταλλο) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, δηλ. Τα επίπεδα ενέργειας βρίσκονται τόσο κοντά που το φάσμα μπορεί πρακτικά να θεωρηθεί συνεχές. Εάν οι διαστάσεις του φρεατίου είναι συγκρίσιμες με τις ατομικές ( l ≈ 10 -10 m), στη συνέχεια για το ηλεκτρόνιο Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, δηλ. Προφανώς λαμβάνονται διακριτές τιμές ενέργειας (φάσμα γραμμής).

Έτσι, η εφαρμογή της εξίσωσης Schrödinger σε ένα σωματίδιο σε ένα «πηγάδι δυναμικού» με απείρως υψηλά «τοιχώματα» οδηγεί σε κβαντισμένες τιμές ενέργειας, ενώ η κλασική μηχανική δεν επιβάλλει περιορισμούς στην ενέργεια αυτού του σωματιδίου.

Επιπλέον, μια κβαντομηχανική εξέταση αυτού του προβλήματος οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ένα σωματίδιο «σε ένα πηγάδι δυναμικού» με απείρως ψηλά «τοιχώματα» δεν μπορεί να έχει ενέργεια μικρότερη από την ελάχιστη ενέργεια ίση με π 2 ? 2 /(2t1 2). Η παρουσία μιας μη μηδενικής ελάχιστης ενέργειας δεν είναι τυχαία και προκύπτει από τη σχέση αβεβαιότητας. Αβεβαιότητα συντεταγμένων Δ Χσωματίδια σε ένα "λάκκο" ευρύ μεγάλοίσο με Δ Χ= μεγάλο.

Τότε, σύμφωνα με τη σχέση αβεβαιότητας, η ώθηση δεν μπορεί να έχει ακριβή, στην περίπτωση αυτή μηδενική, τιμή. Αβεβαιότητα ορμής Δ R ≈ h/l. Αυτή η εξάπλωση των τιμών ορμής αντιστοιχεί σε κινητική ενέργεια E min ≈(Δ Π) 2 / (2Μ) = ? 2 / (2ml 2). Όλα τα άλλα επίπεδα ( p> 1) έχουν ενέργεια που υπερβαίνει αυτή την ελάχιστη τιμή.

Από τους τύπους (9) και (7) προκύπτει ότι για μεγάλους κβαντικούς αριθμούς ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/Π«1, δηλαδή τα παρακείμενα επίπεδα βρίσκονται κοντά: όσο πιο κοντά τόσο περισσότερο Π.Αν Πείναι πολύ μεγάλο, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια σχεδόν συνεχή ακολουθία επιπέδων και χαρακτηριστικό στοιχείοοι κβαντικές διεργασίες - διακριτικότητα - εξομαλύνονται. Αυτό το αποτέλεσμα είναι μια ειδική περίπτωση της αρχής της αντιστοιχίας του Bohr (1923), σύμφωνα με την οποία οι νόμοι της κβαντικής μηχανικής πρέπει να μεγάλες αξίεςΟι κβαντικοί αριθμοί μετατρέπονται στους νόμους της κλασικής φυσικής.