t tipo de lección: ONZ (descubrimiento de nuevos conocimientos - utilizando la tecnología del método de enseñanza basado en actividades).

Objetivos básicos:

1. Deducir técnicas para dividir fracciones por número natural;
2. Desarrollar la capacidad de dividir una fracción por un número natural;
3. Repetir y reforzar la división de fracciones;
4. Entrenar la capacidad de reducir fracciones, analizar y resolver problemas.

Material de demostración del equipo:

1. Tareas de actualización de conocimientos:

Compara expresiones:

Referencia:

2. Tarea de prueba (individual).

1. Realizar división:

2. Realizar la división sin realizar toda la cadena de cálculos: .

Estándares:

• Al dividir una fracción por un número natural, puedes multiplicar el denominador por ese número, pero deja el numerador igual.

• Si el numerador es divisible por un número natural, entonces al dividir una fracción por este número, puedes dividir el numerador por el número y dejar el denominador igual.

durante las clases

I. Motivación (autodeterminación) para actividades educacionales.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la actualización de requisitos para el estudiante en términos de actividades educativas (“debe”);
2. Organizar actividades estudiantiles para establecer marcos temáticos (“Yo puedo”);
3. Crear condiciones para que el estudiante desarrolle una necesidad interna de inclusión en las actividades educativas (“Yo quiero”).

Organización proceso educativo en la etapa I.

¡Hola! Me alegro de verlos a todos en la lección de matemáticas. Espero que sea mutuo.

Chicos, ¿qué nuevos conocimientos adquirieron en la última lección? (Dividir fracciones).

Bien. ¿Qué te ayuda a hacer la división de fracciones? (Regla, propiedades).

¿Dónde necesitamos este conocimiento? (En ejemplos, ecuaciones, problemas).

¡Bien hecho! Lo hiciste bien en las tareas de la última lección. ¿Quieres descubrir nuevos conocimientos tú mismo hoy? (Sí).

¡Entonces vamos! Y el lema de la lección será la afirmación "¡No puedes aprender matemáticas viendo cómo las hace tu vecino!"

II. Actualizar conocimientos y solucionar dificultades individuales en una acción de prueba.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la actualización de los métodos de acción aprendidos suficientes para construir nuevos conocimientos. Registre estos métodos verbalmente (en el habla) y simbólicamente (estándar) y generalícelos;
2. Organizar la actualización de las operaciones mentales y procesos cognitivos, suficiente para la construcción de nuevos conocimientos;
3. Motivar para una acción de prueba y su implementación y justificación independientes;
4. Presentar una tarea individual para una acción de prueba y analizarla para identificar nuevos contenidos educativos;
5. Organizar la fijación del objetivo educativo y el tema de la lección;
6. Organizar la implementación de una acción de prueba y solucionar la dificultad;
7. Organizar un análisis de las respuestas recibidas y registrar las dificultades individuales para realizar una acción de prueba o justificarla.

Organización del proceso educativo en la etapa II.

Frontalmente mediante tablets (tableros individuales).

1. Compara expresiones:

(Estas expresiones son iguales)

¿Qué cosas interesantes notaste? (El numerador y denominador del dividendo, el numerador y denominador del divisor en cada expresión aumentaron el mismo número de veces. Por lo tanto, los dividendos y divisores en las expresiones están representados por fracciones iguales entre sí).

Encuentra el significado de la expresión y escríbelo en tu tableta. (2)

¿Cómo puedo escribir este número como una fracción?

¿Cómo realizaste la acción de división? (Los niños recitan la regla, la maestra la cuelga en la pizarra. designaciones de letras)

2. Calcule y registre únicamente los resultados:

3. Suma los resultados y escribe la respuesta. (2)

¿Cómo se llama el número obtenido en la tarea 3? (Natural)

¿Crees que puedes dividir una fracción por un número natural? (Sí, lo intentaremos)

Prueba esto.

4. Tarea individual (de prueba).

Realizar división: (ejemplo a solamente)

¿Qué regla usaste para dividir? (Según la regla de dividir fracciones por fracciones)

Ahora divide la fracción por un número natural mayor que de una manera sencilla, sin realizar toda la cadena de cálculos: (ejemplo b). Te daré 3 segundos para esto.

¿Quién no pudo completar la tarea en 3 segundos?

¿Quién lo hizo? (No existen tales)

¿Por qué? (No sabemos el camino)

¿Qué obtuviste? (Dificultad)

¿Qué crees que haremos en clase? (Dividir fracciones entre números naturales)

Así es, abran sus cuadernos y anoten el tema de la lección: “División de una fracción por un número natural”.

¿Por qué este tema suena nuevo cuando ya sabes dividir fracciones? (Necesita una nueva forma)

Bien. Hoy estableceremos una técnica que simplifica la división de una fracción por un número natural.

III. Identificar la ubicación y la causa del problema.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la restauración de las operaciones realizadas y registrar (verbal y simbólicamente) el lugar (paso, operación) donde surgió la dificultad;
2. Organizar la correlación de las acciones de los estudiantes con el método (algoritmo) utilizado y la fijación en el habla externa de la causa de la dificultad: esos conocimientos, destrezas o habilidades específicas que faltan para resolver el problema inicial de este tipo.

Organización del proceso educativo en la etapa III.

¿Qué tarea tuviste que completar? (Dividir una fracción por un número natural sin pasar por toda la cadena de cálculos)

¿Qué te causó dificultad? (No pude decidir por un tiempo corto manera rápida)

¿Qué objetivo nos fijamos en la lección? (Encontrar de manera rápida dividir una fracción por un número natural)

¿Qué te ayudará? (Regla ya conocida para dividir fracciones)

IV. Construir un proyecto para salir de un problema.

Objeto de la etapa:

1. Aclaración del objetivo del proyecto;
2. Elección del método (aclaración);
3. Determinación de medias (algoritmo);
4. Construyendo un plan para lograr el objetivo.

Organización del proceso educativo en la etapa IV.

Volvamos a la tarea de prueba. ¿Dijiste que dividiste según la regla para dividir fracciones? (Sí)

Para hacer esto, ¿reemplazar el número natural con una fracción? (Sí)

¿Qué paso (o pasos) crees que se puede omitir?

(La cadena de soluciones está abierta en el tablero:

Analiza y saca una conclusión. (Paso 1)

Si no hay respuesta, le guiaremos a través de preguntas:

¿A dónde se fue el divisor natural? (En el denominador)

¿Ha cambiado el numerador? (No)

Entonces, ¿qué paso puedes “omitir”? (Paso 1)

Plan de ACCION:

• Multiplica el denominador de una fracción por un número natural.
• No cambiamos el numerador.
• Obtenemos una nueva fracción.

V. Ejecución del proyecto construido.

Objeto de la etapa:

1. Organizar interacción comunicativa para implementar el proyecto construido encaminado a adquirir los conocimientos faltantes;
2. Organizar la grabación del método de acción construido en el habla y los signos (utilizando un estándar);
3. Organizar la solución al problema inicial y registrar cómo superar la dificultad;
4. Organizar aclaraciones general nuevos conocimientos.

Organización del proceso educativo en la etapa V.

Ahora ejecute rápidamente el caso de prueba de una nueva forma.

¿Ahora pudiste completar la tarea rápidamente? (Sí)

¿Explica cómo hiciste esto? (Los niños hablan)

Esto significa que hemos adquirido un nuevo conocimiento: la regla para dividir una fracción por un número natural.

¡Bien hecho! Dilo en parejas.

Luego un estudiante habla a la clase. Arreglamos la regla-algoritmo verbalmente y en forma de estándar en la pizarra.

Ahora ingrese las designaciones de letras y escriba la fórmula de nuestra regla.

El alumno escribe en la pizarra diciendo la regla: al dividir una fracción por un número natural, puedes multiplicar el denominador por este número, pero dejar el numerador igual.

(Todos escriben la fórmula en sus cuadernos).

Ahora analice nuevamente la cadena de resolución de la tarea de prueba, prestando especial atención a la respuesta. ¿Qué hiciste? (El numerador de la fracción 15 fue dividido (reducido) por el número 3)

¿Cual es este numero? (Natural, divisor)

Entonces, ¿de qué otra manera puedes dividir una fracción por un número natural? (Comprueba: si el numerador de una fracción es divisible por este número natural, entonces puedes dividir el numerador entre este número, escribir el resultado en el numerador de la nueva fracción y dejar el denominador igual)

Escriba este método como una fórmula. (El alumno escribe la regla en la pizarra mientras la pronuncia. Todos escriben la fórmula en sus cuadernos.)

Volvamos al primer método. Puedes usarlo si a:n? (Sí eso método general)

¿Y cuándo conviene utilizar el segundo método? (Cuando el numerador de una fracción se divide por un número natural sin resto)

VI. Consolidación primaria con pronunciación en el habla externa.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la asimilación por parte de los niños de un nuevo método de acción a la hora de resolver problemas estándar con su pronunciación en el habla externa (frontalmente, en parejas o en grupos).

Organización del proceso educativo en la etapa VI.

Calcula de una nueva forma:

• No. 363 (a; d) - realizado en el tablero, pronunciando la regla.
• No. 363 (e; f) - en pares con verificación según muestra.

VII. Trabajo independiente con autotest según norma.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la realización independiente de tareas por parte de los estudiantes para una nueva forma de acción;
2. Organizar una autoprueba basada en la comparación con el estándar;
3. Basado en los resultados de la ejecución. Trabajo independiente organizar la reflexión sobre la asimilación de una nueva forma de actuar.

Organización del proceso educativo en la etapa VII.

Calcula de una nueva forma:

• N° 363 (b; c)

Los estudiantes verifican el estándar y marcan la exactitud de la ejecución. Se analizan las causas de los errores y se corrigen los errores.

El profesor pregunta a los alumnos que cometieron errores, ¿cuál es el motivo?

En esta etapa, es importante que cada alumno revise de forma independiente su trabajo.

VIII. Inclusión en el sistema de conocimientos y repetición.

Objeto de la etapa:

1. Organizar la identificación de los límites de aplicación de nuevos conocimientos;
2. Organizar la repetición del contenido educativo necesario para garantizar una continuidad significativa.

Organización del proceso educativo en la etapa VIII.

Organizar la grabación de dificultades no resueltas en la lección como dirección para futuras actividades educativas;

Organizar una discusión y grabación de la tarea.

Organización del proceso educativo en la etapa IX.

1. Diálogo:

Chicos, ¿qué nuevos conocimientos habéis descubierto hoy? (Aprendí a dividir una fracción por un número natural de forma sencilla)

Formule un método general. (Ellos dicen)

¿De qué forma y en qué casos se puede utilizar? (Ellos dicen)

¿Cuál es la ventaja del nuevo método?

¿Hemos logrado el objetivo de nuestra lección? (Sí)

¿Qué conocimientos utilizaste para lograr tu objetivo? (Ellos dicen)

¿Todo te salió bien?

¿Cuáles fueron las dificultades?

2. Tarea: cláusula 3.2.4.; No. 365(l, n, o, p); N° 370.

3. Maestro: Me alegro de que todos hayan estado activos hoy y hayan logrado encontrar una salida a la dificultad. Y lo más importante, no eran vecinos al abrir uno nuevo y establecerlo. ¡Gracias por la lección, niños!

Contenido de la lección

Sumar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de suma de fracciones:

1. Sumar fracciones con denominadores iguales
2. Sumar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 2. Suma fracciones y .

La respuesta resultó ser una fracción impropia. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte entera. En nuestro caso, la parte entera se aísla fácilmente: dos divididos por dos son uno:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:

Ejemplo 3. Suma fracciones y .

Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.

Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:

1. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;

Sumar fracciones con diferentes denominadores

Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.

Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.

Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.

La esencia de este método es que primero se busca el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.

Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.

Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y

En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6

MCM (2 y 3) = 6

Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.

El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.

El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:

Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:

Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:

Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:

La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).

El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).

Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo con demasiado detalle. En las instituciones educativas no es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:

Pero también hay otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.

Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:

1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción;
3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
4. Suma fracciones que tengan los mismos denominadores;
5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. .

Utilicemos las instrucciones dadas anteriormente.

Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de las fracciones.

Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4.

Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción

Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.

Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:

Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Agrégalo:

La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.

Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione la parte completa.

Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Resaltamos:

Recibimos una respuesta

Restar fracciones con denominadores iguales

Hay dos tipos de resta de fracciones:

1. Restar fracciones con denominadores iguales
2. Restar fracciones con diferentes denominadores

Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.

Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.

Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador sin cambios:

Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:

Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:

1. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
2. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar la parte completa.

Restar fracciones con diferentes denominadores

Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).

El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.

Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.

Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).

Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12

MCM (3 y 4) = 12

Ahora volvamos a las fracciones y

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:

Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:

Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:

Recibimos una respuesta

Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.

Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo en menos tiempo. Una solución de este tipo se vería así:

La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):

La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).

Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.

Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.

Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:

Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:

Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:

Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.

La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:

La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más sencillo. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción.

Para reducir una fracción, debes dividir su numerador y denominador por (MCD) de los números 20 y 30.

Entonces, encontramos el mcd de los números 20 y 30:

Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mcd encontrado, es decir, por 10.

Recibimos una respuesta

Multiplicar una fracción por un número

Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por ese número y dejar el denominador igual.

Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.

Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.

Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizza una vez, obtendrás pizza.

Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:

Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la fracción por 4.

La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:

La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.

Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:

Multiplicar fracciones

Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.

Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:

La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:

¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:

Y toma dos de estas tres piezas:

Haremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza dividida en tres partes:

Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:

En otras palabras, estamos hablando acerca de Pizza aproximadamente del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.

Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:

La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el mayor común divisor(MCD) números 105 y 450.

Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:

Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por el mcd que ahora hemos hallado, es decir, por 15

Representar un número entero como una fracción

Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:

Números recíprocos

Ahora nos familiarizaremos con muy tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".

Definición. Invertir al númeroa es un número que multiplicado pora da uno.

Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:

Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.

¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:

Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, sólo que al revés:

¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:

Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.

El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.

También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.

Dividir una fracción por un número

Digamos que tenemos media pizza:

Dividámoslo en partes iguales entre dos. ¿Cuánta pizza recibirá cada persona?

Se puede observar que luego de dividir la mitad de la pizza se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.

La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. Los números recíprocos te permiten reemplazar la división con la multiplicación.

Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar la fracción por el inverso del divisor.

Usando esta regla anotaremos la división de nuestra mitad de pizza en dos partes.

Entonces, debes dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es la fracción y el divisor es el número 2.

Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es la fracción. Entonces necesitas multiplicar por

La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (consulte la lección “Suma y resta de fracciones”). La parte más difícil de esas acciones fue llevar las fracciones a un denominador común.

Ahora es el momento de abordar la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más sencillas que la suma y la resta. Primero, consideremos el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera separada.

Para multiplicar dos fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.

Para dividir dos fracciones, debes multiplicar la primera fracción por la segunda fracción "invertida".

Designación:

De la definición se deduce que dividir fracciones se reduce a multiplicación. Para "voltear" una fracción, simplemente intercambie el numerador y el denominador. Por lo tanto, a lo largo de la lección consideraremos principalmente la multiplicación.

Como resultado de la multiplicación, puede surgir (y a menudo surge) una fracción reducible; por supuesto, debe reducirse. Si después de todas las reducciones la fracción resulta ser incorrecta, se debe resaltar la parte completa. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos entrecruzados, con mayores factores y mínimos múltiplos comunes.

Por definición tenemos:

Multiplicar fracciones con partes enteras y fracciones negativas

Si las fracciones contienen una parte entera, deben convertirse en impropias y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.

Si hay un menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Más por menos da menos;
2. Dos negativos hacen una afirmativa.

Hasta ahora, estas reglas sólo se han encontrado en sumas y restas. fracciones negativas cuando era necesario deshacerse de una parte entera. Para una obra, se pueden generalizar para “quemar” varias desventajas a la vez:

1. Tachamos los negativos de dos en dos hasta que desaparezcan por completo. En casos extremos, puede sobrevivir un menos: aquel para el que no había pareja;
2. Si no quedan inconvenientes, la operación se completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no se tacha porque no tenía par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. El resultado es una fracción negativa.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Convertimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos de la multiplicación. Multiplicamos lo que queda según las reglas habituales. Obtenemos:

Permítanme recordarles una vez más que el menos que aparece delante de una fracción con la parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción entera, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).

También tenga en cuenta números negativos: Al multiplicar, se encierran entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos negativos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.

Reducir fracciones sobre la marcha

La multiplicación es una operación que requiere mucha mano de obra. Los números aquí resultan ser bastante grandes y, para simplificar el problema, puedes intentar reducir aún más la fracción. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y denominadores de fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Por definición tenemos:

En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.

Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. En su lugar quedan unidades que, por lo general, no es necesario escribir. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.

Sin embargo, ¡nunca utilices esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que simplemente deseas reducir. Aquí mira:

¡No puedes hacer eso!

El error ocurre porque al sumar, el numerador de una fracción produce una suma, no un producto de números. En consecuencia, es imposible aplicar la propiedad básica de una fracción, ya que esta propiedad trata específicamente de la multiplicación de números.

Simplemente no hay otras razones para reducir fracciones, por lo que la solución correcta al problema anterior se ve así:

Solución correcta:

Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, ten cuidado.

Multiplicar y dividir fracciones.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Como recordatorio, para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Eso es:

Por ejemplo:

Todo es extremadamente simple. ¡Y por favor no busques un denominador común! No hay necesidad de él aquí...

Para dividir una fracción por una fracción, debes invertir segundo(¡Esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:

Por ejemplo:

Si te encuentras con multiplicaciones o divisiones con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción a partir de un número entero con uno en el denominador, ¡y adelante! Por ejemplo:

En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:

¿Cómo puedo hacer que esta fracción parezca decente? ¡Sí, muy sencillo! Utilice división de dos puntos:

¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto aquí es muy importante! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero es fácil cometer un error en una fracción de tres pisos. Tenga en cuenta, por ejemplo:

En el primer caso (expresión de la izquierda):

En el segundo (expresión de la derecha):

¿Sientes la diferencia? 4 y 1/9!

¿Qué determina el orden de división? Ya sea con corchetes o (como aquí) con la longitud de las líneas horizontales. Desarrolla tu ojo. Y si no hay corchetes ni guiones, como:

luego divide y multiplica en orden, de izquierda a derecha!

Y otra técnica muy sencilla e importante. En acciones con títulos, ¡te será de gran utilidad! Dividamos uno por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:

¡El tiro se ha volcado! Y esto siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, sólo que al revés.

Eso es todo para operaciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores de sobra. Nota Consejo practico¡Y habrá menos (errores)!

Consejos prácticos:

1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras generales, ni buenos deseos! ¡Esta es una necesidad extrema! Realice todos los cálculos del Examen Estatal Unificado como una tarea completa, enfocada y clara. Es mejor escribir dos líneas extra en tu borrador que equivocarte al hacer cálculos mentales.

2. En ejemplos con diferentes tipos fracciones: vaya a fracciones ordinarias.

3. Reducimos todas las fracciones hasta que pare.

4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a ordinarias usando división por dos puntos (¡seguimos el orden de división!).

5. Divide mentalmente una unidad por una fracción, simplemente dándole la vuelta a la fracción.

Estas son las tareas que definitivamente necesitas resolver. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales sobre este tema y consejos prácticos. Calcula cuántos ejemplos pudiste resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...

Recuerde: la respuesta correcta es ¡Recibido por segunda (especialmente la tercera) vez no cuenta! Así de dura es la vida.

Entonces, resolver en modo examen ! Por cierto, esto ya es preparación para el Examen Estatal Unificado. Resolvemos el ejemplo, lo comprobamos, resolvemos el siguiente. Decidimos todo y volvimos a comprobar desde el principio hasta el último. Pero sólo Entonces mira las respuestas.

Calcular:

¿Has decidido?

Estamos buscando respuestas que coincidan con las suyas. Las escribí deliberadamente en desorden, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡me alegro por ti! ¡Los cálculos básicos con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Si no...

Entonces tienes uno de dos problemas. O ambas cosas a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Los números fraccionarios ordinarios se encuentran por primera vez con los escolares en quinto grado y los acompañan durante toda su vida, ya que en la vida cotidiana a menudo es necesario considerar o utilizar un objeto no en su conjunto, sino en partes separadas. Empiece a estudiar este tema: comparte. Las acciones son partes iguales., en el que se divide tal o cual objeto. Después de todo, no siempre es posible expresar, por ejemplo, la longitud o el precio de un producto como un número entero; se deben tener en cuenta partes o fracciones de alguna medida; Formada a partir del verbo "dividir", dividir en partes, y con raíces árabes, la palabra "fracción" surgió en el idioma ruso en el siglo VIII.

Las expresiones fraccionarias se han considerado durante mucho tiempo la rama más difícil de las matemáticas. En el siglo XVII, cuando aparecieron los primeros libros de texto de matemáticas, se les llamaba “números quebrados”, lo cual era muy difícil de entender para la gente.

Aspecto moderno Los restos fraccionarios simples, cuyas partes están separadas por una línea horizontal, fueron promovidos por primera vez por Fibonacci, Leonardo de Pisa. Sus obras están fechadas en 1202. Pero el propósito de este artículo es explicar de manera simple y clara al lector cómo se multiplican fracciones mixtas con diferentes denominadores.

Multiplicar fracciones con diferentes denominadores

Inicialmente vale la pena determinar tipos de fracciones:

• correcto;
• incorrecto;
• mezclado.

A continuación, debes recordar cómo se multiplican los números fraccionarios con los mismos denominadores. La regla misma de este proceso es fácil de formular de forma independiente: el resultado de la multiplicación fracciones simples con los mismos denominadores es una expresión fraccionaria, cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores de estas fracciones. Es decir, de hecho, el nuevo denominador es el cuadrado de uno de los inicialmente existentes.

Al multiplicar fracciones simples con diferentes denominadores para dos o más factores la regla no cambia:

a/b * C/d = a*c/ b*d.

La única diferencia es que el número resultante bajo la línea fraccionaria será el producto de diferentes números y, naturalmente, el cuadrado de uno. expresión numérica es imposible nombrarlo.

Vale la pena considerar la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores usando ejemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Los ejemplos utilizan métodos para reducir expresiones fraccionarias. Solo puedes reducir números de numerador con números de denominador; los factores adyacentes por encima o por debajo de la línea de fracción no se pueden reducir.

Junto con simples números fraccionarios, existe un concepto de fracciones mixtas. Un número mixto consta de un número entero y una parte fraccionaria, es decir, es la suma de estos números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

¿Cómo funciona la multiplicación?

Se proporcionan varios ejemplos para su consideración.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

El ejemplo utiliza la multiplicación de un número por parte fraccionaria ordinaria, la regla para esta acción se puede escribir como:

a* b/C = a*b /C.

De hecho, dicho producto es la suma de restos fraccionarios idénticos y el número de términos indica este número natural. Caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe otra solución para multiplicar un número por un resto fraccionario. Sólo necesitas dividir el denominador por este número:

d* mi/F = mi/f:d.

Esta técnica es útil cuando el denominador se divide por un número natural sin resto o, como dicen, por un número entero.

Convierte números mixtos a fracciones impropias y obtiene el producto de la forma descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este ejemplo involucra el método de presentación. fracción mixta incorrectamente, también se puede representar como una fórmula general:

a bC = a*b+ c/c, donde el denominador de la nueva fracción se forma multiplicando la parte entera por el denominador y sumándolo con el numerador del resto fraccionario original, y el denominador sigue siendo el mismo.

Este proceso también funciona en reverso. Para separar la parte entera y el resto fraccionario, es necesario dividir el numerador de una fracción impropia por su denominador utilizando una “esquina”.

Multiplicar fracciones impropias producido de una manera generalmente aceptada. Al escribir debajo de una sola línea de fracción, debes reducir las fracciones según sea necesario para reducir los números usando este método y facilitar el cálculo del resultado.

En Internet existen muchas ayudas para resolver incluso problemas matemáticos complejos en diversas variantes de programas. Un número suficiente de estos servicios ofrecen su ayuda para contar la multiplicación de fracciones con diferentes numeros en denominadores: las llamadas calculadoras en línea para calcular fracciones. Son capaces no sólo de multiplicar, sino también de realizar todas las demás operaciones aritméticas simples con fracciones ordinarias y números mixtos. Es fácil trabajar con él; usted completa los campos correspondientes en la página del sitio y selecciona el signo. operacion matematica y haga clic en "calcular". El programa calcula automáticamente.

El tema de las operaciones aritméticas con fracciones es relevante en toda la educación de los estudiantes de secundaria y preparatoria. En la escuela secundaria ya no consideran las especies más simples, sino expresiones fraccionarias enteras, pero el conocimiento de las reglas de transformación y cálculos obtenido anteriormente se aplica en su forma original. Un conocimiento básico bien dominado brinda total confianza para resolver con éxito los problemas más complejos.

En conclusión, tiene sentido citar las palabras de Lev Nikolaevich Tolstoi, quien escribió: “El hombre es una fracción. No está en el poder de una persona aumentar su numerador - sus méritos - pero cualquiera puede reducir su denominador - su opinión sobre sí mismo, y con esta disminución acercarse a su perfección.