Primer nivel

Grado y sus propiedades. guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitarás? ¿Por qué deberías tomarte el tiempo para estudiarlos?

Para aprender todo sobre las titulaciones, para qué sirven, cómo utilizar tus conocimientos en La vida cotidiana Lee este artículo.

Y, por supuesto, el conocimiento de las titulaciones te acercará a completar con exito OGE o Examen del Estado Unificado y admisión a la universidad de tus sueños.

¡Vamos vamos!)

¡Nota IMPORTANTE! Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

PRIMER NIVEL

La exponenciación es una operación matemática como la suma, la resta, la multiplicación o la división.

Ahora explicaré todo en lenguaje humano en muy ejemplos simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada persona tiene dos botellas de cola. ¿Cuánta cola hay? Así es, 16 botellas.

Ahora multiplicación.

El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra manera: . Los matemáticos son personas astutas y perezosas. Primero notan algunos patrones y luego descubren una manera de “contarlos” más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de cola y idearon una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y rápido que.

Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesitas recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto que puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otra más bonita:

¿Qué otros ingeniosos trucos de conteo se les han ocurrido a los matemáticos perezosos? Bien - elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia.

Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, entonces los matemáticos dicen que debes elevar ese número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que dos elevado a la quinta potencia es... Y resuelven esos problemas mentalmente: más rápido, más fácilmente y sin errores.

Todo lo que necesitas hacer es recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créame, esto le hará la vida mucho más fácil.

Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números, y el tercero - cubo? ¿Qué significa? Muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.

Ejemplo de la vida real n.° 1

Empecemos por el cuadrado o la segunda potencia del número.

Imaginemos una piscina cuadrada de un metro por un metro. La piscina está en tu casa de campo. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡la piscina no tiene fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con baldosas. ¿Cuántas fichas necesitas? Para determinar esto, es necesario conocer el área del fondo de la piscina.

Simplemente puedes calcular señalando con el dedo que el fondo de la piscina está formado por cubos de metro a metro. Si tienes baldosas de un metro por un metro, necesitarás piezas. Es fácil... ¿Pero dónde has visto esos azulejos? Lo más probable es que el mosaico sea cm por cm y luego te torturarán “contando con el dedo”. Entonces hay que multiplicar. Así, por un lado del fondo de la piscina encajaremos baldosas (trozos) y por el otro también baldosas. Multiplica por y obtendrás mosaicos ().

¿Te diste cuenta que para determinar el área del fondo de la piscina multiplicamos el mismo número por sí mismo? ¿Qué significa? Como estamos multiplicando el mismo número, podemos utilizar la técnica de la “exponenciación”. (Por supuesto, cuando solo tienes dos números, aún necesitas multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tienes muchos, elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos. . Para el Examen Estatal Unificado, esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado a la segunda potencia será (). O podemos decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.

Ejemplo de la vida real #2

Aquí tienes una tarea: cuenta cuántas casillas hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número... De un lado de las celdas y del otro también. Para contar su número, necesitas multiplicar ocho por ocho o... si notas que tablero de ajedrez- este es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar al cuadrado ocho. Obtendrás células. () ¿Entonces?

Ejemplo de la vida real #3

Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesitas saber cuánta agua habrá que verter en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y líquidos, por cierto, se miden en metros cubicos. Inesperado, ¿verdad?) Dibuja una piscina: un fondo que mide un metro y una profundidad de un metro e intenta contar cuántos cubos de un metro por un metro caben en tu piscina.

¡Solo señala con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro... veintidós, veintitrés... ¿Cuántos obtuviste? ¿No perdido? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡De modo que! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por eso se dieron cuenta de que para calcular el volumen de la piscina es necesario multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?

Ahora imagina lo perezosos y astutos que serían los matemáticos si también simplificaran esto. Reducimos todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Qué significa esto? Esto significa que puedes aprovechar el título. Entonces, lo que antes contabas con el dedo, ellos lo hacen en una sola acción: tres al cubo es igual. Está escrito así: .

Todo lo que queda es recuerda la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan vago y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.

Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos fueron inventados por personas astutas y que dejaron de fumar para resolver los problemas de su vida y no para crearte problemas, aquí tienes un par de ejemplos más de la vida.

Ejemplo de la vida real #4

Tienes un millón de rublos. Al principio de cada año, por cada millón que ganas, ganas otro millón. Es decir, cada millón que tienes se duplica al inicio de cada año. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora estás sentado y "cuentas con el dedo", entonces eres una persona muy trabajadora y... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos multiplicado por dos... en el segundo año - qué pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Para! Notaste que el número se multiplica por sí mismo. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que sepa contar más rápido se llevará estos millones… Vale la pena recordar los poderes de los números, ¿no crees?

Ejemplo de la vida real #5

Tienes un millón. Al principio de cada año, ganas dos más por cada millón. Genial ¿no? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplica por, luego el resultado por otro... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces elevado a la cuarta potencia es igual a un millón. Sólo hay que recordar que tres elevado a la cuarta potencia es o.

Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos... para no confundirse

Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es un exponente? Es muy simple: es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No es científico, pero es claro y fácil de recordar...

Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple: este es el número que se encuentra debajo, en la base.

Aquí hay un dibujo por si acaso.

Bien en vista general, para generalizar y recordar mejor... Un grado con base “ ” y exponente “ ” se lee “al grado” y se escribe de la siguiente manera:

Poder del número c indicador natural

Probablemente ya lo habrás adivinado: porque el exponente es número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son aquellos números que se utilizan al contar cuando se enumeran objetos: uno, dos, tres... Cuando contamos objetos, no decimos: "menos cinco", "menos seis", "menos siete". Tampoco decimos: “un tercio”, ni “cero punto cinco”. Estos no son números naturales. ¿Qué números crees que son estos?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete” se refieren a números enteros. En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y los números. El cero es fácil de entender: es cuando no hay nada. ¿Qué significan los números negativos (“menos”)? Pero se inventaron principalmente para indicar deudas: si tiene un saldo en su teléfono en rublos, esto significa que le debe rublos al operador.

Todas las fracciones son numeros racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados descubrieron que carecían de números naturales para medir la longitud, el peso, el área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales... Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Cuáles son estos números? En resumen, interminable decimal. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.

Resumen:

Definamos el concepto de grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo:
Cubetar un número al cubo significa multiplicarlo por sí mismo tres veces:

Definición. Elevar un número a una potencia natural significa multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de los grados

¿De dónde vinieron estas propiedades? Te lo mostraré ahora.

Veamos: ¿qué es? Y ?

Priorato A:

¿Cuántos multiplicadores hay en total?

Es muy simple: sumamos multiplicadores a los factores y el resultado son multiplicadores.

Pero por definición, esta es una potencia de un número con exponente, es decir: , que es lo que había que demostrar.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente¡Debe haber las mismas razones!
Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

¡sólo para el producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

2. eso es todo ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir?

Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa

Hasta este punto, sólo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero ¿cuál debería ser la base?

en poderes de indicador natural la base puede ser cualquier número. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ? Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por, funciona.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

¿Lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

¡El ejemplo 6) ya no es tan simple!

6 ejemplos para practicar

Análisis de la solución 6 ejemplos.

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero Llamamos a los números naturales, a sus opuestos (es decir, tomados con el signo " ") y al número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.:

Como siempre, preguntémonos: ¿por qué es así?

Consideremos algún grado con base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por y obtuvimos lo mismo que era: . ¿Por qué número debes multiplicar para que nada cambie? Así es, adelante. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multiplique cero por sí mismo, igual obtendrá cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número elevado a cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuánto de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.

Vamonos. Además de los números naturales y los números enteros, también se incluyen los números negativos. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos como la última vez: multiplicar algún número normal por el mismo número a una potencia negativa:

Desde aquí es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extendamos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número con potencia negativa es el recíproco del mismo número con potencia positiva. Pero al mismo tiempo La base no puede ser nula:(porque no se puede dividir por).

Resumamos:

I. La expresión no está definida en el caso. Si entonces.

II. Cualquier número elevado a cero es igual a uno: .

III. Un número distinto de cero elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos de soluciones independientes:

Análisis de problemas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el Examen Estatal Unificado hay que estar preparado para cualquier cosa! ¡Resuelve estos ejemplos o analiza sus soluciones si no pudiste resolverlos y aprenderás a afrontarlos fácilmente en el examen!

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora consideremos numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, y.

Para entender lo que es "grado fraccionario", considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtenerlo?

Esta formulación es la definición de la raíz del décimo grado.

Permítanme recordarles: la raíz de la enésima potencia de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la potencia ésima es la operación inversa de elevar a una potencia: .

Resulta que. Obviamente esto caso especial se puede ampliar: .

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener usando la regla de potencia a potencia:

¿Pero puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recordemos la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces pares de números negativos!

Esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar en forma de otras fracciones reducibles, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero si anotamos el indicador de otra manera, nuevamente nos meteremos en problemas: (es decir, ¡obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos único exponente base positivo con exponente fraccionario.

Así que si:

- número natural;
- número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:

5 ejemplos para practicar

Análisis de 5 ejemplos para la formación

Bueno, ahora viene la parte más difícil. Ahora lo resolveremos grado con exponente irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con exponente racional, con la excepción

Después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número elevado a la potencia cero- este es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía - por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , es decir, un número;

...grado entero negativo- es como si se hubiera producido un “proceso inverso”, es decir, el número no se multiplicaba por sí mismo, sino que se dividía.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades; tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Empecemos por la regla para elevar una potencia a potencia, que ya nos es habitual:

Ahora mira el indicador. ¿No te recuerda a nada? Recordemos la fórmula para la multiplicación abreviada de diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Reducimos fracciones en exponentes a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

NIVEL AVANZADO

Determinación del grado

Un título es una expresión de la forma: , donde:

— base de grado;
- exponente.

Titulación con indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo:

Grado con exponente entero (0, ±1, ±2,...)

Si el exponente es entero positivo número:

Construcción al grado cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número hasta el grado ésimo es esto.

Si el exponente es entero negativo número:

(porque no se puede dividir por).

Una vez más sobre los ceros: la expresión no está definida en el caso. Si entonces.

Ejemplos:

Potencia con exponente racional

- número natural;
- número entero;

Ejemplos:

Propiedades de los grados

Para que sea más fácil resolver los problemas, intentemos comprender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Demostrémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Priorato A:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición es una potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente debe haber las mismas razones. Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla - solo para producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Reagrupemos este trabajo así:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total: !

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa.

Hasta este punto sólo hemos discutido cómo debería ser índice grados. Pero ¿cuál debería ser la base? en poderes de natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán potencias de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos - .

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación posterior el signo cambiará. Podemos formular lo siguiente reglas simples:

incluso grado, - número positivo.
un numero negativo, incorporado extraño grado, - número negativo.
Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

El ejemplo 6) ya no es tan sencillo. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recordamos esto, queda claro que, y por tanto la base menos que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: anotamos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de ver la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula las expresiones:

Soluciones :

Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, se podría aplicar la regla 3, pero ¿cómo? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta así:

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No puedes reemplazarlo cambiando solo una desventaja que no nos gusta!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Ahora la última regla:

¿Cómo lo demostraremos? Eso sí, como siempre: ampliemos el concepto de titulación y lo simplifiquemos:

Bueno, ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras hay en total? veces por multiplicadores: ¿a qué te recuerda esto? Esto no es más que una definición de una operación. multiplicación: Allí solo había multiplicadores. Es decir, esto, por definición, es una potencia de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado con exponente irracional

Además de la información sobre grados para el nivel medio, analizaremos el grado con exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir , los números irracionales son todos números reales excepto los números racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número elevado a cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto “número en blanco”, es decir, un número; un grado con un exponente entero negativo: es como si hubiera ocurrido algún "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Es más bien un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades; tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él!

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Respuestas:

Recordemos la fórmula de diferencia de cuadrados. Respuesta: .
Reducimos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Grado llamada expresión de la forma: , donde:

Grado con exponente entero

un grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Potencia con exponente racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado con exponente irracional

un grado cuyo exponente es una fracción o raíz decimal infinita.

Propiedades de los grados

Características de los grados.

Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
Cero es igual a cualquier potencia.
Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.

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¡Y mucha suerte en tus exámenes!

Un grado con exponente negativo. División de poderes con una misma base. 4. Reduce los exponentes de 2a4/5a3 y 2/a4 y llévalos a un denominador común. La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Esta propiedad se extiende a la potencia del producto de tres o más factores. Por lo tanto, am−an>0 y am>an, que es lo que había que demostrar. Queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de potencias con exponentes naturales.

Tenga en cuenta que la propiedad número 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso. Es decir, para multiplicar potencias con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases, pero dejar el exponente sin cambios. Calcular el valor de una potencia se llama acción de exponenciación. Es decir, al calcular el valor de una expresión que no contiene paréntesis, primero se realiza la acción de la tercera etapa, luego la segunda (multiplicación y división) y, finalmente, la primera (suma y resta).

Una vez determinado el grado de un número, es lógico hablar de las propiedades del grado. En este artículo daremos las propiedades básicas de la potencia de un número, abordando todos los exponentes posibles. Aquí proporcionaremos pruebas de todas las propiedades de los grados y también mostraremos cómo se utilizan estas propiedades al resolver ejemplos. Observemos de inmediato que todas las igualdades escritas son idénticas si se cumplen las condiciones especificadas y sus lados derecho e izquierdo se pueden intercambiar.

Pongamos un ejemplo que confirme la propiedad principal del título. Antes de presentar la prueba de esta propiedad, analicemos el significado de las condiciones adicionales en la formulación. La condición m>n se introduce para que no vayamos más allá de los exponentes naturales. La propiedad principal de una fracción nos permite escribir la igualdad am−n·an=a(m−n)+n=am.

Transición a una nueva fundación.

Es decir, la propiedad de grado natural n de un producto de k factores se escribe como (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Para mayor claridad, mostraremos esta propiedad con un ejemplo. La prueba se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Por ejemplo, para cualquier número natural p, q, r y s la igualdad es verdadera. Para mayor claridad, demos un ejemplo con números específicos: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Este hecho y las propiedades de la multiplicación sugieren que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Es bastante obvio que para cualquier entero positivo n con a=0 el grado de an es cero. De hecho, 0n=0·0·…·0=0. Por ejemplo, 03=0 y 0762=0. Pasemos a bases de grado negativas. Comencemos con el caso en el que el exponente es un número par, denotémoslo como 2·m, donde m es un número natural.

Procedamos a la prueba de esta propiedad. Probemos eso para m>n y 0. Usando el mismo principio, podemos probar todas las demás propiedades de un grado con un exponente entero, escrito en forma de igualdades. Las condiciones p 0 en este caso serán equivalentes a las condiciones m 0, respectivamente. En este caso, la condición p>q corresponderá a la condición m1>m2, que se desprende de la regla de comparación fracciones ordinarias con los mismos denominadores.

Operaciones con raíces. Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado potencias sólo con exponentes naturales, pero las operaciones con potencias y raíces también pueden conducir a exponentes negativos, cero y fraccionarios; Todos estos exponentes requieren una definición adicional. Si queremos que la fórmula a m: a n=a m - n sea válida para m = n, necesitamos una definición de grado cero. Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles.

Extrayendo el exponente del logaritmo

Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan! Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Es posible evaluar cuán convenientes son solo decidiendo ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos. A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada.

Propiedades de grados, formulaciones, pruebas, ejemplos.

El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo. Así se llama: básico. identidad logarítmica. Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible. En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo.

Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias.

Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno. 1 = 0 es cero logarítmico. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición. Esas son todas las propiedades. Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Unidad logarítmica y cero logarítmico

2.a-4 es a-2 el primer numerador. En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente. Esta es la acción de la tercera etapa. Por ejemplo, la propiedad básica de la fracción am·an=am+n se usa a menudo en la forma am+n=am·an al simplificar expresiones. La condición a≠0 es necesaria para evitar la división por cero, ya que 0n=0, y cuando nos presentaron la división, estuvimos de acuerdo en que no podemos dividir por cero. De la igualdad resultante am−n·an=am y de la conexión entre multiplicación y división se deduce que am−n es el cociente de las potencias am y an. Esto prueba la propiedad de las potencias cocientes con por los mismos motivos.

De manera similar, si q=0, entonces (ap)0=1 y ap·0=a0=1, de donde (ap)0=ap·0. En mas ejemplos complejos Puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse sobre potencias con por diferentes razones Y diferentes indicadores. Estas desigualdades en las propiedades de las raíces se pueden reescribir como y. Y la definición de un grado con exponente racional nos permite pasar a las desigualdades y, en consecuencia.

Si necesitas elevar un número específico a una potencia, puedes usar . Ahora echaremos un vistazo más de cerca propiedades de los grados.

Números exponenciales abren grandes posibilidades, nos permiten transformar la multiplicación en suma, y sumar es mucho más fácil que multiplicar.

Por ejemplo, necesitamos multiplicar 16 por 64. El producto de multiplicar estos dos números es 1024. Pero 16 es 4x4 y 64 es 4x4x4. Es decir, 16 por 64 = 4x4x4x4x4, que también es igual a 1024.

El número 16 también se puede representar como 2x2x2x2, y el 64 como 2x2x2x2x2x2, y si multiplicamos, obtenemos nuevamente 1024.

Ahora usemos la regla. 16=4 2, o 2 4, 64=4 3, o 2 6, al mismo tiempo 1024=6 4 =4 5, o 2 10.

Por lo tanto, nuestro problema se puede escribir de otra manera: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, y cada vez obtenemos 1024.

Podemos resolver varios ejemplos similares y ver que multiplicar números con potencias se reduce a sumando exponentes, o exponencial, por supuesto, siempre que las bases de los factores sean iguales.

Por lo tanto, sin realizar la multiplicación, podemos decir inmediatamente que 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Esta regla también es cierta al dividir números con potencias, pero en este caso el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo. Así, 2 5:2 3 =2 2, que en números ordinarios es igual a 32:8 = 4, es decir, 2 2. Resumamos:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, donde myn son números enteros.

A primera vista puede parecer que esto es multiplicar y dividir números con potencias No es muy conveniente, porque primero debes representar el número en forma exponencial. No es difícil representar los números 8 y 16, es decir, 2 3 y 2 4, de esta forma, pero ¿cómo hacerlo con los números 7 y 17? O qué hacer en los casos en que un número se puede representar en forma exponencial, pero las bases para las expresiones exponenciales de números son muy diferentes. Por ejemplo, 8x9 es 2 3 x 3 2, en cuyo caso no podemos sumar los exponentes. Ni 2 5 ni 3 5 son la respuesta, ni la respuesta se encuentra en el intervalo entre estos dos números.

Entonces, ¿vale la pena molestarse con este método? Definitivamente vale la pena. Proporciona enormes beneficios, especialmente para cálculos complejos y que requieren mucho tiempo.

Primer nivel

Grado y sus propiedades. La guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitarás? ¿Por qué deberías tomarte el tiempo para estudiarlos?

Para aprender todo sobre los títulos, para qué sirven y cómo utilizar sus conocimientos en la vida cotidiana, lea este artículo.

Y, por supuesto, el conocimiento de las carreras te acercará a aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado y a ingresar a la universidad de tus sueños.

¡Vamos vamos!)

¡Nota IMPORTANTE! Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

PRIMER NIVEL

La exponenciación es una operación matemática como la suma, la resta, la multiplicación o la división.

Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Cada persona tiene dos botellas de cola. ¿Cuánta cola hay? Así es, 16 botellas.

Ahora multiplicación.

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otra más bonita:

¿Qué otros ingeniosos trucos de conteo se les han ocurrido a los matemáticos perezosos? Bien - elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia.

Todo lo que necesitas hacer es recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créame, esto le hará la vida mucho más fácil.

Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números, y el tercero - cubo? ¿Qué significa? Muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.

Ejemplo de la vida real n.° 1

Empecemos por el cuadrado o la segunda potencia del número.

Ejemplo de la vida real #2

Aquí tienes una tarea: cuenta cuántas casillas hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número... De un lado de las celdas y del otro también. Para calcular su número, necesitas multiplicar ocho por ocho o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar el ocho al cuadrado. Obtendrás células. () ¿Entonces?

Ejemplo de la vida real #3

Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesitas saber cuánta agua habrá que verter en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿no?) Dibuja una piscina: el fondo tiene un tamaño de un metro y un metro de profundidad, y trata de calcular cuántos cubos que miden un metro por un metro encajar en su piscina.

Ejemplo de la vida real #4

Ejemplo de la vida real #5

Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos... para no confundirse

Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple: este es el número que se encuentra debajo, en la base.

Aquí hay un dibujo por si acaso.

Bueno, en términos generales, para generalizar y recordar mejor... Un grado con base “ ” y exponente “ ” se lee “al grado” y se escribe de la siguiente manera:

Potencia de un número con exponente natural.

Probablemente ya lo habrás adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son aquellos números que se utilizan al contar cuando se enumeran objetos: uno, dos, tres... Cuando contamos objetos, no decimos: "menos cinco", "menos seis", "menos siete". Tampoco decimos: “un tercio”, ni “cero punto cinco”. Estos no son números naturales. ¿Qué números crees que son estos?

Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados descubrieron que carecían de números naturales para medir la longitud, el peso, el área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales... Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Cuáles son estos números? En resumen, es una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.

Resumen:

Definamos el concepto de grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo:
Cubetar un número al cubo significa multiplicarlo por sí mismo tres veces:

Definición. Elevar un número a una potencia natural significa multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de los grados

¿De dónde vinieron estas propiedades? Te lo mostraré ahora.

Veamos: ¿qué es? Y ?

Priorato A:

¿Cuántos multiplicadores hay en total?

Es muy simple: sumamos multiplicadores a los factores y el resultado son multiplicadores.

Pero por definición, esta es una potencia de un número con exponente, es decir: , que es lo que había que demostrar.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente¡Debe haber las mismas razones!
Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

¡sólo para el producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

2. eso es todo ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir?

Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa

Hasta este punto, sólo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero ¿cuál debería ser la base?

en poderes de indicador natural la base puede ser cualquier número. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ? Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por, funciona.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

¿Lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

¡El ejemplo 6) ya no es tan simple!

6 ejemplos para practicar

Análisis de la solución 6 ejemplos.

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero Llamamos a los números naturales, a sus opuestos (es decir, tomados con el signo " ") y al número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.:

Como siempre, preguntémonos: ¿por qué es así?

Consideremos algún grado con base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por y obtuvimos lo mismo que era: . ¿Por qué número debes multiplicar para que nada cambie? Así es, adelante. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Desde aquí es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extendamos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número con potencia negativa es el recíproco del mismo número con potencia positiva. Pero al mismo tiempo La base no puede ser nula:(porque no se puede dividir por).

Resumamos:

I. La expresión no está definida en el caso. Si entonces.

II. Cualquier número elevado a cero es igual a uno: .

III. Un número distinto de cero elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos de soluciones independientes:

Análisis de problemas para solución independiente:

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora consideremos numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, y.

Para entender lo que es "grado fraccionario", considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtenerlo?

Esta formulación es la definición de la raíz del décimo grado.

Permítanme recordarles: la raíz de la enésima potencia de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la potencia ésima es la operación inversa de elevar a una potencia: .

Resulta que. Evidentemente, este caso especial puede ampliarse: .

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener usando la regla de potencia a potencia:

¿Pero puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recordemos la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces pares de números negativos!

Esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar en forma de otras fracciones reducibles, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero si anotamos el indicador de otra manera, nuevamente nos meteremos en problemas: (es decir, ¡obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos único exponente base positivo con exponente fraccionario.

Así que si:

- número natural;
- número entero;