En esta lección veremos varias desigualdades exponenciales y aprenderemos cómo resolverlas, basándonos en la técnica para resolver las más simples. desigualdades exponenciales

1. Definición y propiedades de una función exponencial.

Recordemos la definición y las propiedades básicas de la función exponencial. La solución de todas las ecuaciones y desigualdades exponenciales se basa en estas propiedades.

Funcion exponencial es una función de la forma , donde la base es el grado y aquí x es la variable independiente, argumento; y es la variable dependiente, función.

Arroz. 1. Gráfica de función exponencial

La gráfica muestra exponentes crecientes y decrecientes, lo que ilustra la función exponencial con una base mayor que uno y menor que uno pero mayor que cero, respectivamente.

Ambas curvas pasan por el punto (0;1)

Propiedades de la función exponencial:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona, aumenta con, disminuye con.

Una función monótona toma cada uno de sus valores dado un único valor de argumento.

Cuando , cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función aumenta de cero inclusive a más infinito, es decir, para valores dados del argumento tenemos una función monótonamente creciente (). Por el contrario, cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función disminuye de infinito a cero inclusive, es decir, para valores dados del argumento tenemos una función monótonamente decreciente ().

2. Las desigualdades exponenciales más simples, método de solución, ejemplo.

Con base en lo anterior, presentamos un método para resolver desigualdades exponenciales simples:

Técnica para resolver desigualdades:

Igualar las bases de los grados;

Compara indicadores manteniendo o cambiando el signo de desigualdad al opuesto.

La solución a desigualdades exponenciales complejas suele consistir en reducirlas a las desigualdades exponenciales más simples.

La base del grado es mayor que uno, lo que significa que se conserva el signo de desigualdad:

transformemos lado derecho según las propiedades del título:

La base del grado es menor que uno, se debe invertir el signo de desigualdad:

Para resolver la desigualdad cuadrática, resolvemos la ecuación cuadrática correspondiente:

Usando el teorema de Vieta encontramos las raíces:

Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba.

Por tanto, tenemos una solución a la desigualdad:

Es fácil adivinar que el lado derecho se puede representar como una potencia con exponente cero:

La base del grado es mayor que uno, el signo de desigualdad no cambia, obtenemos:

Recordemos la técnica para resolver tales desigualdades.

Considere la función fraccionaria-racional:

Encontramos el dominio de definición:

Encontrar las raíces de la función:

La función tiene una sola raíz,

Seleccionamos intervalos de signo constante y determinamos los signos de la función en cada intervalo:

Arroz. 2. Intervalos de constancia de signo

Así recibimos la respuesta.

Respuesta:

3. Resolver desigualdades exponenciales estándar

Consideremos desigualdades con los mismos indicadores, pero bases diferentes.

Una de las propiedades de la función exponencial es que para cualquier valor del argumento toma valores estrictamente positivos, lo que significa que se puede dividir en una función exponencial. Dividamos la desigualdad dada por su lado derecho:

La base del grado es mayor que uno, se conserva el signo de desigualdad.

Ilustremos la solución:

La figura 6.3 muestra gráficas de funciones y . Obviamente, cuando el argumento es mayor que cero, la gráfica de la función es mayor, esta función es mayor. Cuando los valores de los argumentos son negativos, la función baja, es más pequeña. Cuando el argumento es igual, las funciones son iguales, lo que significa Punto dado también es una solución a la desigualdad dada.

Arroz. 3. Ilustración por ejemplo 4

Transformemos la desigualdad dada según las propiedades del grado:

Aquí hay algunos términos similares:

Dividamos ambas partes en:

Ahora continuamos resolviendo de manera similar al ejemplo 4, dividimos ambas partes entre:

La base del grado es mayor que uno, el signo de desigualdad queda:

4. Solución gráfica de desigualdades exponenciales.

Ejemplo 6: resuelve la desigualdad gráficamente:

Miremos las funciones de los lados izquierdo y derecho y construyamos una gráfica para cada una de ellas.

La función es exponencial y aumenta en todo su dominio de definición, es decir, para todos los valores reales del argumento.

La función es lineal y decrece en todo su dominio de definición, es decir, para todos los valores reales del argumento.

Si estas funciones se cruzan, es decir, el sistema tiene una solución, entonces dicha solución es única y puede adivinarse fácilmente. Para hacer esto, iteramos sobre números enteros ()

Es fácil ver que la raíz de este sistema es:

Así, las gráficas de las funciones se cruzan en un punto con un argumento igual a uno.

Ahora necesitamos obtener una respuesta. El significado de la desigualdad dada es que el exponente debe ser mayor o igual a función lineal, es decir, ser superior o coincidir con él. La respuesta es obvia: (Figura 6.4)

Arroz. 4. Ilustración del ejemplo 6

Entonces, buscamos resolver varias desigualdades exponenciales estándar. A continuación pasamos a considerar desigualdades exponenciales más complejas.

Bibliografía

Mordkovich A. G. Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Avutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. et al. Álgebra y los inicios del análisis matemático. - M.: Iluminación.

Matemáticas. Maryland. Matemáticas-repetición. com. Difu. kemsu. ru.

Tarea

1. Álgebra y los inicios del análisis, grados 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Resuelve la desigualdad:

3. Resuelve la desigualdad.

Teoría:

Al resolver desigualdades, se utilizan las siguientes reglas:

1. Cualquier término de la desigualdad se puede transferir de una parte.
desigualdad en otra de signo opuesto, pero el signo de la desigualdad no cambia.

2. Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar o dividir por uno.
y el mismo número positivo sin cambiar el signo de desigualdad.

3. Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar o dividir por uno.
y también un numero negativo, cambiando el signo de desigualdad a
opuesto.

Resolver desigualdad − 8 x + 11< − 3 x − 4
Solución.

1. Movamos el pene −3x V lado izquierdo desigualdades y el término 11 - al lado derecho de la desigualdad, cambiando los signos al opuesto −3x y en 11 .
Entonces obtenemos

− 8x + 3x< − 4 − 11

− 5x< − 15

2. Dividamos ambos lados de la desigualdad. − 5x< − 15 a un numero negativo − 5 , y el signo de desigualdad < , cambiará a > , es decir. pasamos a una desigualdad de significado opuesto.
Obtenemos:

− 5x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— solución de una desigualdad dada.

¡Prestar atención!

Hay dos opciones para escribir una solución: x > 3 o como un intervalo numérico.

Marquemos el conjunto de soluciones a la desigualdad en la recta numérica y escribamos la respuesta en forma de intervalo numérico.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Respuesta: x > 3 o x ∈ (3 ; + ∞ )

Desigualdades algebraicas.

Desigualdades cuadráticas. Desigualdades racionales de grados superiores.

Los métodos para resolver desigualdades dependen principalmente de a qué clase pertenecen las funciones que componen la desigualdad.

1. I. Desigualdades cuadráticas, es decir, desigualdades de la forma

hacha 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Para resolver la desigualdad puedes:

1. Factoriza el trinomio cuadrado, es decir, escribe la desigualdad en la forma

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Traza las raíces del polinomio en la recta numérica. Las raíces dividen el conjunto de números reales en intervalos, en cada uno de los cuales hay un correspondiente función cuadrática será de signo constante.
2. Determina el signo de a (x - x 1) (x - x 2) en cada intervalo y escribe la respuesta.

Si un trinomio cuadrado no tiene raíces, entonces para D<0 и a>0 trinomio cuadrado es positivo para cualquier x.

• Resuelve la desigualdad. x 2 + x - 6 > 0.

Factoriza el trinomio cuadrático (x + 3) (x - 2) > 0

Respuesta: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Esta desigualdad es cierta para cualquier x excepto x = 6.

Respuesta: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Aquí D.< 0, a = 1 >0. El trinomio cuadrado es positivo para todo x.

Respuesta: x Î Ø.

Resolver desigualdades:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Respuesta:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Respuesta:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Respuesta:
5. ¿Para qué valores de a la desigualdad

x² - ax > se cumple para cualquier x? Respuesta:

1. II. Desigualdades racionales de grados superiores, es decir, desigualdades de la forma

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinomio el grado más alto debe factorizarse, es decir, la desigualdad debe escribirse en la forma

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Marca los puntos en la recta numérica en los que el polinomio desaparece.

Determina los signos del polinomio en cada intervalo.

1) Resuelve la desigualdad x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Entonces x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Respuesta: (0; 1) (2; 3).

2) Resuelve la desigualdad (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Marquemos los puntos en el eje numérico en los que el polinomio desaparece. Estos son x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

En el punto x = - ½ no hay cambio de signo porque el binomio (2x + 1) se eleva a una potencia par, es decir, la expresión (2x + 1) 4 no cambia de signo al pasar por el punto x = - ½.

Respuesta: (-∞; -2) (½; 1).

3) Resuelve la desigualdad: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Esta desigualdad es equivalente al siguiente conjunto

La solución a (1) es x (-∞; -2) (3; +∞). La solución a (2) es x = 0, x = -2, x = 3. Combinando las soluciones obtenidas, obtenemos x О (-∞; -2] (0) (0) )