Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.

Por ejemplo:

El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide a un número dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto .

Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12. El divisor común de estos dos números a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b.

Múltiplos comunes varios números es un número que es divisible por cada uno de estos números. Por ejemplo, los números 9, 18 y 45 tienen un múltiplo común de 180. Pero 90 y 360 también son sus múltiplos comunes. Entre todos los múltiplos comunes siempre hay uno más pequeño, en este caso es 90. Este número se llama el mas pequeñomúltiplo común (MMC).

El MCM es siempre un número natural que debe ser mayor que el mayor de los números para los que está definido.

Mínimo común múltiplo (MCM). Propiedades.

Conmutatividad:

Asociatividad:

En particular, si y son números coprimos, entonces:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros metro Y norte es divisor de todos los demás múltiplos comunes metro Y norte. Además, el conjunto de múltiplos comunes metro, norte coincide con el conjunto de múltiplos del MCM( metro, norte).

Las asintóticas para se pueden expresar en términos de algunas funciones de teoría de números.

Entonces, función de Chebyshev. Y:

Esto se desprende de la definición y propiedades de la función Landau. g(n).

Lo que se sigue de la ley de distribución de números primos.

Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).

NOC( a, b) se puede calcular de varias maneras:

1. Si se conoce el máximo común divisor, se puede utilizar su conexión con el MCM:

2. Conozcamos la descomposición canónica de ambos números en factores primos:

Dónde p 1 ,...,p k- varios números primos, y re 1 ,..., re k Y mi 1 ,...,e k— enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión).

Entonces NOC ( a,b) se calcula mediante la fórmula:

En otras palabras, la descomposición MCM contiene todos los factores primos incluidos en al menos una de las descomposiciones de números. a, b, y se toma el mayor de los dos exponentes de este multiplicador.

Ejemplo:

El cálculo del mínimo común múltiplo de varios números se puede reducir a varios cálculos secuenciales del MCM de dos números:

Regla. Para encontrar el MCM de una serie de números, necesitas:

- descomponer números en factores primos;

- transferir la expansión más grande (el producto de los factores del producto deseado) a los factores del producto deseado gran número de los dados), y luego sumar factores de la expansión de otros números que no aparecen en el primer número o aparecen en él menos veces;

— el producto resultante de factores primos será el MCM de los números dados.

Dos o más números naturales tener su propio CON. Si los números no son múltiplos entre sí o no tienen los mismos factores en la expansión, entonces su MCM es igual al producto de estos números.

Los factores primos del número 28 (2, 2, 7) se complementan con el factor 3 (el número 21), el producto resultante (84) será el número más pequeño, que es divisible por 21 y 28.

Los factores primos del número mayor 30 se complementan con el factor 5 del número 25, el producto resultante 150 es mayor que el número mayor 30 y es divisible por todos los números dados sin resto. Este menor producto de los posibles (150, 250, 300...), de los cuales todos los números dados son múltiplos.

Los números 2,3,11,37 son números primos, por lo que su MCM es igual al producto de los números dados.

Regla. Para calcular el MCM de números primos, debes multiplicar todos estos números.

Otra opción:

Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de varios números necesitas:

1) representar cada número como producto de sus factores primos, por ejemplo:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) escribe las potencias de todos los factores primos:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) escriba todos los divisores primos (multiplicadores) de cada uno de estos números;

4) elegir el mayor grado de cada uno de ellos, que se encuentra en todas las expansiones de estos números;

5) multiplicar estos poderes.

Ejemplo. Encuentra el MCM de los números: 168, 180 y 3024.

Solución. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Anotamos las potencias mayores de todos los divisores primos y las multiplicamos:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Consideremos resolver el siguiente problema. El paso del niño es de 75 cm y el de la niña es de 60 cm. Es necesario encontrar la distancia más pequeña a la que ambos dan un número entero de pasos.

Solución. Todo el camino que recorrerán los chicos debe ser divisible entre 60 y 70, ya que cada uno debe dar un número entero de pasos. En otras palabras, la respuesta debe ser múltiplo de 75 y 60.

Primero, escribiremos todos los múltiplos del número 75. Obtenemos:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ahora anotamos los números que serán múltiplos de 60. Obtenemos:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ahora encontramos los números que están en ambas filas.

• Los múltiplos comunes de números serían 300, 600, etc.

El más pequeño de ellos es el número 300. En este caso, se llamará mínimo común múltiplo de los números 75 y 60.

Volviendo a la condición del problema, la distancia más pequeña a la que los chicos darán un número entero de pasos será 300 cm. El niño recorrerá este camino en 4 pasos y la niña deberá dar 5 pasos.

Determinar el mínimo común múltiplo

• El mínimo común múltiplo de dos números naturales a y b es el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números, no es necesario anotar todos los múltiplos de estos números seguidos.

Puede utilizar el siguiente método.

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo

Primero necesitas factorizar estos números en factores primos.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ahora anotemos todos los factores que están en la expansión del primer número (2,2,3,5) y sumemos todos los factores que faltan de la expansión del segundo número (5).

Como resultado, obtenemos una serie de números primos: 2,2,3,5,5. El producto de estos números será el mínimo común divisor de estos números. 2*2*3*5*5 = 300.

Esquema general para encontrar el mínimo común múltiplo.

• 1. Dividir números en factores primos.
• 2. Escribe los factores primos que forman parte de uno de ellos.
• 3. Sumar a estos factores todos los que están en la expansión de los demás, pero no en el seleccionado.
• 4. Encuentra el producto de todos los factores escritos.

Este método es universal. Se puede utilizar para encontrar el mínimo común múltiplo de cualquier número de números naturales.

Definición. El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor (MCD) estos números.

Encontremos el más grande. común divisor números 24 y 35.
Los divisores de 24 son los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los divisores de 35 son los números 1, 5, 7, 35.
Vemos que los números 24 y 35 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primos.

Definición. Los números naturales se llaman mutuamente primos, si su máximo común divisor (MCD) es 1.

Máximo divisor común (MCD) se puede encontrar sin escribir todos los divisores de los números dados.

Factoricemos los números 48 y 36 y obtengamos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
De los factores incluidos en la expansión del primero de estos números, tachamos aquellos que no están incluidos en la expansión del segundo número (es decir, dos dos).
Los factores restantes son 2 * 2 * 3. Su producto es igual a 12. Este número es el máximo común divisor de los números 48 y 36. También se encuentra el máximo común divisor de tres o más números.

Encontrar máximo común divisor

2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachar los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.

Si todos los números dados son divisibles por uno de ellos, entonces este número es máximo común divisor números dados.
Por ejemplo, el máximo común divisor de los números 15, 45, 75 y 180 es el número 15, ya que todos los demás números son divisibles por él: 45, 75 y 180.

Mínimo común múltiplo (MCM)

Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) Los números naturales a y b son el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b. El mínimo común múltiplo (MCM) de los números 75 y 60 se puede encontrar sin escribir los múltiplos de estos números seguidos. Para hacer esto, factoricemos 75 y 60 en factores primos: 75 = 3 * 5 * 5 y 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Anotamos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y les sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del segundo número (es decir, combinamos los factores).
Obtenemos cinco factores 2 * 2 * 3 * 5 * 5, cuyo producto es 300. Este número es el mínimo común múltiplo de los números 75 y 60.

También encuentran el mínimo común múltiplo de tres o más números.

A encontrar el mínimo común múltiplo varios números naturales, necesitas:
1) factorizarlos en factores primos;
2) anotar los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregarles los factores que faltan de las expansiones de los números restantes;
4) encuentre el producto de los factores resultantes.

Tenga en cuenta que si uno de estos números es divisible por todos los demás números, entonces este número es el mínimo común múltiplo de estos números.
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 12, 15, 20 y 60 es 60 porque es divisible por todos esos números.

Pitágoras (siglo VI aC) y sus alumnos estudiaron la cuestión de la divisibilidad de los números. Número, igual a la suma Llamaron número perfecto a todos sus divisores (sin el número en sí). Por ejemplo, los números 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son perfectos. Los siguientes números perfectos son 496, 8128, 33.550.336. Los pitagóricos sólo conocían los primeros tres números perfectos. El cuarto, 8128, se hizo conocido en el siglo I. norte. mi. El quinto, 33.550.336, fue encontrado en el siglo XV. En 1983 ya se conocían 27 números perfectos. Pero los científicos aún no saben si existen números perfectos impares o si existe un número perfecto mayor.
El interés de los antiguos matemáticos por los números primos se debe a que cualquier número es primo o puede representarse como producto de números primos, es decir, los números primos son como ladrillos a partir de los cuales se construyen el resto de los números naturales.
Probablemente hayas notado que los números primos en la serie de números naturales ocurren de manera desigual: en algunas partes de la serie hay más, en otras, menos. Pero cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un último (mayor) número primo? El antiguo matemático griego Euclides (siglo III a. C.), en su libro "Elementos", que fue el principal libro de texto de matemáticas durante dos mil años, demostró que hay infinitos números primos, es decir, detrás de cada número primo hay un primo aún mayor. número.
Para encontrar números primos, otro matemático griego de la misma época, Eratóstenes, ideó este método. Escribió todos los números desde 1 hasta algún número y luego tachó uno, que no es ni primo ni número compuesto, luego tachó por uno todos los números que vienen después del 2 (números que son múltiplos de 2, es decir, 4, 6, 8, etc.). El primer número que quedó después del 2 fue el 3. Luego, después del dos, todos los números que venían después del 3 (números que eran múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.) fueron tachados. al final sólo quedaron sin cruzar los números primos.

Múltiplos comunes

En pocas palabras, cualquier número entero que sea divisible por cada uno de los números dados es múltiplo común números enteros dados.

Puedes encontrar el múltiplo común de dos o más números enteros.

Ejemplo 1

Calcula el múltiplo común de dos números: $2$ y $5$.

Solución.

Por definición, el múltiplo común de $2$ y $5$ es $10$, porque es múltiplo del número $2$ y del número $5$:

Los múltiplos comunes de los números $2$ y $5$ también serán los números $–10, 20, –20, 30, –30$, etc., porque todos están divididos en los números $2$ y $5$.

Nota 1

Cero es un múltiplo común de cualquier número de números enteros distintos de cero.

Según las propiedades de la divisibilidad, si un determinado número es múltiplo común de varios números, entonces el número de signo opuesto también será un múltiplo común de los números dados. Esto se puede ver en el ejemplo considerado.

Para números enteros dados, siempre puedes encontrar su múltiplo común.

Ejemplo 2

Calcula el múltiplo común de $111$ y $55$.

Solución.

Multipliquemos los números dados: $111\div 55=6105$. Es fácil verificar que el número $6105$ es divisible por el número $111$ y el número $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div55=$111.

Por lo tanto, $6105$ es un múltiplo común de $111$ y $55$.

Respuesta: El múltiplo común de $111$ y $55$ es $6105$.

Pero, como ya hemos visto en el ejemplo anterior, este múltiplo común no es uno. Otros múltiplos comunes serían $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$, etc. Así, llegamos a la siguiente conclusión:

Nota 2

Cualquier conjunto de números enteros tiene un número infinito de múltiplos comunes.

En la práctica, se limitan a encontrar múltiplos comunes sólo de números enteros positivos (naturales), porque los conjuntos de múltiplos de un número dado y su opuesto coinciden.

Determinar el mínimo común múltiplo

De todos los múltiplos de números dados, el mínimo común múltiplo (MCM) es el que se utiliza con mayor frecuencia.

Definición 2

El mínimo común múltiplo positivo de números enteros dados es minimo común multiplo estos números.

Ejemplo 3

Calcula el MCM de los números $4$ y $7$.

Solución.

Porque estos números no tienen divisores comunes, entonces $LCM(4,7)=28$.

Respuesta: $NOOK (4,7)=28$.

Encontrar NOC a través de GCD

Porque existe una conexión entre LCM y GCD, con su ayuda puedes calcular MCM de dos números enteros positivos:

Nota 3

Ejemplo 4

Calcula el MCM de los números $232$ y $84$.

Solución.

Usemos la fórmula para encontrar el MCM a través del MCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(MCD (a,b))$

Encontremos el MCD de los números $232$ y $84$ usando el algoritmo euclidiano:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Aquellos. $MCD(232, 84)=4$.

Encontremos $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Respuesta: $NOK (232,84)=$4872.

Ejemplo 5

Calcule $LCD(23, 46)$.

Solución.

Porque $46$ es divisible por $23$, entonces $mcd (23, 46)=23$. Encontremos el LOC:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Respuesta: $NOK (23,46)=$46.

Así, se puede formular regla:

Nota 4

El mínimo común múltiplo de dos números está directamente relacionado con el máximo común divisor de esos números. Este conexión entre GCD y NOC está determinada por el siguiente teorema.

Teorema.

El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es igual al producto de a y b dividido por el máximo común divisor de a y b, es decir, MCM(a, b)=a b:MCD(a, b).

Prueba.

Dejar M es algún múltiplo de los números a y b. Es decir, M es divisible por a, y según la definición de divisibilidad, existe algún número entero k tal que la igualdad M=a·k es verdadera. Pero M también es divisible por b, entonces a·k es divisible por b.

Denotemos mcd(a, b) como d. Entonces podemos escribir las igualdades a=a 1 ·d y b=b 1 ·d, y a 1 =a:d y b 1 =b:d serán números primos relativos. En consecuencia, la condición obtenida en el párrafo anterior de que a · k es divisible por b se puede reformular de la siguiente manera: a 1 · d · k se divide por b 1 · d , y esto, por propiedades de divisibilidad, equivale a la condición que a 1 · k es divisible por b 1 .

También es necesario escribir dos corolarios importantes del teorema considerado.

Los múltiplos comunes de dos números son iguales que los múltiplos de su mínimo común múltiplo.

De hecho, este es el caso, ya que cualquier múltiplo común de M de los números a y b está determinado por la igualdad M=LMK(a, b)·t para algún valor entero t.

El mínimo común múltiplo de los números positivos entre sí primos a y b es igual a su producto.

La razón de este hecho es bastante obvia. Dado que a y b son primos relativos, entonces mcd(a, b)=1, por lo tanto, MCD(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo común múltiplo de tres o más números

Encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números se puede reducir a encontrar secuencialmente el MCM de dos números. Cómo se hace esto se indica en el siguiente teorema a 1 , a 2 , …, a k coinciden con los múltiplos comunes de los números m k-1 y a k , por tanto, coinciden con los múltiplos comunes del número m k . Y dado que el múltiplo positivo más pequeño del número m k es el número m k en sí, entonces el múltiplo común más pequeño de los números a 1, a 2, ..., a k es m k.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya. y otros. 6to grado: libro de texto para instituciones de educación general.
• Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
• Mikhelovich Sh.H. Teoría de los números.
• Kulikov L.Ya. y otros. Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Tutorial para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de institutos pedagógicos.