pequeña y bonita Tarea simple de la categoría de los que sirven como salvavidas para un estudiante flotante. Estamos a mediados de julio en la naturaleza, por lo que es hora de instalarse con su computadora portátil en la playa. A primera hora de la mañana empezó a sonar el rayo de sol de la teoría, para pronto centrarse en la práctica, que, a pesar de la facilidad declarada, contiene fragmentos de vidrio en la arena. En este sentido, te recomiendo que consideres concienzudamente los pocos ejemplos de esta página. Para resolver problemas prácticos debes ser capaz de encontrar derivadas y comprender el material del artículo. Intervalos de monotonicidad y extremos de la función..

Primero, brevemente sobre lo principal. En la lección sobre continuidad de la función Di la definición de continuidad en un punto y continuidad en un intervalo. El comportamiento ejemplar de una función en un segmento se formula de manera similar. Una función es continua en un intervalo si:

1) es continua en el intervalo;
2) continuo en un punto a la derecha y en el punto izquierda.

En el segundo párrafo hablamos de los llamados continuidad unilateral funciones en un punto. Hay varios enfoques para definirlo, pero me ceñiré a la línea que comencé antes:

La función es continua en el punto a la derecha, si está definida en un punto dado y su límite derecho coincide con el valor de la función en un punto dado: . es continua en el punto izquierda, si se define en un punto dado y su límite por la izquierda igual al valor en este punto:

Imagina que los puntos verdes son clavos con una banda elástica mágica adherida a ellos:

Toma mentalmente la línea roja en tus manos. Obviamente, no importa cuánto estiremos la gráfica hacia arriba y hacia abajo (a lo largo del eje), la función seguirá siendo limitado– una valla arriba, una valla abajo y nuestro producto pasta en el prado. De este modo, una función continua en un intervalo está acotada en él. En el curso del análisis matemático, este hecho aparentemente simple se afirma y se demuestra estrictamente. El primer teorema de Weierstrass.... A muchas personas les molesta que en matemáticas se fundamenten tediosamente enunciados elementales, pero esto tiene un significado importante. Supongamos que cierto habitante de la Alta Edad Media arrastrara un gráfico hacia el cielo más allá de los límites de visibilidad, este se insertaría. ¡Antes de la invención del telescopio, la función limitada en el espacio no era nada obvia! De verdad, ¿cómo sabes lo que nos espera en el horizonte? Después de todo, la Tierra alguna vez se consideró plana, por lo que hoy en día incluso la teletransportación ordinaria requiere pruebas =)

De acuerdo a El segundo teorema de Weierstrass, continuo en un segmentola función alcanza su límite superior exacto y el tuyo borde inferior exacto .

El número también se llama el valor máximo de la función en el segmento y se denotan por , y el número es el valor mínimo de la función en el segmento marcado.

En nuestro caso:

Nota : en teoría, las grabaciones son comunes .

Mas o menos, valor más alto está ubicado donde más punto álgido gráficos, y el más pequeño es donde está el punto más bajo.

¡Importante! Como ya se destacó en el artículo sobre extremos de la función, mayor valor de función Y valor de función más pequeño – NO ES EL MÍSMO, Qué función máxima Y función mínima. Entonces, en el ejemplo considerado, el número es el mínimo de la función, pero no el valor mínimo.

Por cierto, ¿qué pasa fuera del segmento? Sí, incluso una inundación, en el contexto del problema que estamos considerando, no nos interesa en absoluto. La tarea sólo consiste en encontrar dos números. ¡y eso es!

Además, la solución es puramente analítica, por lo tanto no es necesario hacer un dibujo!

El algoritmo se encuentra en la superficie y se sugiere a partir de la figura anterior:

1) Encuentra los valores de la función en puntos críticos, que pertenecen a este segmento.

Capte otra bonificación: aquí no es necesario verificar la condición suficiente para un extremo, ya que, como se acaba de mostrar, la presencia de un mínimo o un máximo no garantiza todavía, cuál es el valor mínimo o máximo. La función de demostración alcanza un máximo y, por voluntad del destino, el mismo número es el valor más grande de la función en el segmento. Pero, por supuesto, tal coincidencia no siempre se produce.

Así, en el primer paso, es más rápido y sencillo calcular los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes al segmento, sin preocuparse si hay extremos en ellos o no.

2) Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento.

3) Entre los valores de función que se encuentran en los párrafos 1 y 2, seleccione el más pequeño y el más Número grande, escribe la respuesta.

Nos sentamos en la orilla mar azul y golpear el agua poco profunda con los talones:

Ejemplo 1

Encuentra el mayor y valor más pequeño funciones en un intervalo

Solución:
1) Calculemos los valores de la función en los puntos críticos pertenecientes a este segmento:

Calculemos el valor de la función en el segundo punto crítico:

2) Calculemos los valores de la función en los extremos del segmento:

3) Se obtuvieron resultados “negritos” con exponentes y logaritmos, lo que complica significativamente su comparación. Por eso armémonos de una calculadora o Excel y calculemos valores aproximados, sin olvidar que:

Ahora todo está claro.

Respuesta:

Instancia fraccional-racional para solución independiente:

Ejemplo 6

Encuentra los valores máximo y mínimo de una función en un segmento

Valor mayor y menor de una función

El mayor valor de una función es el mayor, el menor valor es el menor de todos sus valores.

Una función puede tener sólo un valor mayor y sólo un valor menor, o puede no tener ninguno. Encontrar los valores más grandes y más pequeños funciones continuas se basa en las siguientes propiedades de estas funciones:

1) Si en un determinado intervalo (finito o infinito) la función y=f(x) es continua y tiene un solo extremo y si este es un máximo (mínimo), entonces será el valor mayor (menor) de la función en este intervalo.

2) Si la función f(x) es continua en un determinado segmento, entonces necesariamente tiene los valores mayor y menor en este segmento. Estos valores se alcanzan en los puntos extremos que se encuentran dentro del segmento o en los límites de este segmento.

Para encontrar los valores mayor y menor de un segmento, se recomienda utilizar el siguiente esquema:

1. Encuentra la derivada.

2. Encuentre los puntos críticos de la función en los que =0 o no existe.

3. Encuentre los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento y seleccione entre ellos el f max más grande y el f max más pequeño.

Al resolver problemas aplicados, en particular los de optimización, son importantes los problemas de encontrar los valores más grande y más pequeño (máximo global y mínimo global) de una función en el intervalo X. Para resolver tales problemas, se debe, según la condición. , seleccione una variable independiente y exprese el valor en estudio a través de esta variable. Luego encuentre el valor más grande o más pequeño deseado de la función resultante. En este caso, el intervalo de cambio de la variable independiente, que puede ser finito o infinito, también se determina a partir de las condiciones del problema.

Ejemplo. El tanque, que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular con la parte superior abierta y el fondo cuadrado, debe estar estañado por dentro con estaño. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del tanque si su capacidad es de 108 litros? ¿Agua para que el costo de estañarla sea mínimo?

Solución. El coste de recubrir un tanque con estaño será mínimo si, para una capacidad determinada, su superficie es mínima. Denotemos por a dm el lado de la base, b dm la altura del tanque. Entonces el área S de su superficie es igual a

Y

La relación resultante establece la relación entre el área de superficie del depósito S (función) y el lado de la base a (argumento). Examinemos la función S para un extremo. Encontremos la primera derivada, equiparémosla a cero y resolvamos la ecuación resultante:

Por tanto a = 6. (a) > 0 para a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Ejemplo. Encuentra los valores mayor y menor de una función. en el intervalo.

Solución: Función especificada continua en toda la recta numérica. Derivada de una función

Derivada por y para . Calculemos los valores de la función en estos puntos:

.

Los valores de la función en los extremos del intervalo dado son iguales. Por lo tanto, el valor más grande de la función es igual a en , el valor más pequeño de la función es igual a en .

Preguntas de autoevaluación

1. Formule la regla de L'Hopital para revelar incertidumbres de la forma. Enumere los diferentes tipos de incertidumbres que se pueden resolver con la regla de L'Hopital.

2. Formular los signos de funciones crecientes y decrecientes.

3. Definir el máximo y el mínimo de una función.

4. Formular condición necesaria existencia de un extremo.

5. ¿Qué valores del argumento (qué puntos) se llaman críticos? ¿Cómo encontrar estos puntos?

6. ¿Cuáles son signos suficientes de la existencia de un extremo de una función? Resuma un esquema para estudiar una función en un extremo usando la primera derivada.

7. Resuma un esquema para estudiar una función en un extremo usando la segunda derivada.

8. Defina la convexidad y la concavidad de una curva.

9. ¿Cómo se llama el punto de inflexión de la gráfica de una función? Indique un método para encontrar estos puntos.

10. Formular los signos necesarios y suficientes de convexidad y concavidad de una curva en un segmento determinado.

11. Defina la asíntota de una curva. ¿Cómo encontrar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la gráfica de una función?

12. Esquema esquema general Investigar una función y construir su gráfica.

13. Formule una regla para encontrar los valores mayor y menor de una función en un intervalo determinado.

El proceso de buscar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento recuerda a un vuelo fascinante alrededor de un objeto (gráfico de una función) en un helicóptero, disparando en ciertos puntos con un cañón de largo alcance y seleccionando muy puntos especiales de estos puntos para tiros de control. Los puntos se seleccionan de una determinada manera y según algunas reglas. ¿Bajo qué reglas? Hablaremos más sobre esto.

Si la función y = F(X) es continua en el intervalo [ a, b] , entonces llega a este segmento el menos Y valores más altos . Esto puede suceder ya sea en puntos extremos, o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar el menos Y los valores más grandes de la función. , continua en el intervalo [ a, b] , es necesario calcular sus valores en total puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elija el más pequeño y el más grande de ellos.

Supongamos, por ejemplo, que desea determinar el valor más grande de la función. F(X) en el segmento [ a, b] . Para hacer esto, necesita encontrar todos sus puntos críticos en [ a, b] .

Punto crítico llamado el punto en el que función definida, y ella derivado es igual a cero o no existe. Luego debes calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(a) Y F(b)). El mayor de estos números será el valor más grande de la función en el segmento [a, b] .

Problemas de encontrar valores de función más pequeños .

Buscamos juntos los valores más pequeño y más grande de la función

Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento [-1, 2] .

Solución. Encuentra la derivada de esta función. Igualemos la derivada a cero () y obtengamos dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2]. Estos valores de función son: , , . Resulta que valor de función más pequeño(indicado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se logra en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.

Si una función es continua en un determinado intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos límite del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el Los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede que no haya el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función que se muestra en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el mayor valor.

Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), la siguiente propiedad de las funciones continuas es cierta.

Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento [-1, 3] .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivada del cociente:

.

Igualamos la derivada a cero, lo que nos da uno punto crítico: . Pertenece al segmento [-1, 3]. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y valor más alto igual a 1 en el punto .

Seguimos buscando juntos los valores más pequeño y más grande de la función.

Hay profesores que en el tema de encontrar el valor más pequeño y más grande de una función, no dan a sus estudiantes ejemplos para resolver que sean más complejos que los que acabamos de comentar, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o un fracción cuyo numerador y denominador son polinomios. Pero no nos limitaremos a este tipo de ejemplos, ya que entre los profesores hay quienes les gusta obligar a los alumnos a pensar en su totalidad (la tabla de derivadas). Por tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.

Ejemplo 6. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :

Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en el punto y en el punto y valor más alto, igual mi², en el punto.

Ejemplo 7. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función. en el segmento .

Solución. Encuentra la derivada de esta función:

Igualamos la derivada a cero:

El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeño y más grande de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y valor más alto, igual , en el punto .

En problemas extremos aplicados, encontrar los valores más pequeños (máximos) de una función, por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí los que tienen mayor interés práctico, sino aquellos valores del argumento en los que se alcanzan. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: componer funciones que describan el fenómeno o proceso considerado.

Ejemplo 8. Se debe estañar un depósito con capacidad para 4 personas, que tiene forma de paralelepípedo, de base cuadrada y abierto por arriba. ¿Qué tamaño debe tener el tanque para que se utilice la menor cantidad de material para cubrirlo?

Solución. Dejar X- lado de la base, h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. La superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir es una función de dos variables. Para expresar S como función de una variable, usamos el hecho de que, de dónde. Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:

Examinemos esta función hasta su extremo. Está definido y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ y

.

Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, cuando la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por tanto no puede ser un punto extremo. Entonces este es el único punto crítico. Comprobemos la presencia de un extremo utilizando el segundo signo suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo . Desde esto mínimo es el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser de 2 m y su altura debe ser de .

Ejemplo 9. desde el punto A situado sobre la vía del ferrocarril, hasta el punto CON, ubicado a una distancia de él yo, la carga debe ser transportada. El costo de transportar una unidad de peso por unidad de distancia por ferrocarril es igual a , y por carretera es igual a . hasta que punto METRO líneas ferrocarril Se debería construir una carretera para transportar carga desde A V CON fue el más económico (tramo AB¿Se supone que el ferrocarril es recto)?

¿Cómo encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento?

Para esto Seguimos un algoritmo bien conocido.:

1 . Encontramos las funciones ODZ.

2 . Encontrar la derivada de la función.

3 . Igualar la derivada a cero

4 . Encontramos los intervalos sobre los cuales la derivada conserva su signo, y a partir de ellos determinamos los intervalos de aumento y disminución de la función:

Si en el intervalo I la derivada de la función es 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta durante este intervalo.

Si en el intervalo I la derivada de la función , entonces la función disminuye durante este intervalo.

5 . Encontramos puntos máximo y mínimo de la función.

EN en el punto máximo de la función, la derivada cambia de signo de “+” a “-”.

EN punto mínimo de la funciónla derivada cambia de signo de "-" a "+".

6 . Encontramos el valor de la función en los extremos del segmento,

• luego comparamos el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos máximos, y elija el mayor de ellos si necesita encontrar el valor más grande de la función
• o comparar el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos mínimos, y elija el más pequeño de ellos si necesita encontrar el valor más pequeño de la función

Sin embargo, dependiendo de cómo se comporte la función en el segmento, este algoritmo se puede reducir significativamente.

Considere la función . La gráfica de esta función se ve así:

Veamos varios ejemplos de resolución de problemas del Open Task Bank para

1 . Tarea B15 (Nº 26695)

En el segmento.

1. La función está definida para todos los valores reales de x.

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones y la derivada es positiva para todos los valores de x. En consecuencia, la función aumenta y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, es decir, en x=0.

Respuesta: 5.

2 . Tarea B15 (Nº 26702)

Encuentra el valor más grande de la función. en el segmento.

1. Funciones ODZ título="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivada es igual a cero en , sin embargo, en estos puntos no cambia de signo:

Por lo tanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, en .

Para que quede claro por qué la derivada no cambia de signo, transformamos la expresión de la derivada de la siguiente manera:

Título="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Respuesta: 5.

3. Tarea B15 (Nº 26708)

Encuentra el valor más pequeño de la función en el segmento.

1. Funciones ODZ: título="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Coloquemos las raíces de esta ecuación en el círculo trigonométrico.

El intervalo contiene dos números: y

Pongamos carteles. Para ello determinamos el signo de la derivada en el punto x=0: . Al pasar por los puntos y, la derivada cambia de signo.

Representemos el cambio de signos de la derivada de una función en la recta de coordenadas:

Obviamente, el punto es un punto mínimo (en el que la derivada cambia de signo de "-" a "+"), y para encontrar el valor más pequeño de la función en el segmento, es necesario comparar los valores de la función en el punto mínimo y en el extremo izquierdo del segmento, .

El algoritmo estándar para resolver este tipo de problemas implica, después de encontrar los ceros de la función, determinar los signos de la derivada en los intervalos. Luego, el cálculo de los valores en los puntos máximos (o mínimos) encontrados y en el límite del intervalo, dependiendo de qué pregunta esté en la condición.

Te aconsejo que hagas las cosas un poco diferentes. ¿Por qué? Escribí sobre esto.

Propongo resolver tales problemas de la siguiente manera:

1. Encuentra la derivada.
2. Encuentra los ceros de la derivada.
3. Determina cuáles de ellos pertenecen a este intervalo.
4. Calculamos los valores de la función en los límites del intervalo y puntos del paso 3.
5. Sacamos una conclusión (respondemos a la pregunta planteada).

Al resolver los ejemplos presentados, la solución no se consideró en detalle. ecuaciones cuadráticas, deberías poder hacer esto. Ellos también deberían saberlo.

Veamos ejemplos:

77422. Encuentra el valor más grande de la función y=x 3 –3x+4 en el segmento [–2;0].

Encontremos los ceros de la derivada:

El punto x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.

Calculamos los valores de la función en los puntos –2, –1 y 0:

El valor más grande de la función es 6.

Respuesta: 6

77425. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 3x 2 + 2 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada:

El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 2.

Calculamos los valores de la función en los puntos 1, 2 y 4:

El valor más pequeño de la función es –2.

Respuesta: –2

77426. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 – 6x 2 en el segmento [–3;3].

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada:

El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 0.

Calculamos los valores de la función en los puntos –3, 0 y 3:

El valor más pequeño de la función es 0.

Respuesta: 0

77429. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 2x 2 + x +3 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obtenemos las raíces: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

El intervalo especificado en la condición contiene solo x = 1.

Encontremos los valores de la función en los puntos 1 y 4:

Encontramos que el valor más pequeño de la función es 3.

Respuesta: 3

77430. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 + 2x 2 + x + 3 en el segmento [– 4; -1].

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Busquemos las raíces:

La raíz x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.

Encontramos los valores de la función en los puntos –4, –1, –1/3 y 1:

Encontramos que el valor más grande de la función es 3.

Respuesta: 3

77433. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – x 2 – 40x +3 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Busquemos las raíces:

El intervalo especificado en la condición contiene la raíz x = 4.

Encuentre los valores de la función en los puntos 0 y 4:

Encontramos que el valor más pequeño de la función es –109.

Respuesta: –109

Consideremos una forma de determinar los valores mayor y menor de funciones sin derivada. Este enfoque se puede utilizar si tiene grandes problemas. El principio es simple: sustituimos todos los valores enteros del intervalo en la función (el hecho es que en todos estos prototipos la respuesta es un número entero).

77437. Encuentre el valor más pequeño de la función y=7+12x–x 3 en el segmento [–2;2].

Sustituir puntos de –2 a 2: Ver solución

77434. Encuentre el valor más grande de la función y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 en el segmento [–2;0].

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.