Que se encuentran en el mismo plano y coinciden o no se cruzan. En algunas definiciones escolares, las líneas coincidentes no se consideran paralelas; esta definición no se considera aquí.

Propiedades

1. El paralelismo es una relación de equivalencia binaria, por lo tanto divide todo el conjunto de rectas en clases de rectas paralelas entre sí.
2. Por cualquier punto se puede trazar exactamente una recta paralela a la dada. Ésta es una propiedad distintiva de la geometría euclidiana; en otras geometrías el número 1 se reemplaza por otros (en la geometría de Lobachevsky hay al menos dos de esas líneas)
3. 2 rectas paralelas en el espacio se encuentran en el mismo plano.
4. Cuando dos líneas paralelas se cruzan, una tercera, llamada secante:
   1. La secante necesariamente corta a ambas rectas.
   2. Cuando se cruzan, se forman 8 ángulos, algunos de cuyos pares característicos tienen nombres y propiedades especiales:
      1. Acostado transversalmente los ángulos son iguales.
      2. Importante los ángulos son iguales.
      3. Unilateral los ángulos suman 180°.

En la geometría de Lobachevsky

En la geometría de Lobachevsky en el plano que pasa por un punto. No se puede analizar la expresión (error léxico): Cfuera de esta línea $AB$

Hay una infinidad de rectas que no se cortan AB. De estos, paralelo a AB sólo se nombran dos.

Derecho Cmi llamada recta equilátera (paralela) AB en la dirección de A A B, Si:

1. puntos B Y mi estar a un lado de una línea recta AC ;
2. derecho Cmi no cruza la línea AB, pero cada rayo que pasa dentro de un ángulo ACmi, cruza el rayo AB .

Una línea recta se define de manera similar. AB en la dirección de B A A .

Todas las demás líneas que no se cruzan con esta se llaman ultraparalelo o divergente.

ver también

Fundación Wikimedia. 2010.

• Líneas que se cruzan
• Nesterijin, Yuri Efremovich

Vea qué son las “Rectas paralelas” en otros diccionarios:

PARALELO DIRECTO- RECTAS PARALELAS, rectas que no se cortan y que se encuentran en el mismo plano... enciclopedia moderna

PARALELO DIRECTO Gran diccionario enciclopédico

Lineas paralelas- RECTAS PARALELAS, rectas que no se cortan y que se encuentran en un mismo plano. ... Diccionario enciclopédico ilustrado

Lineas paralelas- en geometría euclidiana, líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. En geometría absoluta (ver geometría absoluta), por un punto que no se encuentra en una línea dada, al menos una línea recta pasa por un punto que no intersecta al dado. EN… … Gran enciclopedia soviética

lineas paralelas- líneas que no se cruzan y que se encuentran en el mismo plano. * * * LÍNEAS PARALELAS LÍNEAS PARALELAS, rectas que no se cortan y que se encuentran en el mismo plano... diccionario enciclopédico

PARALELO DIRECTO- en geometría euclidiana, las líneas rectas se encuentran en el mismo plano y no se cruzan. En geometría absoluta, por un punto que no se encuentra en una recta dada pasa al menos una recta que no corta a la dada. En la geometría euclidiana sólo hay uno... ... Enciclopedia Matemática

PARALELO DIRECTO- rectas que no se cruzan y que se encuentran en el mismo plano... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Mundos paralelos en la ficción- Este artículo puede contener investigaciones originales. Agregue enlaces a las fuentes; de lo contrario, es posible que se establezca su eliminación. Es posible que haya más información en la página de discusión. Esto...Wikipedia

Mundos paralelos - Un mundo paralelo(en ficción) una realidad que de alguna manera existe simultáneamente con la nuestra, pero independientemente de ella. Esta realidad autónoma puede tener varios tamaños: desde una pequeña zona geográfica hasta un universo entero. En paralelo... Wikipedia

Paralelo- líneas Las líneas rectas se llaman P. si ni ellas ni sus extensiones se cruzan entre sí. Las noticias de una de estas líneas están a la misma distancia de la otra. Sin embargo, se acostumbra decir: dos P. rectas se cruzan en el infinito. Semejante… … Enciclopedia de Brockhaus y Efron

Libros

• Conjunto de mesas. Matemáticas. 6to grado. 12 tablas + metodología, . Las tablas están impresas sobre cartón grueso impreso de 680 x 980 mm. El kit incluye un folleto con recomendaciones metodológicas para el maestro. Álbum educativo de 12 hojas. Divisibilidad…

Instrucciones

Antes de comenzar la prueba, asegúrese de que las líneas estén en el mismo plano y se puedan dibujar en él. Mayoría de una manera sencilla La prueba es el método de medición con regla. Para hacer esto, use una regla para medir la distancia entre las líneas rectas en varios lugares lo más separados posible. Si la distancia permanece sin cambios, las rectas dadas son paralelas. Pero este método no es lo suficientemente preciso, por lo que es mejor utilizar otros métodos.

Dibuja una tercera línea para que cruce ambas líneas paralelas. Con ellos forma cuatro esquinas exteriores y cuatro interiores. Considere las esquinas interiores. Los que pasan por la recta secante se llaman cruzados. Los que se encuentran de un lado se llaman unilaterales. Usando un transportador, mida los dos ángulos internos que se cruzan. Si son iguales entre sí, entonces las rectas serán paralelas. En caso de duda, mida los ángulos internos unilaterales y sume los valores resultantes. Las rectas serán paralelas si la suma de los ángulos interiores de un lado es igual a 180º.

Si no tienes transportador, utiliza un cuadrado de 90º. Úselo para construir una perpendicular a una de las líneas. Después de esto, continúa esta perpendicular para que se cruce con otra línea. Usando el mismo cuadrado, verifica en qué ángulo lo cruza esta perpendicular. Si este ángulo también es de 90º, entonces las rectas son paralelas entre sí.

Si las rectas están dadas en el sistema de coordenadas cartesiano, encuentre su dirección o vectores normales. Si estos vectores, respectivamente, son colineales entre sí, entonces las rectas son paralelas. Reducir la ecuación de rectas a una forma general y encontrar las coordenadas del vector normal de cada recta. Sus coordenadas son iguales a los coeficientes A y B. Si la relación de las coordenadas correspondientes de los vectores normales es la misma, son colineales y las rectas son paralelas.

Por ejemplo, las líneas rectas vienen dadas por las ecuaciones 4x-2y+1=0 y x/1=(y-4)/2. La primera ecuación es vista general, el segundo – canónico. Lleva la segunda ecuación a su forma general. Utilice la regla de conversión de proporciones para esto, el resultado será 2x=y-4. Después de la reducción a la forma general, se obtiene 2x-y+4=0. Dado que la ecuación general para cualquier línea se escribe Ax+By+C=0, entonces para la primera línea: A=4, B=2, y para la segunda línea A=2, B=1. Para la primera coordenada directa del vector normal (4;2), y para la segunda – (2;1). Encuentre la razón de las coordenadas correspondientes de los vectores normales 4/2=2 y 2/1=2. Estos números son iguales, lo que significa que los vectores son colineales. Como los vectores son colineales, las rectas son paralelas.

CAPÍTULO III.
PARALELO DIRECTO

§ 35. SIGNOS DE DOS RECTAS PARALELAS.

El teorema de que dos perpendiculares a una recta son paralelas (§ 33) da un signo de que dos rectas son paralelas. Puedes retirar más signos generales paralelismo de dos rectas.

1. El primer signo de paralelismo.

Si, cuando dos rectas se cruzan con una tercera, los ángulos internos que se encuentran transversalmente son iguales, entonces estas rectas son paralelas.

Sean las rectas AB y CD cortadas por la recta EF y / 1 = / 2. Tome el punto O, la mitad del segmento KL de la secante EF (Fig. 189).

Bajamos la perpendicular OM desde el punto O a la recta AB y la continuamos hasta que se cruza con la recta CD, AB_|_MN. Demostremos que CD_|_MN.
Para ello, considere dos triángulos: MOE y NOK. Estos triángulos son iguales entre sí. En efecto: / 1 = / 2 según las condiciones del teorema; ОK = ОL - por construcción;
/ MOL = / Está bien, como ángulos verticales. Por tanto, el lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes de otro triángulo; por eso, /\ MOL = /\ NO OK, y por lo tanto
/ OVM = / NO, pero / OVM es directo, lo que significa / KNO también es directo. Así, las rectas AB y CD son perpendiculares a la misma recta MN, por lo tanto, son paralelas (§ 33), que era lo que había que demostrar.

Nota. La intersección de las rectas MO y CD se puede establecer girando el triángulo MOL alrededor del punto O 180°.

2. El segundo signo de paralelismo.

Veamos si las rectas AB y CD son paralelas si, cuando cortan a la tercera recta EF, los ángulos correspondientes son iguales.

Sean iguales algunos ángulos correspondientes, por ejemplo. / 3 = / 2 (dibujo 190);
/ 3 = / 1, ya que los ángulos son verticales; Medio, / 2 serán iguales / 1. Pero los ángulos 2 y 1 son ángulos interiores que se cruzan, y ya sabemos que si cuando dos rectas se cruzan con la tercera, los ángulos interiores que se cruzan son iguales, entonces estas rectas son paralelas. Por lo tanto, AB || CD.

Si cuando dos rectas se cruzan con una tercera, los ángulos correspondientes son iguales, entonces estas dos rectas son paralelas.

La construcción de líneas paralelas utilizando una regla y un triángulo dibujando se basa en esta propiedad. Esto se hace de la siguiente manera.

Adjuntemos el triángulo a la regla como se muestra en el dibujo 191. Moveremos el triángulo para que uno de sus lados se deslice a lo largo de la regla, y dibujaremos varias líneas rectas a lo largo de algún otro lado del triángulo. Estas líneas serán paralelas.

3. El tercer signo de paralelismo.

Sepamos que cuando dos rectas AB y CD se cruzan con una tercera recta, la suma de los ángulos internos unilaterales es igual a 2 d(o 180°). ¿Serán paralelas las rectas AB y CD en este caso (Fig. 192)?

Dejar / 1 y / 2 son ángulos interiores de un lado y suman 2 d.
Pero / 3 + / 2 = 2d como ángulos adyacentes. Por eso, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

De aquí / 1 = / 3, y estos ángulos internos se encuentran transversalmente. Por lo tanto, AB || CD.

Si, cuando dos rectas cortan a una tercera, la suma de los ángulos internos unilaterales es igual a 2 d, entonces estas dos rectas son paralelas.

Ejercicio.

Demuestre que las rectas son paralelas:
a) si los ángulos transversales externos son iguales (Fig. 193);
b) si la suma de los ángulos externos de un lado es igual a 2 d(dibujo 194).

El paralelismo de dos rectas se puede demostrar basándose en el teorema según el cual dos perpendiculares trazadas con respecto a una recta serán paralelas. Hay ciertos signos de paralelismo de líneas: hay tres y los consideraremos todos más específicamente.

El primer signo de paralelismo

Las rectas son paralelas si, al cortarse con una tercera recta, los ángulos internos formados, transversalmente, son iguales.

Digamos que cuando las rectas AB y CD se cortan con la recta EF, se forman los ángulos /1 y /2. Son iguales, ya que la recta EF discurre con una pendiente respecto de las otras dos rectas. Donde las líneas se cruzan, colocamos los puntos Ki L; tenemos un segmento secante EF. Encontramos su punto medio y ponemos O (Fig. 189).

Dejamos una perpendicular desde el punto O a la línea AB. Llamémosla OM. Continuamos la perpendicular hasta cruzar la línea CD. Como resultado, la línea recta original AB es estrictamente perpendicular a MN, lo que significa que CD_|_MN también lo es, pero esta afirmación requiere prueba. Como resultado de dibujar una línea perpendicular y una intersección, formamos dos triángulos. Uno de ellos es MÍO, el segundo es NOK. Veámoslos con más detalle. signos de lineas paralelas grado 7

Estos triángulos son iguales, ya que, de acuerdo con las condiciones del teorema, /1 =/2, y de acuerdo con la construcción de triángulos, lado OK = lado OL. Ángulo MOL =/NOK, ya que son ángulos verticales. De esto se deduce que el lado y dos ángulos adyacentes a él de uno de los triángulos son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes a él del otro triángulo. Así, triángulo MOL = triángulo NOK, y por tanto ángulo LMO = ángulo KNO, pero sabemos que /LMO es recto, lo que significa que el ángulo correspondiente KNO también es recto. Es decir, pudimos demostrar que a la recta MN, tanto la recta AB como la recta CD son perpendiculares. Es decir, AB y CD son paralelos entre sí. Esto es lo que necesitábamos demostrar. Consideremos los signos restantes de paralelismo de rectas (grado 7), que difieren del primer signo en el método de demostración.

Segundo signo de paralelismo

Según el segundo criterio para el paralelismo de rectas, debemos demostrar que los ángulos obtenidos en el proceso de intersección de las rectas AB y CD paralelas a la recta EF serán iguales. Así, los signos de paralelismo de dos rectas, tanto la primera como la segunda, se basan en la igualdad de los ángulos que se obtienen cuando la tercera recta las corta. Supongamos que /3 = /2 y el ángulo 1 = /3 ya que es vertical a él. Por lo tanto, y /2 será igual al ángulo 1, sin embargo, se debe tener en cuenta que tanto el ángulo 1 como el ángulo 2 son ángulos internos cruzados. En consecuencia, lo único que tenemos que hacer es aplicar nuestro conocimiento, es decir, que dos segmentos serán paralelos si, al cortar a la tercera recta, los ángulos transversales formados son iguales. Así, descubrimos que AB || CD.

Pudimos demostrar que, siempre que dos perpendiculares a una recta sean paralelas, según el teorema correspondiente, el signo de las rectas paralelas es obvio.

El tercer signo de paralelismo

También hay un tercer signo de paralelismo, que se demuestra mediante la suma de ángulos interiores unilaterales. Esta prueba del signo de paralelismo de rectas nos permite concluir que dos rectas serán paralelas si, al cruzar la tercera recta, la suma de los ángulos interiores unilaterales resultantes será igual a 2d. Ver Figura 192.

En este artículo hablaremos sobre líneas paralelas, daremos definiciones y describiremos los signos y condiciones del paralelismo. Para mayor claridad material teórico Usaremos ilustraciones y soluciones a ejemplos típicos.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

Rectas paralelas en un plano– dos rectas en un plano que no tienen puntos comunes.

Definición 2

Líneas paralelas en el espacio tridimensional.– dos líneas rectas en un espacio tridimensional, que se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes.

Es necesario señalar que para determinar líneas paralelas en el espacio, la aclaración “que se encuentran en el mismo plano” es extremadamente importante: dos líneas en el espacio tridimensional que no tienen puntos comunes y no se encuentran en el mismo plano no son paralelas. , pero intersectándose.

Para indicar líneas paralelas, es común utilizar el símbolo ∥. Es decir, si las rectas a y b dadas son paralelas, esta condición debe escribirse brevemente de la siguiente manera: a ‖ b. Verbalmente, el paralelismo de líneas se denota de la siguiente manera: las líneas a y b son paralelas, o la línea a es paralela a la línea b, o la línea b es paralela a la línea a.

Formulemos una declaración que desempeñe un papel importante en el tema en estudio.

Axioma

Por un punto que no pertenece a una recta dada pasa la única recta paralela a la dada. Esta afirmación no puede demostrarse basándose en los axiomas conocidos de la planimetría.

En caso estamos hablando acerca de sobre el espacio, el teorema es verdadero:

Teorema 1

Por cualquier punto del espacio que no pertenezca a una recta dada, pasará una única recta paralela a la dada.

Este teorema es fácil de demostrar basándose en el axioma anterior (programa de geometría para los grados 10 a 11).

El criterio de paralelismo es una condición suficiente, cuyo cumplimiento garantiza el paralelismo de las rectas. En otras palabras, el cumplimiento de esta condición es suficiente para confirmar el hecho del paralelismo.

En particular, existen condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de líneas en el plano y en el espacio. Expliquemos: necesaria significa la condición cuyo cumplimiento es necesario para líneas paralelas; si no se cumple, las rectas no son paralelas.

En resumen, una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas es aquella cuyo cumplimiento es necesario y suficiente para que las rectas sean paralelas entre sí. Por un lado, esto es un signo de paralelismo, por otro lado, es una propiedad inherente a las rectas paralelas.

Antes de dar la formulación exacta de una condición necesaria y suficiente, recordemos algunos conceptos adicionales.

Definición 3

Linea secante– una línea recta que corta cada una de dos líneas rectas no coincidentes dadas.

Al cruzar dos líneas rectas, una transversal forma ocho ángulos no desarrollados. Para formular una condición necesaria y suficiente, utilizaremos tipos de ángulos como cruzados, correspondientes y unilaterales. Demostrémoslos en la ilustración:

Teorema 2

Si dos rectas en un plano son intersecadas por una transversal, entonces para que las rectas dadas sean paralelas es necesario y suficiente que los ángulos que se cruzan sean iguales, o los ángulos correspondientes sean iguales, o la suma de los ángulos unilaterales sea igual a 180 grados.

Ilustremos gráficamente la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas en un plano:

La prueba de estas condiciones está presente en el programa de geometría para los grados 7 a 9.

En general, estas condiciones también son aplicables al espacio tridimensional, a pesar de que dos rectas y una secante pertenecen al mismo plano.

Indiquemos algunos teoremas más que se utilizan a menudo para demostrar el hecho de que las rectas son paralelas.

Teorema 3

En un plano, dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. Esta característica se prueba sobre la base del axioma de paralelismo indicado anteriormente.

Teorema 4

En el espacio tridimensional, dos líneas paralelas a una tercera son paralelas entre sí.

La demostración de un signo se estudia en el plan de estudios de geometría del décimo grado.

Demos una ilustración de estos teoremas:

Indiquemos un par más de teoremas que prueban el paralelismo de rectas.

Teorema 5

En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Formulemos algo similar para el espacio tridimensional.

Teorema 6

En el espacio tridimensional, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Ilustremos:

Todos los teoremas, signos y condiciones anteriores permiten demostrar cómodamente el paralelismo de rectas utilizando los métodos de la geometría. Es decir, para demostrar el paralelismo de rectas, se puede demostrar que los ángulos correspondientes son iguales, o demostrar el hecho de que dos rectas dadas son perpendiculares a la tercera, etc. Pero tenga en cuenta que a menudo es más conveniente utilizar el método de coordenadas para demostrar el paralelismo de líneas en un plano o en un espacio tridimensional.

Paralelismo de líneas en un sistema de coordenadas rectangular.

En un sistema de coordenadas rectangular dado, una línea recta está determinada por la ecuación de una línea recta en el plano de uno de tipos posibles. Asimismo, una línea recta definida en un sistema de coordenadas rectangular en el espacio tridimensional corresponde a algunas ecuaciones para una línea recta en el espacio.

Anotemos las condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de rectas en un sistema de coordenadas rectangular según el tipo de ecuación que describe las rectas dadas.

Comencemos con la condición del paralelismo de líneas en un plano. Se basa en las definiciones del vector dirección de una recta y del vector normal de una recta en un plano.

Teorema 7

Para que dos rectas no coincidentes sean paralelas en un plano, es necesario y suficiente que los vectores directores de las rectas dadas sean colineales, o que los vectores normales de las rectas dadas sean colineales, o que el vector director de una recta sea perpendicular a el vector normal de la otra recta.

Resulta obvio que la condición de paralelismo de líneas en un plano se basa en la condición de colinealidad de vectores o la condición de perpendicularidad de dos vectores. Es decir, si a → = (a x , a y) y b → = (b x , b y) son vectores directores de las rectas a y b ;

y n b → = (n b x , n b y) son vectores normales de las rectas a y b, entonces escribimos la condición necesaria y suficiente anterior de la siguiente manera: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y o n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y o a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , donde t es un número real. Las coordenadas de las guías o vectores rectos están determinadas por las ecuaciones de las rectas dadas. Veamos los ejemplos principales.

1. Se define la recta a en un sistema de coordenadas rectangular ecuación general línea recta: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; línea recta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Entonces los vectores normales de las rectas dadas tendrán coordenadas (A 1, B 1) y (A 2, B 2), respectivamente. Escribimos la condición de paralelismo de la siguiente manera:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. La línea a se describe mediante la ecuación de una línea con una pendiente de la forma y = k 1 x + b 1 . Línea recta b - y = k 2 x + b 2. Entonces los vectores normales de las rectas dadas tendrán coordenadas (k 1, - 1) y (k 2, - 1), respectivamente, y escribiremos la condición de paralelismo de la siguiente manera:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Por lo tanto, si las líneas paralelas en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares están dadas por ecuaciones con coeficientes angulares, entonces pendientes Las líneas dadas serán iguales. Y lo contrario es cierto: si las rectas que no coinciden en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares están determinadas por las ecuaciones de una recta con coeficientes angulares idénticos, entonces estas rectas dadas son paralelas.

1. Las rectas a y b en un sistema de coordenadas rectangulares se especifican mediante las ecuaciones canónicas de una recta en un plano: x - x 1 a x = y - y 1 a y y x - x 2 b x = y - y 2 b y o mediante ecuaciones paramétricas de una recta en un plano: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y y x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Entonces los vectores directores de las rectas dadas serán: a x, a y y b x, b y, respectivamente, y escribiremos la condición de paralelismo de la siguiente manera:

a x = t b x a y = t b y

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1

Se dan dos líneas: 2 x - 3 y + 1 = 0 y x 1 2 + y 5 = 1. Es necesario determinar si son paralelos.

Solución

Escribamos la ecuación de una recta en segmentos en forma de ecuación general:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vemos que n a → = (2, - 3) es el vector normal de la recta 2 x - 3 y + 1 = 0, y n b → = 2, 1 5 es el vector normal de la recta x 1 2 + y 5 = 1.

Los vectores resultantes no son colineales, porque no existe tal valor de t para el cual la igualdad sea verdadera:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Por tanto, no se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas en un plano, lo que significa que las rectas dadas no son paralelas.

Respuesta: las rectas dadas no son paralelas.

Ejemplo 2

Se dan las líneas y = 2 x + 1 y x 1 = y - 4 2. ¿Son paralelos?

Solución

Transformemos la ecuación canónica de la recta x 1 = y - 4 2 en la ecuación de la recta con pendiente:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vemos que las ecuaciones de las rectas y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 no son iguales (si fuera de otra manera, las rectas serían coincidentes) y los coeficientes angulares de las rectas son iguales, lo que significa que las rectas dadas son paralelas.

Intentemos resolver el problema de otra manera. Primero, comprobemos si las líneas dadas coinciden. Usamos cualquier punto de la recta y = 2 x + 1, por ejemplo, (0, 1), las coordenadas de este punto no corresponden a la ecuación de la recta x 1 = y - 4 2, lo que significa que las rectas no no coincidir.

El siguiente paso es determinar si se cumple la condición de paralelismo de las rectas dadas.

El vector normal de la recta y = 2 x + 1 es el vector n a → = (2, - 1), y el vector director de la segunda recta dada es b → = (1, 2). El producto escalar de estos vectores es igual a cero:

n una → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Así, los vectores son perpendiculares: esto nos demuestra el cumplimiento de la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de las rectas originales. Aquellos. las rectas dadas son paralelas.

Respuesta: estas líneas son paralelas.

Para demostrar el paralelismo de líneas en un sistema de coordenadas rectangulares de un espacio tridimensional, se utiliza la siguiente condición necesaria y suficiente.

Teorema 8

Para que dos rectas no coincidentes en el espacio tridimensional sean paralelas, es necesario y suficiente que los vectores directores de estas rectas sean colineales.

Aquellos. Dadas las ecuaciones de las líneas en el espacio tridimensional, la respuesta a la pregunta: ¿son paralelas o no? se encuentra determinando las coordenadas de los vectores directores de las líneas dadas, así como verificando la condición de su colinealidad. En otras palabras, si a → = (a x, a y, a z) y b → = (b x, b y, b z) son los vectores directores de las rectas a y b, respectivamente, entonces para que sean paralelas se debe tener en cuenta la existencia de tal número real t es necesario, para que se cumpla la igualdad:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Ejemplo 3

Se dan las líneas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 y x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Es necesario demostrar el paralelismo de estas líneas.

Solución

Las condiciones del problema están dadas por las ecuaciones canónicas de una línea en el espacio y las ecuaciones paramétricas de otra línea en el espacio. Vectores de guía un → y b → las líneas dadas tienen coordenadas: (1, 0, - 3) y (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , entonces a → = 1 2 · b → .

En consecuencia, se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de líneas en el espacio.

Respuesta: Se demuestra el paralelismo de las rectas dadas.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter