Línea media del trapezoide. Cómo encontrar la línea media de un trapecio

La línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma. jardines. Conecta los puntos medios de los lados del trapezoide y siempre es paralelo a las bases.

Si las bases de un trapezoide son iguales a y b, entonces la línea media m es igual a metro=(a+b)/2.

Si se conoce el área del trapezoide, entonces la línea media se puede encontrar y de otra forma, dividiendo el área del trapezoide S por la altura del trapezoide h:

Eso es, línea media del trapezoide metro=S/h

Hay muchas formas de encontrar la longitud de la línea media de un trapezoide. La elección del método depende de los datos iniciales.

Aquí Fórmulas para la longitud de la línea media de un trapezoide.:

Para encontrar la línea media de un trapezoide, puede usar una de cinco fórmulas (no las escribiré porque ya están en otras respuestas), pero esto es solo en los casos en que los valores de los datos iniciales que necesitamos son conocidos.

En la práctica, tenemos que resolver muchos problemas cuando no hay datos suficientes y Talla correcta Todavía necesito encontrarlo.

Hay tales opciones aquí.

una solución paso a paso para poner todo bajo la fórmula;

utilizando otras fórmulas, componga y resuelva las ecuaciones necesarias.

encontrar la longitud del medio de un trapezoide usando la fórmula que necesitamos con la ayuda de otros conocimientos sobre geometría y uso ecuaciones algebraicas:

Tenemos un trapezoide isósceles, sus diagonales se cruzan en ángulo recto, su altura es de 9 cm.

Hacemos un dibujo y vemos que este problema no se puede solucionar de frente (no hay suficientes datos)

Por tanto, simplificaremos un poco y dibujaremos la altura por el punto de intersección de las diagonales.

Este es el primer paso importante que conduce a una solución rápida.

denotemos la altura con dos incógnitas, veremos los triángulos isósceles que necesitamos con lados X Y en

y podemos encontrarlo fácilmente suma de motivos trapecios

es igual 2х+2у

Y sólo ahora podemos aplicar la fórmula donde

y es igual x+y y según las condiciones del problema, esta es la longitud de la altura igual a 9cm.

Y ahora hemos derivado varios momentos para un trapezoide isósceles, cuyas diagonales se cruzan en ángulos rectos.

en tales trapecios

la línea media siempre es igual a la altura

El área siempre es igual al cuadrado de la altura..

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide.

La línea media de cualquier trapezoide es fácil de encontrar si usas la fórmula:

metro = (a + b)/2

m es la longitud de la línea media del trapezoide;

a, b longitudes de las bases del trapezoide.

Entonces, la longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las longitudes de las bases.

La fórmula básica para la fórmula de la línea media de un trapezoide: la longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases a y b: MN=(a+b)2. La prueba de esta fórmula es la Fórmula para la línea media de un triángulo. Cualquier trapecio se puede representar después de dibujar desde los extremos una base menor de altura hasta una base mayor. Se consideran los 2 triángulos resultantes y un rectángulo. Después de esto, la fórmula para la línea media del trapezoide es fácilmente comprobable.

Para encontrar la línea media del trapezoide necesitamos conocer los valores de las bases.

Después de encontrar estos valores, o tal vez los conocíamos, sumamos estos números y simplemente los dividimos por la mitad.

Esto es lo que pasará línea media del trapezoide.

Hasta donde recuerdo mis lecciones de geometría de la escuela, para encontrar la longitud de la línea media de un trapezoide, debes sumar las longitudes de las bases y dividir por dos. Por tanto, la longitud de la línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases.

En este artículo intentaremos reflejar las propiedades de un trapezoide de la forma más completa posible. En particular, hablaremos de signos generales y propiedades de un trapezoide, así como sobre las propiedades de un trapezoide inscrito y sobre un círculo inscrito en un trapezoide. También tocaremos las propiedades de un trapezoide isósceles y rectangular.

Un ejemplo de cómo resolver un problema utilizando las propiedades analizadas le ayudará a clasificarlo en lugares en su cabeza y a recordar mejor el material.

Trapecio y todo-todo-todo

Para empezar, recordemos brevemente qué es un trapezoide y qué otros conceptos están asociados con él.

Entonces, un trapezoide es una figura cuadrilátera, dos de cuyos lados son paralelos entre sí (estas son las bases). Y los dos no son paralelos: estos son los lados.

En un trapezoide, la altura se puede reducir, perpendicular a las bases. Se dibujan la línea central y las diagonales. También es posible dibujar una bisectriz desde cualquier ángulo del trapezoide.

Ahora hablaremos de las diversas propiedades asociadas a todos estos elementos y sus combinaciones.

Propiedades de las diagonales trapezoidales.

Para que quede más claro, mientras lees, dibuja el trapezoide ACME en una hoja de papel y dibuja diagonales en él.

Si encuentras los puntos medios de cada una de las diagonales (llamémoslos puntos X y T) y los conectas, obtendrás un segmento. Una de las propiedades de las diagonales de un trapezoide es que el segmento HT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener dividiendo la diferencia de las bases por dos: ХТ = (a – b)/2.
Ante nosotros está el mismo trapezoide ACME. Las diagonales se cruzan en el punto O. Veamos los triángulos AOE y MOK, formados por segmentos de las diagonales junto con las bases del trapezoide. Estos triángulos son similares. El coeficiente de similitud k de triángulos se expresa mediante la relación de las bases del trapezoide: k = AE/KM.
La relación de las áreas de los triángulos AOE y MOK se describe mediante el coeficiente k 2 .
El mismo trapezoide, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo que esta vez consideraremos los triángulos que formaron los segmentos de las diagonales junto con los lados del trapezoide. Las áreas de los triángulos AKO y EMO son iguales en tamaño: sus áreas son iguales.
Otra propiedad de un trapezoide implica la construcción de diagonales. Entonces, si continúas los lados de AK y ME en la dirección de la base más pequeña, tarde o temprano se cruzarán en un punto determinado. Luego, dibuja una línea recta que pase por el centro de las bases del trapezoide. Interseca las bases en los puntos X y T.
Si ahora extendemos la línea XT, conectará el punto de intersección de las diagonales del trapezoide O, el punto en el que se cruzan las extensiones de los lados y la mitad de las bases X y T.
A través del punto de intersección de las diagonales dibujaremos un segmento que conectará las bases del trapezoide (T se encuentra en la base más pequeña KM, X en la base más grande AE). El punto de intersección de las diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: A/OX = KM/AE.
Ahora, por el punto de intersección de las diagonales, trazaremos un segmento paralelo a las bases del trapezoide (a y b). El punto de intersección lo dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud del segmento usando la fórmula. 2ab/(a+b).

Propiedades de la línea media de un trapecio

Dibuja la línea media en el trapezoide paralela a sus bases.

La longitud de la línea media de un trapezoide se puede calcular sumando las longitudes de las bases y dividiéndolas por la mitad: metro = (a + b)/2.
Si dibujas cualquier segmento (altura, por ejemplo) a través de ambas bases del trapezoide, la línea media lo dividirá en dos partes iguales.

Propiedad de la bisectriz trapezoidal

Selecciona cualquier ángulo del trapezoide y dibuja una bisectriz. Tomemos, por ejemplo, el ángulo KAE de nuestro trapezoide ACME. Habiendo completado la construcción usted mismo, puede verificar fácilmente que la bisectriz corta de la base (o su continuación en línea recta fuera de la figura misma) un segmento de la misma longitud que el lado.

Propiedades de los ángulos trapezoidales.

Cualquiera de los dos pares de ángulos adyacentes al lado que elijas, la suma de los ángulos del par siempre es 180 0: α + β = 180 0 y γ + δ = 180 0.
Conectemos los puntos medios de las bases del trapezoide con un segmento TX. Ahora veamos los ángulos en las bases del trapezoide. Si la suma de los ángulos de cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX se puede calcular fácilmente a partir de la diferencia en las longitudes de las bases, divididas por la mitad: TX = (AE – KM)/2.
Si se dibujan líneas paralelas a través de los lados de un ángulo trapezoide, dividirán los lados del ángulo en segmentos proporcionales.

Propiedades de un trapezoide isósceles (equilátero)

En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquier base son iguales.
Ahora construye un trapezoide nuevamente para que sea más fácil imaginar de qué estamos hablando. Mire cuidadosamente la base AE: el vértice de la base opuesta M se proyecta hacia un cierto punto en la línea que contiene AE. La distancia desde el vértice A hasta el punto de proyección del vértice M y la línea media de un trapezoide isósceles son iguales.
Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles: sus longitudes son iguales. Y también los ángulos de inclinación de estas diagonales hacia la base del trapezoide son los mismos.
Sólo alrededor de un trapezoide isósceles se puede describir un círculo, ya que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180 0, un requisito previo para ello.
La propiedad de un trapezoide isósceles se desprende del párrafo anterior: si se puede describir un círculo cerca del trapezoide, es isósceles.
De las características de un trapezoide isósceles se desprende la propiedad de la altura de un trapezoide: si sus diagonales se cruzan en ángulo recto, entonces la longitud de la altura es igual a la mitad de la suma de las bases: h = (a + b)/2.
Nuevamente, dibuja el segmento TX a través de los puntos medios de las bases del trapezoide; en un trapezoide isósceles es perpendicular a las bases. Y al mismo tiempo TX es el eje de simetría de un trapezoide isósceles.
Esta vez, baje la altura desde el vértice opuesto del trapezoide hasta la base más grande (llamémosla a). Obtendrás dos segmentos. La longitud de uno se puede encontrar si se suman las longitudes de las bases y se dividen por la mitad: (a+b)/2. El segundo lo obtenemos cuando restamos el más pequeño de la base mayor y dividimos la diferencia resultante entre dos: (a-b)/2.

Propiedades de un trapezoide inscrito en un círculo.

Como ya estamos hablando de un trapezoide inscrito en un círculo, analicemos este tema con más detalle. En particular, dónde está el centro del círculo en relación con el trapezoide. Aquí también es recomendable que te tomes el tiempo de coger un lápiz y dibujar lo que se comentará a continuación. De esta manera entenderás más rápido y recordarás mejor.

La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal del trapezoide hacia su lado. Por ejemplo, una diagonal puede extenderse desde la parte superior de un trapezoide en ángulo recto hacia un lado. En este caso, la base más grande corta el centro del círculo circunstante exactamente en el centro (R = ½AE).
La diagonal y el lado también pueden encontrarse en un ángulo agudo; entonces el centro del círculo está dentro del trapezoide.
El centro del círculo circunscrito puede estar fuera del trapezoide, más allá de su base mayor, si existe un ángulo obtuso entre la diagonal del trapezoide y el lado.
El ángulo formado por la diagonal y la base mayor del trapezoide ACME (ángulo inscrito) es la mitad que ángulo central, que le corresponde: MAE = ½MOE.
Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio de un círculo circunscrito. Método uno: mira atentamente tu dibujo, ¿qué ves? Puedes notar fácilmente que la diagonal divide el trapezoide en dos triángulos. El radio se puede encontrar mediante la relación entre el lado del triángulo y el seno del ángulo opuesto, multiplicado por dos. Por ejemplo, R = AE/2*senAME. De manera similar, la fórmula se puede escribir para cualquiera de los lados de ambos triángulos.
Método dos: encuentra el radio del círculo circunscrito a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapezoide: R = SOY*YO*AE/4*S AME.

Propiedades de un trapecio circunscrito a una circunferencia

Puedes encajar un círculo en un trapezoide si se cumple una condición. Lea más sobre esto a continuación. Y en conjunto, esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

Si un círculo está inscrito en un trapezoide, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente sumando las longitudes de los lados y dividiendo la suma resultante por la mitad: metro = (c + d)/2.
Para un trapezoide ACME, circunscrito a un círculo, la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + YO = KM + AE.
De esta propiedad de las bases de un trapezoide se desprende la afirmación inversa: se puede inscribir una circunferencia en un trapezoide cuya suma de bases sea igual a la suma de sus lados.
El punto tangente de una circunferencia de radio r inscrita en un trapezoide divide el lado en dos segmentos, llamémoslos a y b. El radio de un círculo se puede calcular mediante la fórmula: r = √ ab.
Y una propiedad más. Para evitar confusiones, dibuja este ejemplo tú mismo también. Tenemos el viejo trapezoide ACME, descrito alrededor de un círculo. Contiene diagonales que se cruzan en el punto O. Los triángulos AOK y EOM formados por los segmentos de las diagonales y los lados laterales son rectangulares.
Las alturas de estos triángulos, rebajadas hasta las hipotenusas (es decir, los lados laterales del trapezoide), coinciden con los radios del círculo inscrito. Y la altura del trapezoide coincide con el diámetro del círculo inscrito.

Propiedades de un trapecio rectangular

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto. Y sus propiedades parten de esta circunstancia.

Un trapecio rectangular tiene uno de sus lados perpendicular a su base.
Altura y lado lateral del trapezoide adyacente a ángulo recto, son iguales. Esto le permite calcular el área de un trapezoide rectangular (fórmula general S = (a + b) * h/2) no solo por la altura, sino también por el lado adyacente al ángulo recto.
Para un trapezoide rectangular, las propiedades generales de las diagonales del trapezoide ya descritas anteriormente son relevantes.

Evidencia de algunas propiedades del trapezoide.

Igualdad de ángulos en la base de un trapezoide isósceles:

Probablemente ya hayas adivinado que aquí necesitaremos nuevamente el trapezoide AKME: dibuja un trapezoide isósceles. Traza una línea recta MT desde el vértice M, paralela al lado de AK (MT || AK).

El cuadrilátero AKMT resultante es un paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE es isósceles y MET = MTE.

Alaska || MT, por lo tanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

¿Dónde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME?

Q.E.D.

Ahora, basándonos en la propiedad de un trapezoide isósceles (igualdad de diagonales), demostramos que trapezoide ACME es isósceles:

Primero, dibujemos una línea recta MX – MX || KE. Obtenemos un paralelogramo KMHE (base – MX || KE y KM || EX).

∆AMX es isósceles, ya que AM = KE = MX y MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, por lo tanto MAE = MXE.

Resultó que los triángulos AKE y EMA son iguales entre sí, porque AM = KE y AE – lado común dos triángulos. Y también MAE = MXE. Podemos concluir que AK = ME, y de esto se deduce que el trapezoide AKME es isósceles.

Revisar tarea

Las bases del trapecio ACME miden 9 cm y 21 cm, el lado KA, igual a 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con la base más pequeña. Necesitas encontrar el área del trapezoide.

Solución: Desde el vértice K bajamos la altura hasta la base mayor del trapezoide. Y comencemos a mirar los ángulos del trapezoide.

Los ángulos AEM y KAN son unilaterales. Esto quiere decir que en total dan 180 0. Por lo tanto, KAN = 30 0 (basado en la propiedad de los ángulos trapezoidales).

Consideremos ahora el ∆ANC rectangular (creo que este punto es obvio para los lectores sin evidencia adicional). A partir de ahí encontraremos la altura del trapezoide KH; en un triángulo es un cateto que se encuentra opuesto al ángulo de 30 0. Por tanto, KH = ½AB = 4 cm.

Encontramos el área del trapezoide usando la fórmula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Epílogo

Si estudió este artículo detenida y cuidadosamente, no fue demasiado vago para dibujar trapecios para todas las propiedades dadas con un lápiz en sus manos y analizarlos en la práctica, debería haber dominado bien el material.

Por supuesto, aquí hay mucha información, variada y a veces incluso confusa: no es tan difícil confundir las propiedades del trapezoide descrito con las propiedades del inscrito. Pero tú mismo has visto que la diferencia es enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todas las propiedades generales de un trapezoide. Así como propiedades y características específicas de los trapecios isósceles y rectangulares. Es muy conveniente utilizarlo para prepararse para pruebas y exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte el enlace con tus amigos!

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El segmento de línea recta que conecta los puntos medios de los lados laterales del trapezoide se llama línea media del trapezoide. Te contamos a continuación cómo encontrar la línea media de un trapezoide y cómo se relaciona con otros elementos de esta figura.

Teorema de la línea central

Dibujemos un trapezoide en el que AD es la base más grande, BC es la base más pequeña y EF es la línea media. Extendamos la base AD más allá del punto D. Dibujemos una línea BF y la continuemos hasta que se cruce con la continuación de la base AD en el punto O. Consideremos los triángulos ∆BCF y ∆DFO. Ángulos ∟BCF = ∟DFO como vertical. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, porque VS // JSC. Por tanto, triángulos ∆BCF = ∆DFO. De ahí los lados BF = FO.

Consideremos ahora ∆ABO y ∆EBF. ∟ABO es común a ambos triángulos. BE/AB = ½ por condición, BF/BO = ½, ya que ∆BCF = ∆DFO. Por tanto, los triángulos ABO y EFB son semejantes. De ahí la relación de los partidos EF/AO = ½, así como la relación de los demás partidos.

Encontramos EF = ½ AO. El dibujo muestra que AO = AD + DO. DO = BC como lados triangulos iguales, lo que significa AO = AD + BC. Por tanto EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Aquellos. la longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases.

¿La línea media de un trapezoide es siempre igual a la mitad de la suma de las bases?

Supongamos que existe tal caso especial, cuando EF ≠ ½ (AD + BC). Entonces BC ≠ DO, por lo tanto, ∆BCF ≠ ∆DCF. Pero esto es imposible, ya que tienen dos ángulos y lados iguales entre sí. Por tanto, el teorema es verdadero en todas las condiciones.

problema de la línea media

Supongamos que en nuestro trapezoide ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, la diagonal AC es perpendicular al lado. Encuentre la línea media del trapezoide EF.

Si ∟A = 90°, entonces ∟B = 90°, lo que significa que ∆ABC es rectangular.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° por convención, por lo tanto, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Si en un triángulo rectángulo ∆ABC un ángulo es igual a 45°, entonces los catetos son iguales: AB = BC = 2 cm.

Hipotenusa AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Consideremos ∆ACD. ∟ACD = 90° según la condición. ∟CAD = ∟BCA = 45° como los ángulos formados por la transversal de las bases paralelas del trapezoide. Por lo tanto, los catetos AC = CD = √8.

Hipotenusa AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Línea media del trapezoide EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Objetivos de la lección:

1) familiarizar a los estudiantes con el concepto de línea media de un trapezoide, considerar sus propiedades y demostrarlas;

2) enseñar cómo construir la línea media del trapezoide;

3) desarrollar la capacidad de los estudiantes para utilizar la definición de la línea media de un trapezoide y las propiedades de la línea media de un trapezoide al resolver problemas;

4) continuar desarrollando la capacidad de los estudiantes para hablar de manera competente, utilizando los términos matemáticos necesarios; demostrar su punto de vista;

5) desarrollar pensamiento lógico, memoria, atención.

durante las clases

1. La tarea se revisa durante la lección. La tarea fue oral, recuerda:

a) definición de trapezoide; tipos de trapecios;

b) determinar la línea media del triángulo;

c) propiedad de la línea media de un triángulo;

d) signo de la línea media del triángulo.

2. Estudiar material nuevo.

a) El tablero muestra un trapezoide ABCD.

b) El profesor te pide que recuerdes la definición de trapezoide. Cada escritorio tiene un diagrama de sugerencias para ayudarle a recordar los conceptos básicos del tema “Trapezoide” (consulte el Apéndice 1). El Apéndice 1 se entrega a cada escritorio.

Los estudiantes dibujan el trapezoide ABCD en sus cuadernos.

c) El profesor te pide que recuerdes en qué tema se encontró el concepto de línea media (“Línea media de un triángulo”). Los estudiantes recuerdan la definición de la línea media de un triángulo y sus propiedades.

e) Anotar la definición de la línea media del trapezoide, dibujándola en un cuaderno.

Linea intermedia Un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de sus lados.

La propiedad de la línea media de un trapezoide aún no se ha demostrado en esta etapa, por lo que la siguiente etapa de la lección implica trabajar para demostrar la propiedad de la línea media de un trapezoide.

Teorema. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases e igual a su media suma.

Dado: ABCD – trapezoide,

MN – línea media ABCD

Probar, Qué:

1. antes de Cristo || MN || ANUNCIO.

2. MN = (AD + BC).

Podemos escribir algunos corolarios que se derivan de las condiciones del teorema:

AM = MB, CN = ND, BC || ANUNCIO.

Es imposible demostrar lo que se requiere basándose únicamente en las propiedades enumeradas. El sistema de preguntas y ejercicios debe llevar a los estudiantes al deseo de conectar la línea media de un trapezoide con la línea media de algún triángulo cuyas propiedades ya conocen. Si no hay propuestas, entonces podemos hacer la pregunta: ¿cómo construir un triángulo para el cual el segmento MN sería la línea media?

Anotemos una construcción adicional para uno de los casos.

Dibujemos una línea recta BN que corte la continuación del lado AD en el punto K.

Aparecen elementos adicionales: triángulos: ABD, BNM, DNK, BCN. Si demostramos que BN = NK, entonces esto significará que MN es la línea media de ABD, y luego podemos usar la propiedad de la línea media de un triángulo y demostrar lo necesario.

Prueba:

1. Considere BNC y DNK, contienen:

a) CNB =DNK (propiedad ángulos verticales);

b) BCN = NDK (propiedad de los ángulos internos transversales);

c) CN = ND (por corolario de las condiciones del teorema).

Esto significa BNC =DNK (por el lado y dos ángulos adyacentes).

Q.E.D.

La prueba se puede hacer oralmente en clase, y se puede reconstruir y anotar en un cuaderno en casa (a criterio del profesor).

Es necesario decir sobre otras posibles formas de demostrar este teorema:

1. Dibuja una de las diagonales del trapecio y usa el signo y la propiedad de la línea media del triángulo.

2. Realizar CF || BA y considere el paralelogramo ABCF y DCF.

3. Realizar EF || BA y considere la igualdad de FND y ENC.

g) En esta etapa se asignan tareas: párrafo 84, edición del libro de texto. Atanasyan L.S. (prueba de la propiedad de la línea media de un trapecio mediante un método vectorial), anótala en tu cuaderno.

h) Resolvemos problemas utilizando la definición y las propiedades de la línea media de un trapezoide utilizando dibujos ya hechos (ver Apéndice 2). Se entrega el Apéndice 2 a cada alumno y la solución de los problemas se escribe en la misma hoja de forma breve.

Un trapecio es un caso especial de cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoide y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular elementos individuales de este. Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en una forma de fácil acceso. .

información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces volvamos a los trapecios. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados laterales. En materiales de examen y varios. pruebas muy a menudo se pueden encontrar problemas relacionados con los trapecios, cuya solución muchas veces requiere que el alumno tenga conocimientos no previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero hablaremos de ellos un poco más adelante...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapecio rectangular es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos siempre son iguales a noventa grados.

2. Un trapecio isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales en pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental incluye el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no es necesario introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de geometría. Pueden descubrirse y formularse en el proceso de resolución de diversos problemas (preferiblemente sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el profesor sepa qué tareas hay que asignar a los alumnos en un momento u otro. proceso educativo. Además, cada propiedad de un trapecio se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica determinada. Esto hace que sea más fácil para los estudiantes recordarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto al estudiar la similitud como posteriormente al utilizar vectores. Y la equivalencia de los triángulos adyacentes a los lados laterales de una figura se puede probar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujados a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2( ab*sinα). Además, puedes trabajar sobre un trapecio inscrito o un triángulo rectángulo sobre un trapezoide inscrito, etc.

El uso de características "extracurriculares" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tecnología basada en tareas para enseñarlas. Hacer referencia constante a las propiedades que se estudian mientras se analizan otros temas permite a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo del trapezoide y garantiza el éxito en la resolución de los problemas asignados. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles.

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se le conoce como trapezoide correcto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? La peculiaridad de esta figura es que no solo los lados y ángulos en las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapecios conocidos, sólo el isósceles puede describirse como un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es igual a 180 grados, y sólo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Consideremos una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero suele denotarse con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapecio isósceles los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X, y que los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AN: restamos el menor a la base mayor, y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y)/2 = F. Ahora, para calcular el cateto AN ángulo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos la siguiente entrada: cos(β) = X/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (X/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

Hay una segunda solución a este problema. Primero lo bajamos desde la esquina hasta la altura H. Calculamos el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa triángulo rectángulo igual a la suma cuadrados de patas. Obtenemos: BN = √(X2-F2). A continuación usamos Funcion trigonometrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN/F). Esquina filosa encontró. A continuación, lo definimos de manera similar al primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que ;

Si el lado lateral se divide por el punto de tangencia en los segmentos H y M, entonces es igual a raíz cuadrada productos de estos segmentos;

El cuadrilátero que está formado por los puntos tangentes, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases y su altura.

Trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este. Por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y las adyacentes a las bases son similares y las adyacentes a los lados son iguales en tamaño. Esta afirmación puede denominarse propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método que se indica a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS son las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS/K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos como base los segmentos CO y OA. Obtenemos PBOS/PAOB = CO/OA = K y PAOB = PBOS/K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se recomienda a los estudiantes encontrar la conexión entre las áreas de los triángulos resultantes en los que se divide el trapezoide por sus diagonales resolviendo el siguiente problema. Se sabe que los triángulos BOS y AOD tienen áreas iguales, es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. De la similitud de los triángulos BOS y AOD se deduce que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propiedades de similitud

Continuando desarrollando este tema, se pueden probar otros. características interesantes trapezoide. Entonces, usando la similitud, puedes probar la propiedad de un segmento que pasa por un punto, formado por la intersección diagonales de esta figura geométrica, paralelas a las bases. Para ello, resolvamos el siguiente problema: necesitamos encontrar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BOS se deduce que AO/OS = AD/BS. De la semejanza de los triángulos AOP y ASB se deduce que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=BS*BP/(BS+BP). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOC y DBS, se deduce que OK = BS*AD/(BS+AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). Un segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y que conecta dos lados laterales, se divide por la mitad por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de un trapezoide, que se llama propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y F) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se puede demostrar fácilmente mediante el método de semejanza. Los triángulos resultantes BES y AED son semejantes, y en cada uno de ellos las medianas ET y EJ dividen el ángulo del vértice E en partes iguales. Por tanto, los puntos E, T y F se encuentran en la misma recta. De la misma forma, en la misma recta se ubican los puntos T, O y Zh. Todo esto se deriva de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De aquí concluimos que los cuatro puntos (E, T, O y F) estarán en la misma línea recta.

Usando trapecios similares, puede pedirles a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LS) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF = LF/AD. De ello se deduce que LF=√(BS*AD). Encontramos que el segmento que divide el trapecio en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras iguales. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EH en dos similares. Desde el vértice B se omite una altura, que se divide por el segmento EN en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 y PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 y la segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. De ello se deduce que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Encontramos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual a la raíz cuadrática media de las longitudes de las bases: √((BS2+AD2)/2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales de un trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de la raíz cuadrática media de los números AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante necesita construirlos para un trapezoide específico. Puede representar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. ¿Pero dónde estarán ubicados el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre valores medios.

Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección Ш y Ш. Este segmento será igual a la mitad de la diferencia de las bases. Veamos esto con más detalle. MS es la línea media del triángulo ABS, es igual a BS/2. MSH es la línea media del triángulo ABD, es igual a AD/2. Entonces obtenemos que ShShch = MSh-MSh, por lo tanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica determinada. Para ello, es necesario ampliar el terreno en lados opuestos. ¿Qué significa? Debe agregar la base inferior a la base superior, en cualquier dirección, por ejemplo, hacia la derecha. Y extendemos el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos en diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapecio puede inscribirse en una circunferencia sólo si es isósceles.

2. Se puede describir un trapezoide alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Corolarios del círculo:

1. La altura del trapezoide descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, pero para demostrar el segundo es necesario establecer que el ángulo SOD es recto, lo cual, de hecho, tampoco es difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora especifiquemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Encontramos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Mientras practica la técnica básica para resolver problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el alumno debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde el vértice B hasta la base AD. Como el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Del triángulo ABN encontramos senα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtenemos PABSD = (BS+BP)*R, se deduce que R = PABSD/(BS+BP).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide.

Ahora toca pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A+B)/2.

2. Por altura, base y esquinas:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*senα/2N = D1*D2*senβ/2N.

4. Área pasante y altura: M = P/N.