El concepto de logaritmo y la identidad logarítmica básica.

El concepto de logaritmo y la identidad logarítmica básica están estrechamente relacionados, porque La definición de logaritmo en notación matemática es.

Lo esencial identidad logarítmica se sigue de la definición de logaritmo:

Definición 1

Logaritmo llaman al exponente $n$, cuando elevado al cual los números $a$ obtienen el número $b$.

Nota 1

Ecuación exponencial$a^n=b$ para $a > 0$, $a \ne 1$ no tiene soluciones para $b$ no positivos y tiene una raíz única para $b$ positivos. Esta raíz se llama logaritmo del número $b$ en base $a$ y escribe:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definición 2

Expresión

$a^(\log_(a) b)=b$

llamado identidad logarítmica básica siempre que $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Ejemplo 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

Identidad logarítmica básica

Principal la identidad logarítmica se llama porque se utiliza casi siempre cuando se trabaja con logaritmos. Además, con su ayuda se fundamentan las propiedades básicas de los logaritmos.

Ejemplo 2

$7^5=16,807$, por lo tanto $\log_(7)16,807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, por lo tanto $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, por lo tanto $\log_(11)⁡1=0$.

Consideremos una consecuencia de la identidad logarítmica básica:

Definición 3

Si dos logaritmos con por los mismos motivos son iguales, lo que significa que las expresiones logarítmicas son iguales:

si $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, entonces $b=c$.

Consideremos restricciones, que se utilizan para la identidad logarítmica:

Porque al elevar la unidad a cualquier potencia siempre obtenemos uno, y la igualdad $x=\log_(a)⁡b$ existe solo para $b=1$, entonces $\log_(1)⁡1$ será cualquier Número Real. Para evitar esta ambigüedad, tome $a \ne 1$.

El logaritmo para $a=0$, según la definición, sólo puede existir para $b=0$. Porque Cuando elevamos cero a cualquier potencia siempre obtenemos cero, entonces $\log_(0)⁡0$ puede ser cualquier número real. Para evitar esta ambigüedad, tome $a \ne 0$. Por $a racional y irracional valores de logaritmo, porque un grado con exponente racional e irracional sólo se puede calcular para bases positivas. Para evitar esta situación, tome $a > 0$.

$b > 0$ se sigue de la condición $a > 0$, ya que $x=\log_(a)⁡b$, y la potencia de un número positivo a siempre será positiva.

La identidad logarítmica básica se utiliza a menudo para simplificar expresiones logarítmicas.

Ejemplo 3

Calcula $81^(\log_(9) 7)$.

Solución.

Para utilizar la identidad logarítmica básica, es necesario que la base del logaritmo y las potencias sean las mismas. Escribamos la base del grado en la forma:

Ahora podemos escribir:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Usemos la propiedad de potencia:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

Ahora se puede aplicar la identidad logarítmica básica a cada factor:

$=7 \cdot 7=49$.

Nota 2

Para aplicar la identidad logarítmica básica, también puedes recurrir a sustituir la base del logaritmo por la expresión que aparece debajo del signo del logaritmo, y viceversa.

Ejemplo 4

Calcula $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Solución.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Respuesta: $11$.

Ejemplo 5

Calcula $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

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Seguimos estudiando logaritmos. En este artículo hablaremos de calculando logaritmos, este proceso se llama logaritmo. Primero entenderemos el cálculo de logaritmos por definición. A continuación, veamos cómo se encuentran los valores de los logaritmos usando sus propiedades. Después de esto, nos centraremos en calcular logaritmos a través de los valores inicialmente especificados de otros logaritmos. Finalmente, aprendamos a usar tablas de logaritmos. Toda la teoría se proporciona con ejemplos con soluciones detalladas.

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Calcular logaritmos por definición

En los casos más simples es posible realizar con bastante rapidez y facilidad encontrar el logaritmo por definición. Echemos un vistazo más de cerca a cómo ocurre este proceso.

Su esencia es representar el número b en la forma a c, de donde, según la definición de logaritmo, el número c es el valor del logaritmo. Es decir, por definición, la siguiente cadena de igualdades corresponde a encontrar el logaritmo: log a b=log a a c =c.

Entonces, calcular un logaritmo por definición se reduce a encontrar un número c tal que a c = b, y el número c en sí es el valor deseado del logaritmo.

Teniendo en cuenta la información de los párrafos anteriores, cuando el número bajo el signo del logaritmo está dado por una determinada potencia de la base del logaritmo, puede indicar inmediatamente a qué es igual el logaritmo: igual al indicador grados. Mostremos soluciones a ejemplos.

Ejemplo.

Encuentra log 2 2 −3 y también calcula el logaritmo natural del número e 5,3.

Solución.

La definición del logaritmo nos permite decir inmediatamente que log 2 2 −3 =−3. De hecho, el número bajo el signo del logaritmo es igual a base 2 elevado a −3.

De manera similar, encontramos el segundo logaritmo: lne 5,3 =5,3.

Respuesta:

log 2 2 −3 =−3 y lne 5,3 =5,3.

Si el número b bajo el signo del logaritmo no se especifica como una potencia de la base del logaritmo, entonces debes observar cuidadosamente si es posible obtener una representación del número b en la forma a c. A menudo esta representación es bastante obvia, especialmente cuando el número bajo el signo del logaritmo es igual a la base elevada a 1, o 2, o 3,...

Ejemplo.

Calcula los logaritmos log 5 25 y .

Solución.

Es fácil ver que 25=5 2, esto te permite calcular el primer logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pasemos a calcular el segundo logaritmo. El número se puede representar como una potencia de 7: (ver si es necesario). Por eso, .

Reescribamos el tercer logaritmo de la siguiente forma. Ahora puedes ver eso , de lo cual concluimos que . Por lo tanto, por la definición de logaritmo .

Brevemente, la solución podría escribirse de la siguiente manera: .

Respuesta:

iniciar sesión 5 25 = 2 , Y .

Cuando bajo el signo del logaritmo hay un valor suficientemente grande número natural, entonces no estaría de más factorizarlo en factores primos. A menudo es útil representar un número de este tipo como una potencia de la base del logaritmo y, por lo tanto, calcular este logaritmo por definición.

Ejemplo.

Encuentra el valor del logaritmo.

Solución.

Algunas propiedades de los logaritmos le permiten especificar inmediatamente el valor de los logaritmos. Estas propiedades incluyen la propiedad del logaritmo de una unidad y la propiedad del logaritmo de un número, igual a la base: log 1 1=log a a 0 =0 y log a a=log a a 1 =1 . Es decir, cuando bajo el signo del logaritmo hay un número 1 o un número a igual a la base del logaritmo, entonces en estos casos los logaritmos son iguales a 0 y 1, respectivamente.

Ejemplo.

¿A qué equivalen los logaritmos y log10?

Solución.

Dado que , de la definición de logaritmo se sigue .

En el segundo ejemplo, el número 10 bajo el signo del logaritmo coincide con su base, por lo que el logaritmo decimal de diez es igual a uno, es decir, lg10=lg10 1 =1.

Respuesta:

Y lg10=1.

Tenga en cuenta que el cálculo de logaritmos por definición (que analizamos en el párrafo anterior) implica el uso de la igualdad log a a p =p, que es una de las propiedades de los logaritmos.

En la práctica, cuando un número bajo el signo del logaritmo y la base del logaritmo se representan fácilmente como una potencia de un determinado número, es muy conveniente utilizar la fórmula , que corresponde a una de las propiedades de los logaritmos. Veamos un ejemplo de cómo encontrar un logaritmo que ilustra el uso de esta fórmula.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo.

Solución.

Respuesta:

.

Las propiedades de los logaritmos que no se mencionan anteriormente también se utilizan en los cálculos, pero hablaremos de esto en los párrafos siguientes.

Encontrar logaritmos a través de otros logaritmos conocidos

La información de este párrafo continúa con el tema del uso de las propiedades de los logaritmos al calcularlos. Pero aquí la principal diferencia es que las propiedades de los logaritmos se utilizan para expresar el logaritmo original en términos de otro logaritmo cuyo valor se conoce. Pongamos un ejemplo para aclarar. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963, entonces podemos encontrar, por ejemplo, log 2 6 haciendo una pequeña transformación usando las propiedades del logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

En el ejemplo anterior, nos bastó con utilizar la propiedad del logaritmo de un producto. Sin embargo, mucho más a menudo es necesario utilizar un arsenal más amplio de propiedades de los logaritmos para calcular el logaritmo original a través de los dados.

Ejemplo.

Calcula el logaritmo de 27 en base 60 si sabes que log 60 2=a y log 60 5=b.

Solución.

Entonces necesitamos encontrar log 60 27 . Es fácil ver que 27 = 3 3 , y el logaritmo original, debido a la propiedad del logaritmo de la potencia, se puede reescribir como 3·log 60 3 .

Ahora veamos cómo expresar log 60 3 en términos de logaritmos conocidos. La propiedad del logaritmo de un número igual a la base nos permite escribir la igualdad log 60 60=1. Por otro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= registro 60 2 2 + registro 60 3 + registro 60 5 = 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . De este modo, 2 registro 60 2+ registro 60 3+ registro 60 5=1. Por eso, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Finalmente calculamos el logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Respuesta:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Por separado, vale la pena mencionar el significado de la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo de la forma . Permite pasar de logaritmos con cualquier base a logaritmos con una base específica, cuyos valores se conocen o es posible encontrarlos. Habitualmente, del logaritmo original, utilizando la fórmula de transición, se pasa a logaritmos en alguna de las bases 2, e o 10, ya que para estas bases existen tablas de logaritmos que permiten calcular sus valores con cierto grado de exactitud. En el siguiente párrafo mostraremos cómo se hace esto.

Tablas de logaritmos y sus usos.

Para el cálculo aproximado de los valores de logaritmo se puede utilizar tablas de logaritmos. La tabla de logaritmos de base 2 más utilizada es la tabla logaritmos naturales y una tabla de logaritmos decimales. Cuando se trabaja en sistema decimal Para el cálculo es conveniente utilizar una tabla de logaritmos de base diez. Con su ayuda aprenderemos a encontrar los valores de los logaritmos.

La tabla presentada le permite encontrar los valores de los logaritmos decimales de números del 1000 al 9999 (con tres decimales) con una precisión de una diezmilésima. Analizaremos el principio de encontrar el valor de un logaritmo usando una tabla de logaritmos decimales en ejemplo específico– es más claro así. Encontremos log1.256.

En la columna izquierda de la tabla de logaritmos decimales encontramos los dos primeros dígitos del número 1,256, es decir, encontramos 1,2 (este número está encerrado en un círculo azul para mayor claridad). El tercer dígito del número 1.256 (dígito 5) se encuentra en la primera o última línea a la izquierda de la doble línea (este número está rodeado por un círculo rojo). El cuarto dígito del número original 1.256 (dígito 6) se encuentra en la primera o última línea a la derecha de la línea doble (este número está rodeado por una línea verde). Ahora encontramos los números en las celdas de la tabla de logaritmos en la intersección de la fila marcada y las columnas marcadas (estos números están resaltados naranja). La suma de los números marcados da el valor deseado del logaritmo decimal con precisión al cuarto decimal, es decir, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

¿Es posible, utilizando la tabla anterior, encontrar los valores de los logaritmos decimales de números que tienen más de tres dígitos después del punto decimal, así como aquellos que van más allá del rango de 1 a 9,999? Sí tu puedes. Demostremos cómo se hace esto con un ejemplo.

Calculemos lg102.76332. Primero necesitas escribir número en forma estándar: 102,76332=1,0276332·10 2. Después de esto, la mantisa debe redondearse al tercer decimal, tenemos 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mientras que el logaritmo decimal original es aproximadamente igual al logaritmo el número resultante, es decir, tomamos log102.76332≈lg1.028·10 2. Ahora aplicamos las propiedades del logaritmo: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente, encontramos el valor del logaritmo lg1.028 de la tabla de logaritmos decimales lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo el proceso de cálculo del logaritmo se ve así: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

En conclusión, cabe señalar que utilizando una tabla de logaritmos decimales se puede calcular el valor aproximado de cualquier logaritmo. Para ello, basta con utilizar la fórmula de transición para ir a logaritmos decimales, encontrar sus valores en la tabla y realizar el resto de cálculos.

Por ejemplo, calculemos log 2 3. Según la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo, tenemos . De la tabla de logaritmos decimales encontramos log3≈0.4771 y log2≈0.3010. De este modo, .

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado -2, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 sea igual a 2.

Identidad logarítmica básica

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. Lado izquierdo definido sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. parte derecha está definido para cualquier b, pero no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.

Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.

Logaritmo del producto y logaritmo del cociente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Me gustaría advertir a los escolares que no apliquen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Al usarlos "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.

De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.

Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay un estrechamiento del área. valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, porque puede llevar a la pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede sacar del signo del logaritmo.

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.

Fórmula para pasar a una nueva fundación

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Eso caso raro, cuando la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.

Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos una importante caso especial fórmulas (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos sencillos con logaritmos

Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.

Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).

Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Empecemos con propiedades del logaritmo de uno. Su formulación es la siguiente: el logaritmo de la unidad es igual a cero, es decir, registrar un 1=0 para cualquier a>0, a≠1. La demostración no es difícil: dado que a 0 =1 para cualquier a que cumpla las condiciones anteriores a>0 y a≠1, entonces la igualdad log a 1=0 a demostrar se deriva inmediatamente de la definición del logaritmo.

Pongamos ejemplos de la aplicación de la propiedad considerada: log 3 1=0, log1=0 y .

Pasemos a la siguiente propiedad: el logaritmo de un número igual a la base es igual a uno, eso es, iniciar sesión a = 1 para a>0, a≠1. De hecho, dado que a 1 =a para cualquier a, entonces, por definición registro de logaritmos aa=1 .

Ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos son las igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 y lne=1.

Por ejemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 y .

Logaritmo del producto de dos números positivos xey es igual al producto de los logaritmos de estos números: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Demostremos la propiedad del logaritmo de un producto. Debido a las propiedades del título. a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, y dado que por la identidad logarítmica principal a log a x =x y a log a y =y, entonces a log a x ·a log a y =x·y. Por lo tanto, un log a x+log a y =x·y, de donde, según la definición de logaritmo, se sigue la igualdad que se está demostrando.

Mostremos ejemplos del uso de la propiedad del logaritmo de un producto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 y .

La propiedad del logaritmo de un producto se puede generalizar al producto de un número finito n de números positivos x 1 , x 2 ,…, x n como iniciar sesión a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Esta igualdad se puede demostrar sin problemas.

Por ejemplo, el logaritmo natural del producto se puede sustituir por la suma de tres logaritmos naturales de los números 4, e, y.

Logaritmo del cociente de dos números positivos X y Y igual a la diferencia logaritmos de estos números. La propiedad del logaritmo de un cociente corresponde a una fórmula de la forma , donde a>0, a≠1, xey son unos números positivos. La validez de esta fórmula está probada al igual que la fórmula del logaritmo de un producto: ya que , entonces por definición de logaritmo.

A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad del logaritmo: .

Movámonos a propiedad del logaritmo de la potencia. El logaritmo de un grado es igual al producto del exponente por el logaritmo del módulo de la base de ese grado. Escribamos esta propiedad del logaritmo de una potencia como fórmula: log a b p =p·log a |b|, donde a>0, a≠1, b y p son números tales que el grado b p tiene sentido y b p >0.

Primero demostramos que esta propiedad es positiva b. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como un log a b , luego b p =(a log a b) p , y la expresión resultante, debido a la propiedad de la potencia, es igual a a p·log a b . Entonces llegamos a la igualdad b p =a p·log a b, de la cual, por la definición de logaritmo, concluimos que log a b p =p·log a b.

Queda por demostrar esta propiedad para b negativo. Aquí notamos que la expresión log a b p para b negativo tiene sentido solo para exponentes pares p (ya que el valor del grado b p debe ser mayor que cero, de lo contrario el logaritmo no tendrá sentido), y en este caso b p =|b| pag. Entonces b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de donde log a b p =p·log a |b| .

Por ejemplo, y ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Se deduce de la propiedad anterior propiedad del logaritmo de la raíz: el logaritmo de la raíz enésima es igual al producto de la fracción 1/n por el logaritmo de la expresión radical, es decir, , donde a>0, a≠1, n es un número natural mayor que uno, b>0.

La prueba se basa en la igualdad (ver), que es válida para cualquier b positivo, y la propiedad del logaritmo de la potencia: .

A continuación se muestra un ejemplo del uso de esta propiedad: .

Ahora demostremos fórmula para pasar a una nueva base logarítmica amable . Para ello basta con demostrar la validez de la igualdad log c b=log a b·log c a. La identidad logarítmica básica nos permite representar el número b como log a b, luego log c b=log c a log a b. Queda por utilizar la propiedad del logaritmo del grado: log c a log a b =log a b log c a. Esto demuestra la igualdad log c b=log a b·log c a, lo que significa que también se ha demostrado la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo.

Mostremos un par de ejemplos del uso de esta propiedad de los logaritmos: y .

La fórmula para pasar a una nueva base le permite pasar a trabajar con logaritmos que tienen una base "conveniente". Por ejemplo, se puede utilizar para ir a logaritmos naturales o decimales para poder calcular el valor de un logaritmo a partir de una tabla de logaritmos. La fórmula para pasar a una nueva base de logaritmo también permite, en algunos casos, encontrar el valor de un logaritmo determinado cuando se conocen los valores de algunos logaritmos con otras bases.

A menudo se utiliza un caso especial de la fórmula para la transición a una nueva base logarítmica para c=b de la forma . Esto muestra que log a b y log b a – . P.ej, .

La fórmula también se utiliza a menudo. , lo cual es conveniente para encontrar valores de logaritmos. Para confirmar nuestras palabras, mostraremos cómo se puede utilizar para calcular el valor de un logaritmo de la forma. Tenemos . Para probar la fórmula basta con utilizar la fórmula para la transición a una nueva base del logaritmo a: .

Queda por demostrar las propiedades de comparación de logaritmos.

Demostremos que para cualquier número positivo b 1 y b 2, b 1 log a b 2 , y para a>1 – la desigualdad log a b 1

Finalmente, queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de los logaritmos. Limitémonos a la prueba de su primera parte, es decir, demostraremos que si a 1 >1, a 2 >1 y a 1 1 es verdadero log a 1 b>log a 2 b . El resto de los enunciados de esta propiedad de los logaritmos se demuestran según un principio similar.

Usemos el método opuesto. Supongamos que para a 1 >1, a 2 >1 y a 1 1 es verdadero log a 1 b≤log a 2 b . Con base en las propiedades de los logaritmos, estas desigualdades se pueden reescribir como Y respectivamente, y de ellos se deduce que log b a 1 ≤log b a 2 y log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Entonces, de acuerdo con las propiedades de potencias con las mismas bases, las igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 y b log b a 1 ≥b log b a 2 deben cumplirse, es decir, a 1 ≥a 2 . Entonces llegamos a una contradicción con la condición a 1

Bibliografía.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).