Una tangente es una recta. , que toca la gráfica de la función en un punto y cuyos puntos están a la distancia más corta de la gráfica de la función. Por lo tanto, la tangente pasa tangente a la gráfica de la función en un cierto ángulo y varias tangentes no pueden pasar por el punto de tangencia en diferentes ángulos. Las ecuaciones tangentes y las ecuaciones normales a la gráfica de una función se construyen utilizando la derivada.

La ecuación tangente se deriva de la ecuación lineal. .

Derivemos la ecuación de la tangente y luego la ecuación de la normal a la gráfica de la función.

y = kx + b .

En él k - pendiente.

Desde aquí obtenemos la siguiente entrada:

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Valor derivado F "(X 0 ) funciones y = F(X) en el punto X0 igual a la pendiente k= tg φ tangente a la gráfica de una función trazada por un punto METRO0 (X 0 , y 0 ) , Dónde y0 = F(X 0 ) . Esto es significado geométrico derivado .

Así, podemos reemplazar k en F "(X 0 ) y obtenga lo siguiente ecuación de la tangente a la gráfica de una función :

y - y 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

En problemas que implican componer la ecuación de una tangente a la gráfica de una función (y pasaremos a ellos pronto), es necesario reducir la ecuación obtenida de la fórmula anterior a ecuación de una línea recta en forma general. Para hacer esto, debe transferir todas las letras y números a lado izquierdo ecuación y dejar cero en el lado derecho.

Ahora sobre la ecuación normal. Normal - esta es una línea recta que pasa por el punto de tangencia a la gráfica de la función perpendicular a la tangente. ecuación normal :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Para calentar, se le pedirá que resuelva el primer ejemplo usted mismo y luego mire la solución. Hay muchas razones para esperar que esta tarea no sea una “ducha fría” para nuestros lectores.

Ejemplo 0. Crea una ecuación tangente y una ecuación normal para la gráfica de una función en un punto METRO (1, 1) .

Ejemplo 1. Escribe una ecuación tangente y una ecuación normal para la gráfica de una función. , si la abscisa es tangente.

Encontremos la derivada de la función:

Ahora tenemos todo lo que hay que sustituir en la entrada dada en la ayuda teórica para obtener la ecuación tangente. Obtenemos

En este ejemplo, tuvimos suerte: la pendiente resultó ser cero, por lo que reducimos la ecuación por separado a apariencia general no era necesario. Ahora podemos crear la ecuación normal:

En la siguiente figura: gráfica de una función en color burdeos, tangente Color verde, naranja normal.

El siguiente ejemplo tampoco es complicado: la función, como en el anterior, también es un polinomio, pero la pendiente no será igual a cero, por lo que se agregará un paso más: llevar la ecuación a una forma general.

Ejemplo 2.

Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:

Encontremos la derivada de la función:

.

Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:

Sustituimos todos los datos obtenidos en la “fórmula en blanco” y obtenemos la ecuación tangente:

Llevamos la ecuación a su forma general (recopilamos todas las letras y números distintos de cero en el lado izquierdo y dejamos cero en el derecho):

Componemos la ecuación normal:

Ejemplo 3. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.

Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:

Encontremos la derivada de la función:

.

Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:

.

Encontramos la ecuación tangente:

Antes de llevar la ecuación a su forma general, es necesario “peinarla” un poco: multiplicamos término por término por 4. Hacemos esto y llevamos la ecuación a su forma general:

Componemos la ecuación normal:

Ejemplo 4. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.

Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:

.

Encontremos la derivada de la función:

Encontremos el valor de la derivada en el punto de tangencia, es decir, la pendiente de la tangente:

.

Obtenemos la ecuación tangente:

Llevamos la ecuación a su forma general:

Componemos la ecuación normal:

Un error común al escribir ecuaciones tangentes y normales es no darse cuenta de que la función dada en el ejemplo es compleja y calcular su derivada como la derivada de una función simple. Los siguientes ejemplos ya son de funciones complejas(la lección correspondiente se abrirá en una nueva ventana).

Ejemplo 5. Escribe la ecuación de la tangente y la ecuación de la normal a la gráfica de la función si la abscisa es el punto de tangencia.

Solución. Encontremos la ordenada del punto tangente:

¡Atención! Esta función es compleja, ya que el argumento tangente (2 X) es en sí misma una función. Por tanto, encontramos la derivada de una función como derivada de una función compleja.

Tangente es una línea recta que pasa por un punto de la curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden (Fig. 1).

Otra definición: esta es la posición límite de la secante en Δ X→0.

Explicación: Tome una línea recta que corte la curva en dos puntos: A Y b(ver imagen). Esta es una secante. Lo giraremos en el sentido de las agujas del reloj hasta que tenga solo uno. punto común con una curva. Esto nos dará una tangente.

Definición estricta de tangente:

Tangente a la gráfica de una función. F, diferenciable en el punto Xoh, es una línea recta que pasa por el punto ( Xoh; F(Xoh)) y tener una pendiente F′( Xoh).

La pendiente tiene una línea recta de la forma y =kx +b. Coeficiente k y es pendiente esta línea recta.

La pendiente es igual a la tangente. ángulo agudo, formada por esta recta con el eje de abscisas:

k = tan α

Aquí el ángulo α es el ángulo entre la línea recta y =kx +b y dirección positiva (es decir, en sentido antihorario) del eje x. Se llama ángulo de inclinación de una línea recta(Figuras 1 y 2).

Si el ángulo de inclinación es recto. y =kx +b aguda, entonces la pendiente es un número positivo. La gráfica va en aumento (Fig. 1).

Si el ángulo de inclinación es recto. y =kx +b es obtusa, entonces la pendiente es numero negativo. La gráfica es decreciente (Fig. 2).

Si la línea recta es paralela al eje x, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta es cero. En este caso, la pendiente de la recta también es cero (ya que la tangente del cero es cero). La ecuación de la línea recta se verá así y = b (Fig. 3).

Si el ángulo de inclinación de una recta es de 90º (π/2), es decir, es perpendicular al eje de abscisas, entonces la recta viene dada por la igualdad x =C, Dónde C– algún número real (Fig. 4).

Ecuación de la tangente a la gráfica de una función.y = F(X) en el punto Xoh:

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la tangente a la gráfica de la función. F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 en el punto con abscisa 2.

Solución .

Seguimos el algoritmo.

1) Punto de contacto Xoh es igual a 2. Calcular F(Xoh):

F(Xoh) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) encontrar F′( X). Para ello, aplicamos las fórmulas de diferenciación descritas en el apartado anterior. Según estas fórmulas, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Medio:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ahora, usando el valor resultante F′( X), calcular F′( Xoh):

F′( Xoh) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Entonces, tenemos todos los datos necesarios: Xoh = 2, F(Xoh) = 1, F ′( Xoh) = 4. Sustituye estos números en la ecuación tangente y encuentra la solución final:

y = F(Xoh) + F′( Xoh) (x-xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Respuesta: y = 4x – 7.

Y = f(x) y si en este punto se puede trazar una tangente a la gráfica de la función que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces el coeficiente angular de la tangente es igual a f"(a). Ya tenemos usó esto varias veces, por ejemplo, en el § 33 se estableció que la gráfica de la función y = sen x (sinusoide) en el origen forma un ángulo de 45° con el eje x (más precisamente, la tangente al eje x). La gráfica en el origen forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje x), y en el ejemplo 5 § 33 se encontraron puntos en el programa dado. funciones, en el que la tangente es paralela al eje x. En el ejemplo 2 del § 33, se compiló una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = x 2 en el punto x = 1 (más precisamente, en el punto (1; 1), pero más a menudo solo se calcula el valor de la abscisa indicado, creyendo que si se conoce el valor de abscisas, entonces el valor de ordenadas se puede encontrar a partir de la ecuación y = f(x)). En esta sección desarrollaremos un algoritmo para componer una ecuación tangente a la gráfica de cualquier función.

Sea la función y = f(x) y el punto M (a; f(a)), y sepamos también que f"(a) existe. Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica. función dada V Punto dado. Esta ecuación, como la ecuación de cualquier recta que no sea paralela al eje de ordenadas, tiene la forma y = kx+m, por lo que la tarea es encontrar los valores de los coeficientes k y m.

No hay problemas con el coeficiente angular k: sabemos que k = f "(a). Para calcular el valor de m, utilizamos el hecho de que la recta deseada pasa por el punto M(a; f (a)) . Esto significa que si sustituimos el punto de coordenadas M en la ecuación de la recta, obtenemos la igualdad correcta: f(a) = ka+m, de donde encontramos que m = f(a) - ka.
Queda por sustituir los valores encontrados de los coeficientes del kit en la ecuacion derecho:

Hemos obtenido la ecuación de la tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto x=a.
Si, digamos,
Sustituyendo los valores encontrados a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 en la ecuación (1), obtenemos: y = 1+2(x-f), es decir y = 2x-1.
Compárese este resultado con el obtenido en el ejemplo 2 del § 33. Naturalmente, ocurrió lo mismo.
Creemos una ecuación para la tangente a la gráfica de la función y = tan x en el origen. Tenemos: esto significa cos x f"(0) = 1. Sustituyendo los valores encontrados a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 en la ecuación (1), obtenemos: y = x.
Por eso dibujamos la tangente en el § 15 (ver Fig. 62) a través del origen de coordenadas en un ángulo de 45° con respecto al eje de abscisas.
Resolver estos suficientes ejemplos simples, en realidad usamos por un cierto algoritmo, que se incluye en la fórmula (1). Hagamos explícito este algoritmo.

ALGORITMO PARA DESARROLLAR UNA ECUACIÓN PARA UNA TANGENTE A LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = f(x)

1) Designar la abscisa del punto de tangencia con la letra a.
2) Calcule 1 (a).
3) Encuentre f"(x) y calcule f"(a).
4) Sustituya los números encontrados a, f(a), (a) en la fórmula (1).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función en el punto x = 1.
Usemos el algoritmo, teniendo en cuenta que en este ejemplo

En la Fig. 126 se representa una hipérbola, se construye una línea recta y = 2.
El dibujo confirma los cálculos anteriores: efectivamente, la recta y = 2 toca la hipérbola en el punto (1; 1).

Respuesta: y = 2-x.
Ejemplo 2. Dibuja una tangente a la gráfica de la función de modo que sea paralela a la recta y = 4x - 5.
Aclaremos la formulación del problema. El requisito de "trazar una tangente" generalmente significa "formar una ecuación para la tangente". Esto es lógico, porque si una persona pudo crear una ecuación para una tangente, es poco probable que tenga dificultades para construir una línea recta en el plano de coordenadas usando su ecuación.
Utilicemos el algoritmo para componer la ecuación tangente, teniendo en cuenta que en este ejemplo, pero, a diferencia del ejemplo anterior, hay ambigüedad: la abscisa del punto tangente no se indica explícitamente.
Empecemos a pensar así. La tangente deseada debe ser paralela a la recta y = 4x-5. Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Esto significa que el coeficiente angular de la tangente debe ser igual al coeficiente angular de la recta dada: Por tanto, podemos encontrar el valor de a a partir de la ecuación f"(a) = 4.
Tenemos:
De la ecuación Esto significa que hay dos tangentes que satisfacen las condiciones del problema: una en el punto con abscisa 2, la otra en el punto con abscisa -2.
Ahora puedes seguir el algoritmo.

Ejemplo 3. Desde el punto (0; 1) traza una tangente a la gráfica de la función.
Usemos el algoritmo para componer la ecuación tangente, teniendo en cuenta que en este ejemplo, tenga en cuenta que aquí, como en el ejemplo 2, la abscisa del punto tangente no se indica explícitamente. Sin embargo, seguimos el algoritmo.

Por condición, la tangente pasa por el punto (0; 1). Sustituyendo los valores x = 0, y = 1 en la ecuación (2), obtenemos:
Como puede ver, en este ejemplo, solo en el cuarto paso del algoritmo logramos encontrar la abscisa del punto tangente. Sustituyendo el valor a =4 en la ecuación (2), obtenemos:

En la Fig. 127 presenta una ilustración geométrica del ejemplo considerado: se traza una gráfica de la función

En el § 32 observamos que para una función y = f(x) que tiene una derivada en un punto fijo x, la igualdad aproximada es válida:

Para facilitar el razonamiento, cambiemos la notación: en lugar de x escribiremos a, en lugar de escribiremos x y, en consecuencia, en lugar de escribiremos x-a. Entonces la igualdad aproximada escrita arriba tomará la forma:

Ahora mire la fig. 128. Se traza una tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto M (a; f (a)). El punto x está marcado en el eje x cerca de a. Está claro que f(x) es la ordenada de la gráfica de la función en el punto x especificado. ¿Cuál es f(a) + f"(a) (x-a)? Esta es la ordenada de la tangente correspondiente al mismo punto x - ver fórmula (1). ¿Cuál es el significado de la igualdad aproximada (3)? El hecho que Para calcular el valor aproximado de la función, tome el valor de ordenadas de la tangente.

Ejemplo 4. Encuentra el valor aproximado expresión numérica 1,02 7 .
Se trata de sobre encontrar el valor de la función y = x 7 en el punto x = 1,02. Usemos la fórmula (3), teniendo en cuenta que en este ejemplo
Como resultado obtenemos:

Si utilizamos una calculadora obtenemos: 1,02 7 = 1,148685667...
Como puede ver, la precisión de la aproximación es bastante aceptable.
Respuesta: 1,02 7 =1,14.

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

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Sea una función f, que en algún punto x 0 tiene una derivada finita f (x 0). Entonces la recta que pasa por el punto (x 0 ; f (x 0)), que tiene un coeficiente angular f ’(x 0), se llama tangente.

¿Qué pasa si la derivada no existe en el punto x 0? Hay dos opciones:

1. Tampoco hay tangente a la gráfica. Un ejemplo clásico es la función y = |x | en el punto (0; 0).
2. La tangente se vuelve vertical. Esto es cierto, por ejemplo, para la función y = arcosen x en el punto (1; π /2).

Ecuación tangente

Cualquier línea recta no vertical viene dada por una ecuación de la forma y = kx + b, donde k es la pendiente. La tangente no es una excepción, y para crear su ecuación en algún punto x 0, basta con conocer el valor de la función y la derivada en ese punto.

Entonces, démosle una función y = f (x), que tiene una derivada y = f ’(x) en el segmento. Entonces en cualquier punto x 0 ∈ (a ; b) se puede trazar una tangente a la gráfica de esta función, que viene dada por la ecuación:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Aquí f ’(x 0) es el valor de la derivada en el punto x 0, y f (x 0) es el valor de la función misma.

Tarea. Dada la función y = x 3 . Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de esta función en el punto x 0 = 2.

Ecuación tangente: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Se nos da el punto x 0 = 2, pero habrá que calcular los valores f (x 0) y f ’(x 0).

Primero, encontremos el valor de la función. Aquí todo es fácil: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Ahora encontremos la derivada: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Sustituimos x 0 = 2 en la derivada: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
En total obtenemos: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Esta es la ecuación tangente.

Tarea. Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función f (x) = 2sen x + 5 en el punto x 0 = π /2.

Esta vez no describiremos cada acción en detalle, solo indicaremos los pasos clave. Tenemos:

f (x 0) = f (π /2) = 2sen (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sen x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Ecuación tangente:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

En el último caso, la línea recta resultó ser horizontal, porque su coeficiente angular k = 0. No hay nada de malo en esto: simplemente nos topamos con un punto extremo.