Esquema de Horner: un método para dividir un polinomio

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

sobre el binomio $x-a$. Tendrás que trabajar con una tabla cuya primera fila contiene los coeficientes de un polinomio determinado. El primer elemento de la segunda línea será el número $a$, tomado del binomio $x-a$:

Después de dividir un polinomio de n-ésimo grado por un binomio $x-a$, obtenemos un polinomio cuyo grado es uno menor que el original, es decir es igual a $n-1$. La aplicación directa del esquema de Horner es más fácil de demostrar con ejemplos.

Ejemplo No. 1

Divide $5x^4+5x^3+x^2-11$ por $x-1$ usando el esquema de Horner.

Hagamos una tabla de dos líneas: en la primera línea anotamos los coeficientes del polinomio $5x^4+5x^3+x^2-11$, ordenados en orden descendente de potencias de la variable $x$. Tenga en cuenta que este polinomio no contiene $x$ en primer grado, es decir, el coeficiente de $x$ a la primera potencia es 0. Como estamos dividiendo por $x-1$, escribimos uno en la segunda línea:

Comencemos a completar las celdas vacías en la segunda línea. En la segunda celda de la segunda línea escribimos el número $5$, simplemente moviéndolo de la celda correspondiente de la primera línea:

Llenemos la siguiente celda según este principio: $1\cdot 5+5=10$:

Completemos la cuarta celda de la segunda línea de la misma manera: $1\cdot 10+1=11$:

Para la quinta celda obtenemos: $1\cdot 11+0=11$:

Y finalmente, para la última sexta celda, tenemos: $1\cdot 11+(-11)=0$:

El problema está solucionado, solo queda anotar la respuesta:

Como puedes ver, los números ubicados en la segunda línea (entre uno y cero) son los coeficientes del polinomio obtenido después de dividir $5x^4+5x^3+x^2-11$ por $x-1$. Naturalmente, dado que el grado del polinomio original $5x^4+5x^3+x^2-11$ era igual a cuatro, el grado del polinomio resultante $5x^3+10x^2+11x+11$ es uno menos, es decir. es igual a tres. El último número en la segunda línea (cero) significa el resto al dividir el polinomio $5x^4+5x^3+x^2-11$ por $x-1$. En nuestro caso, el resto es cero, es decir los polinomios son divisibles uniformemente. Este resultado también se puede caracterizar de la siguiente manera: el valor del polinomio $5x^4+5x^3+x^2-11$ para $x=1$ es igual a cero.

La conclusión también se puede formular de esta forma: dado que el valor del polinomio $5x^4+5x^3+x^2-11$ en $x=1$ es igual a cero, entonces la unidad es la raíz del polinomio $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Ejemplo No. 2

Divide el polinomio $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ por $x+3$ usando el esquema de Horner.

Estipulemos inmediatamente que la expresión $x+3$ debe representarse en la forma $x-(-3)$. El esquema de Horner implicará exactamente $-3$. Dado que el grado del polinomio original $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ es igual a cuatro, entonces como resultado de la división obtenemos un polinomio de tercer grado:

El resultado significa que

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

En esta situación, el resto al dividir $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ por $x+3$ es $4$. O, lo que es lo mismo, el valor del polinomio $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ para $x=-3$ es igual a $4$. Por cierto, esto es fácil de verificar sustituyendo directamente $x=-3$ en el polinomio dado:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Aquellos. El esquema de Horner se puede utilizar si necesita encontrar el valor de un polinomio para un valor dado de una variable. Si nuestro objetivo es encontrar todas las raíces de un polinomio, entonces el esquema de Horner se puede aplicar varias veces seguidas hasta haber agotado todas las raíces, como se analiza en el ejemplo número 3.

Ejemplo No. 3

Encuentra todas las raíces enteras del polinomio $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ usando el esquema de Horner.

Los coeficientes del polinomio en cuestión son números enteros y el coeficiente de la potencia más alta de la variable (es decir, $x^6$) es igual a uno. En este caso, las raíces enteras del polinomio deben buscarse entre los divisores del término libre, es decir entre los divisores del número 45. Para un polinomio dado, tales raíces pueden ser los números $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ y -45$; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Comprobemos, por ejemplo, el número $1$:

Como puedes ver, el valor del polinomio $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ con $x=1$ es igual a $192$ (el último número en la segunda línea), y no $0 $, por lo tanto la unidad no es la raíz de este polinomio. Dado que la verificación de uno falló, verifiquemos el valor $x=-1$. No crearemos una nueva tabla para esto, pero continuaremos usándola. No. 1, agregándole una nueva (tercera) línea. La segunda línea, en la que se marcó el valor de $1$, se resaltará en rojo y no se utilizará en futuras discusiones.

Por supuesto, puede simplemente reescribir la tabla nuevamente, pero completarla manualmente llevará mucho tiempo. Además, puede haber varios números cuya verificación fallará y es difícil escribir una tabla nueva cada vez. Al calcular "en papel", las líneas rojas pueden simplemente tacharse.

Entonces, el valor del polinomio $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ en $x=-1$ es igual a cero, es decir el número $-1$ es la raíz de este polinomio. Después de dividir el polinomio $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ por el binomio $x-(-1)=x+1$ obtenemos el polinomio $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, cuyos coeficientes se toman de la tercera fila de la tabla. No. 2 (ver ejemplo No. 1). El resultado de los cálculos también se puede presentar de esta forma:

\begin(ecuación)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(ecuación)

Sigamos la búsqueda de raíces enteras. Ahora necesitamos buscar las raíces del polinomio $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. De nuevo, las raíces enteras de este polinomio se buscan entre los divisores de su término libre, los números $45$. Intentemos verificar el número $-1$ nuevamente. No crearemos una tabla nueva, pero continuaremos usando la tabla anterior. No. 2, es decir. Agreguemos una línea más:

Entonces, el número $-1$ es la raíz del polinomio $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Este resultado se puede escribir así:

\begin(ecuación)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(ecuación)

Teniendo en cuenta la igualdad (2), la igualdad (1) se puede reescribir de la siguiente forma:

\begin(ecuación)\begin(alineado) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(alineado)\end(ecuación)

Ahora necesitamos buscar las raíces del polinomio $x^4-22x^2+24x+45$ - naturalmente, entre los divisores de su término libre (los números $45$). Comprobemos el número $-1$ nuevamente:

El número $-1$ es la raíz del polinomio $x^4-22x^2+24x+45$. Este resultado se puede escribir así:

\begin(ecuación)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(ecuación)

Teniendo en cuenta la igualdad (4), reescribimos la igualdad (3) de la siguiente forma:

\begin(ecuación)\begin(alineado) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(alineado)\end(ecuación)

Ahora estamos buscando las raíces del polinomio $x^3-x^2-21x+45$. Comprobemos el número $-1$ nuevamente:

El control terminó en fracaso. Resaltemos la sexta línea en rojo e intentemos verificar otro número, por ejemplo, el número $3$:

El resto es cero, por lo tanto el número $3$ es la raíz del polinomio en cuestión. Entonces, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Ahora la igualdad (5) se puede reescribir de la siguiente manera.

Diapositiva 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matemático inglés. Nacido en Brístol. Estudió y trabajó allí y luego en escuelas de Bath. Trabajos básicos de álgebra. En 1819 publicó un método para el cálculo aproximado de las raíces reales de un polinomio, que ahora se llama método de Ruffini-Horner (este método era conocido por los chinos en el siglo XIII. El esquema para dividir un polinomio por un binomio x-a se llama). después de Horner.

Diapositiva 4

ESQUEMA DE HORNER

método de división enésimo polinomio grado en un binomio lineal - a, basado en el hecho de que los coeficientes del cociente incompleto y el resto están relacionados con los coeficientes del polinomio divisible y con las fórmulas:

Diapositiva 5

Los cálculos según el esquema de Horner se muestran en la tabla:

Ejemplo 1. Dividir El cociente parcial es x3-x2+3x - 13 y el resto es 42=f(-3).

Diapositiva 6

La principal ventaja de este método es la compacidad de la notación y la capacidad de dividir rápidamente un polinomio en un binomio. De hecho, el esquema de Horner es otra forma de registrar el método de agrupación, aunque, a diferencia de este último, es completamente no visual. La respuesta (factorización) se obtiene aquí por sí sola y no vemos el proceso para obtenerla. No nos ocuparemos de una fundamentación rigurosa del esquema de Horner, sino que sólo mostraremos cómo funciona.

Diapositiva 7

Ejemplo 2.

Demostremos que el polinomio P(x)=x4-6x3+7x-392 es divisible por x-7 y encontremos el cociente de la división. Solución. Usando el esquema de Horner, encontramos P(7): De aquí obtenemos P(7)=0, es decir el resto al dividir un polinomio entre x-7 es igual a cero y, por tanto, el polinomio P(x) es múltiplo de (x-7). Además, los números de la segunda fila de la tabla son los coeficientes del. cociente de P(x) dividido por (x-7), por lo tanto P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Diapositiva 8

Factoriza el polinomio x3 – 5x2 – 2x + 16.

Este polinomio tiene coeficientes enteros. Si un número entero es la raíz de este polinomio, entonces es divisor del número 16. Así, si un polinomio dado tiene raíces enteras, entonces estas sólo pueden ser los números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificación directa estamos convencidos de que el número 2 es la raíz de este polinomio, es decir, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), donde Q(x) es un polinomio de segundo grado

Diapositiva 9

Los números resultantes 1, −3, −8 son los coeficientes del polinomio, que se obtiene dividiendo el polinomio original entre x – 2. Esto significa que el resultado de la división es: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. El grado de un polinomio resultante de la división es siempre 1 menor que el grado del original. Entonces: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

tipo de lección: Una lección sobre el dominio y la consolidación de conocimientos primarios.

El propósito de la lección:

• Presente a los estudiantes el concepto de raíces de un polinomio y enséñeles cómo encontrarlas. Mejorar las habilidades en el uso del esquema de Horner para expandir un polinomio por potencias y dividir un polinomio por un binomio.
• Aprenda a encontrar las raíces de una ecuación usando el esquema de Horner.
• Desarrollar el pensamiento abstracto.
• Fomentar una cultura informática.
• Desarrollo de conexiones interdisciplinarias.

durante las clases

1. Momento organizativo.

Informar el tema de la lección, formular metas.

2. Revisar la tarea.

3. Estudiar material nuevo.

Sea Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - un polinomio para x de grado n, donde a 0 , a 1 ,...,a n son números dados, y a 0 no es igual a 0. Si el polinomio F n (x) se divide con el resto por el binomio x-a , entonces el cociente (cociente incompleto) es el polinomio Q n-1 (x) de grado n-1, el resto R es un número, y la igualdad es verdadera F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. El polinomio F n (x) es divisible por el binomio (x-a) sólo en el caso de R=0.

Teorema de Bezout: Resto R al dividir un polinomio F n (x) por un binomio (x-a) igual al valor polinomio F n (x) para x=a, es decir R=Pn(a).

Una pequeña historia. El teorema de Bezout, a pesar de su aparente sencillez y obviedad, es uno de los teoremas fundamentales de la teoría de los polinomios. Este teorema relaciona las propiedades algebraicas de los polinomios (que permiten que los polinomios sean tratados como números enteros) con sus propiedades funcionales (que permiten que los polinomios sean tratados como funciones). Una forma de resolver ecuaciones de grado superior es factorizar el polinomio en el lado izquierdo de la ecuación. El cálculo de los coeficientes del polinomio y el resto se escribe en forma de una tabla llamada esquema de Horner.

El esquema de Horner es un algoritmo para dividir polinomios, escrito para el caso especial en el que el cociente es igual a un binomio. x–a.

Horner William George (1786 - 1837), matemático inglés. La investigación básica se relaciona con la teoría. ecuaciones algebraicas. Desarrolló un método para la solución aproximada de ecuaciones de cualquier grado. En 1819 introdujo un método importante para el álgebra consistente en dividir un polinomio por un binomio x - a (esquema de Horner).

Derivación de la fórmula general del esquema de Horner.

Dividir un polinomio f(x) con resto por un binomio (x-c) significa encontrar un polinomio q(x) y un número r tal que f(x)=(x-c)q(x)+r

Escribamos esta igualdad en detalle:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Igualemos los coeficientes en los mismos grados:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f norte = q norte - c q norte-1	=> q norte = f norte + c q norte-1.

Demostración del circuito de Horner mediante un ejemplo.

Ejercicio 1. Usando el esquema de Horner, dividimos el polinomio f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 con resto por el binomio x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, donde g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 resto.

Expansión de un polinomio en potencias de un binomio.

Usando el esquema de Horner, expandimos el polinomio f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 en potencias del binomio (x+2).

Como resultado, deberíamos obtener la expansión f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

El esquema de Horner se utiliza a menudo al resolver ecuaciones de tercer, cuarto y grados superiores, cuando es conveniente expandir el polinomio a un binomio x-a. Número a llamado raíz del polinomio F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, si en x=un el valor del polinomio F n (x) es igual a cero: F n (a)=0, es decir si el polinomio es divisible por el binomio x-a.

Por ejemplo, el número 2 es la raíz del polinomio F 3 (x)=3x 3 -2x-20, ya que F 3 (2)=0. significa. Que la factorización de este polinomio contiene un factor x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Cualquier polinomio F n(x) de grado norte 1 no puedo tener más norte raíces reales.

Cualquier raíz entera de una ecuación con coeficientes enteros es divisor de su término libre.

Si el coeficiente principal de la ecuación es 1, entonces todos raíces racionales las ecuaciones, si existen, son enteras.

Consolidación del material estudiado.

Para consolidar el nuevo material, se invita a los estudiantes a completar los números del libro de texto 2.41 y 2.42 (p. 65).

(2 alumnos resuelven en la pizarra, y el resto, una vez decidido, marcan los trabajos en el cuaderno con las respuestas en la pizarra).

Resumiendo.

Habiendo comprendido la estructura y el principio de funcionamiento del esquema de Horner, también se puede utilizar en las lecciones de informática, cuando se considera la cuestión de la conversión de números enteros del sistema numérico decimal al sistema binario y viceversa. La base para transferir de un sistema numérico a otro es el siguiente teorema general

Teorema. Para convertir un número entero AP de pag-sistema numérico ario al sistema numérico base d necesario AP dividir secuencialmente con resto por número d, escrito en el mismo pag-ario hasta que el cociente resultante sea igual a cero. Los restos de la división serán d-dígitos numéricos Anuncio, comenzando desde la categoría más joven hasta la más senior. Todas las acciones deben realizarse en pag-Sistema de numeración aria. Para el hombre Esta regla conveniente sólo cuando pag= 10, es decir al traducir de sistema decimal. En cuanto a la computadora, por el contrario, le resulta “más conveniente” realizar cálculos en sistema binario. Por lo tanto, para convertir “2 a 10” se utiliza la división secuencial entre diez en el sistema binario, y “10 a 2” es la suma de potencias de diez. Para optimizar los cálculos del procedimiento "10 en 2", la computadora utiliza el esquema de cálculo económico de Horner.

Tarea. Se propone completar dos tareas.

1er. Usando el esquema de Horner, divide el polinomio f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 por el binomio (x-3).

2do. Encuentra las raíces enteras del polinomio f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (considerando que cualquier raíz entera de una ecuación con coeficientes enteros es divisor de su término libre).

Literatura.

1. Kurosh A.G. “Curso de Álgebra Superior”.
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. y otros Grado 10 “Álgebra y los inicios del análisis matemático”.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Al resolver ecuaciones y desigualdades, a menudo es necesario factorizar un polinomio cuyo grado es tres o más. En este artículo veremos la forma más sencilla de hacerlo.

Como de costumbre, recurramos a la teoría en busca de ayuda.

teorema de bezout afirma que el resto al dividir un polinomio por un binomio es.

Pero lo importante para nosotros no es el teorema en sí, sino corolario de ello:

Si el número es raíz de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el binomio sin resto.

Nos enfrentamos a la tarea de encontrar de alguna manera al menos una raíz del polinomio y luego dividir el polinomio entre , donde está la raíz del polinomio. Como resultado, obtenemos un polinomio cuyo grado es uno menor que el grado del original. Y luego, si es necesario, puedes repetir el proceso.

Esta tarea se divide en dos: cómo encontrar la raíz de un polinomio y cómo dividir un polinomio por un binomio.

Echemos un vistazo más de cerca a estos puntos.

1. Cómo encontrar la raíz de un polinomio.

Primero, comprobamos si los números 1 y -1 son raíces del polinomio.

Los siguientes hechos nos ayudarán aquí:

Si la suma de todos los coeficientes de un polinomio es cero, entonces el número es la raíz del polinomio.

Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes es cero: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.

Si la suma de los coeficientes de un polinomio a potencias pares es igual a la suma de los coeficientes a potencias impares, entonces el número es la raíz del polinomio. El término libre se considera un coeficiente para un grado par, ya que , a es un número par.

Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes de las potencias pares es: , y la suma de los coeficientes de las potencias impares es: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.

Si ni 1 ni -1 son raíces del polinomio, continuamos.

Para un polinomio de grado reducido (es decir, un polinomio en el que el coeficiente principal, el coeficiente en, es igual a la unidad), la fórmula de Vieta es válida:

¿Dónde están las raíces del polinomio?

También existen fórmulas de Vieta relativas a los coeficientes restantes del polinomio, pero ésta nos interesa.

De esta fórmula de Vieta se deduce que Si las raíces de un polinomio son números enteros, entonces son divisores de su término libre, que también es un número entero.

Basado en esto, Necesitamos factorizar el término libre del polinomio en factores y, secuencialmente, de menor a mayor, verificar cuál de los factores es la raíz del polinomio.

Consideremos, por ejemplo, el polinomio

Divisores del término libre: ; ; ;

La suma de todos los coeficientes de un polinomio es igual a , por lo tanto, el número 1 no es la raíz del polinomio.

Suma de coeficientes para potencias pares:

Suma de coeficientes para potencias impares:

Por lo tanto, el número -1 tampoco es raíz del polinomio.

Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio: por tanto, el número 2 es la raíz del polinomio. Esto significa que, según el teorema de Bezout, el polinomio es divisible por un binomio sin resto.

2. Cómo dividir un polinomio en un binomio.

Un polinomio se puede dividir en un binomio mediante una columna.

Divida el polinomio por un binomio usando una columna:

Hay otra forma de dividir un polinomio por un binomio: el esquema de Horner.

Mira este vídeo para entender cómo dividir un polinomio por un binomio con una columna y usando el esquema de Horner.

Observo que si, al dividir por una columna, falta algún grado de la incógnita en el polinomio original, escribimos 0 en su lugar, de la misma manera que cuando compilamos una tabla según el esquema de Horner.

Entonces, si necesitamos dividir un polinomio por un binomio y como resultado de la división obtenemos un polinomio, entonces podemos encontrar los coeficientes del polinomio usando el esquema de Horner:

También podemos usar Esquema de Horner para comprobar si un número dado es la raíz de un polinomio: si el número es la raíz de un polinomio, entonces el resto al dividir el polinomio por es igual a cero, es decir, en la última columna de la segunda fila de En el diagrama de Horner obtenemos 0.

Utilizando el esquema de Horner, "matamos dos pájaros de un tiro": comprobamos simultáneamente si el número es raíz de un polinomio y dividimos este polinomio por un binomio.

Ejemplo. Resuelve la ecuación:

1. Anotemos los divisores del término libre y busquemos las raíces del polinomio entre los divisores del término libre.

Divisores de 24:

2. Comprobemos si el número 1 es la raíz del polinomio.

La suma de los coeficientes de un polinomio, por tanto, el número 1 es la raíz del polinomio.

3. Divide el polinomio original en un binomio usando el esquema de Horner.

A) Anotamos los coeficientes del polinomio original en la primera fila de la tabla.

Como falta el término que lo contiene, en la columna de la tabla en la que se debe escribir el coeficiente escribimos 0. A la izquierda escribimos la raíz encontrada: el número 1.

B) Completa la primera fila de la tabla.

En la última columna, como era de esperar, obtuvimos cero; dividimos el polinomio original por un binomio sin resto. Los coeficientes del polinomio resultante de la división se muestran en azul en la segunda fila de la tabla:

Es fácil comprobar que los números 1 y -1 no son raíces del polinomio.

B) Sigamos la mesa. Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio:

Entonces el grado del polinomio que se obtiene al dividir por uno menos grado del polinomio original, por lo tanto el número de coeficientes y el número de columnas son uno menos.

En la última columna obtuvimos -40, un número que no es igual a cero, por lo tanto, el polinomio es divisible por un binomio con resto y el número 2 no es la raíz del polinomio.

C) Comprobemos si el número -2 es la raíz del polinomio. Como el intento anterior falló, para evitar confusiones con los coeficientes borraré la línea correspondiente a este intento:

¡Excelente! Obtuvimos cero como resto, por lo tanto, el polinomio se dividió en un binomio sin resto, por lo tanto, el número -2 es la raíz del polinomio. Los coeficientes del polinomio que se obtienen al dividir un polinomio entre un binomio se muestran en verde en la tabla.

Como resultado de la división obtenemos un trinomio cuadrático. , cuyas raíces se pueden encontrar fácilmente utilizando el teorema de Vieta:

Entonces las raíces de la ecuación original son:

{}

Respuesta: ( }

Objetivos de la lección:

• enseñar a los estudiantes a resolver ecuaciones grados superiores utilizando el esquema de Horner;
• desarrollar la capacidad de trabajar en parejas;
• crear, junto con las secciones principales del curso, una base para desarrollar las habilidades de los estudiantes;
• ayudar al estudiante a evaluar su potencial, desarrollar el interés por las matemáticas, la capacidad de pensar y hablar sobre el tema.

Equipo: Tarjetas para trabajo en grupo, cartel con diagrama de Horner.

Método de enseñanza: conferencia, cuento, explicación, realización de ejercicios de entrenamiento.

Forma de control: comprobando solución independiente problemas, trabajo independiente.

durante las clases

1. Momento organizacional

2. Actualizar los conocimientos de los estudiantes

¿Qué teorema te permite determinar si un número es la raíz de una ecuación dada (formular un teorema)?

Teorema de Bezout. El resto al dividir el polinomio P(x) por binomio x-c es igual a P(c), el número c se llama raíz del polinomio P(x) si P(c)=0. El teorema permite, sin realizar la operación de división, determinar si un número dado es raíz de un polinomio.

¿Qué afirmaciones facilitan la búsqueda de raíces?

a) Si el coeficiente principal de un polinomio es igual a uno, entonces las raíces del polinomio deben buscarse entre los divisores del término libre.

b) Si la suma de los coeficientes de un polinomio es 0, entonces una de las raíces es 1.

c) Si la suma de los coeficientes en lugares pares es igual a la suma de los coeficientes en lugares impares, entonces una de las raíces es igual a -1.

d) Si todos los coeficientes son positivos, entonces las raíces del polinomio son números negativos.

e) Un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

3. Aprender material nuevo

Al resolver ecuaciones algebraicas completas, hay que encontrar los valores de las raíces de polinomios. Esta operación se puede simplificar significativamente si los cálculos se realizan utilizando un algoritmo especial llamado esquema de Horner. Este circuito lleva el nombre del científico inglés William George Horner. El esquema de Horner es un algoritmo para calcular el cociente y el resto de dividir el polinomio P(x) por x-c. Brevemente cómo funciona.

Sea un polinomio arbitrario P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dividir este polinomio por x-c es su representación en la forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Parcial g(x)=en 0 x n-1 + en n x n-2 +...+en n-2 x + en n-1, donde en 0 =a 0, en n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Resto r(x)= st n-1 +a n. Este método de cálculo se denomina esquema de Horner. La palabra "esquema" en el nombre del algoritmo se debe al hecho de que su implementación suele tener el siguiente formato. Primero, dibuje la tabla 2 (n+2). En la celda inferior izquierda escribe el número c, y en la línea superior los coeficientes del polinomio P(x). En este caso, la celda superior izquierda se deja vacía.

	en 0 =a 0	en 1 =st 1 +a 1	en 2 = sv 1 + A 2		en n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

El número que, tras ejecutar el algoritmo, resulta escrito en la celda inferior derecha es el resto de la división del polinomio P(x) entre x-c. Los otros números en 0, en 1, en 2,... en la línea inferior son los coeficientes del cociente.

Por ejemplo: Divide el polinomio P(x)= x 3 -2x+3 por x-2.

Obtenemos que x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Consolidación del material estudiado.

Ejemplo 1: Factoriza el polinomio P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 en factores con coeficientes enteros.

Buscamos raíces enteras entre los divisores del término libre -1: 1; -1. Hagamos una tabla:

X = -1 – raíz

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Comprobemos 1/2.

					X=1/2 - raíz

Por tanto, el polinomio P(x) se puede representar en la forma

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Ejemplo 2: Resuelve la ecuación 2x ​​4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Dado que la suma de los coeficientes del polinomio escrito en el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, entonces una de las raíces es 1. Usemos el esquema de Horner:

						X=1 - raíz

Obtenemos P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Buscaremos raíces entre los divisores del término libre 2.

Descubrimos que ya no había raíces intactas. Comprobemos 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - raíz

Respuesta 1; -1/2.

Ejemplo 3: Resuelve la ecuación 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Buscaremos las raíces de esta ecuación entre los divisores del término libre 5: 1;-1;5;-5. x=1 es la raíz de la ecuación, ya que la suma de los coeficientes es cero. Usemos el esquema de Horner:

Presentemos la ecuación como producto de tres factores: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. decidir ecuación cuadrática 5x 2 -7x+5=0, tenemos D=49-100=-51, no hay raíces.

Tarjeta 1

1. Factoriza el polinomio: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Resuelve la ecuación: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Tarjeta 2

1. Factoriza el polinomio: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Resuelve la ecuación: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Tarjeta 3

1. Factorizar en: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Resuelve la ecuación: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Tarjeta 4

1. Factorizar en: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Resuelve la ecuación: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Resumiendo

La prueba de conocimientos al resolver por parejas se realiza en clase reconociendo el método de acción y el nombre de la respuesta.

Tarea:

Resuelve las ecuaciones:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatura

1. N.Ya. Vilenkin et al., Álgebra y principios del análisis, grado 10 ( estudio en profundidad Matemáticas): Ilustración, 2005.
2. interfaz de usuario Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solución de ecuaciones de grados superiores: Volgogrado, 2007.
3. SB Gashkov, Sistemas numéricos y su aplicación.