Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.

Как вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.

Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.

Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое - ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.

Может ли так произойти, что среднее арифметическое станет равным среднему геометрическому?

Конечно, может. Но только в двух случаях. Если имеется ряд чисел, состоящий только либо из единиц, либо из нулей. Примечательно также то, что ответ не зависит от их количества.

Доказательство с единицами: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (среднее арифметическое).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(среднее геометрическое).

Доказательство с нулями: (0 + 0) / 2=0 (среднее арифметическое).

√(0 × 0) = 0 (среднее геометрическое).

Другого варианта нет и быть не может.

Под понятием среднего арифметического чисел подразумевается результат несложной последовательности расчётов средней величины для ряда чисел, определённых заранее. Необходимо отметить, что такое значение в данное время широко применяется специалистами ряда отраслей. Например, известны формулы при проведении расчётов экономистами или работниками статистической отрасли, где требуется иметь значение данного типа. Кроме этого, этот показатель активно используют и в ряде других отраслей, которые являются смежными с вышеуказанными.

Одной из особенностей расчётов данного значения является простота процедуры. Провести расчёты сможет любой желающий. Для этого не надо иметь специальное образование. Часто нет необходимости применять и вычислительную технику.

В качестве ответа на вопрос как найти среднее арифметическое рассмотрим ряд ситуаций.

Самым простым вариантом расчёта данной величины есть подсчёт её для двух чисел. Процедура проведения расчёта в этом случае является очень простой:

1. Первоначально требуется провести операцию сложения выбранных чисел. Это часто можно сделать, как говорится, вручную, не используя электронную технику.
2. После того как сложение произведено и получен его результат необходимо произвести деление. Данная операция подразумевает разделение суммы двух сложенных чисел на два – количество сложенных чисел. Именно такое действие и позволит получить требуемую величину.

Формула

Таким образом, формула для подсчёта требуемой величины в случае с двумя будет выглядеть следующим образом:

(А+В)/2

В этой формуле применяется следующее обозначение:

А и В – это заранее выбранные числа, для которых необходимо находить значение.

Нахождение значения для трёх

Проведение расчёта данной величины в ситуации, когда выбраны три числа, не будет сильно отличаться от предыдущего варианта:

1. Для этого следует выбрать числа, необходимые в расчёте, и сложить их для получения общей суммы.
2. После того как данная сумма трёх будет найдена, требуется опять совершить процедуру деления. При этом полученную сумму надо разделить уже на три, что соответствует количеству выбранных чисел.

Формула

Тем самым формула, необходимая при проведении расчётов арифметического трёх, будет выглядеть так:

(А+В+С)/3

В данной формуле принято следующее обозначение:

А, В и С – это числа, к которым необходимо будет находить среднее арифметическое.

Вычисление среднего арифметического четырёх

Как уже видно по аналогии с предыдущими вариантами вычисление данного значения для количества, равного четырём, будет носить следующий порядок:

1. Выбираются четыре цифры, для которых надо вычислить среднее арифметическое значение. Далее производится суммирование и нахождение конечного результата этой процедуры.
2. Теперь чтобы получить окончательный результат, следует взять полученную сумму четырёх и разделить её на четыре. Полученные данные и будут требуемым значением.

Формула

Из описанной выше последовательности действий по нахождению среднего арифметического для четырёх, можно получить следующую формулу:

(А+В+С+Е)/4

В данной формуле переменные имеют следующее значение:

А, В, С и Е – это те, к которым необходимо найти значение среднего арифметического.

Применяя данную формулу, всегда можно будет вычислять требуемое значение для данного количества чисел.

Подсчёт среднего арифметического пяти

Выполнение данной операции потребует проведения определённого алгоритма действий.

1. Прежде всего, надо выбрать пять чисел, для которых будет проходить вычисление среднего арифметического. После данного подбора эти числа, как и в предыдущих вариантах, необходимо просто сложить и получить конечную сумму.
2. Полученную сумму надо будет поделить по их количеству на пять, что и позволит получить требуемое значение.

Формула

Тем самым аналогично с ранее рассмотренными вариантами получаем такую формулу для подсчёта среднего арифметического:

(А+В+С+Е+Р)/5

В данной формуле переменные имеют такое обозначение:

А, В, С, Е и Р – это числа, для которых необходимо получить среднее арифметическое.

Универсальная формула вычисления

Проводя рассмотрение различных вариантов формул для вычисления среднего арифметического , можно обратить внимание на то, что у них есть общая закономерность.

Поэтому практичнее будет применять общую формулу для нахождения среднего арифметического. Ведь бывают ситуации, когда количество и величина расчётов может быть очень большой. Поэтому разумнее будет использовать универсальную формулу и не выводить каждый раз индивидуальную технологию для расчёта данной величины.

Главным при определении формулы является принцип расчёта среднего арифметическог о.

Данный принцип как было видно из приведённых примеров, выглядит таким образом:

1. Производится подсчёт количества чисел, которые заданы для получения требуемого значения. Эта операция может быть проведена как вручную при небольшом количестве чисел, так и при помощи вычислительной техники.
2. Проводится суммирование выбранных чисел. Эта операция в большинстве ситуаций выполняется при помощи вычислительной техники, так как числа могут состоять из двух, трёх и более цифр.
3. Сумма, которая получена в результате сложения выбранных чисел, должна быть поделена на их количество. Данная величина определяется на первоначальном этапе расчёта среднего арифметического.

Таким образом, общая формула для расчёта среднего арифметического ряда подобранных чисел будет выглядеть следующим образом:

(А+В+…+N)/N

Данная формула содержит следующие переменные:

А и В – это числа, которые выбраны заранее для расчёта их среднего арифметического.

N – это количество чисел, которые были взяты с целью проведения расчёта требуемого значения.

Подставляя каждый раз в данную формулу выбранные числа, мы всегда сможем получить требуемое значение среднего арифметического.

Как видно, нахождение среднего арифметического является несложной процедурой. Однако надо внимательно относиться к проводимым вычислениям и проводить проверку полученного результата. Такой подход объясняется тем, что даже в самых простых ситуациях существует вероятность получения ошибки, которая может повлиять потом на дальнейшие расчёты. В связи с этим рекомендуется применять вычислительную технику, которая способна произвести подсчёты любой сложности.

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -н аиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где - среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x - отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n - число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2 . Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Распределение магазинов торговой фирмы "Весна" по торговой площади, кв. М

№ магазина		№ магазина

Для вычисления средней площади магазина () необходимо сложить площади всех магазинов и полученный результат разделить на число магазинов:

Т.о., средняя площадь магазина по этой группе торговых предприятий составляет 71 кв.м.

Следовательно, чтобы определить СА простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаком .

2

где f 1 , f 2 , … ,f n – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их частоты;

– общая численность единиц совокупности.

- СА взвешенная - с редняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты). СА взвешенная– средняя сгруппиро­ванных величин x 1 , x 2 , .., x n , – вычисляется: (2)

Где х - варианты;

f - частота (вес).

СА взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Частоты (f ) фигурирующие в формуле СА, принято называть весами , вследствие чего СА, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

Технику вычисления СА взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере 1. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в табл.

Средняя из сгруппированных данных определяется следующим образом: сначала перемножают варианты на частоты, затем складывают произведения и полученную сумму делят на сумму частот.

По формуле (2) СА взвешенная равна, шт.:

Распределение рабочих по выработке деталей

П

риведенные в предыдущем примере 2 данные можно объединить в однородные группы, которые представлены в табл.Таблица

Распределение магазинов фирмы "Весна" по торговой площади, кв. м

Т.о., результат получился тот же самый. Однако это уже будет величина средняя арифметическая взвешенная.

В предыдущем примере мы вычисляли арифметическую среднюю при условии, что известны абсолютные частоты (численность магазинов). Однако в ряде случаев абсолютные частоты отсутствуют, а известны относительные частоты, или, как принято их называть, частости, которые показывают долю или удельный вес частот во всей совокупности.

При расчетах СА взвешенной использование частот позволяет упрощать расчеты, когда частота выражена большими, многозначными числами. Расчет производится тем же способом, однако, так как средняя величина оказывается увеличенной в 100 раз, полученный результат следует разделить на 100.

Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

где d – частость , т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

(3)

В нашем примере 2 сначала определяют удельный вес магазинов по группам в общей численности магазинов фирмы "Весна". Так, для первой группы удельный вес соответствует 10%
. Получаем следующие данныеТаблица3

Ответ: каждому досталось по 4 груши.

Пример 2. На курсы английского языка в понедельник пришло 15 человек, во вторник - 10, в среду - 12, в четверг - 11, в пятницу - 7, в субботу - 14, в воскресенье - 8. Найти среднюю посещаемость курсов за неделю.
Решение: Найдем среднее арифметическое:

15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8	=	77	= 11
7		7

Ответ: в среднем на курсы английского языка приходило 11 человек в день.

Пример 3. Гонщик ехала два часа со скоростью 120 км/ч и час со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля во время гонки.
Решение: Найдем среднее арифметическое скоростей автомобиля за каждый час пути:

120 + 120 + 90	=	330	= 110
3		3

Ответ: средняя скорость автомобиля во время гонки была 110 км/ч.

Пример 4. Среднее арифметическое 3 чисел равно 6, а среднее арифметическое 7 других чисел равно 3. Чему равно среднее арифметическое этих десяти чисел?
Решение: Так как среднее арифметическое 3-х чисел равно 6 то их сумма равна 6 · 3 = 18, аналогично сумма оставшихся 7-ми чисел равна 7 · 3 = 21.
Значит сумма всех 10-ти чисел будет 18 + 21 = 39, а среднее арифметическое равно

39	= 3.9
10

Ответ: среднее арифметическое 10-ти чисел равно 3.9 .

При стремлении количества элементов множества чисел стационарного случайного процесса к бесконечности среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины.

Введение

Обозначим множество чисел X = (x 1 , x 2 , …, x n ), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (, произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности чисел обычно используется греческая буква μ . Для случайной величины , для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x i из этой совокупности μ = E{x i } есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность . Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную , имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}

Примеры

• Для трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}

• Для четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}

Непрерывная случайная величина

Если существует интеграл от некоторой функции f (x) {\displaystyle f(x)} одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке [ a ; b ] {\displaystyle } определяется через определённый интеграл :

f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . {\displaystyle {\overline {f(x)}}_{}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}

Здесь подразумевается, что b > a . {\displaystyle b>a.}

Некоторые проблемы применения среднего

Отсутствие робастности

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы , из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон , подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число из-за Билла Гейтса . Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

Сложный процент

Если числа перемножать , а не складывать , нужно использовать среднее геометрическое , а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста, по которым годовой рост получается только около 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 30 % - это 30 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 30 %, они в конце второго года стоят $35.1. Арифметическое среднее этого роста 10 %, но поскольку акции выросли за 2 года всего на $5.1, средний рост в 8,2 % даёт конечный результат $35.1:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 10 %, мы не получим фактическое значение: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 130 % = 117 % , то есть общий прирост 17 %, а среднегодовой сложный процент 117 % ≈ 108.2 % {\displaystyle {\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%} , то есть среднегодовой прирост 8,2 %.

Направления

Основная статья: Статистика направлений

При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1 и 359 будет равно 1 ∘ + 359 ∘ 2 = {\displaystyle {\frac {1^{\circ }+359^{\circ }}{2}}=} 180 . Это число неверно по двум причинам.

Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360°==0° - один градус, между 0° и 1° - тоже 1°, в сумме - 2°).