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NOUVEAU. Igor Gaïdychev. Analyse et traitement des données. Ouvrage de référence spécial. ANNÉE 2001. 742 PAGES DjVu. 11,0 Mo.
Informations que vous trouverez dans le guide :
- les statistiques des séries empiriques ;
- tests d'hypothèses;
- analyse de variance ;
- théorie des distributions ;
- analyse de corrélation;
- Méthodes de réduction de dimensionnalité ;
- analyse factorielle;
- la reconnaissance de formes;
- les méthodes de théorie de l'information ;
- planification des expériences ;
- les méthodes de théorie des ensembles ;
- rapprochement des dépendances

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NOUVEAU. Manuel électronique tat Soft. chm. 5,2 Mo.

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T.Anderson. Introduction à l'analyse statistique multivariée. 1963 501 pp. 6,0 Mo.
Cette monographie a été conçue à l'origine comme un manuel pour un cours annuel de statistiques des quantités multidimensionnelles. J'espère que ce travail servira également d'introduction à de nombreuses sections de ce domaine pour toutes les personnes impliquées dans les statistiques mathématiques. Ce livre peut également être utilisé comme ouvrage de référence.
Pendant plusieurs années, ce livre a été utilisé sous forme de plan pour un cours d'un an à l'Université de Columbia ; les six premiers chapitres comprenaient la matière du premier semestre, avec un accent particulier sur la théorie des corrélations. On suppose que le lecteur est familier avec la théorie habituelle des statistiques univariées, en particulier avec les méthodes basées sur la distribution normale univariée. La connaissance de l'algèbre matricielle est également supposée, mais ce matériel est inclus dans l'annexe du livre.
J'espère que les sections principales et les plus importantes de l'analyse statistique multivariée seront prises en compte dans ce travail, même si le choix du matériel est dans une certaine mesure une question de goût. Certains des résultats les plus importants ne sont abordés que très brièvement dans le dernier chapitre.

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Ayvazyan V.A. Les statistiques appliquées. En 3 tomes. Ouvrage de référence. 1983-1989. DJVU. 1,1 Mo.
Volume 1. Fondamentaux de la modélisation et du traitement des données primaires.
L'ouvrage est consacré aux méthodes d'analyse statistique préliminaire des données et de construction d'un modèle du phénomène réel caractérisé par ces données. Des informations sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques sont fournies, et les questions de mise en œuvre logicielle des méthodes présentées sont abordées. 472 pages. 8,9 Mo.
Volume 2. Recherche sur la dépendance.
Le livre traite des méthodes de corrélation, de régression et d'analyse de variance. Leurs algorithmes et un aperçu du logiciel sont donnés. 488 pages. 11,6 Mo.
Volume 3. Classification et réduction de dimensionnalité.
Les problèmes de classification des objets et de réduction des dimensions sont pris en compte. Une grande attention est accordée à l’analyse statistique exploratoire. 608 pages. 6,6 Mo.

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CONTRE. Balinova. Statistiques en questions et réponses. Didacticiel. Année 2005. 344 pp. 2,9 Mo.
Conformément au standard éducatif national de l'enseignement professionnel supérieur, le manuel aborde en détail les principales problématiques du cours de statistique : le sujet de la statistique et son histoire, les méthodes de calcul des valeurs absolues et relatives, les résumés et regroupements, les valeurs moyennes, l'observation d'échantillons. , indices, etc.
Le manuel reflète également les changements dans la méthodologie de construction des indicateurs statistiques dus à la transition des statistiques d'État de la Fédération de Russie vers les normes internationales. Le matériel, présenté sous forme de questions et réponses incluses dans les billets, vous permet de préparer rapidement et facilement un examen ou un test, de rédiger un rapport ou de rédiger une dissertation.
Pour les étudiants et enseignants universitaires, les scientifiques et les praticiens, ainsi que toute personne intéressée par les statistiques.

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Borovkov. Statistiques mathématiques. Estimation des paramètres. Tester des hypothèses. 1984 Djvu. 240 pages. 12,2 Mo.

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Gousarov V.M. Statistiques. Didacticiel. 2003 463 pp. 3,8 Mo.
Le manuel « Statistiques » examine les principales méthodes de recherche statistique (observation statistique, synthèse, regroupement, calcul d'indicateurs généraux, méthode d'échantillonnage, analyse de séries chronologiques, méthode d'analyse indicielle, bases de l'analyse de corrélation et de régression). La nécessité de leur application globale dans l'analyse des éléments d'une économie de marché est démontrée. Une attention particulière est accordée à la justification de la nature probabiliste de l'inférence statistique. La théorie de la méthodologie statistique s'appuie sur une illustration de l'application des méthodes statistiques dans l'étude de processus socio-économiques spécifiques.
Le manuel « Statistiques » reflète l'expansion des tâches des statistiques nationales dans le cadre de la mise en œuvre du « Programme d'État pour la transition de la Fédération de Russie vers un système de comptabilité et de statistiques accepté dans la pratique internationale conformément aux exigences du développement. d’une économie de marché. » La méthodologie statistique est présentée sous une forme accessible, compréhensible par le lecteur sans formation particulière.
Le manuel « Statistiques » comprend quatre sections.
La première section, « Théorie de la statistique », couvre le sujet des statistiques, définit ses tâches, examine les questions de méthodologie statistique et montre l'application des méthodes les plus importantes de recherche statistique sur les phénomènes socio-économiques.
La deuxième section, « Statistiques macroéconomiques », examine le système d'indicateurs et la méthodologie de leur calcul, qui, ensemble, fournissent une description quantitative des résultats du fonctionnement de l'économie du pays et des régions dans le contexte des industries, des secteurs et des formes. de propriété ; le niveau de vie; système de comptabilité nationale comme modèle macrostatistique de l’économie.
La troisième section, « Statistiques d'entreprise », est consacrée à l'analyse du fonctionnement de l'entreprise, des conditions d'utilisation et de consommation du capital fixe et circulant et du travail, ainsi que des caractéristiques des résultats physiques et financiers de la production.
La quatrième section, « Statistiques financières », est consacrée à l'analyse quantitative et qualitative des relations financières et monétaires qui surviennent dans le processus de production. Les questions des statistiques des prix, du crédit, de la circulation monétaire, du marché de l'assurance, du marché des valeurs mobilières, du financement des entreprises et des règlements financiers sont abordées.

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Dronov S.V. Analyse statistique multivariée. Cahier de texte allocation. 2003 246 pages. pdf. 706 Ko.
Le manuel a été créé sur la base de l'expérience de l'auteur dans l'enseignement de cours d'analyse statistique multivariée et d'économétrie. Contient des documents sur l'analyse discriminante, factorielle, de régression, l'analyse des correspondances et la théorie des séries chronologiques. Des approches des problèmes de mise à l'échelle multidimensionnelle et de certains autres problèmes de statistiques multidimensionnelles sont présentées. Au début du manuel, les informations mathématiques nécessaires sont données.

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I.I. Eliseeva et al. Théorie des statistiques avec les principes fondamentaux de la théorie des probabilités. Cahier de texte manuel pour les vues. année 2001. 446 pp. 7,1 Mo.
Les principes fondamentaux de la théorie des probabilités, des statistiques mathématiques et des règles générales de collecte, de traitement et d'analyse des données statistiques sont décrits. Une attention particulière est portée aux règles de prise de décision dans des conditions d'incertitude. L’analyse des données est également considérée comme faisant partie intégrante de la prise de décision. Les méthodes statistiques pour étudier les relations entre les variables, les problèmes de construction et d'analyse de séries chronologiques et les prévisions basées sur celles-ci sont examinées. L'importance des statistiques pour résoudre des problèmes appliqués de base est démontrée : contrôle qualité statistique, élaboration d'une stratégie marketing, analyse financière, etc.
Pour les étudiants et enseignants des universités et facultés d’économie, les étudiants diplômés et les stagiaires.

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I.I. Eliseeva, M.M. Iouzbachev. Théorie générale des statistiques. Cahier de texte. 2004 657 pages. PDF. !4,8 Mo.
Le manuel « Théorie générale des statistiques » traite des procédures de base pour la collecte, le traitement et l'analyse de données de masse ; la possibilité de leur mise en œuvre sur des ordinateurs personnels. Une attention particulière est portée à la justification du caractère probabiliste de l'inférence statistique, à la méthode d'échantillonnage et au test des hypothèses statistiques. Ce manuel donne un aperçu des méthodes statistiques de base, de leurs capacités et de leurs limites d'application. Pour ceux qui souhaitent étudier plus en profondeur la section pertinente des statistiques, une liste de littérature recommandée est fournie à la fin de chaque chapitre.
Les auteurs ont cherché à montrer que la statistique n’est pas une science ennuyeuse et difficile, comme on le pense parfois, et que son étude peut être agréable. Cela détermine la présentation du matériel - informelle, mais informative. La présentation de la théorie est illustrée d'exemples issus de divers domaines, qui devraient convaincre le lecteur de la « toute-puissance » de la statistique et de la possibilité de son application pour résoudre divers problèmes.
Le manuel « Théorie générale de la statistique » correspond au programme de formation du baccalauréat. En même temps, il sera utile à ceux qui étudient dans les programmes de maîtrise et même aux études supérieures. Cette 5ème édition contient des clarifications et des ajouts à tous les chapitres. Le chapitre 2 a été considérablement révisé et complété pour tenir compte des changements intervenus dans le travail des statistiques gouvernementales. La méthode d'échantillonnage est désormais présentée séparément des méthodes de test d'hypothèses statistiques, complétées principalement par une présentation des tests non paramétriques.

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G.I. Ivchenko, I.Yu. Medvedev. Introduction aux statistiques mathématiques. Cahier de texte. 2010 600 pp. Djvu. 8,7 Mo.
Ce livre est une sorte de manuel élargi sur les statistiques mathématiques. Ce manuel n'est pas limité par le niveau d'éducation ou le programme universitaire. Il est destiné à tous ceux qui s'intéressent aux mathématiques en général et souhaitent en particulier savoir ce qu'est la statistique mathématique moderne, quels problèmes et par quelles méthodes elle résout, quels résultats y ont déjà été accumulés, quels problèmes y sont pertinents. aujourd'hui, et enfin, quelles sont ses origines, quel chemin il a emprunté et quels scientifiques en ont été les créateurs. Selon les auteurs, le livre raconte les statistiques mathématiques dans un langage simple et ACCESSIBLE tout en les enseignant. L'ensemble de la théorie est expliqué et illustré par des exemples intéressants et soigneusement choisis. Le livre peut également servir de livre de problèmes, car il contient une longue liste d'exercices pour une solution indépendante, ainsi qu'un guide de référence sur les statistiques mathématiques et, sous certains aspects, sur la théorie des probabilités.
Le livre intéressera les enseignants, les étudiants diplômés et les étudiants des universités naturelles et techniques qui étudient les statistiques mathématiques, les chercheurs qui utilisent des méthodes de statistiques mathématiques dans leur travail, ainsi qu'un large éventail d'amateurs de mathématiques.

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V.G. Éditeur Ionine. Statistiques. Cours magistral. année 2000. 310 pp. 1,8 Mo.
Le manuel couvre les principales sections du cours "Statistiques", qui est de base pour les étudiants du NSAEiU de toutes spécialités et formes d'études. Le cours comprend deux sections : la théorie des statistiques (le développement des statistiques, les méthodes de collecte et de traitement des données, l'analyse des relations statistiques) et l'application des statistiques dans des études spécifiques des processus socio-économiques (évaluation du niveau de développement économique, des conditions de base et facteurs des processus sociaux et économiques, facteurs et résultats activités dans la sphère de production, niveau de vie).
La publication est destinée aux étudiants et à tous ceux qui s'intéressent aux problèmes d'analyse directe de processus spécifiques dans le domaine de la production, de la comptabilité et de la finance.

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Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistiques mathématiques. 4e éd. Euh. allocation. 2002 340 pp. 3,5 Mo.
Le manuel (3e édition - 2001) contient les sections les plus importantes de la statistique mathématique : estimation des caractéristiques numériques et de la loi de distribution d'une variable aléatoire, test d'hypothèse, analyse de dispersion et de corrélation-régression, ainsi que des informations sur la théorie des probabilités nécessaires à comprendre ces sections. Des exemples et des exercices, leurs analyses et solutions, ainsi que des illustrations graphiques sont fournis. Le manuel comprend des questions de modélisation statistique de variables aléatoires et de systèmes de file d'attente sur ordinateurs, largement utilisés par les spécialistes travaillant dans le domaine de la programmation et de l'utilisation informatiques.
Pour les étudiants des établissements d'enseignement secondaire spécialisé.

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Kremlev A.G. Statistiques. Cahier de texte allocation. année 2001. 140 pages. pdf. 5,8 Mo.
Les fondements théoriques de la statistique mathématique sont exposés : analyse des séries de variations, évaluation des caractéristiques numériques et de la loi de distribution, analyse de la dépendance à la corrélation, modèles de régression linéaire et non linéaire, test d'hypothèses. Les méthodes pratiques de calcul des caractéristiques statistiques sont examinées et expliquées avec des exemples. Chaque section contient une sélection systématique de problèmes et les tableaux statistiques nécessaires pour les résoudre.
Les étudiants de droit et d'autres universités et facultés de sciences humaines, ainsi que toute personne intéressée par les méthodes d'analyse de données statistiques.

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Kobzar A. I. Statistiques mathématiques appliquées. Pour ingénieurs et scientifiques. 2008 816 pp. 8,1 Mo.
Le livre explique les moyens d'analyser les observations à l'aide de méthodes de statistiques mathématiques. Séquentiellement, dans un langage accessible à un spécialiste - et non à un mathématicien, des méthodes modernes d'analyse des distributions de probabilité, d'estimation des paramètres de distribution, de test d'hypothèses statistiques, d'évaluation des relations entre variables aléatoires et de planification d'une expérience statistique sont présentées. L'attention principale est accordée à l'explication d'exemples d'application de méthodes de statistiques mathématiques modernes. Le livre est destiné aux ingénieurs, chercheurs, économistes, médecins, étudiants diplômés et étudiants qui souhaitent utiliser rapidement, économiquement et à un niveau professionnel élevé tout l'arsenal des statistiques mathématiques modernes pour résoudre leurs problèmes appliqués.

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Krianev, Loukine. Méthodes mathématiques de traitement de données incertaines. 215 pp. 2,4 Mo.
Les premiers chapitres de la monographie décrivent les concepts de base des statistiques paramétriques et non paramétriques, y compris les concepts d'estimation, ainsi que les exigences relatives aux propriétés des estimations du point de vue de leur calcul lors du traitement des données sur ordinateur. Les chapitres 7 à 13 de la monographie décrivent les méthodes et algorithmes permettant de restaurer les dépendances de régression, y compris les méthodes de prévision et de résolution des problèmes de planification d'expériences optimales.
On suppose que le lecteur a préalablement maîtrisé un cours de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques. La monographie présente quelques nouvelles méthodes d'estimation robuste et prenant en compte des informations a priori, y compris des algorithmes pour leur mise en œuvre numérique. L'objectif principal de la monographie est de familiariser le lecteur avec les méthodes statistiques classiques et nouvelles d'estimation et de reconstruction les plus efficaces et éprouvées, et d'enseigner comment utiliser ces méthodes pour résoudre des problèmes spécifiques de traitement de données incertaines. La monographie est destinée aux chercheurs, aux étudiants diplômés et aux étudiants seniors de diverses spécialités.

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Lyalin V.S., Zvereva I.G., Nikiforova N.G. : Statistiques. Théorie et pratique sous Excel. 2010 448 pp. 10,5 Mo.
Les questions de la théorie générale des statistiques et de la pratique de la recherche statistique moderne sont examinées conformément aux exigences du niveau d'enseignement public de l'enseignement professionnel supérieur. Les concepts de base, concepts et indicateurs des statistiques théoriques sont présentés. La méthode d'utilisation du tableur Excel pour le traitement statistique des informations est décrite à l'aide d'exemples spécifiques.
Pour les étudiants de premier cycle, les étudiants diplômés, les enseignants et les praticiens intéressés à étudier et à utiliser les méthodes modernes d'analyse des données statistiques. Peut être utilisé comme publication de référence pour analyser le tableau statistique original dans Excel.

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Lapach S.N., Chubenko A.V., Babich P.N. Méthodes statistiques en recherche biomédicale avec Excel. année 2001. 408 pp. 18,1 Mo.
La monographie vise à fournir aux lecteurs des outils pour résoudre des problèmes nécessitant l'utilisation de méthodes statistiques et à les aider à les appliquer correctement et efficacement. Il contient une description des méthodes permettant de tester les hypothèses sur les moyennes et les variances, la présence de liens entre les facteurs (corrélation, analyse de variance, analyse de tableau de contingence), les méthodes de classification (analyse cluster et discriminante) et l'obtention de dépendances (analyse de régression, analyse de séries chronologiques) . Des informations théoriques, des concepts de base nécessaires à la maîtrise du sujet et du matériel suffisant pour résoudre des problèmes avec Excel sont fournis. La description de chaque méthode est accompagnée d'un exemple. Étant donné qu'Excel ne dispose pas de la plupart des méthodes décrites, des programmes ont été développés et décrits pour étendre ses capacités, qui sont également contenus sur la disquette incluse dans le livre. Les erreurs typiques qui surviennent lors de l'application de méthodes statistiques sont prises en compte, ainsi que les moyens de les éviter. La deuxième édition examine les fonctionnalités supplémentaires d'analyse de données statistiques mises en œuvre dans Microsoft Excel 2000, y compris les méthodes graphiques. La description des concepts de base de la théorie des probabilités du point de vue de leur application pratique a été élargie. De nouveaux programmes ont été ajoutés (analyse discriminante et groupée, notations, calcul des coefficients de corrélation de Spearman et Kendall). Les principaux problèmes liés à l'utilisation de méthodes statistiques dans les essais cliniques sont abordés.
La publication contient des dictionnaires russe-anglais et anglais-russe de termes statistiques mathématiques.
Pour les chercheurs, les spécialistes biomédicaux, les spécialistes du marketing ainsi que les étudiants du premier cycle et des cycles supérieurs.

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R.S. Rao. Méthodes statistiques linéaires et leurs applications. 1968 548 pp. 22,3 Mo.
Le livre contient huit chapitres. Le chapitre 1 contient les informations nécessaires sur l'algèbre linéaire et le chapitre 2 sur la théorie des probabilités. La partie statistiques commence par le chapitre 3, qui décrit quelques distributions standards de statistiques mathématiques, introduit la loi normale et étudie les distributions de statistiques qui jouent un rôle fondamental dans la méthode des moindres carrés. Le chapitre 4 est consacré à l'inférence statistique basée sur des modèles linéaires pour les attentes mathématiques. Une attention particulière est portée à l’aspect informatique de la méthode des moindres carrés. Divers problèmes d'estimation de la confiance des fonctions paramétriques linéaires sont également considérés. Le chapitre 5 traite des méthodes générales (et pas seulement linéaires) d'estimation des paramètres. Ici, le théorème de Rao-Blekuel-Kolmogorov est prouvé et les questions connexes sont examinées. La théorie de Fisher sur la quantité d'information est présentée en détail. Les méthodes générales d'estimation sont considérées sous diverses hypothèses sur la paire (paramètre, variable observée), ainsi que sous la théorie de l'estimation asymptotique. Les estimations du maximum de vraisemblance sont étudiées en détail. La majeure partie du chapitre 4 est consacrée à l'application du test du chi carré à divers problèmes. Le chapitre 7 décrit le test de Neyman-Pearson, la construction des tests localement les plus puissants, la construction de tests similaires pour les familles avec des statistiques suffisantes non triviales, diverses mesures de l'efficacité asymptotique des tests, une méthode générale pour construire des ensembles de confiance et une méthode séquentielle. schéma d'analyse. Le chapitre 8 aborde : la distribution Wishart, les critères de diverses hypothèses sur les paramètres de la loi normale multivariée, l'analyse discriminante. La présentation est illustrée d'exemples à caractère majoritairement biométrique. A la fin de chaque chapitre se trouvent un grand nombre de problèmes et d'exercices, ainsi qu'une bibliographie détaillée.

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Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Statistiques. 2e éd. 2007 288 pages. pdf. 5,9 Mo.
Le manuel examine les questions liées à l'application des méthodes statistiques en statique et en dynamique, ainsi que leur application complexe dans diverses combinaisons dans l'étude des indicateurs macroéconomiques, discute de la méthodologie et de la construction d'indicateurs de statistiques socio-économiques en tenant compte des normes internationales.
Une attention particulière est portée aux méthodes statistiques appliquées.

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Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Atelier sur les statistiques. 2007 288 pages. pdf. 4,6 Mo.
Cet atelier est destiné aux étudiants des spécialités économiques, ainsi qu'aux étudiants diplômés, aux enseignants et aux praticiens impliqués dans la planification et l'analyse de la production et des activités économiques des entreprises.
L'atelier sur chaque sujet fournit sous une forme concise des instructions méthodologiques sur les méthodes de calcul et d'analyse des indicateurs. Des solutions à des problèmes typiques et un ensemble de tâches pour le travail indépendant des étudiants sont présentées.

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Spirina, éditeurs Bashina. La théorie actuelle des statistiques. Méthodologie statistique dans l'étude des activités commerciales. Cahier de texte. 1996 296 pp. 5,0 Mo.
Contrairement aux publications précédentes, ce manuel examine les questions de méthodologie statistique en relation avec la résolution de problèmes de gestion dans les activités commerciales sur le marché des biens et services. L'étude de la théorie générale des statistiques contribue grandement à la formation des qualités commerciales d'un homme d'affaires, économiste, manager
Pour les étudiants des universités de métiers et des facultés d'économie, les hommes d'affaires, les managers, les économistes, les étudiants des écoles de commerce.

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L.P. Kharchenko et bien d'autres. etc. Statistiques. Cours magistral. année 2000. 312 pp. 1,8 Mo.
1. THÉORIE DE LA STATISTIQUE.
Sujet et méthode des statistiques. Observation statistique. Synthèse et regroupement des données statistiques d'observation. Valeurs statistiques. Etude de la dynamique des phénomènes sociaux. Index. Etude statistique des relations.
2. STATISTIQUES DANS LA RECHERCHE APPLIQUÉE.
Évaluation statistique du développement économique du pays. Analyse statistique des conditions de développement socio-économique de la société. Indicateurs statistiques des produits, des ressources en main-d'œuvre et de l'efficacité de la production. Évaluation statistique du niveau de vie de la population.

Introduction

2. Concepts de base des statistiques mathématiques

2.1 Concepts de base de la méthode d'échantillonnage

2.2 Répartition de l'échantillonnage

2.3 Fonction de distribution empirique, histogramme

Conclusion

Bibliographie

Introduction

Les statistiques mathématiques sont la science des méthodes mathématiques permettant de systématiser et d'utiliser des données statistiques à des fins scientifiques et pratiques. Dans plusieurs de ses sections, les statistiques mathématiques sont basées sur la théorie des probabilités, qui permet d'évaluer la fiabilité et l'exactitude des conclusions tirées sur la base d'un matériel statistique limité (par exemple, estimer la taille d'échantillon requise pour obtenir des résultats avec la précision requise dans une enquête par sondage).

La théorie des probabilités considère des variables aléatoires avec une distribution donnée ou des expériences aléatoires dont les propriétés sont entièrement connues. Le sujet de la théorie des probabilités concerne les propriétés et les relations de ces quantités (distributions).

Mais souvent, une expérience est une boîte noire qui ne produit que certains résultats, à partir desquels il est nécessaire de tirer une conclusion sur les propriétés de l'expérience elle-même. L'observateur dispose d'un ensemble de résultats numériques (ou ils peuvent être rendus numériques) obtenus en répétant la même expérience aléatoire dans les mêmes conditions.

Dans ce cas, par exemple, les questions suivantes se posent : si nous observons une variable aléatoire, comment pouvons-nous tirer la conclusion la plus précise sur sa distribution sur la base d'un ensemble de ses valeurs dans plusieurs expériences ?

Un exemple d’une telle série d’expériences pourrait être une enquête sociologique, un ensemble d’indicateurs économiques ou, enfin, une séquence de pile et face lorsqu’une pièce de monnaie est lancée mille fois.

Tous les facteurs ci-dessus déterminent pertinence et l'importance du sujet de travail au stade actuel, visant une étude approfondie et complète des concepts de base des statistiques mathématiques.

À cet égard, le but de ce travail est de systématiser, d'accumuler et de consolider les connaissances sur les concepts de statistique mathématique.

1. Sujet et méthodes de la statistique mathématique

La statistique mathématique est la science des méthodes mathématiques d'analyse des données obtenues lors d'observations de masse (mesures, expériences). Selon la nature mathématique des résultats d'observation spécifiques, les statistiques mathématiques sont divisées en statistiques de nombres, analyse statistique multivariée, analyse de fonctions (processus) et de séries chronologiques, statistiques d'objets de nature non numérique. Une partie importante des statistiques mathématiques repose sur des modèles probabilistes. Il existe des tâches générales consistant à décrire des données, à évaluer et à tester des hypothèses. Ils envisagent également des tâches plus spécifiques liées à la réalisation d'enquêtes par sondage, à la restauration des dépendances, à la construction et à l'utilisation de classifications (typologies), etc.

Pour décrire les données, des tableaux, des diagrammes et d'autres représentations visuelles, par exemple des champs de corrélation, sont créés. Les modèles probabilistes ne sont généralement pas utilisés. Certaines méthodes de description des données s’appuient sur une théorie avancée et sur les capacités des ordinateurs modernes. Il s'agit notamment de l'analyse groupée, visant à identifier des groupes d'objets similaires les uns aux autres, et de la mise à l'échelle multidimensionnelle, qui permet de représenter visuellement des objets sur un plan, en déformant au minimum les distances entre eux.

Les méthodes d'évaluation et de test des hypothèses sont basées sur des modèles probabilistes de génération de données. Ces modèles sont divisés en paramétriques et non paramétriques. Dans les modèles paramétriques, on suppose que les objets étudiés sont décrits par des fonctions de distribution dépendant d'un petit nombre (1-4) de paramètres numériques. Dans les modèles non paramétriques, les fonctions de distribution sont supposées être arbitrairement continues. En statistiques mathématiques, les paramètres et caractéristiques de distribution (espérance mathématique, médiane, variance, quantiles, etc.), les fonctions de densité et de distribution, les dépendances entre variables (basées sur des coefficients de corrélation linéaires et non paramétriques, ainsi que des estimations paramétriques ou non paramétriques de fonctions exprimant dépendances) sont évalués, etc. Ils utilisent des estimations de points et d'intervalles (donnant des limites pour les valeurs vraies).

En statistique mathématique, il existe une théorie générale du test d'hypothèses et un grand nombre de méthodes consacrées au test d'hypothèses spécifiques. Ils considèrent des hypothèses sur les valeurs des paramètres et des caractéristiques, sur la vérification de l'homogénéité (c'est-à-dire sur la coïncidence de caractéristiques ou de fonctions de distribution dans deux échantillons), sur l'accord de la fonction de distribution empirique avec une fonction de distribution donnée ou avec une fonction de distribution paramétrique. famille de telles fonctions, sur la symétrie de la distribution, etc.

La section des statistiques mathématiques associée à la réalisation d'enquêtes par sondage, aux propriétés de divers schémas d'échantillonnage et à la construction de méthodes adéquates pour évaluer et tester les hypothèses est d'une grande importance.

Les problèmes de rétablissement de la dépendance sont activement étudiés depuis plus de 200 ans, depuis le développement de la méthode des moindres carrés par K. Gauss en 1794. Actuellement, les méthodes les plus pertinentes pour rechercher un sous-ensemble informatif de variables et les méthodes non paramétriques.

Le développement de méthodes permettant d'approcher les données et de réduire la dimension de la description a commencé il y a plus de 100 ans, lorsque K. Pearson a créé la méthode des composantes principales. L'analyse factorielle et de nombreuses généralisations non linéaires ont ensuite été développées.

Diverses méthodes de construction (analyse cluster), d'analyse et d'utilisation (analyse discriminante) de classifications (typologies) sont également appelées méthodes de reconnaissance de formes (avec et sans enseignant), de classification automatique, etc.

Les méthodes mathématiques en statistique reposent soit sur l'utilisation de sommes (basées sur le théorème central limite de la théorie des probabilités), soit sur des indices de différence (distances, métriques), comme dans les statistiques d'objets de nature non numérique. Habituellement, seuls les résultats asymptotiques sont strictement justifiés. De nos jours, les ordinateurs jouent un rôle important dans les statistiques mathématiques. Ils sont utilisés aussi bien pour les calculs que pour la simulation (notamment dans les méthodes de multiplication d'échantillons et dans l'étude de la pertinence des résultats asymptotiques).

Concepts de base des statistiques mathématiques

2.1 Concepts de base de la méthode d'échantillonnage

Soit une variable aléatoire observée dans une expérience aléatoire. On suppose que l’espace des probabilités est donné (et ne nous intéressera pas).

Nous supposerons qu'après avoir réalisé cette expérience dans les mêmes conditions, nous avons obtenu les nombres , , , - les valeurs de cette variable aléatoire dans la première, la seconde, etc. expériences. Une variable aléatoire a une distribution qui nous est partiellement ou totalement inconnue.

Examinons de plus près un ensemble appelé échantillon.

Dans une série d’expériences déjà réalisées, un échantillon est un ensemble de nombres. Mais si cette série d’expériences est répétée à nouveau, alors au lieu de cet ensemble, nous obtiendrons un nouvel ensemble de nombres. Au lieu du nombre, un autre nombre apparaîtra - l'une des valeurs de la variable aléatoire. Autrement dit, (et, et, etc.) est une valeur variable qui peut prendre les mêmes valeurs qu'une variable aléatoire, et tout aussi souvent (avec les mêmes probabilités). Donc, avant l'expérience - une variable aléatoire, identiquement distribuée avec , et après l'expérience - le nombre que l'on observe dans cette première expérience, c'est-à-dire une des valeurs possibles d'une variable aléatoire.

Une taille d'échantillon est un ensemble de variables aléatoires indépendantes et distribuées de manière identique (« copies ») qui, comme , ont une distribution.

Que signifie « faire des déductions sur la distribution à partir d’un échantillon » ? La distribution est caractérisée par une fonction de distribution, une densité ou un tableau, un ensemble de caractéristiques numériques - , , etc. À l’aide d’un échantillon, vous devez être capable de construire des approximations pour toutes ces caractéristiques.

.2 Répartition de l'échantillonnage

Considérons la mise en œuvre de l'échantillonnage sur un résultat élémentaire - un ensemble de nombres , , . Sur un espace de probabilité approprié, nous introduisons une variable aléatoire prenant des valeurs, , avec des probabilités de (si l'une des valeurs coïncide, nous ajoutons les probabilités le nombre de fois correspondant). Le tableau de distribution de probabilité et la fonction de distribution de variables aléatoires ressemblent à ceci :

La distribution d’une quantité est appelée distribution empirique ou d’échantillonnage. Calculons l'espérance mathématique et la variance de la quantité et introduisons la notation pour ces quantités :

Calculons le moment de la commande de la même manière

Dans le cas général, on désigne par la quantité

Si, lors de la construction de toutes les caractéristiques que nous avons introduites, nous considérons l'échantillon , , un ensemble de variables aléatoires, alors ces caractéristiques elles-mêmes - , , , , - deviendront des variables aléatoires. Ces caractéristiques de la distribution d'échantillonnage sont utilisées pour estimer (approximer) les caractéristiques inconnues correspondantes de la vraie distribution.

La raison pour laquelle on utilise les caractéristiques de distribution pour estimer les caractéristiques de la vraie distribution (ou ) est la proximité de ces distributions dans leur ensemble.

Pensez, par exemple, à lancer un dé ordinaire. Laisser - le nombre de points perdus lors du ème lancer, . Supposons que l'on apparaisse dans l'échantillon une fois, deux fois, etc. Alors la variable aléatoire prendra les valeurs 1 , , 6 avec probabilités , , respectivement. Mais ces proportions se rapprochent avec la croissance selon la loi des grands nombres. C'est-à-dire que la distribution de la valeur se rapproche dans un certain sens de la véritable distribution du nombre de points qui apparaissent lors du lancement du bon dé.

Nous ne clarifierons pas ce que l’on entend par proximité de l’échantillon et des distributions vraies. Dans les paragraphes suivants, nous examinerons de plus près chacune des caractéristiques présentées ci-dessus et examinerons ses propriétés, y compris son comportement à mesure que la taille de l'échantillon augmente.

.3 Fonction de distribution empirique, histogramme

Puisqu’une distribution inconnue peut être décrite, par exemple, par sa fonction de distribution, nous construirons une « estimation » de cette fonction à partir de l’échantillon.

Définition 1.

Une fonction de distribution empirique construite à partir d'un échantillon de volume est appelée fonction aléatoire, pour chaque valeur égale à

Rappel: Fonction aléatoire

appelé indicateur d’événement. Pour chacun, il s'agit d'une variable aléatoire ayant une distribution de Bernoulli de paramètre . Pourquoi?

En d'autres termes, pour toute valeur égale à la probabilité réelle que la variable aléatoire soit inférieure à , est estimée par la proportion d'éléments de l'échantillon inférieur à .

Si les éléments de l'échantillon , , sont classés par ordre croissant (à chaque résultat élémentaire), un nouvel ensemble de variables aléatoires sera obtenu, appelé série de variations :

L'élément , , est appelé le ème membre de la série de variations ou la ème statistique d'ordre.

Exemple 1.

Échantillon:

Série de variantes :

Riz. 1. Exemple 1

La fonction de distribution empirique comporte des sauts aux points d'échantillonnage, l'ampleur du saut en un point est égale à , où est le nombre d'éléments d'échantillon qui coïncident avec .

Vous pouvez construire une fonction de distribution empirique à l'aide d'une série de variations :

Une autre caractéristique de distribution est le tableau (pour les distributions discrètes) ou la densité (pour les distributions absolument continues). Un analogue empirique ou sélectif d'un tableau ou d'une densité est ce qu'on appelle l'histogramme.

Un histogramme est construit à partir de données groupées. La plage estimée de valeurs d'une variable aléatoire (ou plage de données d'échantillon) est divisée, quel que soit l'échantillon, en un certain nombre d'intervalles (pas nécessairement identiques). Soit , , des intervalles sur la ligne, appelés intervalles de regroupement. Notons par le nombre d'éléments de l'échantillon tombant dans l'intervalle :

(1)

A chaque intervalle, un rectangle est construit dont l'aire est proportionnelle à . L'aire totale de tous les rectangles doit être égale à un. Soit la longueur de l'intervalle. La hauteur du rectangle ci-dessus est

Le chiffre obtenu est appelé histogramme.

Exemple 2.

Il existe une série de variantes (voir exemple 1) :

Voici donc le logarithme décimal, c'est-à-dire lorsque l'échantillon est doublé, le nombre d'intervalles de regroupement augmente de 1. Notez que plus il y a d'intervalles de regroupement, mieux c'est. Mais si nous prenons le nombre d'intervalles, disons, de l'ordre de , alors avec la croissance, l'histogramme ne s'approchera pas de la densité.

La déclaration suivante est vraie :

Si la densité de distribution des éléments de l'échantillon est une fonction continue, alors pour tel que , il existe une convergence ponctuelle de la probabilité de l'histogramme vers la densité.

Le choix du logarithme est donc raisonnable, mais pas le seul possible.

Conclusion

Les statistiques mathématiques (ou théoriques) sont basées sur les méthodes et les concepts de la théorie des probabilités, mais résolvent en un sens des problèmes inverses.

Si l'on observe la manifestation de deux (ou plusieurs) signes simultanément, c'est-à-dire nous avons un ensemble de valeurs de plusieurs variables aléatoires - que pouvons-nous dire de leur dépendance ? Elle est là ou pas ? Et si c’est le cas, quelle est alors cette dépendance ?

Il est souvent possible de faire des hypothèses sur la distribution cachée dans la boîte noire ou sur ses propriétés. Dans ce cas, sur la base de données expérimentales, il est nécessaire de confirmer ou d'infirmer ces hypothèses (« hypothèses »). Il ne faut pas oublier que la réponse « oui » ou « non » ne peut être donnée qu’avec un certain degré de certitude, et que plus nous pouvons poursuivre l’expérience longtemps, plus les conclusions peuvent être précises. La situation la plus favorable pour la recherche est celle où l'on peut affirmer avec confiance certaines propriétés de l'expérience observée - par exemple, la présence d'une relation fonctionnelle entre les quantités observées, la normalité de la distribution, sa symétrie, la présence de densité dans la distribution ou sa caractère discret, etc.

Il est donc logique de se souvenir des statistiques (mathématiques) si

· il existe une expérience aléatoire dont les propriétés sont partiellement ou totalement inconnues,

· nous sommes capables de reproduire cette expérience dans les mêmes conditions plusieurs (ou mieux encore, n'importe quel) nombre de fois.

Bibliographie

1. Baumol U. Théorie économique et recherche opérationnelle. – M. ; Sciences, 1999.

2. Bolchev L.N., Smirnov N.V. Tableaux de statistiques mathématiques. M. : Nauka, 1995.

3. Borovkov A.A. Statistiques mathématiques. M. : Nauka, 1994.

4. Korn G., Korn T. Manuel de mathématiques destiné aux scientifiques et aux ingénieurs. - Saint-Pétersbourg : Maison d'édition Lan, 2003.

5. Korshunov D.A., Chernova N.I. Recueil de problèmes et d'exercices sur les statistiques mathématiques. Novossibirsk : Maison d'édition de l'Institut de mathématiques du nom. S.L. Sobolev SB RAS, 2001.

6. Peheletsky I.D. Mathématiques : un manuel pour les étudiants. - M. : Académie, 2003.

7. Souhodolsky V.G. Cours de mathématiques supérieures pour humanistes. - Maison d'édition de Saint-Pétersbourg de l'Université d'État de Saint-Pétersbourg. 2003

8. Feller V. Introduction à la théorie des probabilités et à ses applications. - M. : Mir, T.2, 1984.

9. Harman G., Analyse factorielle moderne. - M. : Statistiques, 1972.

Harman G., Analyse factorielle moderne. - M. : Statistiques, 1972.

VARIABLES ALÉATOIRES ET LOIS DE LEUR DISTRIBUTION.

Aléatoire Ils appellent une quantité qui prend des valeurs en fonction d'une combinaison de circonstances aléatoires. Distinguer discret et aléatoire continu quantités.

Discret Une quantité est appelée si elle prend un ensemble dénombrable de valeurs. ( Exemple: le nombre de patients à un rendez-vous chez le médecin, le nombre de lettres sur une page, le nombre de molécules dans un volume donné).

Continu est une quantité qui peut prendre des valeurs dans un certain intervalle. ( Exemple: température de l'air, poids corporel, taille humaine, etc.)

Loi de répartition Une variable aléatoire est un ensemble de valeurs possibles de cette variable et, correspondant à ces valeurs, des probabilités (ou fréquences d'occurrence).

EXEMPLE:

X	x1	x2	x3	x4	...	xn
p	page 1	page 2	page 3	page 4	...	pn

X	x1	x2	x3	x4	...	xn
m	m1	m2	m3	m4	...	mn

CARACTÉRISTIQUES NUMÉRIQUES DE VARIABLES ALÉATOIRES.

Dans de nombreux cas, parallèlement ou à la place de la distribution d'une variable aléatoire, des informations sur ces quantités peuvent être fournies par des paramètres numériques appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire . Les plus courants d'entre eux :

1 .Valeur attendue - (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités de ces valeurs :

2 .Dispersion Variable aléatoire:

3 .Écart-type :

Règle « TROIS SIGMA » - si une variable aléatoire est distribuée selon une loi normale, alors l'écart de cette valeur par rapport à la valeur moyenne en valeur absolue ne dépasse pas trois fois l'écart type

LOI DE GAUSS – LOI NORMALE DE DISTRIBUTION

Il y a souvent des quantités réparties sur loi normale (Loi de Gauss). caractéristique principale : c'est la loi limite à laquelle se rapprochent d'autres lois de distribution.

Une variable aléatoire est distribuée selon la loi normale si elle densité de probabilité a la forme :

M(X)- l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ;

s- écart-type.

Densité de probabilité(fonction de distribution) montre comment la probabilité attribuée à un intervalle change dx variable aléatoire, en fonction de la valeur de la variable elle-même :

CONCEPTS DE BASE DES STATISTIQUES MATHÉMATIQUES

Statistiques mathématiques- une branche des mathématiques appliquées directement adjacente à la théorie des probabilités. La principale différence entre les statistiques mathématiques et la théorie des probabilités est que les statistiques mathématiques ne considèrent pas les actions sur les lois de distribution et les caractéristiques numériques des variables aléatoires, mais des méthodes approximatives pour trouver ces lois et caractéristiques numériques basées sur les résultats d'expériences.

Concepts de base les statistiques mathématiques sont :

1. Population générale;

2. échantillon;

3. séries de variations;

4. mode;

5. médian;

6. centile,

7. polygone de fréquence,

8. diagramme à bandes.

Population- une large population statistique parmi laquelle est sélectionnée une partie des objets de recherche

(Exemple: l'ensemble de la population de la région, les étudiants universitaires d'une ville donnée, etc.)

Échantillon (échantillon de population)- un ensemble d'objets sélectionnés dans la population générale.

Série de variantes- distribution statistique constituée de variantes (valeurs d'une variable aléatoire) et de leurs fréquences correspondantes.

Exemple:

X,kg

m

X- valeur d'une variable aléatoire (masse des filles âgées de 10 ans) ;

m- fréquence d'apparition.

Mode– la valeur de la variable aléatoire qui correspond à la fréquence d'occurrence la plus élevée. (Dans l'exemple ci-dessus, le mode correspond à la valeur 24 kg, il est plus courant que les autres : m = 20).

Médian– la valeur d'une variable aléatoire qui divise la distribution en deux : la moitié des valeurs sont situées à droite de la médiane, la moitié (pas plus) - à gauche.

Exemple:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Dans l'exemple nous observons 40 valeurs d'une variable aléatoire. Toutes les valeurs sont classées par ordre croissant, en tenant compte de la fréquence de leur apparition. Vous pouvez voir qu'à droite de la valeur 7 en surbrillance se trouvent 20 (la moitié) des 40 valeurs. Donc 7 est la médiane.

Pour caractériser la dispersion, on trouvera des valeurs ne dépassant pas 25 et 75% des résultats de mesure. Ces valeurs sont appelées 25ème et 75ème percentiles . Si la médiane divise la distribution en deux, alors les 25e et 75e percentiles sont coupés d’un quart. (Soit dit en passant, la médiane elle-même peut être considérée comme le 50e centile.) Comme le montre l'exemple, les 25e et 75e centiles sont respectivement égaux à 3 et 8.

Utiliser discret (point) distribution statistique et continu (intervalle) distribution statistique.

Pour plus de clarté, les distributions statistiques sont représentées graphiquement sous la forme gamme de fréquences ou - histogrammes .

Polygone de fréquence- une ligne brisée dont les segments relient des points avec des coordonnées ( x 1 ,m 1), (x 2 ,m 2), ..., ou pour polygone de fréquence relative – avec les coordonnées ( x 1 ,р * 1), (x 2 ,р ​​​​​​* 2), ...(Fig. 1).

m m je /n f(x)

Figure 1 Figure 2

Histogramme de fréquence- un ensemble de rectangles adjacents construits sur une même ligne droite (Fig. 2), les bases des rectangles sont les mêmes et égales dx , et les hauteurs sont égales au rapport de la fréquence à dx , ou R* À dx (densité de probabilité).

Exemple:

x, kg	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

Polygone de fréquence

Le rapport entre la fréquence relative et la largeur de l'intervalle est appelé densité de probabilité f(x)=m i / n dx = p* i / dx

Un exemple de construction d'un histogramme .

Utilisons les données de l'exemple précédent.

1. Calcul du nombre d'intervalles de classe

Où n - nombre d'observations. Dans notre cas n = 100 . Ainsi:

2. Calcul de la largeur de l'intervalle dx :

,

3. Etablir une série d'intervalles :

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f(x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

diagramme à bandes

Statistiques mathématiques

Sujet et méthodes

Les statistiques mathématiques sont une branche des mathématiques qui développe des méthodes d'enregistrement, de description et d'analyse de données d'observation et expérimentales dans le but de construire des modèles probabilistes de phénomènes aléatoires de masse. Selon la nature mathématique des résultats d'observation spécifiques, les statistiques mathématiques sont divisées en statistiques de nombres, analyse statistique multivariée, analyse de fonctions (processus) et de séries chronologiques, statistiques d'objets de nature non numérique.

De nos jours, les ordinateurs jouent un rôle important dans les statistiques mathématiques. Ils sont utilisés aussi bien pour les calculs que pour la simulation (notamment dans les méthodes de multiplication d'échantillons et dans l'étude de la pertinence des résultats asymptotiques).

Remarques

Littérature

• Probabilités et statistiques mathématiques. Encyclopédie / Ch. éd. Yu. V. Prokhorov. - M. : Maison d'édition "Grande Encyclopédie Russe", 1999.
• Wald A. Analyse séquentielle, trans. de l'anglais - M. : Fizmatgiz, 1960.
• Shiryaev A. N. Analyse séquentielle statistique. Règles d'arrêt optimales - M. : Nauka, 1976

voir également

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

• Algèbre linéaire
• Physique mathématique

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Les statistiques mathématiques sont une branche des mathématiques consacrée aux méthodes mathématiques de systématisation, de traitement et d'utilisation de données statistiques à des fins scientifiques et pratiques..

Les données statistiques sont des informations sur le nombre et la nature des objets d'une collection plus ou moins étendue qui possèdent certaines propriétés.

Une méthode de recherche basée sur la prise en compte de données statistiques provenant de certains ensembles d'objets est dite statistique.

Le côté mathématique formel des méthodes de recherche statistique est indifférent à la nature des objets étudiés et constitue l'objet de la statistique mathématique.

La tâche principale des statistiques mathématiques est d'obtenir des conclusions sur les phénomènes et processus de masse sur la base de leurs observations ou d'expériences.

Les statistiques sont une science qui nous permet de voir des modèles dans le chaos des données aléatoires, de mettre en évidence les connexions établies et de déterminer nos actions afin d'augmenter la proportion de décisions correctement prises.

De nombreuses relations désormais connues entre divers aspects du monde qui nous entoure ont été obtenues en analysant les données accumulées par l’humanité. Après détection statistique des dépendances, une personne trouve déjà l'une ou l'autre explication rationnelle aux modèles découverts.

Pour présenter les premières définitions des statistiques, regardons un exemple.

Exemple. Supposons qu'il soit nécessaire d'estimer le degré de changement du QI de 100 étudiants sur 3 années d'études. A titre d'indicateur, considérons le rapport du coefficient actuel au coefficient précédemment mesuré (il y a trois ans), multiplié par 100 %.

Obtenons une séquence de 100 variables aléatoires : 97,8 ; 97,0 ; 101,7 ; 132,5 ; 142 ; ... ; 122. Notons-le par X.

Définition 1. La séquence de variables aléatoires X observée à la suite d'une étude est appelée signe en statistique.

Définition 2.Différentes valeurs d'une caractéristique sont appelées variantes.

À partir des valeurs données, il est difficile d'obtenir des informations sur la dynamique des changements du QI au cours du processus d'apprentissage. Organisons cette séquence par ordre croissant : 94 ; 97,0 ; 97,8 ; …142. De la séquence résultante, il est déjà possible d'extraire des informations utiles - par exemple, il est facile de déterminer les valeurs minimales et maximales d'une caractéristique. Mais on ne sait pas clairement comment cette caractéristique est répartie parmi l’ensemble de la population étudiante interrogée. Divisons les options en intervalles. Selon la formule de Sturges, le nombre d'intervalles recommandé

m= 1+3,32l g(n)≈ 7,6, et la valeur de l'intervalle est .

Les plages des intervalles obtenus sont données dans la colonne 1 du tableau.

Comptons combien de valeurs caractéristiques tombent dans chaque intervalle et écrivons-les dans la colonne 3.

Définition 3.Le nombre indiquant le nombre d'options tombant dans un i-ième intervalle donné est appelé fréquence et est noté n i.

Définition 4.Le rapport entre la fréquence et le nombre total d’observations est appelé fréquence relative (wi) ou poids.

Définition 5.Une série de variations est une série d’options classées par ordre croissant ou décroissant avec leurs poids correspondants.

Pour cet exemple, les options sont les milieux des intervalles.

Définition 6.Fréquence cumulative( )une variante numérique avec une valeur caractéristique inférieure à x (хОR) est appelée.