upute

Pronađite domenu funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) definirana je u cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x definirana je od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Identificirajte područja kontinuiteta i točke diskontinuiteta. Obično je funkcija kontinuirana u istom području u kojem je definirana. Da bi se otkrili diskontinuiteti, mora se izračunati kako se argument približava izoliranim točkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+, a minus beskonačno kada je x→0-. To znači da u točki x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u točki diskontinuiteta konačne, ali ne i jednake, tada se radi o diskontinuitetu prve vrste. Ako su jednaki, tada se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj točki.

Pronaći vertikalne asimptote, ako jesu. Ovdje će vam pomoći izračuni iz prethodnog koraka, budući da se vertikalna asimptota gotovo uvijek nalazi u točki diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz definicijske domene ne isključuju pojedine točke, već čitavi intervali točaka, pa se vertikalne asimptote mogu nalaziti na rubovima tih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parno, neparno i periodično.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 - čak i funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T, koji se naziva periodom, da je za bilo koji x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve glavne trigonometrijske funkcije(sinus, kosinus, tangens) - periodic.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju od dana funkcija i pronađite one vrijednosti x gdje on postaje nula. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima derivaciju g(x) = 3x^2 + 18x, koja nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su točke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije na pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak iz plusa u točki x = -6, a u točki x = 0 natrag iz minusa u plus. Prema tome, funkcija f(x) ima minimum u prvoj točki i minimum u drugoj.

Dakle, također ste pronašli područja monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovno raste na 0;+∞.

Pronađite drugu derivaciju. Njegovi korijeni će pokazati gdje će graf određene funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, druga derivacija funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Ide na nulu pri x = -3, mijenjajući predznak s minusa na plus. Posljedično, graf f(x) prije ove točke bit će konveksan, nakon nje - konkavan, a sama ta točka bit će točka infleksije.

Funkcija može imati i druge asimptote osim vertikalnih, ali samo ako njena domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, onda ste pronašli horizontalna asimptota.

Kosa asimptota je pravac oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Da bismo pronašli b - granicu (f(x) – kx) za isti x→∞.

Da biste u potpunosti proučili funkciju i iscrtali njezin grafikon, preporuča se koristiti sljedeću shemu:

1) pronaći domenu definicije funkcije;

2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);

3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;

4) ispitati funkciju za paritet (neparnost) i periodičnost (za trigonometrijske funkcije);

5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;

6) odrediti intervale konveksnosti i točke infleksije;

7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osima i, ako je moguće, neke dodatne točke koje pojašnjavaju graf.

Proučavanje funkcije provodi se istodobno s izgradnjom njezinog grafikona.

Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite grafikon.

1. Opseg definicije: ;

2. Funkcija trpi diskontinuitet u točkama
,
;

Ispitujemo funkciju na prisutnost vertikalnih asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

;
,
─ vertikalna asimptota.

3. Ispitujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.

Ravno
─ kosa asimptota, ako
,
.

,
.

Ravno
─ horizontalna asimptota.

4. Funkcija je parna jer
. Paritet funkcije označava simetriju grafa u odnosu na ordinatu.

5. Odredite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.

Pronađimo kritične točke, tj. točke u kojima je derivacija 0 ili ne postoji:
;
. Imamo tri boda
;

. Ove točke dijele cijelu realnu os u četiri intervala. Definirajmo znakove na svakom od njih.

Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) ─ pada. Pri prolasku kroz točku
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, u ovoj točki funkcija ima maksimum
.

6. Odredite intervale konveksnosti i točke infleksije.

Pronađimo točke u kojima je 0, ili ne postoji.

nema pravih korijena.
,
,

Bodovi
I
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak u svakom intervalu.

Dakle, krivulja na intervalima
I
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema točaka infleksije, jer je funkcija u točkama
I
nije utvrđeno.

7. Pronađite točke sjecišta s osi.

S osovinom
graf funkcije siječe se u točki (0; -1), a s osi
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.

Graf zadane funkcije prikazan je na slici 1.

Slika 1 ─ Grafikon funkcije

Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti

Za proučavanje ekonomskih procesa i rješavanje drugih primijenjenih problema često se koristi koncept elastičnosti funkcije.

Definicija. Funkcija elastičnosti
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije relativnom prirastu varijable na
, . (VII)

Elastičnost funkcije pokazuje koliko će se postotaka funkcija promijeniti
kada se mijenja nezavisna varijabla za 1%.

Funkcija elastičnosti koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti)
, tada se potražnja smatra elastičnom ako
─ neutralno ako
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).

Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije
i naći vrijednost indeksa elastičnosti za = 3.

Rješenje: prema formuli (VII), elastičnost funkcije je:

Neka je onda x=3
.To znači da ako nezavisna varijabla poraste za 1%, tada će vrijednost zavisne varijable porasti za 1,42%.

Primjer 11 Neka potražnja funkcionira u vezi cijene izgleda kao
, Gdje ─ konstantni koeficijent. Odredite vrijednost pokazatelja elastičnosti funkcije potražnje pri cijeni x = 3 den. jedinice

Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)

vjerujući
monetarne jedinice, dobivamo
. To znači da po cijeni
monetarne jedinice povećanje cijene od 1% uzrokovat će smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.

Ponašanje potpuno istraživanje i nacrtajte funkciju

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Opseg funkcije. Budući da je funkcija razlomak, moramo pronaći nule nazivnika.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Jedinu točku x=1x=1 izuzimamo iz domene definicije funkcije i dobivamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta. Pronađimo jednostrana ograničenja:

Kako su granice jednake beskonačnosti, točka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, pravac x=1x=1 je vertikalna asimptota.

3) Odredimo sjecišne točke grafa funkcije s koordinatnim osima.

Nađimo točke presjeka s osi ordinata OyOy za koje izjednačimo x=0x=0:

Dakle, sjecišna točka s osi OyOy ima koordinate (0;8)(0;8).

Nađimo sjecišne točke s osi apscisa OxOx za koje smo postavili y=0y=0:

Jednadžba nema korijena, pa nema ni točaka sjecišta s osi OxOx.

Primijetite da x2+8>0x2+8>0 za bilo koji xx. Dakle, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funkcija y>0y>0 (poprima pozitivne vrijednosti, graf je iznad x-osi), za x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Ispitajmo periodičnost funkcije. Funkcija nije periodična, jer je frakcijska racionalna funkcija.

6) Ispitajmo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvu derivaciju funkcije:

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i pronađemo stacionarne točke (u kojima je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične točke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Podijelimo cijelo područje definicije funkcije na intervale s tim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivacija y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) izvod y′>0y′>0, funkcija raste na tim intervalima.

U ovom slučaju, x=−2x=−2 je točka lokalnog minimuma (funkcija opada pa raste), x=4x=4 je lokalna točka maksimuma (funkcija raste pa opada).

Pronađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna točka je (−2;4)(−2;4), maksimalna točka je (4;−8)(4;−8).

7) Ispitajmo funkciju za pregibe i konveksnost. Nađimo drugu derivaciju funkcije:

Izjednačimo drugu derivaciju s nulom:

Rezultirajuća jednadžba nema korijena, pa nema ni točaka infleksije. Štoviše, kada je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 zadovoljeno, to jest, funkcija je konkavna, kada je x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) zadovoljava y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Ispitajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti, to jest na .

Budući da su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b pomoću poznatih formula:

Utvrdili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatni bodovi. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim točkama kako bismo točnije konstruirali graf.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Na temelju dobivenih podataka konstruirat ćemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plavo), y=−x−1y=−x−1 (zeleno) i označiti karakteristične točke (ljubičasto sjecište s ordinatom os, narančasti ekstremi, crne dodatne točke):

Zadatak 4: Geometrijski, Ekonomski zadaci (nemam pojma što, evo okvirnog izbora zadataka s rješenjima i formulama)

Primjer 3.23. a

Riješenje. x I g g
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz tu točku. Za xa/4 S " > 0, i za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24.

Riješenje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22. Nađite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ​​-2) (x - 3), tada su kritične točke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremumi mogu biti samo na Kako prolaskom kroz točku x 1 = 2 izvod mijenja predznak iz plusa u minus, tada funkcija ima maksimum pri prolasku kroz točku x 2 = 3 na plus, dakle u točki x 2 = 3 funkcija ima minimum Izračunavši vrijednosti funkcije u točkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Primjer 3.23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravokutni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a četvrta strana je uz zid. Za ovo postoji a dužni metri mreže. U kojem će omjeru stranica imati najveću površinu?

Riješenje. Označimo stranice platforme sa x I g. Površina mjesta je S = xy. Neka g- ovo je duljina stranice uz zid. Tada prema uvjetu mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (duljina i širina podloge ne mogu biti negativne). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pri x = a/4, odakle
y = a - 2×a/4 =a/2. Kako je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz tu točku. Za xa/4 S " > 0, i za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični spremnik zapremine V=16p ≈ 50 m 3 . Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika (polumjer R i visina H) da se za njegovu izradu potroši što manje materijala?

Riješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Poznata nam je zapremina cilindra V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . To znači S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo izvod ove funkcije:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Povezane informacije.

Već neko vrijeme TheBat-ova ugrađena baza certifikata za SSL prestaje ispravno raditi (nije jasno iz kojeg razloga).

Prilikom provjere objave pojavljuje se pogreška:

Nepoznati CA certifikat
Poslužitelj nije predstavio korijenski certifikat u sesiji i odgovarajući korijenski certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim
kontaktirajte svog administratora poslužitelja.

I nudi vam se izbor odgovora - DA / NE. I tako svaki put kad uklonite poštu.

Riješenje

U tom slučaju trebate zamijeniti S/MIME i TLS implementacijski standard s Microsoft CryptoAPI u postavkama TheBat!

Kako sam sve datoteke trebao objediniti u jednu, prvo sam sve doc datoteke pretvorio u jednu pdf datoteku (pomoću programa Acrobat), a zatim ju prebacio u fb2 putem online convertera. Također možete pretvoriti datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvor) - doc, jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini :) Online Photoshop.

Ažuriranje svibanj 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za stvaranje potpuno prilagođenog kolaža! Ovo je stranica http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravlje. I sam ću ga koristiti.

U životu sam naišao na problem popravka električnog štednjaka. Puno sam već radio, puno naučio, ali nekako sam imao malo posla s pločicama. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i plamenicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnom štednjaku?

Pokazalo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, lako možete na oko odrediti koja vam veličina treba.

Najmanji plamenik- ovo je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji plamenik- ovo je 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju, najviše veliki plamenik- ovo je 225 milimetara (22,5 centimetra).

Dovoljno je odrediti veličinu okom i shvatiti koji vam je promjer potreban plamenik. Kad to nisam znao, brinule su me te dimenzije, nisam znao kako izmjeriti, kojim rubom se kretati, itd. Sad sam pametna :) Nadam se da sam i tebi pomogla!

U životu sam se suočio s takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Proučavanje funkcije provodi se prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta dobro poznavanje osnovnih matematičkih koncepata kao što su domena definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, točke ekstrema, paritet, periodičnost itd. . Učenik mora znati slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednadžbe koje ponekad mogu biti vrlo složene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaka praznina u kojoj će postati prepreka za dobivanje točnog rješenja. Osobito često nastaju poteškoće s konstruiranjem grafova funkcija. Ova pogreška nastavniku odmah primjećuje i može jako naškoditi vašoj ocjeni, čak i ako je sve ostalo urađeno ispravno. Ovdje možete pronaći problemi online istraživanja funkcija: proučiti primjere, preuzeti rješenja, naručiti zadatke.

Istražite funkciju i iscrtajte graf: primjeri i rješenja na mreži

Za vas smo pripremili mnoštvo gotovih funkcionalnih studija, kako plaćenih u knjizi rješenja, tako i besplatnih u odjeljku Primjeri funkcionalnih studija. Na temelju ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati s metodologijom izvođenja sličnih zadataka, te analogno istraživati.

Nudimo gotove primjere cjelovitog istraživanja i crtanja funkcija najčešćih tipova: polinoma, frakcijsko-racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješeni problem prati gotov graf s istaknutim ključnim točkama, asimptotama, maksimumima i minimumima; rješenje se provodi pomoću algoritma za proučavanje funkcije.

U svakom slučaju, riješeni primjeri bit će vam od velike pomoći jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih problema, ali, kao što znate, na svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a učitelji su veliki stručnjaci u izmišljanju sve škakljivijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalificirana pomoć vam neće nauditi.

Rješavanje problema istraživanja prilagođenih funkcija

U tom slučaju naši će vam partneri ponuditi drugu uslugu - potpuno funkcionalno istraživanje na mreži naručiti. Zadatak će biti dovršen za vas u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje takvih problema, što će jako obradovati vašeg učitelja.

Napravit ćemo kompletnu studiju funkcije za vas: pronaći ćemo domenu definicije i domenu vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, uspostaviti parnost, provjeriti periodičnost vaše funkcije i pronaći točke presjeka s koordinatnim osima . I, naravno, dalje koristeći diferencijalni račun: pronaći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke infleksije i konstruirati sam graf.