Pada panggung modern pengembangan pendidikan, salah satu tugas pokoknya adalah pembentukan kepribadian berpikir kreatif. Kemampuan kreativitas siswa hanya dapat dikembangkan jika mereka dilibatkan secara sistematis dalam dasar-dasar kegiatan penelitian. Landasan bagi siswa untuk menggunakan daya kreatif, kemampuan dan bakatnya adalah terbentuknya pengetahuan dan keterampilan yang utuh. Berkaitan dengan hal tersebut, masalah pembentukan sistem pengetahuan dan keterampilan dasar pada setiap topik mata kuliah matematika sekolah menjadi tidak kalah pentingnya. Pada saat yang sama, keterampilan penuh harus menjadi tujuan didaktik bukan dari tugas individu, tetapi dari sistem tugas yang dipikirkan dengan cermat. Dalam arti luas, sistem dipahami sebagai sekumpulan elemen-elemen yang saling berinteraksi dan saling berhubungan yang memiliki integritas dan struktur yang stabil.

Mari kita pertimbangkan teknik untuk mengajari siswa cara menulis persamaan garis singgung grafik suatu fungsi. Pada dasarnya, semua masalah dalam menemukan persamaan tangen bermuara pada kebutuhan untuk memilih dari sekumpulan (kumpulan, keluarga) garis-garis yang memenuhi persyaratan tertentu - garis-garis tersebut bersinggungan dengan grafik fungsi tertentu. Dalam hal ini, kumpulan garis tempat pemilihan dilakukan dapat ditentukan dengan dua cara:

a) suatu titik yang terletak pada bidang xOy (garis pensil tengah);
b) koefisien sudut (balok garis lurus sejajar).

Dalam hal ini, ketika mempelajari topik “Singgung grafik suatu fungsi” untuk mengisolasi elemen-elemen sistem, kami mengidentifikasi dua jenis masalah:

1) masalah pada garis singgung yang diberikan oleh titik yang dilaluinya;
2) masalah pada garis singgung yang diberikan oleh kemiringannya.

Pelatihan penyelesaian masalah tangen dilakukan dengan menggunakan algoritma yang dikemukakan oleh A.G. Mordkovich. Perbedaan mendasarnya dengan yang sudah diketahui adalah absis titik singgung dilambangkan dengan huruf a (bukan x0), sehingga persamaan tangennya berbentuk

kamu = f(Sebuah) + f "(Sebuah)(x – Sebuah)

(bandingkan dengan y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Teknik metodologi ini, menurut kami, memungkinkan siswa dengan cepat dan mudah memahami di mana koordinat titik saat ini ditulis persamaan tangen umum, dan di mana titik kontaknya.

Algoritma penyusunan persamaan tangen grafik fungsi y = f(x)

1. Tentukan absis titik singgung dengan huruf a.
2. Temukan f(a).
3. Temukan f "(x) dan f "(a).
4. Substitusikan bilangan a, f(a), f"(a) yang didapat ke dalam persamaan umum garis singgung y = f(a) = f "(a)(x – a).

Algoritme ini dapat disusun berdasarkan identifikasi operasi independen siswa dan urutan implementasinya.

Praktek telah menunjukkan bahwa solusi berurutan dari setiap masalah utama menggunakan algoritma memungkinkan Anda untuk mengembangkan keterampilan menulis persamaan garis singgung grafik suatu fungsi secara bertahap, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik referensi untuk tindakan. . Pendekatan ini sesuai dengan teori pembentukan tindakan mental secara bertahap yang dikembangkan oleh P.Ya. Galperin dan N.F. Talizina.

Pada jenis tugas pertama, dua tugas utama diidentifikasi:

• garis singgung melalui suatu titik yang terletak pada kurva (soal 1);
• garis singgung melewati suatu titik yang tidak terletak pada kurva (soal 2).

Tugas 1. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut di titik M(3; – 2).

Larutan. Titik M(3; – 2) merupakan titik singgung, karena

1. a = 3 – absis titik singgung.
2.f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – persamaan tangen.

Soal 2. Tuliskan persamaan semua garis singgung grafik fungsi y = – x 2 – 4x + 2 yang melalui titik M(– 3; 6).

Larutan. Titik M(– 3; 6) bukan titik singgung, karena f(– 3) 6 (Gbr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f"(x) = – 2x – 4, f"(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – persamaan tangen.

Garis singgung melewati titik M(– 3; 6), sehingga koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Jika a = – 4, maka persamaan tangennya adalah y = 4x + 18.

Jika a = – 2, maka persamaan tangennya berbentuk y = 6.

Pada tipe kedua, tugas utamanya adalah sebagai berikut:

• garis singgungnya sejajar dengan suatu garis (soal 3);
• garis singgung melewati sudut tertentu terhadap garis tertentu (soal 4).

Soal 3. Tuliskan persamaan semua garis singgung grafik fungsi y = x 3 – 3x 2 + 3, sejajar dengan garis y = 9x + 1.

1. a – absis titik singgung.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Namun sebaliknya, f "(a) = 9 (kondisi paralelisme). Artinya kita perlu menyelesaikan persamaan 3a 2 – 6a = 9. Akar-akarnya adalah a = – 1, a = 3 (Gbr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f"(– 1) = 9;
4) kamu = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – persamaan tangen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) kamu = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – persamaan tangen.

Soal 4. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi y = 0,5x 2 – 3x + 1, yang membentuk sudut 45° terhadap garis lurus y = 0 (Gbr. 4).

Larutan. Dari kondisi f "(a) = tan 45° kita mencari a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – absis titik singgung.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3.f"(4) = 4 – 3 = 1.
4. kamu = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – persamaan tangen.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa solusi terhadap masalah lain bermuara pada penyelesaian satu atau lebih masalah utama. Perhatikan dua masalah berikut sebagai contoh.

1. Tuliskan persamaan garis singgung parabola y = 2x 2 – 5x – 2, jika garis singgung tersebut berpotongan tegak lurus dan salah satunya menyentuh parabola di titik absis 3 (Gbr. 5).

Larutan. Karena absis titik singgung diberikan, bagian pertama penyelesaian direduksi menjadi soal utama 1.

1. a = 3 – absis titik singgung salah satu sisinya sudut kanan.
2.f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – persamaan garis singgung pertama.

Misalkan a adalah sudut kemiringan garis singgung pertama. Karena garis singgungnya tegak lurus, maka sudut kemiringan garis singgung kedua adalah. Dari persamaan y = 7x – 20 garis singgung pertama kita peroleh tg a = 7. Mari kita cari

Artinya kemiringan garis singgung kedua sama dengan .

Solusi selanjutnya adalah tugas utama 3.

Misalkan B(c; f(c)) adalah titik singgung garis kedua

1. – absis titik singgung kedua.
2.
3.
4.
– persamaan garis singgung kedua.

Catatan. Koefisien sudut garis singgung dapat dicari dengan lebih mudah jika siswa mengetahui perbandingan koefisien garis tegak lurus k 1 k 2 = – 1.

2. Tuliskan persamaan semua garis singgung persekutuan pada grafik fungsi

Larutan. Masalahnya adalah menemukan absis titik singgung garis singgung persekutuan, yaitu menyelesaikan masalah utama 1 di pandangan umum, menyusun sistem persamaan dan penyelesaian selanjutnya (Gbr. 6).

1. Misalkan a adalah absis titik singgung pada grafik fungsi y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3.f"(a) = 2a+1.
4. kamu = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Misalkan c adalah absis titik singgung pada grafik fungsi
2.
3.f"(c) = c.
4.

Karena garis singgung bersifat umum, maka

Jadi y = x + 1 dan y = – 3x – 3 adalah garis singgung persekutuan.

Tujuan utama dari tugas-tugas yang dipertimbangkan adalah untuk mempersiapkan siswa untuk secara mandiri mengenali jenis masalah utama ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks yang memerlukan keterampilan penelitian tertentu (kemampuan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi, mengajukan hipotesis, dll). Tugas-tugas tersebut mencakup tugas apa pun yang tugas utamanya disertakan sebagai salah satu komponennya. Mari kita pertimbangkan sebagai contoh masalah ( masalah terbalik 1) mencari fungsi dari keluarga garis singgungnya.

3. Berapakah b dan c garis y = x dan y = – 2x bersinggungan dengan grafik fungsi y = x 2 + bx + c?

Misalkan t adalah absis titik singgung garis lurus y = x dengan parabola y = x 2 + bx + c; p adalah absis titik singgung garis lurus y = – 2x dengan parabola y = x 2 + bx + c. Maka persamaan tangen y = x akan berbentuk y = (2t + b)x + c – t 2 , dan persamaan tangen y = – 2x akan berbentuk y = (2p + b)x + c – p 2 .

Mari kita menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan

Menjawab:

Garis singgung adalah garis lurus yang melalui suatu titik pada kurva dan berimpit dengannya pada titik tersebut sampai orde pertama (Gbr. 1).

Definisi lain: ini adalah posisi pembatas garis potong di Δ X→0.

Penjelasan: Ambil garis lurus yang memotong kurva di dua titik: A Dan B(Lihat gambar). Ini adalah garis potong. Kami akan memutarnya searah jarum jam hingga hanya tersisa satu poin umum dengan kurva. Ini akan memberi kita garis singgung.

Definisi garis singgung yang ketat:

Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi F, dapat dibedakan pada intinya XHAI, adalah garis lurus yang melalui titik ( XHAI; F(XHAI)) dan memiliki kemiringan F′( XHAI).

Kemiringannya mempunyai bentuk garis lurus kamu=kx+B. Koefisien k dan lereng garis lurus ini.

Kemiringannya sama dengan garis singgung sudut lancip, dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu absis:

k = tan α

Disini sudut α adalah sudut antara garis lurus kamu=kx+B dan arah sumbu x positif (berlawanan arah jarum jam). Itu disebut sudut kemiringan suatu garis lurus(Gbr. 1 dan 2).

Jika sudut kemiringannya lurus kamu=kx+B lancip, maka kemiringannya adalah bilangan positif. Grafiknya meningkat (Gbr. 1).

Jika sudut kemiringannya lurus kamu=kx+B tumpul, maka kemiringannya adalah bilangan negatif. Grafiknya menurun (Gbr. 2).

Jika garis lurus sejajar dengan sumbu x, maka sudut kemiringan garis lurus tersebut adalah nol. Dalam hal ini, kemiringan garisnya juga nol (karena garis singgung nol adalah nol). Persamaan garis lurus akan terlihat seperti y = b (Gbr. 3).

Jika sudut kemiringan suatu garis lurus adalah 90º (π/2), yaitu tegak lurus sumbu absis, maka garis lurus tersebut diberikan persamaan x =C, Di mana C– beberapa bilangan real (Gbr. 4).

Persamaan garis singgung grafik suatu fungsikamu = F(X) pada titik XHAI:

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 di titik dengan absis 2.

Solusi.

Kami mengikuti algoritmanya.

1) Titik sentuh XHAI sama dengan 2. Hitung F(XHAI):

F(XHAI) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Temukan F′( X). Untuk melakukan ini, kami menerapkan rumus diferensiasi yang diuraikan di bagian sebelumnya. Menurut rumus ini, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Cara:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Sekarang, gunakan nilai yang dihasilkan F′( X), menghitung F′( XHAI):

F′( XHAI) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Jadi, kami memiliki semua data yang diperlukan: XHAI = 2, F(XHAI) = 1, F ′( XHAI) = 4. Substitusikan bilangan-bilangan berikut ke dalam persamaan tangen dan cari penyelesaian akhir:

kamu = F(XHAI) + F′( XHAI) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Jawaban: y = 4x – 7.

Pada artikel ini kami akan menganalisis semua jenis masalah yang ingin ditemukan

Mari kita ingat arti geometris turunan: jika ditarik garis singgung pada grafik suatu fungsi di suatu titik, maka koefisien kemiringan garis singgung tersebut (sama dengan garis singgung sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu) sama dengan turunan fungsi tersebut pada intinya.

Mari kita ambil titik sembarang pada garis singgung dengan koordinat:

Dan pertimbangkan segitiga siku-siku :

Di segitiga ini

Dari sini

Ini adalah persamaan garis singgung yang digambarkan pada grafik fungsi di titik tersebut.

Untuk menuliskan persamaan tangen, kita hanya perlu mengetahui persamaan fungsi dan titik di mana garis singgung tersebut ditarik. Kemudian kita dapat menemukan dan .

Ada tiga jenis utama masalah persamaan tangen.

1. Diberikan titik kontak

2. Diberikan koefisien kemiringan tangen, yaitu nilai turunan fungsi di titik tersebut.

3. Diberikan koordinat titik yang dilalui garis singgung, tetapi bukan merupakan titik singgung.

Mari kita lihat setiap jenis tugas.

1 . Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut pada intinya .

.

b) Tentukan nilai turunannya di titik . Pertama, mari kita cari turunan dari fungsinya

Mari kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan tangen:

Mari kita buka tanda kurung di sisi kanan persamaan. Kita mendapatkan:

Menjawab: .

2. Temukan absis titik-titik yang bersinggungan dengan fungsi-fungsi tersebut sejajar dengan sumbu x.

Jika garis singgungnya sejajar dengan sumbu x, maka sudut antara garis singgung dengan arah positif sumbu tersebut adalah nol, maka garis singgung sudut singgung tersebut adalah nol. Artinya nilai turunan fungsi tersebut pada titik kontak adalah nol.

a) Temukan turunan dari fungsi tersebut .

b) Mari kita samakan turunannya dengan nol dan carilah nilai yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu:

Menyamakan setiap faktor dengan nol, kita mendapatkan:

Jawaban: 0;3;5

3. Tuliskan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi , paralel lurus .

Garis singgung sejajar dengan garis. Kemiringan garis ini adalah -1. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis tersebut, maka kemiringan garis singgungnya juga -1. Itu adalah kita mengetahui kemiringan garis singgungnya, dan, dengan demikian, nilai turunan pada titik singgung.

Ini adalah jenis soal kedua untuk mencari persamaan tangen.

Jadi, kita diberikan fungsi dan nilai turunannya di titik singgung.

a) Temukan titik-titik yang turunan fungsinya sama dengan -1.

Pertama, mari kita cari persamaan turunannya.

Mari kita samakan turunannya dengan angka -1.

Mari kita cari nilai fungsi di titik tersebut.

(sesuai syarat)

.

b) Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi di titik .

Mari kita cari nilai fungsi di titik tersebut.

(dengan syarat).

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan tangen:

.

Menjawab:

4. Tuliskan persamaan garis singgung kurva tersebut , melewati suatu titik

Pertama, mari kita periksa apakah titik tersebut merupakan titik singgung. Jika suatu titik merupakan titik singgung, maka titik tersebut termasuk dalam grafik fungsi, dan koordinatnya harus memenuhi persamaan fungsi tersebut. Mari kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan fungsinya.

Judul="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} angka negatif, persamaan tersebut tidak benar, dan titik tersebut tidak termasuk dalam grafik fungsi dan bukanlah titik kontak.

Ini adalah jenis soal terakhir untuk mencari persamaan tangen. Hal pertama kita perlu mencari absis titik singgungnya.

Mari kita temukan nilainya.

Biarkan menjadi titik kontak. Titik tersebut merupakan garis singgung grafik fungsi. Jika kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan tangen, kita mendapatkan persamaan yang benar:

.

Nilai fungsi pada suatu titik adalah .

Mari kita cari nilai turunan fungsi di titik tersebut.

Pertama, mari kita cari turunan dari fungsinya. Ini .

Turunan pada suatu titik sama dengan .

Mari kita substitusikan ekspresi dan ke dalam persamaan tangen. Kami mendapatkan persamaan untuk:

Mari kita selesaikan persamaan ini.

Kurangi pembilang dan penyebut pecahan sebanyak 2:

Mari kita memberi sisi kanan persamaan dengan penyebut yang sama. Kita mendapatkan:

Mari kita sederhanakan pembilang pecahan dan mengalikan kedua ruasnya dengan - persamaan ini lebih besar dari nol.

Kami mendapatkan persamaannya

Mari kita selesaikan. Untuk melakukan ini, mari kita kuadratkan kedua bagian dan beralih ke sistem.

Judul="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Mari kita selesaikan persamaan pertama.

Mari kita putuskan persamaan kuadrat, kita mendapatkan

Root kedua tidak memenuhi kondisi title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Mari kita tulis persamaan garis singgung kurva di titik tersebut. Untuk melakukan ini, substitusikan nilainya ke dalam persamaan - Kami sudah merekamnya.

Menjawab:
.

Artikel tersebut memberikan penjelasan rinci tentang definisi, makna geometris turunan dengan simbol grafis. Persamaan garis singgung akan diperhatikan beserta contohnya, persamaan garis singgung kurva orde 2 akan dicari.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Sudut kemiringan garis lurus y = k x + b disebut sudut α yang diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus y = k x + b dalam arah positif.

Pada gambar, arah x ditunjukkan dengan panah hijau dan busur hijau, dan sudut kemiringan ditunjukkan dengan busur merah. Garis biru mengacu pada garis lurus.

Definisi 2

Kemiringan garis lurus y = k x + b disebut koefisien numerik k.

Koefisien sudut sama dengan garis singgung garis lurus, dengan kata lain k = t g α.

• Sudut kemiringan suatu garis lurus sama dengan 0 hanya jika garis tersebut sejajar terhadap x dan kemiringannya sama dengan nol, karena garis singgung nol sama dengan 0. Artinya bentuk persamaannya adalah y = b.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b lancip, maka syarat 0 terpenuhi< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение lereng k dianggap bilangan positif, karena nilai tangennya memenuhi syarat t g α > 0, dan terjadi kenaikan grafik.
• Jika α = π 2, maka letak garis tegak lurus x. Kesetaraan ditentukan oleh x = c dengan nilai c adalah bilangan real.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tumpul, maka memenuhi syarat π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definisi 3

Garis potong adalah garis yang melalui 2 titik fungsi f(x). Dengan kata lain, garis potong adalah garis lurus yang ditarik melalui dua titik mana pun pada grafik fungsi yang diberikan.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa A B adalah garis potong, dan f (x) adalah kurva hitam, α adalah busur merah yang menunjukkan sudut kemiringan garis potong tersebut.

Jika koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut kemiringannya, maka jelas bahwa garis singgung segitiga siku-siku A B C dapat dicari dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Definisi 4

Kami memperoleh rumus untuk mencari garis potong bentuk:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, dimana absis titik A dan B adalah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) adalah fungsi nilai pada titik-titik ini.

Jelasnya, koefisien sudut garis potong ditentukan dengan menggunakan persamaan k = f (x B) - f (x A) x B - x A atau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , dan persamaannya harus ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Garis potong membagi grafik secara visual menjadi 3 bagian: di sebelah kiri titik A, dari A ke B, di sebelah kanan B. Gambar di bawah menunjukkan bahwa ada tiga garis potong yang dianggap berhimpitan, yaitu diatur dengan menggunakan a persamaan serupa.

Menurut definisinya, jelas bahwa garis lurus dan garis potongnya dalam hal ini bertepatan.

Garis potong dapat memotong grafik suatu fungsi tertentu beberapa kali. Jika terdapat persamaan berbentuk y = 0 untuk suatu garis potong, maka banyaknya titik potong dengan sinusoidal tersebut tidak terhingga.

Definisi 5

Bersinggungan dengan grafik fungsi f (x) di titik x 0 ; f (x 0) adalah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu x 0; f (x 0), dengan adanya ruas yang mempunyai banyak nilai x mendekati x 0.

Contoh 1

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Maka jelas bahwa garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x + 1 dianggap bersinggungan dengan y = 2 x di titik yang koordinatnya (1; 2). Untuk lebih jelasnya, perlu diperhatikan grafik yang nilainya mendekati (1; 2). Fungsi y = 2 x ditampilkan dalam warna hitam, garis biru adalah garis singgung, dan titik merah adalah titik potongnya.

Jelasnya, y = 2 x menyatu dengan garis y = x + 1.

Untuk menentukan garis singgung, kita harus mempertimbangkan perilaku garis singgung A B ketika titik B mendekati titik A tanpa batas. Untuk lebih jelasnya, kami sajikan sebuah gambar.

Garis potong A B yang ditunjukkan dengan garis biru cenderung ke posisi garis singgung itu sendiri, dan sudut kemiringan garis potong α akan mulai cenderung ke sudut kemiringan garis singgung itu sendiri α x.

Definisi 6

Garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A dianggap sebagai posisi pembatas garis potong A B karena B cenderung ke A, yaitu B → A.

Sekarang mari kita beralih ke arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik.

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan garis potong A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dan ∆ x adalah dilambangkan sebagai pertambahan argumen. Sekarang fungsinya akan berbentuk ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Agar lebih jelas, mari kita beri contoh gambarnya.

Perhatikan hasil segitiga siku-siku A B C. Kita menggunakan definisi tangen untuk menyelesaikannya, yaitu kita memperoleh relasi ∆ y ∆ x = t g α . Dari definisi garis singgung dapat disimpulkan bahwa lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Menurut aturan turunan di suatu titik, kita mendapatkan bahwa turunan f (x) di titik x 0 disebut limit rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, di mana ∆ x → 0 , maka kita menyatakannya sebagai f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Oleh karena itu f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dimana k x dinotasikan sebagai kemiringan garis singgung.

Artinya, kita menemukan bahwa f '(x) dapat ada di titik x 0, dan seperti garis singgung grafik fungsi tertentu di titik singgung sama dengan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai kemiringan garis singgung di titik tersebut sama dengan turunan di titik x 0 . Kemudian kita mendapatkan bahwa k x = f " (x 0) .

Arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik adalah memberikan konsep adanya garis singgung grafik di titik yang sama.

Untuk menulis persamaan garis lurus pada suatu bidang, diperlukan koefisien sudut dengan titik yang dilaluinya. Notasinya dianggap x 0 di persimpangan.

Persamaan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik x 0, f 0 (x 0) berbentuk y = f"(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Artinya nilai akhir turunan f"(x 0) dapat menentukan kedudukan garis singgung, yaitu secara vertikal dengan syarat lim x → x 0 + 0 f"(x) = ∞ dan lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ atau tidak ada sama sekali dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Letak garis singgungnya bergantung pada nilai koefisien sudutnya k x = f" (x 0). Jika sejajar dengan sumbu o x diperoleh k k = 0, jika sejajar dengan o y - k x = ∞, dan bentuk garis singgungnya persamaan tangen x = x 0 bertambah jika k x > 0, berkurang jika k x< 0 .

Contoh 2

Buatlah persamaan garis singgung grafik fungsi y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 di titik dengan koordinat (1; 3) dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi untuk semua bilangan real. Diketahui titik yang koordinatnya ditentukan oleh kondisi (1; 3) adalah titik singgung, maka x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Kita perlu mencari turunannya di titik yang bernilai - 1. Kami mengerti

y" = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Nilai f'(x) pada titik singgung adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan kemiringan garis singgung tersebut.

Maka k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Oleh karena itu α x = a r c t g 3 3 = π 6

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) kamu = 3 3 (x + 1) - 3 kamu = 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk lebih jelasnya, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafis.

Warna hitam digunakan untuk grafik fungsi aslinya, Warna biru– bayangan garis singgung, titik merah – titik singgung. Gambar di sebelah kanan menunjukkan tampilan yang diperbesar.

Contoh 3

Tentukan keberadaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu
y = 3 · x - 1 5 + 1 di titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa domain definisi suatu fungsi tertentu dianggap sebagai himpunan semua bilangan real.

Mari kita lanjutkan mencari turunannya

y" = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jika x 0 = 1, maka f' (x) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , artinya adanya garis singgung vertikal di titik (1; 1).

Menjawab: persamaannya akan berbentuk x = 1, dimana sudut kemiringannya sama dengan π 2.

Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan secara grafis.

Contoh 4

Tentukan titik-titik pada grafik fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, dimana

1. Tidak ada garis singgung;
2. Garis singgungnya sejajar dengan x;
3. Garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Larutan

Perlu diperhatikan ruang lingkup definisinya. Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan semua bilangan real. Kami memperluas modul dan menyelesaikan sistem dengan interval x ∈ - ∞ ; 2 dan [ - 2 ; + ∞) . Kami mengerti

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fungsinya perlu dibedakan. Kami punya itu

kamu" = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Jika x = − 2, maka turunannya tidak ada karena batas satu sisinya tidak sama pada titik tersebut:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kita menghitung nilai fungsi di titik x = - 2, dari situ kita mendapatkannya

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 yaitu garis singgung di titik ( - 2; - 2) tidak akan ada.
2. Garis singgungnya sejajar dengan x jika kemiringannya nol. Maka k x = t g α x = f "(x 0). Artinya, nilai x tersebut perlu dicari ketika turunan fungsi mengubahnya menjadi nol. Artinya, nilai f ' (x) adalah titik singgung yang garis singgungnya sejajar dengan x .

Ketika x ∈ - ∞ ; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita mendapatkan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Hitung nilai fungsi yang sesuai

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Oleh karena itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik-titik yang diperlukan dari grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan gambar grafis solusi.

Garis hitam adalah grafik fungsi, titik merah adalah titik singgungnya.

1. Jika garis-garisnya sejajar, koefisien sudutnya sama. Kemudian perlu dicari titik-titik pada grafik fungsi yang kemiringannya sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita peroleh - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ∈ ( - 2 ; + ∞), maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Persamaan pertama tidak memiliki akar, karena merupakan diskriminan kurang dari nol. Mari kita tuliskan itu

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Persamaan lain mempunyai dua akar real

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Mari kita lanjutkan mencari nilai fungsinya. Kami mengerti

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Poin dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik-titik yang garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Menjawab: garis hitam – grafik fungsi, garis merah – grafik y = 8 5 x + 4, garis biru – garis singgung di titik - 1; 4 15, 5; 8 3.

Mungkin terdapat jumlah garis singgung yang tak terhingga untuk suatu fungsi.

Contoh 5

Tuliskan persamaan semua garis singgung fungsi y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 yang letaknya tegak lurus terhadap garis lurus y = - 2 x + 1 2.

Larutan

Untuk menyusun persamaan garis singgung perlu dicari koefisien dan koordinat titik singgung berdasarkan syarat tegak lurus garis. Definisinya sebagai berikut: hasil kali koefisien sudut yang tegak lurus garis lurus sama dengan - 1, yaitu ditulis k x · k ⊥ = - 1. Dari syarat diperoleh koefisien sudut terletak tegak lurus garis dan sama dengan k ⊥ = - 2, maka k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sekarang Anda perlu mencari koordinat titik sentuh. Anda perlu mencari x dan kemudian nilainya untuk fungsi tertentu. Perhatikan dari arti geometri turunan pada suatu titik
x 0 kita peroleh bahwa k x = y"(x 0). Dari persamaan ini kita cari nilai x untuk titik-titik singgungnya.

Kami mengerti

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ini persamaan trigonometri akan digunakan untuk menghitung ordinat titik singgung.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z adalah himpunan bilangan bulat.

x titik kontak telah ditemukan. Sekarang Anda perlu melanjutkan mencari nilai y:

kamu 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3

Dari sini kita peroleh bahwa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 adalah titik singgungnya.

Menjawab: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Untuk representasi visual, pertimbangkan fungsi dan garis singgung pada garis koordinat.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa fungsi tersebut terletak pada interval [ - 10 ; 10 ], dimana garis hitam adalah grafik fungsi, garis biru adalah garis singgung yang terletak tegak lurus terhadap garis tertentu yang berbentuk y = - 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuh.

Persamaan kanonik kurva orde ke-2 bukanlah fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka disusun menurut skema yang diketahui.

Bersinggungan dengan lingkaran

Menentukan lingkaran yang berpusat di titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan jari-jari R, terapkan rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai gabungan dua fungsi:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama terletak di atas, dan fungsi kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Untuk menyusun persamaan lingkaran di titik x 0; y 0 , yang terletak pada setengah lingkaran atas atau bawah, carilah persamaan grafik fungsi yang berbentuk y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r atau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.

Ketika di titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; garis singgung y c e n t e r - R dapat diberikan dengan persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan di titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan sejajar dengan oy, maka diperoleh persamaan berbentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .

Bersinggungan dengan elips

Jika elips mempunyai pusat di x pusat; y c e nter dengan titik tengah a dan b, maka dapat ditentukan dengan persamaan x - x c e nter 2 a 2 + y - y c e nter 2 b 2 = 1.

Elips dan lingkaran dapat dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi yaitu setengah elips atas dan setengah elips bawah. Lalu kita mendapatkannya

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jika garis singgung terletak pada titik sudut elips, maka garis singgung tersebut sejajar terhadap x atau terhadap y. Di bawah ini, untuk lebih jelasnya, perhatikan gambarnya.

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis singgung elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 di titik-titik yang nilai x sama dengan x = 2.

Larutan

Kita perlu mencari titik singgung yang sesuai dengan nilai x = 2. Kita substitusikan ke dalam persamaan elips yang ada dan temukan persamaan tersebut

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Lalu 2 ; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik singgung setengah elips atas dan bawah.

Mari kita lanjutkan mencari dan menyelesaikan persamaan elips terhadap y. Kami mengerti

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 tahun = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jelasnya, setengah elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan setengah elips bawah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Mari kita terapkan algoritma standar untuk membuat persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Mari kita tulis persamaan garis singgung pertama di titik 2; 5 3 2 + 5 akan terlihat seperti

y" = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ kamu = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Kita temukan persamaan garis singgung kedua dengan nilai di titik tersebut
2 ; - 5 3 2 + 5 berbentuk

y" = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + kamu 0 ⇔ kamu = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Secara grafis, garis singgung ditetapkan sebagai berikut:

Bersinggungan dengan hiperbola

Ketika hiperbola mempunyai pusat di x pusat; y pusat dan simpul x pusat + α ; y c e n t e r dan x c e n t e r - α ; y c e nter , pertidaksamaan x - x c e nter 2 α 2 - y - y c e nter 2 b 2 = 1 terjadi, jika dengan simpul x c e nter ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b , maka ditentukan menggunakan pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola dapat direpresentasikan sebagai dua fungsi gabungan dari bentuk tersebut

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r atau y = ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Dalam kasus pertama kita mendapatkan bahwa garis singgungnya sejajar dengan y, dan dalam kasus kedua garis singgungnya sejajar dengan x.

Oleh karena itu, untuk mencari persamaan garis singgung suatu hiperbola, perlu diketahui fungsi titik singgung tersebut. Untuk menentukannya, perlu dilakukan substitusi ke dalam persamaan dan diperiksa identitasnya.

Contoh 7

Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 di titik 7; - 3 3 - 3 .

Larutan

Catatan solusi untuk mencari hiperbola perlu diubah menggunakan 2 fungsi. Kami mengerti

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 dan y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Penting untuk mengidentifikasi fungsi mana yang dimiliki oleh titik tertentu dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .

Tentunya untuk memeriksa fungsi pertama diperlukan y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik tersebut tidak termasuk dalam grafik, karena kesetaraan tidak berlaku.

Untuk fungsi kedua kita mendapatkan y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, artinya titik tersebut termasuk dalam grafik yang diberikan. Dari sini Anda akan menemukan kemiringannya.

Kami mengerti

y" = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Menjawab: persamaan tangen dapat direpresentasikan sebagai

kamu = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Digambarkan dengan jelas seperti ini:

Bersinggungan dengan parabola

Untuk membuat persamaan garis singgung parabola y = a x 2 + b x + c di titik x 0, y (x 0), harus menggunakan algoritma standar, maka persamaan tersebut akan berbentuk y = y” (x 0) x - x 0 + y ( x 0). Garis singgung pada titik tersebut sejajar dengan x.

Anda harus mendefinisikan parabola x = a y 2 + b y + c sebagai gabungan dua fungsi. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan y. Kami mengerti

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Mari kita gambarkan secara grafis sebagai:

Untuk mengetahui apakah suatu titik x 0, y (x 0) termasuk dalam suatu fungsi, lanjutkan secara perlahan sesuai dengan algoritma standar. Garis singgung tersebut akan sejajar dengan oy relatif terhadap parabola.

Contoh 8

Tuliskan persamaan garis singgung grafik x - 2 y 2 - 5 y + 3 jika sudut singgungnya adalah 150°.

Larutan

Kita memulai penyelesaiannya dengan merepresentasikan parabola sebagai dua fungsi. Kami mengerti

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4

Nilai kemiringan sama dengan nilai turunan di titik x 0 fungsi tersebut dan sama dengan garis singgung sudut kemiringan.

Kita mendapatkan:

k x = y" (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Dari sini kita menentukan nilai x untuk titik kontak.

Fungsi pertama akan ditulis sebagai

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Jelasnya, tidak ada akar real, karena kita mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahwa tidak ada garis singgung dengan sudut 150° untuk fungsi seperti itu.

Fungsi kedua akan ditulis sebagai

y" = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Kita mengetahui bahwa titik kontaknya adalah 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Mari kita gambarkan secara grafis seperti ini:

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter