Jenis-jenis ketidaksetaraan utama disajikan, termasuk ketidaksetaraan Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Sifat-sifat ketidaksetaraan dan tindakan terhadapnya dipertimbangkan. Metode dasar untuk menyelesaikan kesenjangan diberikan.

Rumus ketidaksetaraan dasar

Rumus kesenjangan universal

Ketimpangan universal dipenuhi untuk setiap nilai besaran yang termasuk di dalamnya. Jenis-jenis utama kesenjangan universal tercantum di bawah ini.

1) | ab | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |dan |

2) |sebuah| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |sebuah| - |b| |

3)
Kesetaraan hanya terjadi jika a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky

Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika α a k = β b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa α, β, |α| + |β| > 0 .

5) ketidaksetaraan Minkowski, untuk p ≥ 1

Rumus ketidaksetaraan yang dapat dipenuhi

Ketimpangan yang dapat dipuaskan dipenuhi ketika nilai-nilai tertentu jumlah yang termasuk di dalamnya.

1) Ketimpangan Bernoulli:
.
Lebih lanjut pandangan umum:
,
dimana , bilangan-bilangan yang bertanda sama dan lebih besar dari -1 : .
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti ketidaksetaraan dan lemma Bernoulli".

2)
untuk saya ≥ 0 (saya = 1, 2, ..., n) .

3) Ketimpangan Chebyshev
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Ketimpangan Chebyshev yang digeneralisasi
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n dan k alami
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Sifat-sifat ketidaksetaraan

Sifat-sifat pertidaksamaan adalah seperangkat aturan yang dipenuhi ketika mereka diubah. Di bawah ini adalah sifat-sifat pertidaksamaan. Dapat dipahami bahwa pertidaksamaan awal dipenuhi untuk nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) yang termasuk dalam interval tertentu.

1) Jika urutan sisi-sisinya berubah, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya.
Jika x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 2 ≥ x 1.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 2 ≤ x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1 .

2) Satu persamaan setara dengan dua ketidaksetaraan lemah tanda yang berbeda.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2, maka x 1 = x 2.

3) Sifat transitivitas
Jika x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2 ≤ x 3, maka x 1 ≤ x 3.

4) Bilangan yang sama dapat dijumlahkan (dikurangi) pada kedua ruas pertidaksamaan.
Jika x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.

5) Apabila terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang tandanya searah, maka ruas kiri dan ruas kanannya dapat dijumlahkan.
Jika x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, maka x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pada pertidaksamaan asal terdapat tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka penjumlahan tersebut menghasilkan pertidaksamaan tegas.

6) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif.
Jika x 1< x 2 и A >0, lalu A x 1< A · x 2 .
Jika x 1 ≤ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≤ A x 2.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≥ A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A · x 1 > A · x 2.

7) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan angka negatif. Dalam hal ini tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi sebaliknya.
Jika x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >Sebuah x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jika x 1 ≥ x 2 dan A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jika x 1 > x 2 dan A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jika terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif, bertanda searah, maka ruas kiri dan kanannya dapat dikalikan.
Jika x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 maka x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pertidaksamaan asal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka perkalian menghasilkan pertidaksamaan tegas.

9) Misalkan f(x) adalah fungsi yang meningkat secara monoton. Artinya, untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Kemudian fungsi ini dapat diterapkan pada kedua sisi pertidaksamaan, yang tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan tersebut.
Jika x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2).

10) Misalkan f(x) merupakan fungsi menurun monotonik, yaitu untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2 maka f(x 1)< f(x 2) .

Metode untuk mengatasi kesenjangan

Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval

Metode interval dapat diterapkan jika pertidaksamaan mencakup satu variabel, yang kita nyatakan sebagai x, dan berbentuk:
f(x) > 0
di mana f(x) - fungsi berkelanjutan, memiliki jumlah titik diskontinuitas yang terbatas. Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja: >, ≥,<, ≤ .

Metode intervalnya adalah sebagai berikut.

1) Temukan domain definisi fungsi f(x) dan tandai dengan interval pada sumbu bilangan.

2) Temukan titik diskontinuitas fungsi f(x). Misalnya, jika ini adalah pecahan, maka kita mencari titik di mana penyebutnya menjadi nol. Kami menandai titik-titik ini pada sumbu bilangan.

3) Selesaikan persamaannya
f(x) = 0 .
Kami menandai akar persamaan ini pada sumbu bilangan.

4) Akibatnya, sumbu bilangan akan terbagi menjadi interval (segmen) berdasarkan titik. Dalam setiap interval yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih titik mana pun dan pada titik ini kami menghitung nilai fungsinya. Jika nilai ini lebih besar dari nol, maka kita beri tanda “+” di atas ruas (interval). Jika nilainya kurang dari nol, maka kita beri tanda “-” di atas ruas (interval).

5) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) > 0, maka pilih interval yang bertanda “+”. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggabungkan interval-interval tersebut, tanpa batas-batasnya.
Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≥ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0. Artinya, beberapa interval mungkin memiliki batas tertutup (batas tersebut termasuk dalam interval). bagian lainnya mungkin memiliki batas terbuka (batas tersebut tidak termasuk dalam interval).
Demikian pula jika pertidaksamaan berbentuk: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≤ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0.

Memecahkan pertidaksamaan menggunakan propertinya

Metode ini dapat diterapkan pada ketimpangan dengan kompleksitas apa pun. Ini terdiri dari penerapan sifat-sifat (disajikan di atas) untuk mengurangi pertidaksamaan ke bentuk yang lebih sederhana dan mendapatkan solusi. Sangat mungkin bahwa hal ini tidak hanya akan mengakibatkan satu hal, namun sebuah sistem kesenjangan. Ini adalah metode universal. Hal ini berlaku untuk semua kesenjangan.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Salah satu topik yang memerlukan perhatian dan ketekunan maksimal dari siswa adalah penyelesaian kesenjangan. Sangat mirip dengan persamaan dan pada saat yang sama sangat berbeda dari persamaan tersebut. Karena penyelesaiannya memerlukan pendekatan khusus.

Sifat-sifat yang diperlukan untuk menemukan jawabannya

Semuanya digunakan untuk mengganti entri yang sudah ada dengan entri yang setara. Kebanyakan dari mereka serupa dengan apa yang ada dalam persamaan. Namun ada juga perbedaan.

• Suatu fungsi yang didefinisikan dalam ODZ, atau bilangan apa pun, dapat dijumlahkan pada kedua ruas pertidaksamaan awal.
• Demikian pula, perkalian dapat dilakukan, tetapi hanya dengan fungsi atau bilangan positif.
• Jika tindakan ini dilakukan dengan fungsi atau bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan harus diganti dengan kebalikannya.
• Fungsi yang non-negatif dapat dipangkatkan positif.

Terkadang penyelesaian kesenjangan disertai dengan tindakan yang memberikan jawaban yang tidak relevan. Mereka perlu dikecualikan dengan membandingkan daerah ODZ dan banyak solusi.

Menggunakan Metode Interval

Esensinya adalah mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan yang ruas kanannya ada nol.

1. Tentukan area di mana nilai variabel yang diizinkan, yaitu ODZ, berada.
2. Ubah pertidaksamaan tersebut menggunakan operasi matematika sehingga ruas kanannya bernilai nol.
3. Gantikan tanda pertidaksamaan dengan “=” dan selesaikan persamaan yang sesuai.
4. Pada sumbu numerik, tandai semua jawaban yang diperoleh selama penyelesaian, serta interval OD. Dalam kasus pertidaksamaan yang tegas, titik-titik tersebut harus digambarkan tertusuk. Jika ada tanda sama dengan, maka harus dicat ulang.
5. Tentukan tanda fungsi awal pada setiap interval yang diperoleh dari titik-titik ODZ dan jawaban yang membaginya. Jika tanda suatu fungsi tidak berubah ketika melewati suatu titik, maka fungsi tersebut termasuk dalam jawabannya. Jika tidak, maka dikecualikan.
6. Titik batas ODZ perlu dicek lebih lanjut baru kemudian dimasukkan atau tidak ke dalam jawaban.
7. Jawaban yang dihasilkan harus ditulis dalam bentuk himpunan gabungan.

Sedikit tentang kesenjangan ganda

Mereka menggunakan dua tanda pertidaksamaan sekaligus. Artinya, beberapa fungsi dibatasi oleh kondisi dua kali sekaligus. Pertidaksamaan tersebut diselesaikan sebagai sistem dua, ketika pertidaksamaan asli dibagi menjadi beberapa bagian. Dan dalam metode interval, jawaban dari penyelesaian kedua persamaan ditunjukkan.

Untuk mengatasinya, diperbolehkan juga menggunakan properti yang disebutkan di atas. Dengan bantuan mereka, akan lebih mudah untuk mengurangi ketimpangan hingga nol.

Bagaimana dengan pertidaksamaan yang mempunyai modulus?

Dalam hal ini, penyelesaian pertidaksamaan menggunakan sifat-sifat berikut, dan sifat-sifat tersebut valid untuk nilai positif “a”.

Jika "x" diperlukan ekspresi aljabar, maka pengganti berikut ini valid:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a sampai x< -a или х >A.

Jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka rumusnya juga benar, hanya saja di dalamnya, selain tanda besar atau kecil, muncul “=”.

Bagaimana cara mengatasi sistem kesenjangan?

Pengetahuan ini akan diperlukan jika tugas seperti itu diberikan atau ada catatan pertidaksamaan ganda atau modul muncul di catatan. Dalam situasi seperti ini, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam catatan. Jika tidak ada angka seperti itu, maka sistem tidak memiliki solusi.

Rencana yang digunakan untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan:

• selesaikan masing-masing secara terpisah;
• gambarkan semua interval pada sumbu bilangan dan tentukan perpotongannya;
• tuliskan tanggapan sistem, yang merupakan kombinasi dari apa yang terjadi di paragraf kedua.

Apa yang harus dilakukan dengan pertidaksamaan pecahan?

Karena penyelesaiannya mungkin memerlukan perubahan tanda pertidaksamaan, Anda harus mengikuti semua poin rencana dengan sangat hati-hati dan cermat. Jika tidak, Anda mungkin mendapatkan jawaban sebaliknya.

Penyelesaian pertidaksamaan pecahan juga menggunakan metode interval. Dan rencana aksinya adalah seperti ini:

• Dengan menggunakan sifat-sifat yang dijelaskan, berikan pecahan sedemikian rupa sehingga hanya tersisa nol di sebelah kanan tanda.
• Gantikan pertidaksamaan tersebut dengan “=” dan tentukan titik-titik dimana fungsinya akan sama dengan nol.
• Tandai mereka pada sumbu koordinat. Dalam hal ini, angka-angka yang diperoleh dari hasil perhitungan pada penyebutnya akan selalu dicoret. Semua yang lain didasarkan pada kondisi ketimpangan.
• Tentukan interval keteguhan tanda.
• Sebagai tanggapan, tuliskan gabungan interval-interval yang tandanya sesuai dengan pertidaksamaan awal.

Situasi ketika irasionalitas muncul dalam ketimpangan

Dengan kata lain, ada akar matematika dalam notasi tersebut. Sejak di kursus aljabar sekolah kebanyakan tugasnya adalah untuk akar kuadrat, maka inilah yang akan dipertimbangkan.

Larutan kesenjangan yang tidak rasional bermuara pada mendapatkan sistem dua atau tiga yang setara dengan yang asli.

Ketimpangan asli	kondisi	sistem yang setara
√ n(x)< m(х)	m(x) kurang dari atau sama dengan 0	tidak ada solusi
	m(x) lebih besar dari 0	n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 m(x) kurang dari 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) kurang dari 0	tidak ada solusi
	m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0	n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 m(x) kurang dari 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) lebih besar dari atau sama dengan 0 n(x) kurang dari m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) lebih besar dari 0 m(x) kurang dari 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) lebih besar dari 0 m(x) lebih besar dari 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) lebih besar dari 0
		n(x) sama dengan 0 m(x) - apa saja
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) lebih besar dari 0
		n(x) sama dengan 0 m(x) - apa saja

Contoh penyelesaian berbagai jenis ketidaksetaraan

Untuk menambah kejelasan teori tentang penyelesaian pertidaksamaan, contoh diberikan di bawah ini.

Contoh pertama. 2x - 4 > 1 + x

Solusi: Untuk menentukan ADI, yang harus Anda lakukan hanyalah mencermati ketimpangan. Itu terbentuk dari fungsi linier, oleh karena itu ditentukan untuk semua nilai variabel.

Sekarang Anda perlu mengurangi (1 + x) dari kedua sisi pertidaksamaan. Ternyata: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Setelah tanda kurung dibuka dan suku-suku sejenisnya diberi, maka pertidaksamaannya berbentuk sebagai berikut: x - 5 > 0.

Menyamakannya dengan nol, mudah untuk menemukan solusinya: x = 5.

Sekarang titik dengan angka 5 ini harus ditandai pada sinar koordinat. Kemudian periksa tanda-tanda fungsi aslinya. Pada interval pertama dari minus tak terhingga hingga 5, Anda dapat mengambil angka 0 dan mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan yang diperoleh setelah transformasi. Setelah dihitung ternyata -7 >0. di bawah busur interval Anda perlu menandatangani tanda minus.

Pada interval selanjutnya dari 5 sampai tak terhingga, kamu bisa memilih angka 6. Maka ternyata 1 > 0. Ada tanda “+” di bawah busur. Interval kedua ini akan menjadi jawaban atas pertidaksamaan tersebut.

Jawaban: x terletak pada interval (5; ∞).

Contoh kedua. Diperlukan penyelesaian sistem dua persamaan: 3x + 3 ≤ 2x + 1 dan 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Larutan. VA dari pertidaksamaan ini juga terletak pada daerah bilangan apa pun, karena diberikan fungsi linier.

Pertidaksamaan kedua berbentuk persamaan berikut: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Setelah transformasi: -x - 4 =0. Ini menghasilkan nilai variabel sama dengan -4.

Kedua angka ini perlu ditandai pada sumbu, yang menggambarkan interval. Karena pertidaksamaannya tidak ketat, semua titik perlu diarsir. Interval pertama adalah dari minus tak terhingga hingga -4. Biarkan angka -5 yang dipilih. Pertidaksamaan pertama bernilai -3, dan pertidaksamaan kedua bernilai 1. Artinya interval tersebut tidak termasuk dalam jawaban.

Interval kedua adalah dari -4 hingga -2. Anda dapat memilih angka -3 dan mensubstitusikannya ke kedua pertidaksamaan tersebut. Pada yang pertama dan kedua, nilainya -1. Artinya di bawah busur “-”.

Pada interval terakhir dari -2 hingga tak terhingga, bilangan terbaik adalah nol. Anda perlu menggantinya dan menemukan nilai pertidaksamaannya. Yang pertama menghasilkan bilangan positif, dan yang kedua menghasilkan nol. Kesenjangan ini juga harus dihilangkan dari jawabannya.

Dari ketiga interval tersebut, hanya satu yang merupakan solusi pertidaksamaan.

Jawaban: x milik [-4; -2].

Contoh ketiga. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Larutan. Langkah pertama adalah menentukan titik hilangnya fungsi-fungsi tersebut. Untuk yang kiri angkanya adalah 2, untuk yang kanan - 1. Mereka perlu ditandai pada balok dan interval keteguhan tanda harus ditentukan.

Pada interval pertama, dari minus tak terhingga hingga 1, fungsi di ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif, dan fungsi di ruas kanan bernilai negatif. Di bawah busur Anda perlu menulis dua tanda “+” dan “-” berdampingan.

Interval berikutnya adalah dari 1 hingga 2. Pada interval tersebut, kedua fungsi bernilai positif. Artinya ada dua nilai tambah di bawah busur.

Interval ketiga dari 2 hingga tak terhingga akan memberikan hasil sebagai berikut: fungsi kiri- negatif, benar - positif.

Dengan mempertimbangkan tanda-tanda yang dihasilkan, Anda perlu menghitung nilai pertidaksamaan untuk semua interval.

Persamaan pertama menghasilkan pertidaksamaan sebagai berikut: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus sebelum dua pada pertidaksamaan kedua disebabkan oleh fakta bahwa fungsi ini negatif.

Setelah transformasi, pertidaksamaannya terlihat seperti ini: x > 0. Ini langsung memberikan nilai variabel. Artinya, dari interval ini hanya interval 0 sampai 1 yang akan terjawab.

Yang kedua: 2 - x > 2 (x - 1). Transformasi tersebut menghasilkan pertidaksamaan berikut: -3x + 4 lebih besar dari nol. Nolnya adalah x = 4/3. Dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan, ternyata x harus lebih kecil dari bilangan tersebut. Artinya interval ini dikurangi menjadi interval 1 hingga 4/3.

Persamaan terakhir memberikan pertidaksamaan berikut: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformasinya menghasilkan hal berikut: -x > 0. Artinya, persamaan tersebut benar jika x lebih kecil dari nol. Artinya pada interval yang diperlukan pertidaksamaan tersebut tidak memberikan solusi.

Pada dua interval pertama, angka pembatasnya ternyata 1. Perlu diperiksa secara terpisah. Artinya, substitusikan ke pertidaksamaan aslinya. Ternyata: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Perhitungannya menunjukkan 1 lebih besar dari 0. Pernyataan tersebut benar, sehingga disertakan satu dalam jawabannya.

Jawaban: x terletak pada interval (0; 4/3).

Membandingkan besaran dan besaran ketika memecahkan masalah praktis telah diperlukan sejak zaman kuno. Pada saat yang sama, muncul kata-kata seperti lebih dan lebih kecil, lebih tinggi dan lebih rendah, lebih ringan dan lebih berat, lebih tenang dan lebih keras, lebih murah dan lebih mahal, dll., yang menunjukkan hasil perbandingan besaran homogen.

Konsep lebih dan kurang muncul sehubungan dengan menghitung benda, mengukur dan membandingkan besaran. Misalnya, ahli matematika Yunani Kuno mengetahui bahwa sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah kedua sisi lainnya dan bahwa sisi yang lebih besar terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar dalam sebuah segitiga. Archimedes, ketika menghitung keliling, menetapkan bahwa keliling suatu lingkaran sama dengan tiga kali diameternya dengan kelebihan yang kurang dari sepertujuh diameternya, tetapi lebih dari sepuluh tujuh puluh kali diameternya.

Tuliskan secara simbolis hubungan bilangan dan besaran dengan menggunakan tanda > dan b. Catatan di mana dua angka dihubungkan dengan salah satu tanda: > (lebih besar dari), Anda juga menemukan pertidaksamaan numerik dalam kelas junior. Anda tahu bahwa kesenjangan bisa saja benar, bisa juga salah. Misalnya, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) adalah pertidaksamaan numerik benar, 0,23 > 0,235 adalah pertidaksamaan numerik salah.

Ketimpangan yang melibatkan hal yang tidak diketahui mungkin benar untuk beberapa nilai yang tidak diketahui dan salah untuk nilai lainnya. Misalnya, pertidaksamaan 2x+1>5 benar jika x = 3, tetapi tidak benar jika x = -3. Untuk pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui, Anda dapat menetapkan tugas: menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Masalah penyelesaian pertidaksamaan dalam praktiknya diajukan dan diselesaikan tidak kalah seringnya dengan masalah penyelesaian persamaan. Misalnya, banyak masalah ekonomi yang disebabkan oleh studi dan solusi sistem kesenjangan linier. Di banyak cabang matematika, pertidaksamaan lebih umum terjadi dibandingkan persamaan.

Beberapa kesenjangan menjadi satu-satunya bantu, memungkinkan Anda membuktikan atau menyangkal keberadaan objek tertentu, misalnya akar persamaan.

Ketimpangan numerik

Bisakah Anda membandingkan bilangan bulat? desimal. Tahukah Anda aturan perbandingan? pecahan biasa dengan penyebut yang sama tetapi pembilangnya berbeda; dengan pembilang yang sama, tapi penyebut yang berbeda. Di sini Anda akan belajar cara membandingkan dua bilangan dengan mencari tanda selisihnya.

Membandingkan angka banyak digunakan dalam praktik. Misalnya, seorang ekonom membandingkan indikator yang direncanakan dengan indikator aktual, seorang dokter membandingkan suhu pasien dengan suhu normal, seorang tukang bubut membandingkan dimensi bagian mesin dengan standar. Dalam semua kasus tersebut, beberapa angka dibandingkan. Akibat perbandingan angka, timbul ketidaksetaraan numerik.

Definisi. Nomor a nomor lebih banyak b, jika perbedaan a-b positif. Nomor a angka yang lebih sedikit b, jika selisih a-b negatif.

Jika a lebih besar dari b, maka ditulis: a > b; jika a lebih kecil dari b, maka ditulis: a Jadi, pertidaksamaan a > b berarti selisih a - b positif, yaitu. a - b > 0. Pertidaksamaan a Untuk dua bilangan a dan b dari tiga relasi berikut a > b, a = b, a Membandingkan bilangan a dan b berarti mencari tanda yang mana >, = atau Dalil. Jika a > b dan b > c, maka a > c.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahkan dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.
Konsekuensi. Suku apa pun dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku tersebut ke kebalikannya.

Dalil. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.
Konsekuensi. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut tidak berubah. Jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi sebaliknya.

Anda tahu bahwa persamaan numerik dapat dijumlahkan dan dikalikan suku demi suku. Selanjutnya, Anda akan mempelajari cara melakukan tindakan serupa dengan ketidaksetaraan. Kemampuan menjumlahkan dan mengalikan pertidaksamaan suku demi suku sering digunakan dalam praktik. Tindakan ini membantu memecahkan masalah dalam mengevaluasi dan membandingkan makna ekspresi.

Saat menyelesaikan berbagai masalah, sering kali kita perlu menjumlahkan atau mengalikan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan suku demi suku. Pada saat yang sama, kadang-kadang dikatakan bahwa kesenjangan bertambah atau berlipat ganda. Misalnya, jika seorang turis berjalan lebih dari 20 km pada hari pertama, dan lebih dari 25 km pada hari kedua, maka kita dapat mengatakan bahwa dalam dua hari ia berjalan lebih dari 45 km. Demikian pula jika panjang suatu persegi panjang kurang dari 13 cm dan lebarnya kurang dari 5 cm, maka luas persegi panjang tersebut dapat dikatakan kurang dari 65 cm2.

Saat mempertimbangkan contoh-contoh ini, berikut ini digunakan: teorema penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan:

Dalil. Bila pertidaksamaan bertanda sama dijumlahkan, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Dalil. Apabila pertidaksamaan bertanda sama dikalikan, yang sisi kiri dan kanannya positif, diperoleh pertidaksamaan bertanda sama: jika a > b, c > d dan a, b, c, d bilangan positif, maka ac > bd.

Pertidaksamaan yang bertanda > (lebih besar dari) dan 1/2, 3/4 b, c disertai tanda pertidaksamaan tegas > dan Dengan cara yang sama, pertidaksamaan \(a \geq b \) berarti bilangan a adalah lebih besar dari atau sama dengan b, yaitu .dan tidak kurang b.

Pertidaksamaan yang mengandung tanda \(\geq \) atau tanda \(\leq \) disebut tidak ketat. Misalnya, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) bukanlah pertidaksamaan tegas.

Semua sifat pertidaksamaan tegas juga berlaku untuk pertidaksamaan tidak tegas. Apalagi jika untuk pertidaksamaan tegas tanda > dianggap berlawanan dan diketahui bahwa untuk menyelesaikan sejumlah permasalahan terapan harus dibuat model matematika berupa persamaan atau sistem persamaan. Selanjutnya Anda akan mengetahuinya model matematika Untuk menyelesaikan banyak masalah, terdapat ketidaksetaraan dengan hal-hal yang tidak diketahui. Konsep penyelesaian pertidaksamaan akan diperkenalkan dan cara menguji apakah suatu bilangan merupakan solusi pertidaksamaan tertentu akan ditampilkan.

Ketimpangan bentuk
\(ax > b, \quad ax yang a dan b diberi bilangan, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui.

Definisi. Penyelesaian pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada penyelesaian sama sekali.

Anda menyelesaikan persamaan dengan mereduksinya menjadi persamaan paling sederhana. Demikian pula, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, seseorang mencoba mereduksinya menggunakan sifat-sifat menjadi bentuk pertidaksamaan sederhana.

Menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel

Ketimpangan bentuk
\(ax^2+bx+c >0 \) dan \(ax^2+bx+c dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan dan \(a \neq 0 \), disebut pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel.

Solusi terhadap ketimpangan
\(ax^2+bx+c >0 \) atau \(ax^2+bx+c \) dapat dianggap sebagai interval pencarian di mana fungsi \(y= ax^2+bx+c \) bernilai positif atau negatif nilai Untuk melakukan ini, cukup menganalisis bagaimana grafik fungsi \(y= ax^2+bx+c\) terletak pada bidang koordinat: ke mana cabang-cabang parabola diarahkan - ke atas atau ke bawah, apakah parabola memotong sumbu x dan jika iya, maka di titik berapa.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan derajat kedua dengan satu variabel:
1) carilah diskriminan trinomial persegi \(ax^2+bx+c\) dan cari tahu apakah trinomial tersebut mempunyai akar;
2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandai pada sumbu x dan melalui titik-titik yang ditandai gambarlah parabola skema, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas untuk a > 0 atau ke bawah untuk a 0 atau ke bawah untuk a 3) tentukan interval pada sumbu x yang titik-titik parabolanya terletak di atas sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan \(ax^2+bx+c >0\)) atau di bawah sumbu x (jika menyelesaikan pertidaksamaan ketidaksamaan
\(ax^2+bx+c Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval

Pertimbangkan fungsinya
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domain dari fungsi ini adalah himpunan semua bilangan. Angka nol dari fungsi tersebut adalah angka -2, 3, 5. Angka tersebut membagi domain definisi fungsi menjadi interval \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) dan \( (5; +\infty)\)

Mari kita cari tahu apa saja tanda-tanda fungsi ini pada setiap interval yang ditunjukkan.

Ekspresi (x + 2)(x - 3)(x - 5) adalah hasil kali tiga faktor. Tanda masing-masing faktor dalam interval yang dipertimbangkan ditunjukkan dalam tabel:

Secara umum, biarkan fungsinya diberikan oleh rumus
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
dimana x adalah variabel, dan x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama. Bilangan x 1 , x 2 , ..., x n adalah nol dari fungsi tersebut. Dalam setiap interval di mana domain definisi dibagi dengan nol dari suatu fungsi, tanda dari fungsi tersebut dipertahankan, dan ketika melewati nol, tandanya berubah.

Properti ini digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) dimana x 1, x 2, ..., x n adalah bilangan-bilangan yang tidak sama

Metode yang dipertimbangkan menyelesaikan pertidaksamaan disebut metode interval.

Mari kita berikan contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval.

Selesaikan ketimpangan:

\(x(0.5-x)(x+4) Tentu saja, nol dari fungsi f(x) = x(0.5-x)(x+4) adalah titik \(x=0, \; x= \ frak(1)(2) , \; x=-4 \)

Kami memplot angka nol dari fungsi tersebut pada sumbu bilangan dan menghitung tanda pada setiap interval:

Kami memilih interval di mana fungsinya kurang dari atau sama dengan nol dan menuliskan jawabannya.

Menjawab:
\(x \di \kiri(-\infty; \; 1 \kanan) \cangkir \kiri[ 4; \; +\infty \kanan) \)

Apa yang perlu Anda ketahui tentang ikon ketimpangan? Ketimpangan dengan ikon lagi (> ), atau lebih sedikit (< ) disebut ketat. Dengan ikon lebih atau sama (≥ ), kurang atau sama (≤ ) disebut tidak tegas. Ikon tidak sama (≠ ) menonjol, tetapi Anda juga harus selalu memecahkan contoh dengan ikon ini. Dan kami akan memutuskan.)

Ikon itu sendiri tidak banyak berpengaruh pada proses solusi. Namun di akhir pengambilan keputusan, saat memilih jawaban akhir, makna ikon tersebut muncul dengan kekuatan penuh! Inilah yang akan kita lihat dalam contoh di bawah. Ada beberapa lelucon di sana...

Ketimpangan, seperti halnya kesetaraan, memang ada setia dan tidak setia. Semuanya sederhana di sini, tidak ada trik. Katakanlah 5 > 2 adalah pertidaksamaan yang sebenarnya. 5 < 2 - salah.

Persiapan ini berguna untuk mengatasi kesenjangan apapun dan sederhana sampai-sampai ngeri.) Anda hanya perlu melakukan dua (hanya dua!) tindakan dasar dengan benar. Tindakan-tindakan ini sudah biasa bagi semua orang. Namun ciri khasnya, kesalahan dalam tindakan tersebut merupakan kesalahan utama dalam menyelesaikan kesenjangan ya... Oleh karena itu, tindakan tersebut harus diulangi. Tindakan ini disebut sebagai berikut:

Transformasi kesenjangan yang identik.

Transformasi persamaan identik sangat mirip dengan transformasi persamaan identik. Sebenarnya inilah masalah utamanya. Perbedaannya melampaui kepala Anda dan... ini dia.) Oleh karena itu, saya akan menyoroti perbedaan-perbedaan ini secara khusus. Jadi, transformasi pertidaksamaan identik pertama:

1. Bilangan atau persamaan yang sama dapat dijumlahkan (dikurangi) pada kedua ruas pertidaksamaan. Setiap. Ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan.

Dalam prakteknya, aturan ini digunakan sebagai pemindahan suku dari ruas kiri pertidaksamaan ke ruas kanan (dan sebaliknya) dengan perubahan tanda. Dengan perubahan tanda suku, bukan pertidaksamaan! Aturan satu-satu sama dengan aturan persamaan. Namun transformasi identik dalam pertidaksamaan berikut ini berbeda secara signifikan dengan transformasi dalam persamaan. Jadi saya menyorotnya dengan warna merah:

2. Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang samapositifnomor. Untuk apa punpositif Tidak akan berubah.

3. Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang samanegatif nomor. Untuk apa punnegatifnomor. Tanda pertidaksamaan dari iniakan berubah menjadi sebaliknya.

Anda ingat (saya harap...) persamaan itu bisa dikalikan/dibagi dengan apa saja. Dan untuk nomor apa pun, dan untuk ekspresi dengan X. Kalau saja itu tidak nol. Hal ini membuat dia, persamaannya, tidak panas atau dingin.) Tidak berubah. Namun ketimpangan lebih sensitif terhadap perkalian/pembagian.

Contoh nyata untuk kenangan panjang. Mari kita tulis pertidaksamaannya dipertanyakan:

5 > 2

Kalikan kedua ruasnya dengan +3, kita mendapatkan:

15 > 6

Ada keberatan? Tidak ada keberatan.) Dan jika kedua ruas pertidaksamaan awal dikalikan dengan -3, kita mendapatkan:

15 > -6

Dan ini benar-benar bohong.) Benar-benar bohong! Penipuan rakyat! Namun begitu Anda mengubah tanda pertidaksamaan ke tanda sebaliknya, semuanya akan beres:

15 < -6

Saya tidak hanya bersumpah tentang kebohongan dan penipuan.) "Lupa mengganti tanda sama dengan..."- Ini rumah kesalahan dalam menyelesaikan pertidaksamaan. Aturan sepele dan sederhana ini telah menyakiti banyak orang! Yang mana mereka lupa...) Jadi aku bersumpah. Mungkin aku akan mengingatnya...)

Orang yang sangat perhatian akan menyadari bahwa ketimpangan tidak dapat dikalikan dengan ekspresi yang diberi tanda X. Hormati mereka yang penuh perhatian!) Mengapa tidak? Jawabannya sederhana. Kita tidak mengetahui tanda dari ungkapan yang diberi tanda X ini. Bisa positif, negatif... Oleh karena itu, kita tidak mengetahui tanda pertidaksamaan mana yang harus dibubuhkan setelah perkalian. Haruskah saya mengubahnya atau tidak? Tidak dikenal. Tentu saja pembatasan ini (larangan mengalikan/membagi pertidaksamaan dengan ekspresi bertanda x) dapat dielakkan. Jika Anda benar-benar membutuhkannya. Tapi ini adalah topik untuk pelajaran lainnya.

Itu semua adalah transformasi ketidaksetaraan yang identik. Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi untuk apa mereka bekerja setiap kesenjangan Sekarang Anda dapat beralih ke tipe tertentu.

Ketimpangan linier. Solusi, contoh.

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang x pangkat satu dan tidak ada pembagian x. Jenis:

x+3 > 5x-5

Bagaimana kesenjangan tersebut diselesaikan? Mereka sangat mudah dipecahkan! Yaitu: dengan bantuan kita mengurangi ketimpangan linier yang paling membingungkan langsung ke jawabannya. Itulah solusinya. Saya akan menyoroti poin-poin utama dari keputusan tersebut. Untuk menghindari kesalahan bodoh.)

Mari kita selesaikan ketimpangan ini:

x+3 > 5x-5

Kami menyelesaikannya dengan cara yang persis sama seperti persamaan linier. Dengan satu-satunya perbedaan:

Kami dengan cermat memantau tanda pertidaksamaan!

Langkah pertama adalah yang paling umum. Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan... Ini adalah transformasi identik pertama, sederhana dan bebas masalah.) Jangan lupa untuk mengubah tanda suku yang ditransfer.

Tanda pertidaksamaan tetap ada:

x-5x > -5-3

Ini yang serupa.

Tanda pertidaksamaan tetap ada:

4x > -8

Tetap menerapkan transformasi identik terakhir: bagi kedua ruas dengan -4.

Dibagi dengan negatif nomor.

Tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi sebaliknya:

X < 2

Inilah jawabannya.

Beginilah cara semua pertidaksamaan linier diselesaikan.

Perhatian! Poin 2 digambar putih, mis. tidak dicat. Kosong di dalam. Artinya dia tidak termasuk dalam jawaban! Aku sengaja menggambarnya dengan sangat sehat. Titik seperti itu (kosong, tidak sehat!)) dalam matematika disebut titik tertusuk.

Angka-angka yang tersisa pada sumbu dapat ditandai, tetapi tidak perlu. Bilangan asing yang tidak berhubungan dengan pertidaksamaan kita bisa membingungkan ya... Anda hanya perlu mengingat bahwa bilangan tersebut bertambah searah panah, yaitu. nomor 3, 4, 5, dst. adalah ke kanan adalah dua, dan angkanya adalah 1, 0, -1, dst. - ke kiri.

Ketimpangan x < 2 - ketat. X benar-benar kurang dari dua. Jika ragu, pemeriksaannya sederhana. Kita mengganti angka yang meragukan tersebut ke dalam pertidaksamaan dan berpikir: “Dua lebih kecil dari dua? Tepat. Ketimpangan 2 < 2 salah. Dua balasannya tidak tepat.

Apakah ada yang baik-baik saja? Tentu. Kurang... Dan nol itu bagus, dan -17, dan 0,34... Ya, semua angka yang kurang dari dua itu bagus! Dan bahkan 1,9999.... Setidaknya sedikit, tapi kurang!

Jadi mari tandai semua angka ini pada sumbu angka. Bagaimana? Ada pilihan di sini. Opsi satu - bayangan. Kita gerakkan mouse ke atas gambar (atau sentuh gambar di tablet) dan lihat bahwa luas semua x yang memenuhi kondisi x diarsir < 2 . Itu saja.

Mari kita lihat opsi kedua menggunakan contoh kedua:

X ≥ -0,5

Gambarlah sebuah sumbu dan tandai angka -0,5. Seperti ini:

Perhatikan perbedaannya?) Ya, sulit untuk tidak menyadarinya... Titik ini berwarna hitam! Dicat. Artinya -0,5 termasuk dalam jawabannya. Omong-omong, verifikasi di sini mungkin membingungkan seseorang. Mari kita gantikan:

-0,5 ≥ -0,5

Bagaimana? -0,5 tidak lebih dari -0,5! Dan masih ada lagi ikon...

Tidak apa-apa. Dalam ketidaksetaraan tidak ketat, segala sesuatu yang sesuai dengan ikon akan cocok. DAN sama Bagus dan lagi Bagus. Oleh karena itu, -0,5 disertakan dalam respons.

Jadi, kita menandai -0,5 pada sumbu; tetap menandai semua angka yang lebih besar dari -0,5. Kali ini saya menandai area dengan nilai x yang sesuai busur(dari kata busur), daripada membuat bayangan. Kami mengarahkan kursor ke gambar dan melihat busur ini.

Tidak ada perbedaan khusus antara bayangan dan lengannya. Lakukan sesuai perintah guru. Jika tidak ada guru, gambarlah lengkungan. Dalam tugas yang lebih kompleks, bayangan menjadi kurang jelas. Anda bisa bingung.

Beginilah cara ketimpangan linier digambar pada suatu sumbu. Mari kita beralih ke ciri ketimpangan berikutnya.

Menulis jawaban atas kesenjangan.

Persamaannya bagus.) Kita menemukan x dan menuliskan jawabannya, misalnya: x=3. Ada dua bentuk penulisan jawaban pertidaksamaan. Salah satunya berupa ketimpangan final. Bagus untuk kasus sederhana. Misalnya:

X< 2.

Ini adalah jawaban yang lengkap.

Terkadang Anda perlu menuliskan hal yang sama, tetapi dalam bentuk yang berbeda, dengan interval numerik. Kemudian rekamannya mulai terlihat sangat ilmiah):

x ∈ (-∞; 2)

Di bawah ikon ∈ kata itu tersembunyi "milik".

Entrinya berbunyi seperti ini: x termasuk dalam interval dari minus tak terhingga hingga dua tidak termasuk. Cukup logis. X dapat berupa bilangan apa pun dari semua bilangan yang mungkin, mulai dari minus tak terhingga hingga dua. Tidak mungkin ada tanda X ganda, seperti yang dikatakan oleh kata tersebut kepada kita "tidak termasuk".

Dan di mana jawabannya jelas itu "tidak termasuk"? Fakta ini dicatat dalam jawabannya bulat tanda kurung tepat setelah keduanya. Jika keduanya disertakan, braketnya akan menjadi persegi. Ini dia:]. Contoh berikut menggunakan tanda kurung seperti itu.

Mari kita tuliskan jawabannya: x ≥ -0,5 pada interval:

x ∈ [-0,5; +∞)

Membaca: x termasuk dalam interval dari minus 0,5, termasuk, hingga plus tak terhingga.

Infinity tidak akan pernah bisa dihidupkan. Itu bukan angka, itu simbol. Oleh karena itu, dalam notasi seperti itu, tak terhingga selalu berdekatan dengan tanda kurung.

Bentuk pencatatan ini cocok untuk jawaban kompleks yang terdiri dari beberapa spasi. Tapi - hanya untuk jawaban akhir. Pada hasil antara yang diharapkan penyelesaian lebih lanjut, sebaiknya menggunakan bentuk biasa, berupa pertidaksamaan sederhana. Kami akan membahas ini dalam topik yang relevan.

Tugas populer dengan ketidaksetaraan.

Ketimpangan linier itu sendiri sederhana saja. Oleh karena itu, tugas seringkali menjadi lebih sulit. Jadi itu perlu untuk berpikir. Ini, jika Anda tidak terbiasa, sangat tidak menyenangkan.) Namun berguna. Saya akan menunjukkan contoh tugas tersebut. Bukan untuk Anda mempelajarinya, itu tidak perlu. Dan agar tidak takut ketika bertemu dengan contoh seperti itu. Coba pikirkan sebentar - dan ini sederhana!)

1. Temukan dua solusi dari pertidaksamaan 3x - 3< 0

Jika tidak begitu jelas apa yang harus dilakukan, ingatlah aturan utama matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang Anda perlukan, lakukan apa yang Anda bisa!)

X < 1

Dan apa? Tidak ada yang spesial. Apa yang mereka tanyakan pada kita? Kita diminta untuk menemukan dua bilangan spesifik yang merupakan solusi dari suatu pertidaksamaan. Itu. cocok dengan jawabannya. Dua setiap angka. Sebenarnya ini membingungkan.) Pasangan 0 dan 0,5 bisa digunakan. Pasangan -3 dan -8. Jumlah pasangan ini tidak terbatas! Jawaban mana yang benar?!

Saya menjawab: semuanya! Setiap pasangan bilangan yang masing-masing kurang dari satu, akan menjadi jawaban yang benar. Tulis yang mana yang Anda inginkan. Mari kita lanjutkan.

2. Selesaikan pertidaksamaan:

4x - 3 ≠ 0

Tugas dalam bentuk ini jarang terjadi. Namun, sebagai pertidaksamaan bantu, ketika mencari ODZ, misalnya, atau ketika mencari domain definisi suatu fungsi, pertidaksamaan tersebut selalu muncul. Pertidaksamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan persamaan linier biasa. Hanya di mana saja kecuali tanda "=" ( sama) beri tanda " ≠ " (tidak sama). Beginilah cara Anda mendekati jawabannya, dengan tanda pertidaksamaan:

X ≠ 0,75

Lebih lanjut contoh yang kompleks, lebih baik melakukan sesuatu secara berbeda. Jadikan ketidaksetaraan dari kesetaraan. Seperti ini:

4x - 3 = 0

Selesaikan dengan tenang seperti yang diajarkan dan dapatkan jawabannya:

x = 0,75

Hal utama adalah, pada akhirnya, ketika menuliskan jawaban akhir, jangan lupa bahwa kita menemukan x, yang menghasilkan persamaan. Dan kita membutuhkan - ketidaksamaan. Oleh karena itu, kita tidak terlalu membutuhkan X ini.) Dan kita perlu menuliskannya dengan simbol yang benar:

X ≠ 0,75

Pendekatan ini menghasilkan lebih sedikit kesalahan. Mereka yang menyelesaikan persamaan secara otomatis. Dan bagi mereka yang tidak menyelesaikan persamaan, pada kenyataannya, pertidaksamaan tidak ada gunanya...) Contoh lain dari tugas yang populer:

3. Temukan solusi bilangan bulat terkecil dari pertidaksamaan tersebut:

3(x - 1) < 5x + 9

Pertama, kita selesaikan saja pertidaksamaannya. Kami membuka tanda kurung, memindahkannya, membawa yang serupa... Kita mendapatkan:

X > - 6

Bukankah itu berhasil!? Apakah kamu mengikuti tanda-tandanya!? Dan di balik tanda-tanda anggota, dan di balik tanda ketimpangan…

Mari kita berpikir lagi. Kita perlu menemukan nomor tertentu yang cocok dengan jawaban dan kondisinya "bilangan bulat terkecil". Jika Anda tidak langsung menyadarinya, Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mencari tahu. Dua lawan minus enam? Tentu! Apakah ada angka lebih kecil yang cocok? Tentu saja. Misalnya, nol lebih besar dari -6. Dan bahkan lebih sedikit lagi? Kami membutuhkan hal sekecil mungkin! Minus tiga lebih dari minus enam! Anda sudah bisa menangkap polanya dan berhenti dengan bodohnya menelusuri angka-angkanya, bukan?)

Mari kita ambil angka yang mendekati -6. Misalnya, -5. Jawabannya terpenuhi, -5 > - 6. Apakah mungkin menemukan bilangan lain yang kurang dari -5 tetapi lebih besar dari -6? Anda bisa, misalnya, -5.5... Berhenti! Kami diberi tahu utuh larutan! Tidak menggulung -5,5! Bagaimana dengan minus enam? Uh-uh! Ketimpangannya sangat ketat, minus 6 sama sekali tidak kurang dari minus 6!

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah -5.

Semoga dengan pilihan nilai dari solusi umum semua jelas. Contoh lain:

4. Mengatasi ketimpangan:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Ungkapan ini disebut ketimpangan tiga kali lipat. Sebenarnya, ini adalah bentuk singkat dari sistem ketidaksetaraan. Namun pertidaksamaan rangkap tiga seperti itu masih harus diselesaikan dalam beberapa tugas... Itu bisa diselesaikan tanpa sistem apa pun. Menurut transformasi identik yang sama.

Kita perlu menyederhanakannya, membawa pertidaksamaan ini ke X murni. Tapi... Apa yang harus dipindahkan kemana?! Di sinilah saatnya untuk mengingat bahwa bergerak ke kiri dan ke kanan itu penting bentuk pendek transformasi identitas pertama.

A wujud sempurna terdengar seperti ini: Bilangan atau ekspresi apa pun dapat ditambahkan/dikurangi pada kedua ruas persamaan (pertidaksamaan).

Ada tiga bagian di sini. Jadi kita akan menerapkan transformasi yang identik pada ketiga bagian!

Jadi, mari kita hilangkan yang berada di tengah-tengah ketimpangan tersebut. Mari kita kurangi satu dari keseluruhan bagian tengah. Agar pertidaksamaan tidak berubah, kita kurangi satu dari dua bagian sisanya. Seperti ini:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Lebih baik kan?) Tinggal membagi ketiga bagian menjadi tiga:

2 < X < 4

Itu saja. Inilah jawabannya. X dapat berupa bilangan apa saja mulai dari dua (tidak termasuk) hingga empat (tidak termasuk). Jawaban ini juga ditulis secara berkala; entri tersebut akan berada dalam pertidaksamaan kuadrat. Itu adalah hal yang paling umum.

Di akhir pelajaran saya akan mengulangi hal yang paling penting. Keberhasilan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier bergantung pada kemampuan mentransformasikan dan menyederhanakan persamaan linier. Jika pada saat yang sama perhatikan tanda pertidaksamaan, tidak akan ada masalah. Itulah yang aku harapkan untukmu. Tidak ada masalah.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Konsep ketimpangan matematika muncul pada zaman dahulu kala. Hal ini terjadi ketika manusia primitif mulai perlu membandingkan jumlah dan ukurannya ketika menghitung dan menangani berbagai benda. Sejak zaman kuno, Archimedes, Euclid, dan ilmuwan terkenal lainnya: matematikawan, astronom, perancang, dan filsuf telah menggunakan ketidaksetaraan dalam penalaran mereka.

Namun mereka cenderung menggunakan terminologi verbal dalam karya mereka. Untuk pertama kalinya, tanda-tanda modern untuk menunjukkan konsep “lebih” dan “kurang” dalam bentuk yang diketahui setiap anak sekolah saat ini ditemukan dan dipraktikkan di Inggris. Ahli matematika Thomas Harriot memberikan layanan seperti itu kepada keturunannya. Dan ini terjadi sekitar empat abad lalu.

Ada banyak jenis kesenjangan yang diketahui. Diantaranya ada yang sederhana, memuat satu, dua variabel atau lebih, perbandingan kuadrat, pecahan, perbandingan kompleks, bahkan yang diwakili oleh sistem ekspresi. Cara terbaik untuk memahami cara mengatasi kesenjangan adalah dengan menggunakan berbagai contoh.

Jangan ketinggalan kereta

Pertama, bayangkan seorang penduduk pedesaan sedang bergegas menuju stasiun kereta api yang terletak 20 km dari desanya. Agar tidak ketinggalan kereta yang berangkat jam 11, ia harus berangkat rumah tepat waktu. Pada jam berapa hal ini harus dilakukan jika kecepatannya 5 km/jam? Solusi untuk ini masalah praktis turun untuk memenuhi kondisi ekspresi: 5 (11 - X) ≥ 20, di mana X adalah waktu keberangkatan.

Hal ini dapat dimaklumi, karena jarak yang harus ditempuh seorang penduduk desa ke stasiun sama dengan kecepatan gerak dikalikan dengan jumlah jam perjalanan. Seseorang bisa datang lebih awal, tapi dia tidak boleh terlambat. Mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan dan menerapkan keterampilan Anda dalam praktik, Anda akan mendapatkan X ≤ 7, itulah jawabannya. Artinya, penduduk desa harus berangkat ke stasiun kereta api pada pukul tujuh pagi atau lebih awal.

Interval numerik pada garis koordinat

Sekarang mari kita cari tahu bagaimana memetakan hubungan yang dijelaskan ke dalam persamaan di atas. Ketimpangan di atas tidaklah tegas. Artinya variabel tersebut dapat bernilai kurang dari 7, atau dapat sama dengan angka tersebut. Mari kita berikan contoh lainnya. Untuk melakukan ini, perhatikan baik-baik empat gambar di bawah ini.

Yang pertama bisa Anda lihat gambar grafis celah [-7; 7]. Terdiri dari sekumpulan angka yang ditempatkan pada garis koordinat dan terletak antara -7 dan 7, termasuk batasnya. Dalam hal ini, titik-titik pada grafik digambarkan sebagai lingkaran terisi, dan intervalnya dicatat menggunakan

Gambar kedua adalah representasi grafis dari ketimpangan yang sangat ketat. Dalam hal ini, angka batas -7 dan 7, yang ditunjukkan dengan titik tertusuk (tidak terisi), tidak termasuk dalam himpunan yang ditentukan. Dan intervalnya sendiri ditulis dalam tanda kurung sebagai berikut: (-7; 7).

Artinya, setelah mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini dan memperoleh jawaban yang serupa, kita dapat menyimpulkan bahwa pertidaksamaan tersebut terdiri dari bilangan-bilangan yang berada di antara batas yang dimaksud, kecuali -7 dan 7. Dua kasus berikutnya harus dievaluasi dalam a jalan yang sama. Gambar ketiga menunjukkan gambar interval (-∞; -7] U)