Kita semua akrab dengan persamaan kelas dasar. Di sana kami juga belajar memecahkan contoh-contoh paling sederhana, dan kami harus mengakui bahwa contoh-contoh tersebut dapat diterapkan bahkan di dalamnya matematika yang lebih tinggi. Semuanya sederhana dengan persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Jika Anda mengalami masalah dengan topik ini, kami sangat menyarankan Anda meninjaunya.

Anda mungkin sudah mempelajari logaritma juga. Namun, kami menganggap penting untuk memberi tahu apa itu bagi mereka yang belum mengetahuinya. Logaritma disamakan dengan pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di sebelah kanan tanda logaritma. Mari kita beri contoh yang berdasarkan itu semuanya akan menjadi jelas bagi Anda.

Jika Anda menaikkan 3 ke pangkat empat, Anda mendapatkan 81. Sekarang substitusikan angka-angka tersebut dengan analogi, dan Anda akhirnya akan memahami cara penyelesaian logaritma. Sekarang tinggal menggabungkan dua konsep yang dibahas. Pada awalnya, situasinya tampak sangat rumit, tetapi setelah diperiksa lebih dekat, bebannya akan terasa berat. Kami yakin setelah artikel singkat ini Anda tidak akan mengalami masalah pada bagian Ujian Negara Bersatu ini.

Saat ini ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Kami akan memberi tahu Anda tentang tugas yang paling sederhana, paling efektif, dan paling dapat diterapkan dalam kasus Unified State Examination. Penyelesaian persamaan logaritma harus dimulai dari awal. contoh sederhana. Persamaan logaritma paling sederhana terdiri dari sebuah fungsi dan satu variabel di dalamnya.

Penting untuk dicatat bahwa x ada di dalam argumen. A dan b harus berupa angka. Dalam hal ini, Anda cukup menyatakan fungsi dalam bentuk bilangan pangkat. Ini terlihat seperti ini.

Tentu saja menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan metode ini akan membawa Anda pada jawaban yang benar. Masalah yang dihadapi sebagian besar siswa dalam hal ini adalah mereka tidak memahami apa yang berasal dari mana. Akibatnya, Anda harus menerima kesalahan dan tidak mendapatkan poin yang diinginkan. Kesalahan yang paling menyinggung adalah jika Anda mencampurkan huruf-hurufnya. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda perlu menghafal standar ini rumus sekolah karena sulit untuk dipahami.

Untuk mempermudah, Anda dapat menggunakan metode lain - bentuk kanonik. Idenya sangat sederhana. Alihkan perhatian Anda kembali ke masalahnya. Ingatlah bahwa huruf a adalah angka, bukan fungsi atau variabel. A tidak sama dengan satu dan lebih besar dari nol. Tidak ada batasan pada b. Sekarang, dari semua rumus, mari kita ingat satu rumus. B dapat diungkapkan sebagai berikut.

Oleh karena itu, semua persamaan asli dengan logaritma dapat direpresentasikan sebagai:

Sekarang kita bisa menghilangkan logaritmanya. Hasilnya adalah desain sederhana yang telah kita lihat sebelumnya.

Kenyamanan rumus ini terletak pada kenyataan bahwa rumus ini dapat digunakan dalam berbagai kasus, dan tidak hanya untuk desain yang paling sederhana.

Jangan khawatir tentang OOF!

Banyak ahli matematika berpengalaman akan menyadari bahwa kita belum memperhatikan domain definisi. Aturannya bermuara pada fakta bahwa F(x) tentu lebih besar dari 0. Tidak, kami tidak melewatkan poin ini. Sekarang kita berbicara tentang keuntungan serius lainnya dari bentuk kanonik.

Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika suatu variabel hanya akan muncul di satu tempat, maka cakupan tidak diperlukan. Hal ini dilakukan secara otomatis. Untuk memverifikasi penilaian ini, cobalah memecahkan beberapa contoh sederhana.

Cara menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda

Ini sudah merupakan persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan untuk menyelesaikannya harus khusus. Di sini jarang sekali kita bisa membatasi diri pada bentuk kanonik yang terkenal buruk itu. Mari kita mulai cerita rinci kita. Kami memiliki konstruksi berikut.

Perhatikan pecahannya. Ini berisi logaritma. Jika Anda melihat ini dalam sebuah tugas, ada baiknya mengingat satu trik menarik.

Apa artinya? Setiap logaritma dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis yang sesuai. Dan formula ini punya kasus spesial, yang dapat diterapkan dengan contoh ini (artinya jika c=b).

Ini adalah pecahan yang kita lihat dalam contoh kita. Dengan demikian.

Intinya, kami membalikkan pecahan dan mendapatkan ekspresi yang lebih sesuai. Ingat algoritma ini!

Sekarang kita membutuhkan persamaan logaritma yang tidak mengandung alasan-alasan berbeda. Mari kita nyatakan basis sebagai pecahan.

Dalam matematika, ada aturan yang dengannya Anda dapat memperoleh gelar dari suatu basis. Berikut hasil konstruksinya.

Tampaknya apa yang menghentikan kita untuk mengubah ekspresi kita ke dalam bentuk kanonik dan menyelesaikannya secara mendasar? Tidak sesederhana itu. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita perbaiki situasi ini! Pecahan diperbolehkan untuk digunakan sebagai derajat.

Masing-masing.

Jika basisnya sama, kita dapat menghilangkan logaritmanya dan menyamakan ekspresi itu sendiri. Dengan cara ini situasinya akan menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. Yang tersisa adalah persamaan dasar yang masing-masing dari kita tahu cara menyelesaikannya di kelas 8 atau bahkan 7. Anda bisa melakukan perhitungan sendiri.

Kami telah memperoleh satu-satunya akar sejati dari persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma cukup sederhana bukan? Sekarang Anda akan dapat secara mandiri menangani tugas-tugas paling rumit sekalipun untuk mempersiapkan dan lulus Ujian Negara Bersatu.

Apa hasilnya?

Dalam kasus persamaan logaritma apa pun, kita mulai dari satu persamaan aturan penting. Penting untuk bertindak sedemikian rupa untuk mereduksi ekspresi ke bentuk yang paling sederhana. Dalam hal ini, Anda akan memiliki peluang lebih besar untuk tidak hanya menyelesaikan tugas dengan benar, tetapi juga melakukannya dengan cara yang paling sederhana dan paling logis. Ini adalah cara kerja matematikawan.

Kami sangat tidak menyarankan Anda mencari jalan yang sulit, terutama dalam hal ini. Ingat beberapa aturan sederhana, yang memungkinkan Anda mengubah ekspresi apa pun. Misalnya, kurangi dua atau tiga logaritma ke basis yang sama atau turunkan pangkat dari basis tersebut dan menangkan hal ini.

Perlu juga diingat bahwa menyelesaikan persamaan logaritma memerlukan latihan terus-menerus. Lambat laun Anda akan berpindah ke lebih banyak lagi struktur yang kompleks, dan ini akan mengarahkan Anda untuk dengan percaya diri menyelesaikan semua varian soal pada Ujian Negara Terpadu. Persiapkan jauh-jauh hari untuk ujian Anda dan semoga berhasil!

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau hubungan dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

instruksi

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

• turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa bedanya? ir persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukan nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, sehingga persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua sisinya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, hal yang biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk itu perlu dilakukan transformasi yang identik hingga tujuan yang telah ditetapkan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika sederhana, masalah yang diajukan akan terpecahkan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

instruksi

Transformasi paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.

Memang benar, kuadrat jumlah dua suku sama dengan kuadrat suku pertama ditambah dua kali hasil kali suku pertama dengan suku kedua dan ditambah kuadrat suku kedua, yaitu (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Ulangi dari buku teks analisis matematika atau matematika tingkat tinggi apa itu integral tertentu. Seperti diketahui, penyelesaian integral tentu adalah suatu fungsi yang turunannya akan menghasilkan integral tertentu. Fungsi ini disebut antiturunan. Berdasarkan prinsip ini, integral utama dibangun.
Tentukan berdasarkan jenis integran integral tabel mana yang cocok dalam kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan hal ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa kali transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode Penggantian Variabel

Jika fungsi integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya mengandung beberapa polinomial, lalu coba gunakan metode penggantian variabel. Untuk melakukan ini, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan hubungan antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan persamaan ini, carilah diferensial baru dalam . Jadi, Anda akan mendapatkan jenis baru dari integral sebelumnya, mendekati atau bahkan sesuai dengan integral tabel mana pun.

Menyelesaikan integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integran, maka Anda perlu menggunakan aturan transisi dari integral tersebut ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah hubungan Ostrogradsky-Gauss. Hukum ini memungkinkan kita untuk berpindah dari fluks rotor dari fungsi vektor tertentu ke integral rangkap tiga pada divergensi medan vektor tertentu.

Pergantian batas integrasi

Setelah menemukan antiturunannya, perlu dilakukan substitusi terhadap limit integrasinya. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan mendapatkan beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari bilangan yang dihasilkan bilangan lain yang diperoleh dari batas bawah ke dalam antiturunan. Jika salah satu limit integrasi adalah tak terhingga, maka ketika mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, perlu dicari limitnya dan mencari kecenderungan ekspresi tersebut.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus merepresentasikan limit integrasi secara geometris untuk memahami cara mengevaluasi integral. Memang benar, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang diintegrasikan.

Aljabar kelas 11

Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”

Tujuan pelajaran:

pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang dengan cara yang berbeda memecahkan persamaan logaritma, keterampilan untuk menerapkannya di masing-masing persamaan situasi tertentu dan pilih metode apa pun untuk menyelesaikannya;

mengembangkan: mengembangkan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan dalam situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;

pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, persepsi yang cermat terhadap materi dalam pelajaran, dan pencatatan yang cermat.

Jenis pelajaran: pelajaran memperkenalkan materi baru.

“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan dan astronom Prancis P.S. Laplace

Selama kelas

I. Menetapkan tujuan pelajaran

Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.

Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.

II. Memperbarui pengetahuan referensi

Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.

1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:

(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)

2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?

3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:

4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:

5) Hitung:

6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.

AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru

Pernyataan berikut ditampilkan di layar:

“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal

Cobalah merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:catatanAx = b(di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semua nilai real, maka berdasarkan teorema akar, maka untuk sembarang b persamaan ini hanya mempunyai satu solusi, yaitu solusi positif.

Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x ke basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dari bilangan a untuk memperoleh bilangan x). Dari definisi logaritma langsung berikut ini AV adalah solusi seperti itu.

Tuliskan judulnya: Metode penyelesaian persamaan logaritma

1. Menurut definisi logaritma.

Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan No.514(a)): Selesaikan persamaannya

Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)

Larutan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.

Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dan tidak perlu dilakukan pengecekan. Tidak perlu menuliskan kondisi 2x - 4 > 0 dalam tugas ini.

2. Potensiasi(transisi dari logaritma ekspresi tertentu ke ekspresi itu sendiri).

Mari kita pertimbangkan Nomor 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi tersebut sama.) Apa yang bisa dilakukan? (Potensi).

Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmanya positif.

Solusi: ODZ:

X2+8>0 adalah pertidaksamaan yang tidak perlu

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Mari kita potensikan persamaan aslinya

kita mendapatkan persamaan x2+8= 8x+8

Mari kita selesaikan: x2-8x=0

Jawaban: 0; 8

Secara umum transisi ke sistem yang setara:

Persamaannya

(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).

Pertanyaan untuk kelas: Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).

Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.

3. Pengenalan variabel baru.

Mari kita pertimbangkan No.520(g). .

Apa yang kamu perhatikan? (Ini adalah persamaan kuadrat terhadap log3x) Ada saran? (Perkenalkan variabel baru)

Larutan. ODZ: x > 0.

Misalkan , maka persamaannya berbentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta :.

Mari kita kembali ke penggantinya: atau.

Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:

Jawaban: 27;

4. Logaritma kedua ruas persamaan.

Selesaikan persamaan :.

Penyelesaian: ODZ: x>0, ambil logaritma kedua ruas persamaan dengan basis 10:

Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:

(logx + 3) logx = 4

Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4

, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.

Mari kita kembali ke penggantinya, kita mendapatkan: lgx = -4,; lgx = 1, .

Jawaban: 0,0001; 10.

5. Pengurangan menjadi satu basis.

Nomor 523(c). Selesaikan persamaan:

Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.

6. Metode grafis fungsional.

№ 509(d). Selesaikan persamaan secara grafis: = 3 - x.

Bagaimana Anda mengusulkan penyelesaiannya? (Buatlah grafik dua fungsi y = log2x dan y = 3 - x menggunakan titik dan cari absis titik potong grafik tersebut).

Lihatlah solusi Anda pada slide.

Ada cara untuk menghindari pembuatan grafik . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsinya kamu = f(x) meningkat, dan lainnya kamu = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaannya f(x)= g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval X.

Jika ada root maka bisa ditebak.

Dalam kasus kita, fungsinya meningkat untuk x>0, dan fungsi y = 3 - x menurun untuk semua nilai x, termasuk untuk x>0, yang berarti persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa pada x = 2 persamaan tersebut berubah menjadi persamaan sejati, karena .

« Penggunaan yang benar metode dapat dipelajari
hanya dengan menerapkannya pada berbagai contoh.”
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten

SAYAV.Pekerjaan Rumah

P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Menyimpulkan pelajaran

Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?

Dalam pelajaran berikutnya kita akan melihat lebih banyak persamaan kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.

Slide terakhir ditampilkan:

“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales

Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu bilangan positif) “b” dengan basis “a” dianggap pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga spesies individu ekspresi logaritma:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi logaritma tunggal menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan secara akurat nilai derajat yang tidak diketahui, Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematika yang rumit. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati pun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (contoh - logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, persamaan tersebut didefinisikan sebagai suatu wilayah nilai-nilai yang dapat diterima, dan breakpoint dari fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaannya nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, kondisi wajibnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk memasuki universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan tugas-tugas tersebut dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun hal ini dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritmik mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita kenali mereka dengan cepat.

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan dalam ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada Unified State Exam (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (yang paling mudah bagian tes ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.