rumah

Metode pembuktian teorema Pythagoras.

G.Glaser,
Akademisi Akademi Pendidikan Rusia, Moskow

Tentang teorema Pythagoras dan cara pembuktiannya

Luas persegi yang dibangun pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya...

Ini adalah salah satu teorema geometri kuno yang paling terkenal, yang disebut teorema Pythagoras. Hampir semua orang yang pernah mempelajari planimetri mengetahuinya bahkan sampai sekarang. Tampaknya bagi saya jika kami ingin memberi tahu Anda peradaban luar bumi tentang keberadaan kehidupan berakal di Bumi, maka gambar sosok Pythagoras harus dikirim ke luar angkasa. Saya pikir jika makhluk yang berpikir dapat menerima informasi ini, maka tanpa penguraian sinyal yang rumit mereka akan memahami bahwa terdapat peradaban yang cukup maju di Bumi.

Filsuf dan matematikawan Yunani terkenal Pythagoras dari Samos, yang namanya diambil dari nama teorema tersebut, hidup sekitar 2,5 ribu tahun yang lalu. Informasi biografi yang sampai kepada kita tentang Pythagoras tidak lengkap dan jauh dari dapat diandalkan. Banyak legenda dikaitkan dengan namanya. Diketahui bahwa Pythagoras banyak bepergian di negara-negara Timur, mengunjungi Mesir dan Babilonia. Di salah satu koloni Yunani Italia Selatan ia mendirikan "sekolah Pythagoras" yang terkenal, yang memainkan peran penting dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan politik Yunani kuno. Pythagoras-lah yang berjasa membuktikan teorema geometri yang terkenal. Berdasarkan legenda yang disebarkan oleh ahli matematika terkenal (Proclus, Plutarch, dll.), lama Diyakini bahwa teorema ini tidak diketahui sebelum Pythagoras, oleh karena itu namanya teorema Pythagoras.

Namun tidak ada keraguan bahwa teorema ini telah dikenal bertahun-tahun sebelum Pythagoras. Jadi, 1500 tahun sebelum Pythagoras, orang Mesir kuno mengetahui bahwa segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 adalah siku-siku, dan menggunakan sifat ini (yaitu teorema teorema terbalik Pythagoras) untuk membangun sudut siku-siku selama perencanaan bidang tanah dan struktur bangunan. Bahkan saat ini, para pembangun dan tukang kayu pedesaan, ketika meletakkan fondasi gubuk dan membuat bagian-bagiannya, menggambar segitiga ini untuk mendapatkan sudut siku-siku. Hal yang sama juga dilakukan ribuan tahun yang lalu dalam pembangunan kuil-kuil megah di Mesir, Babilonia, Cina, dan mungkin di Meksiko. Karya matematika dan astronomi Tiongkok tertua yang sampai kepada kita, Zhou Bi, ditulis sekitar 600 tahun sebelum Pythagoras, berisi, antara lain usulan yang berkaitan dengan segitiga siku-siku, teorema Pythagoras. Bahkan sebelumnya teorema ini telah diketahui umat Hindu. Jadi, Pythagoras tidak menemukan sifat segitiga siku-siku ini; dia mungkin orang pertama yang menggeneralisasi dan membuktikannya, sehingga memindahkannya dari bidang praktik ke bidang sains. Kami tidak tahu bagaimana dia melakukannya. Beberapa sejarawan matematika beranggapan bahwa pembuktian Pythagoras bukanlah sesuatu yang mendasar, melainkan hanya sebuah konfirmasi, suatu pengujian terhadap sifat ini pada sejumlah jenis segitiga tertentu, dimulai dengan segitiga siku-siku sama kaki, yang jelas-jelas mengikuti Gambar. 1.

DENGAN Sejak zaman kuno, para ahli matematika telah menemukan semakin banyak bukti baru dari teorema Pythagoras, semakin banyak ide baru untuk pembuktiannya. Lebih dari seratus lima puluh bukti seperti itu - kurang lebih ketat, kurang lebih visual - diketahui, tetapi keinginan untuk menambah jumlahnya tetap ada. Saya pikir “penemuan” independen atas bukti teorema Pythagoras akan berguna bagi anak-anak sekolah modern.

Mari kita lihat beberapa contoh bukti yang dapat menunjukkan arah pencarian tersebut.

Bukti Pythagoras

“Sebuah persegi yang dibangun pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.” Bukti paling sederhana dari teorema ini diperoleh dalam kasus paling sederhana dari segitiga siku-siku sama kaki. Mungkin di sinilah teorema dimulai. Faktanya, cukup dengan melihat mosaik segitiga siku-siku sama kaki untuk memastikan validitas teorema tersebut. Misalnya, untuk DABC: persegi yang dibangun di sisi miring AC, berisi 4 segitiga asli, dan bujur sangkar yang dibangun di atas dua kaki. Teorema tersebut terbukti.

Pembuktian berdasarkan penggunaan konsep bangun datar berukuran sama.

Dalam hal ini, kita dapat mempertimbangkan bukti di mana sebuah persegi yang dibangun di sisi miring suatu segitiga siku-siku “terdiri” dari bangun-bangun yang sama dengan persegi yang dibangun di sisi-sisinya. Kita juga dapat mempertimbangkan pembuktian yang menggunakan penataan ulang penjumlahan angka-angka dan mempertimbangkan sejumlah gagasan baru.

Pada Gambar. Gambar 2 menunjukkan dua persegi yang sama besar. Panjang sisi setiap persegi adalah a + b. Masing-masing persegi dibagi menjadi beberapa bagian yang terdiri dari persegi dan segitiga siku-siku. Jelas bahwa jika kita mengurangi luas persegi empat kali lipat luas segitiga siku-siku berkaki a, b, maka kita akan mendapatkan bidang yang sama, yaitu c 2 = a 2 + b 2 . Namun, umat Hindu kuno, yang memiliki alasan ini, biasanya tidak menuliskannya, tetapi menyertai gambar tersebut hanya dengan satu kata: “lihat!” Sangat mungkin Pythagoras memberikan bukti yang sama.

Bukti tambahan.

Bukti-bukti ini didasarkan pada penguraian persegi-persegi yang dibangun di atas kaki-kaki menjadi gambar-gambar yang darinya seseorang dapat menambahkan persegi yang dibangun di sisi miring.

Disini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Buktikan secara mandiri persamaan berpasangan segitiga yang diperoleh dengan membagi persegi yang dibangun di atas kaki dan sisi miring.

Buktikan teorema menggunakan partisi ini.

 Berdasarkan pembuktian al-Nayriziyah, dilakukan penguraian kembali persegi menjadi bangun datar berpasangan yang sama besar (Gbr. 5, di sini ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C).

 Bukti lain dengan metode penguraian persegi menjadi bagian-bagian yang sama, yang disebut “roda dengan bilah”, ditunjukkan pada Gambar. 6. Disini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; O adalah pusat persegi yang dibangun pada sisi yang besar; garis putus-putus yang melalui titik O tegak lurus atau sejajar dengan sisi miring.

 Penguraian persegi ini menarik karena segi empat yang sama berpasangan dapat dipetakan satu sama lain melalui translasi paralel. Banyak bukti lain dari teorema Pythagoras dapat ditawarkan dengan menggunakan penguraian persegi menjadi angka.

Bukti dengan metode penyelesaian.

Inti dari metode ini adalah bahwa angka-angka yang sama ditambahkan pada persegi yang dibangun di atas kaki-kaki dan pada persegi yang dibangun di sisi miring sedemikian rupa sehingga diperoleh angka-angka yang sama.

Validitas teorema Pythagoras berasal dari persamaan ukuran segi enam AEDFPB dan ACBNMQ. Disini CEP, garis EP membagi segi enam AEDFPB menjadi dua segi empat sama besar, garis CM membagi segi enam ACBNMQ menjadi dua segi empat sama besar; Memutar bidang 90° mengelilingi pusat A memetakan AEPB segi empat ke segi empat ACMQ.

Pada Gambar. 8 Gambar Pythagoras diselesaikan menjadi sebuah persegi panjang, yang sisi-sisinya sejajar dengan sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi yang dibangun di sisi-sisinya. Mari kita bagi persegi panjang ini menjadi segitiga dan persegi panjang. Dari persegi panjang yang dihasilkan, pertama-tama kita kurangi semua poligon 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, menyisakan persegi yang dibangun di sisi miring. Kemudian dari persegi panjang yang sama kita kurangi persegi panjang 5, 6, 7 dan persegi panjang yang diarsir, kita mendapatkan persegi yang dibangun di atas kakinya.

Sekarang mari kita buktikan bahwa angka-angka yang dikurangi pada kasus pertama sama besarnya dengan angka-angka yang dikurangi pada kasus kedua.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

maka c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Metode pembuktian aljabar.

	Beras. 12 mengilustrasikan pembuktian matematikawan besar India Bhaskari (penulis terkenal Lilavati, X abad II). Gambar itu hanya disertai satu kata: LIHAT! Diantara pembuktian teorema Pythagoras metode aljabar Tempat pertama (mungkin yang tertua) ditempati oleh pembuktian menggunakan kesamaan.
	Mari kita sajikan dalam presentasi modern salah satu bukti ini, karena Pythagoras.

N dan gambar. 13 ABC – persegi panjang, C – sudut siku-siku, CMAB, b 1 – proyeksi kaki b pada sisi miring, a 1 – proyeksi kaki a pada sisi miring, h – tinggi segitiga yang ditarik ke sisi miring.

Dari fakta bahwa ABC mirip dengan ACM maka berikut ini

b 2 = cb 1 ; (1)

dari fakta bahwa ABC mirip dengan BCM maka berikut ini

sebuah 2 = ca 1 . (2)

Menjumlahkan persamaan (1) dan (2) suku demi suku, kita memperoleh a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jika Pythagoras menawarkan bukti seperti itu, maka dia juga familiar dengan sejumlah teorema geometri penting yang biasanya dikaitkan dengan Euclid oleh sejarawan matematika modern.

Bukti Moehlmann (Gbr. 14). Luas suatu segitiga siku-siku, di satu sisi, sama dengan sisi lainnya, di mana p adalah setengah keliling segitiga, r adalah jari-jari lingkaran yang terdapat di dalamnya Kita punya:

maka c 2 =a 2 +b 2.

di detik

Menyamakan ungkapan-ungkapan ini, kita memperoleh teorema Pythagoras.

Metode gabungan

Kesetaraan segitiga

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Membandingkan relasi (3) dan (4), kita peroleh bahwa

c 1 2 = c 2, atau c 1 = c.

Jadi, segitiga-segitiga - yang diberikan dan yang dibangun - adalah sama besar, karena masing-masing memiliki tiga segitiga sisi yang sama. Sudut C 1 siku-siku, jadi sudut C segitiga ini juga siku-siku.

Bukti India kuno.

Matematikawan India Kuno memperhatikan bahwa untuk membuktikan teorema Pythagoras cukup menggunakan bagian dalam gambar Tiongkok kuno. Dalam risalah “Siddhanta Shiromani” (“Mahkota Pengetahuan”) yang ditulis di atas daun palem oleh ahli matematika terbesar India abad ke-19. Bha-skara ditempatkan dalam gambar (Gbr. 4)

ciri khas bukti India adalah kata “lihat!” Seperti yang Anda lihat, segitiga siku-siku diletakkan di sini dengan sisi miring menghadap ke luar dan berbentuk persegi Dengan 2 dipindahkan ke “kursi pengantin wanita” Dengan 2 -B 2 . Perhatikan bahwa kasus khusus teorema Pythagoras (misalnya, membuat persegi yang luasnya dua kali lebih besar Gambar.4 luas persegi tertentu) ditemukan dalam risalah India kuno "Sulva"

Kami memecahkan segitiga siku-siku dan persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya, atau, dengan kata lain, bangun-bangun yang terdiri dari 16 segitiga siku-siku sama kaki yang identik dan karenanya cocok menjadi sebuah persegi. Begitulah keadaan Lily. sebagian kecil dari kekayaan yang tersembunyi di dalam mutiara matematika kuno - teorema Pythagoras.

Bukti Tiongkok kuno.

Risalah matematika Tiongkok Kuno datang kepada kami dalam edisi P.V. SM. Faktanya adalah pada tahun 213 SM. Kaisar Tiongkok Shi Huang Di, berusaha menghilangkan tradisi sebelumnya, memerintahkan semua buku kuno dibakar. Pada abad P SM. Di Cina, kertas ditemukan dan pada saat yang sama rekonstruksi buku-buku kuno dimulai. Karya astronomi utama yang masih ada adalah di dalam buku “Matematika” terdapat gambar (Gbr. 2, a) yang membuktikan teorema Pythagoras. Kunci dari bukti ini tidak sulit ditemukan. Faktanya, dalam gambar Tiongkok kuno ada empat segitiga siku-siku yang sama panjang dengan sisi a, b dan sisi miring Dengan ditumpuk G) sehingga kontur luarnya membentuk Gambar 2 persegi dengan sisi a+b, dan bagian dalam berbentuk bujur sangkar dengan sisi c, dibangun di atas sisi miring (Gbr. 2, b). Jika sebuah persegi dengan sisi c dipotong dan 4 segitiga yang diarsir sisanya ditempatkan dalam dua persegi panjang (Gbr. 2, V), maka jelas bahwa kekosongan yang dihasilkan di satu sisi adalah sama dengan DENGAN 2 , dan di sisi lain - Dengan 2 +b 2 , itu. c 2=  2 +b 2 . Teorema tersebut terbukti. Perhatikan bahwa dengan bukti ini, konstruksi di dalam persegi pada sisi miring, yang kita lihat pada gambar Tiongkok kuno (Gbr. 2, a), tidak digunakan. Ternyata, matematikawan Tiongkok kuno punya bukti berbeda. Tepatnya jika berbentuk persegi dengan sisi Dengan dua segitiga yang diarsir (Gbr. 2, B) potong dan tempelkan sisi miring ke dua sisi miring lainnya (Gbr. 2, G), maka mudah untuk menemukannya

Gambar yang dihasilkan, kadang-kadang disebut "kursi pengantin", terdiri dari dua kotak dengan sisi A Dan B, itu. C 2 == A 2 +b 2 .

N Gambar 3 mereproduksi gambar dari risalah “Zhou-bi…”. Di sini teorema Pythagoras dipertimbangkan untuk segitiga Mesir dengan kaki 3, 4 dan sisi miring 5 satuan ukuran. Kotak di sisi miring berisi 25 sel, dan kotak yang tertulis di dalamnya pada kaki yang lebih besar berisi 16 sel. Jelas bagian sisanya berisi 9 sel. Ini akan menjadi persegi di sisi yang lebih kecil.

Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan sastra, ilmiah alami, meninggalkan analisis, pendekatan praktis, dan bahasa rumus dan angka yang kering. Matematika ke mata pelajaran kemanusiaan kamu tidak bisa memahaminya. Namun tanpa kreativitas Anda tidak akan bisa melangkah jauh ke dalam “ratu segala ilmu” - orang sudah mengetahui hal ini sejak lama. Sejak zaman Pythagoras misalnya.

Sayangnya, buku pelajaran sekolah biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika yang penting tidak hanya menjejali teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran mendasar - hanya dalam kondisi seperti itulah semua penemuan besar lahir.

Penemuan tersebut mencakup apa yang kita kenal sekarang sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya bisa, tapi juga harus menyenangkan. Dan petualangan ini cocok tidak hanya untuk para kutu buku berkacamata tebal, tetapi untuk semua orang yang memiliki pikiran yang kuat dan semangat yang kuat.

Dari sejarah masalah tersebut

Sebenarnya, meskipun teorema ini disebut “teorema Pythagoras”, Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang yang berbeda mengenai masalah ini. Menurut salah satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema tersebut. Menurut yang lain, bukti tersebut bukan milik penulis Pythagoras.

Saat ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Yang diketahui adalah bahwa bukti Pythagoras, jika memang ada, tidak bertahan. Namun, ada dugaan bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.

Diketahui juga saat ini bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhat I, pada tablet tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno “Sulva Sutra” dan karya Tiongkok kuno “ Zhou-bi suan jin”.

Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para ahli matematika sejak zaman kuno. Hal ini diperkuat oleh sekitar 367 bukti berbeda yang ada saat ini. Dalam hal ini, tidak ada teorema lain yang dapat menandinginya. Di antara para penulis bukti yang terkenal, kita dapat mengingat Leonardo da Vinci dan Presiden AS yang kedua puluh James Garfield. Semua ini menunjukkan betapa pentingnya teorema ini bagi matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau entah bagaimana terhubung dengannya.

Bukti teorema Pythagoras

Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Namun inti dari teorema ini ada pada geometri, jadi mari kita perhatikan dulu bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.

Bukti 1

Untuk pembuktian paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu mengaturnya kondisi ideal: misalkan segitiga tidak hanya berbentuk persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa segitiga seperti inilah yang awalnya dipertimbangkan oleh para ahli matematika kuno.

Penyataan “persegi yang terletak pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kaki segitiga tersebut” dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:

Lihatlah persegi panjang sama kaki segitiga ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membuat persegi yang terdiri dari empat segitiga yang sama dengan ABC asal. Dan pada sisi AB dan BC dibuat sebuah persegi yang masing-masing berisi dua segitiga sebangun.

Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak lelucon dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Yang paling terkenal mungkin adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":

Bukti 2

Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dianggap sebagai varian dari pembuktian matematikawan India kuno Bhaskari.

Buatlah segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buatlah dua buah persegi yang sisi-sisinya sama dengan jumlah panjang kedua kakinya - (a+b). Di setiap kotak, buatlah konstruksi seperti pada Gambar 2 dan 3.

Pada kotak pertama, buatlah empat segitiga serupa dengan yang ada pada Gambar 1. Hasilnya adalah dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi B.

Pada persegi kedua, empat segitiga sebangun dibentuk membentuk persegi yang memiliki satu sisi sama dengan sisi miring C.

Jumlah luas persegi yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas persegi yang kita buat dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diperiksa dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai rumus. Dan luas persegi yang tertulis pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku sama besar yang terdapat pada persegi dari luas persegi besar yang memiliki sisi (a+b).

Dengan menuliskan semua ini, kita memiliki: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Buka tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan hasilnya a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Dalam hal ini, area yang tertulis pada Gambar 3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c 2. Itu. a 2 +b 2 =c 2– Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno itu sendiri dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah “Mahkota Pengetahuan” (“Siddhanta Shiromani”) dan sebagai argumen utama penulis menggunakan seruan yang ditujukan pada bakat matematika dan keterampilan observasi siswa dan pengikut: “ Lihat!"

Namun kami akan menganalisis bukti ini lebih detail:

Di dalam persegi, buatlah empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Mari kita tunjukkan sisi persegi besar, yang juga dikenal sebagai sisi miring, Dengan. Sebut saja kaki-kaki segitiga A Dan B. Berdasarkan gambar, sisi persegi bagian dalam adalah (a-b).

Gunakan rumus luas persegi S=c 2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan sekaligus menghitung nilai yang sama dengan menjumlahkan luas persegi bagian dalam dan luas keempat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan ini memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari penyelesaiannya, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c 2 =sebuah 2 +b 2. Teorema tersebut terbukti.

Bukti 4

Bukti kuno Tiongkok yang aneh ini disebut “Kursi Pengantin” – karena bentuk kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:

Ia menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 pada bukti kedua. Dan bujur sangkar bagian dalam dengan sisi c dibuat dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.

Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku berwarna hijau dari gambar pada Gambar 1, pindahkan ke sisi yang berlawanan terapkan persegi dengan sisi c dan sisi miring ke sisi miring segitiga ungu, Anda akan mendapatkan gambar yang disebut "kursi pengantin" (Gbr. 2). Agar lebih jelas, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kertas kotak dan segitiga. Anda akan memastikan bahwa "kursi pengantin wanita" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan satu sisi B dan besar dengan sisinya A.

Konstruksi ini memungkinkan para ahli matematika Tiongkok kuno dan kita, mengikuti mereka, sampai pada kesimpulan bahwa c 2 =sebuah 2 +b 2.

Bukti 5

Ini adalah cara lain untuk mencari solusi teorema Pythagoras menggunakan geometri. Ini disebut Metode Garfield.

Buatlah segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikannya BC 2 = AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, lanjutkan dengan kaki AC dan membuat segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Turunkan tegak lurus IKLAN segmen garis ED. Segmen ED Dan AC adalah sama. Hubungkan titik-titiknya E Dan DI DALAM, Dan E Dan DENGAN dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuktikan menara tersebut, kami kembali menggunakan metode yang telah kami coba: kami menemukan luas bangun yang dihasilkan dengan dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.

Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya, ERU, tidak hanya berbentuk persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupakan itu juga AB=CD, AC=ED Dan SM=SE– ini akan memungkinkan kami menyederhanakan perekaman dan tidak membebani secara berlebihan. Jadi, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR- Ini trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, akan lebih mudah dan jelas untuk merepresentasikan segmen tersebut IKLAN sebagai jumlah segmen AC Dan CD.

Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun, dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan persamaan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan sisi kanan entri: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan ubah persamaannya: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 = AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema tersebut.

Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, Anda dapat membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras

Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari sama sekali dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, dia sangat menarik dan punya sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Memahaminya mungkin berguna bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.

Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Begitulah mereka menyebutnya bilangan bulat, dikumpulkan bertiga, jumlah kuadrat dua diantaranya sama dengan bilangan ketiga dalam kuadrat.

Tripel Pythagoras dapat berupa:

• primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
• tidak primitif (jika setiap bilangan dari suatu tripel dikalikan dengan bilangan yang sama, Anda mendapatkan tripel baru, yang tidak primitif).

Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh kegilaan akan jumlah kembar tiga Pythagoras: dalam soal mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5 satuan. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.

Contoh kembar tiga Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), dst.

Penerapan praktis teorema

Teorema Pythagoras tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi, dan bahkan sastra.

Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan dalam permasalahan dengan berbagai tingkat kompleksitas. Misalnya, lihat jendela bergaya Romawi:

Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai B, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dinotasikan sebagai R dan mengungkapkan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan melalui b: r=b/4. Dalam soal ini kita tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja P).

Teorema Pythagoras hanya berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kita menggunakan segitiga siku-siku, yang ditandai dengan garis putus-putus pada gambar. Sisi miring suatu segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+hal. Satu kaki melambangkan jari-jari b/4, lain b/2-hal. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kita buka tanda kurung dan dapatkan b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Mari kita ubah ungkapan ini menjadi bp/2=b 2 /4-bp. Dan kemudian kita membagi semua suku dengan B, kami menyajikan yang serupa untuk didapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukannya hal=b/6- itulah yang kami butuhkan.

Dengan menggunakan teorema tersebut, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan berapa tinggi menara tersebut komunikasi seluler sinyalnya perlu mencapai titik tertentu hunian. Dan bahkan menginstal dengan mantap pohon Natal di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini tidak hanya ada di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.

Dalam sastra, teorema Pythagoras telah menginspirasi para penulis sejak jaman dahulu dan terus berlanjut hingga zaman kita. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera hilang,
Tapi, setelah bersinar, kecil kemungkinannya akan hilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Hal ini tidak akan menimbulkan keraguan atau perselisihan.

Paling bijak bila menyentuh pandanganmu
Cahaya kebenaran, terima kasih kepada para dewa;
Dan seratus ekor lembu jantan, disembelih, berbohong -
Hadiah balasan dari Pythagoras yang beruntung.

Sejak itu, para banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membuat khawatir suku banteng
Acara disebutkan di sini.

Tampaknya bagi mereka waktunya akan segera tiba,
Dan mereka akan dikorbankan lagi
Beberapa teorema hebat.

(terjemahan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Evgeny Veltistov, dalam bukunya “The Adventures of Electronics,” mencurahkan seluruh bab untuk membuktikan teorema Pythagoras. Dan setengah bab lagi cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa ada jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Hidup di sana akan jauh lebih mudah, tetapi juga lebih membosankan: misalnya, tidak ada seorang pun di sana yang memahami arti kata “bulat” dan “halus”.

Dan dalam buku “The Adventures of Electronics”, penulisnya, melalui mulut guru matematika Taratar, mengatakan: “Hal utama dalam matematika adalah gerak pemikiran, ide-ide baru.” Pelarian pemikiran kreatif inilah yang memunculkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang bervariasi. Ini membantu Anda melampaui batas-batas yang sudah dikenal dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.

Kesimpulan

Artikel ini dirancang untuk membantu Anda melihat lebih jauh kurikulum sekolah dalam matematika dan pelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks “Geometri 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan “Geometri 7-11” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara menarik lainnya untuk membuktikan teorema terkenal. Dan lihat juga contoh penerapan teorema Pythagoras dalam kehidupan sehari-hari.

Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda memenuhi syarat untuk mendapatkan nilai lebih tinggi dalam pelajaran matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu Anda memahami bagaimana matematika ilmu yang menarik. Memastikan contoh spesifik bahwa selalu ada tempat untuk kreativitas di dalamnya. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini dapat menginspirasi Anda untuk mengeksplorasi secara mandiri dan membuat penemuan menarik dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.

Beri tahu kami di komentar jika menurut Anda bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah menurut Anda informasi ini berguna dalam studi Anda? Tuliskan kepada kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Teorema Pythagoras adalah pernyataan geometri yang paling penting. Teorema tersebut dirumuskan sebagai berikut: luas persegi yang dibangun pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.

Penemuan pernyataan ini biasanya dikaitkan dengan filsuf Yunani kuno dan ahli matematika Pythagoras (abad VI SM). Namun penelitian terhadap tablet paku Babilonia dan manuskrip Tiongkok kuno (salinan manuskrip yang bahkan lebih tua) menunjukkan bahwa pernyataan ini telah diketahui jauh sebelum Pythagoras, mungkin satu milenium sebelum dia. Kelebihan Pythagoras adalah ia menemukan bukti teorema ini.

Kemungkinan besar fakta yang dinyatakan dalam teorema Pythagoras pertama kali ditetapkan untuk segitiga siku-siku sama kaki. Lihat saja mosaik segitiga hitam dan terang yang ditunjukkan pada Gambar. 1, untuk memverifikasi keabsahan teorema segitiga: sebuah persegi yang dibangun di sisi miring berisi 4 segitiga, dan sebuah persegi yang berisi 2 segitiga dibangun di setiap sisinya. Untuk membuktikan kasus umum di India Kuno, mereka menggunakan dua metode: dalam sebuah persegi dengan sisi, mereka menggambarkan empat segitiga siku-siku dengan panjang kaki dan (Gbr. 2, a dan 2, b), setelah itu mereka menulis satu kata “ Lihat!" Dan memang, melihat gambar-gambar ini, kita melihat bahwa di sebelah kiri ada gambar yang bebas segitiga, terdiri dari dua persegi dengan sisi-sisinya dan, karenanya, luasnya sama dengan , dan di sebelah kanan ada persegi dengan sisi - luasnya sama dengan . Artinya ini merupakan pernyataan teorema Pythagoras.

Namun, selama dua ribu tahun, bukan bukti visual ini yang digunakan, tetapi bukti yang lebih kompleks yang ditemukan oleh Euclid, yang terletak di bukunya yang terkenal “Elements” (lihat Euclid dan “Elements”), Euclid menurunkan ketinggian dari atas sudut kanan pada sisi miring dan membuktikan bahwa kelanjutannya membagi persegi yang dibangun di atas sisi miring menjadi dua persegi panjang, yang luasnya sama dengan luas persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya (Gbr. 3). Gambar yang digunakan untuk membuktikan teorema ini secara bercanda disebut “celana Pythagoras.” Untuk waktu yang lama itu dianggap sebagai salah satu simbol ilmu matematika.

Saat ini, beberapa lusin bukti berbeda dari teorema Pythagoras telah diketahui. Beberapa di antaranya didasarkan pada pembagian persegi, di mana persegi yang dibangun di sisi miring terdiri dari bagian-bagian yang termasuk dalam partisi persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya; yang lain - sebagai pelengkap angka yang sama; yang ketiga - berdasarkan fakta bahwa ketinggian yang diturunkan dari titik sudut siku-siku ke sisi miring membagi segitiga siku-siku menjadi dua segitiga serupa.

Teorema Pythagoras mendasari sebagian besar perhitungan geometris. Bahkan di Babilonia Kuno, digunakan untuk menghitung panjang tinggi segitiga sama kaki dari panjang alas dan sisinya, panah suatu ruas dari diameter lingkaran dan panjang tali busur, dan menetapkan hubungan antara elemen beberapa poligon beraturan. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kami membuktikan generalisasinya, yang memungkinkan kami menghitung panjang sisi yang berhadapan dengan sudut lancip atau tumpul:

Dari generalisasi ini dapat disimpulkan bahwa keberadaan sudut siku-siku tidak hanya cukup, tetapi juga merupakan syarat yang diperlukan agar persamaan dapat dipenuhi. Dari rumus (1) berikut relasinya antara panjang diagonal dan sisi-sisi jajar genjang, yang dapat dengan mudah mencari panjang median segitiga dari panjang sisi-sisinya.

Berdasarkan teorema Pythagoras, diturunkan rumus yang menyatakan luas suatu segitiga melalui panjang sisi-sisinya (lihat rumus Heron). Tentu saja teorema Pythagoras juga digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah praktis.

Alih-alih persegi, Anda dapat membuat bangun datar apa pun yang serupa (segitiga sama sisi, setengah lingkaran, dll.) pada sisi-sisi segitiga siku-siku. Dalam hal ini, luas bangun yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah luas bangun yang dibangun pada kaki-kakinya. Generalisasi lain dikaitkan dengan transisi dari pesawat ke luar angkasa. Rumusnya sebagai berikut: kuadrat panjang diagonal suatu persegi panjang sejajar sama dengan jumlahnya kuadrat dimensinya (panjang, lebar dan tinggi). Teorema serupa juga berlaku dalam kasus multidimensi dan bahkan berdimensi tak hingga.

Teorema Pythagoras hanya ada dalam geometri Euclidean. Itu tidak terjadi baik dalam geometri Lobachevsky atau geometri non-Euclidean lainnya. Tidak ada analogi teorema Pythagoras tentang bola. Dua garis meridian membentuk sudut 90° dan garis khatulistiwa terikat pada sebuah bola membentuk segitiga bola sama sisi, ketiga sudutnya siku-siku. Baginya, tidak seperti di pesawat.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, hitung jarak antara titik dan bidang koordinat menggunakan rumus

.

Setelah teorema Pythagoras ditemukan, timbul pertanyaan bagaimana mencari semua kembar tiga bilangan asli yang dapat menjadi sisi-sisi segitiga siku-siku (lihat teorema terakhir Fermat). Mereka ditemukan oleh orang Pythagoras, tetapi beberapa metode umum untuk menemukan bilangan kembar tiga tersebut sudah diketahui oleh orang Babilonia. Salah satu tablet runcing berisi 15 kembar tiga. Diantaranya ada kembar tiga yang jumlahnya sangat banyak angka besar, bahwa tidak ada keraguan untuk menemukannya melalui seleksi.

Fosa Hipokrates

Bulan Hipokrates adalah bangun ruang yang dibatasi oleh busur dua lingkaran, dan terlebih lagi, sedemikian rupa sehingga dengan menggunakan jari-jari dan panjang tali busur yang sama dari lingkaran-lingkaran ini, dengan menggunakan kompas dan penggaris, seseorang dapat membuat bujur sangkar dengan ukuran yang sama.

Dari generalisasi teorema Pythagoras menjadi setengah lingkaran, maka jumlah luas gumpalan merah muda yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kiri sama dengan luas segitiga biru. Oleh karena itu, jika Anda mengambil segitiga siku-siku sama kaki, Anda akan mendapatkan dua lubang, yang masing-masing luasnya sama dengan setengah luas segitiga. Mencoba memecahkan masalah mengkuadratkan lingkaran (lihat Masalah klasik zaman kuno), ahli matematika Yunani kuno Hippocrates (abad ke-5 SM) menemukan beberapa lubang lagi, yang luasnya dinyatakan dalam luas bangun persegi panjang.

Daftar lengkap lunula hipomarginal baru diperoleh pada abad ke-19-20. berkat penggunaan metode teori Galois.

Pastikan segitiga yang diberikan merupakan segitiga siku-siku, karena Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Pada segitiga siku-siku, salah satu dari tiga sudutnya selalu 90 derajat.

• Sudut siku-siku dalam segitiga siku-siku ditunjukkan dengan ikon persegi, bukan kurva yang mewakili sudut miring.

Beri label pada sisi-sisi segitiga. Beri label pada kaki-kakinya dengan “a” dan “b” (kaki-kaki adalah sisi-sisi yang berpotongan pada sudut siku-siku), dan sisi miringnya dengan “c” (sisi miring adalah sisi terbesar dari segitiga siku-siku, yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku).

Tentukan sisi segitiga mana yang ingin Anda cari. Teorema Pythagoras memungkinkan Anda menemukan sisi mana pun dari segitiga siku-siku (jika dua sisi lainnya diketahui). Tentukan sisi mana (a, b, c) yang perlu dicari.

• Misalnya diberi sisi miring sama dengan 5, dan diberi kaki sama dengan 3. Dalam hal ini, perlu dicari kaki kedua. Kita akan kembali ke contoh ini nanti.
• Jika dua sisi lainnya tidak diketahui, Anda perlu mencari panjang salah satu sisi yang tidak diketahui agar dapat menerapkan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, gunakan yang dasar fungsi trigonometri(jika diberi nilai salah satu sudut miring).

Substitusikan nilai yang diberikan kepada Anda (atau nilai yang Anda temukan) ke dalam rumus a 2 + b 2 = c 2. Ingatlah bahwa a dan b adalah kaki dan c adalah sisi miring.

• Dalam contoh kita, tuliskan: 3² + b² = 5².

Kuadratkan setiap sisi yang diketahui. Atau tinggalkan pangkatnya - Anda dapat mengkuadratkan angkanya nanti.

• Dalam contoh kita, tuliskan: 9 + b² = 25.

Pisahkan sisi yang tidak diketahui pada salah satu sisi persamaan. Untuk melakukan ini, pindahlah nilai-nilai yang diketahui ke sisi lain persamaan. Jika Anda menemukan sisi miringnya, maka dalam teorema Pythagoras sudah terisolasi di salah satu sisi persamaan (jadi Anda tidak perlu melakukan apa pun).

• Dalam contoh kita, pindahkan 9 ke sisi kanan persamaan untuk mengisolasi b² yang tidak diketahui. Anda akan mendapatkan b² = 16.

Menghapus Akar pangkat dua dari kedua sisi persamaan setelah yang tidak diketahui (kuadrat) ada di satu sisi persamaan dan suku bebas (angka) ada di sisi lainnya.

• Dalam contoh kita, b² = 16. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas persamaan dan dapatkan b = 4. Jadi, bagian kedua adalah 4.

Gunakan teorema Pythagoras di Kehidupan sehari-hari, karena dapat digunakan di jumlah besar situasi praktis. Untuk melakukan ini, belajarlah mengenali segitiga siku-siku dalam kehidupan sehari-hari - dalam situasi apa pun di mana dua benda (atau garis) berpotongan tegak lurus, dan benda (atau garis) ketiga menghubungkan (secara diagonal) bagian atas dari dua benda pertama (atau garis), Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari sisi yang tidak diketahui (jika dua sisi lainnya diketahui).

• Contoh : diberi tangga yang bersandar pada suatu bangunan. Dasar tangga berjarak 5 meter dari dasar tembok. Bagian atas Tangga tersebut terletak 20 meter dari permukaan tanah (ke atas tembok). Berapa panjang tangganya?
  • “5 meter dari dasar tembok” berarti a = 5; Yang dimaksud dengan “terletak 20 meter dari tanah” berarti b = 20 (yaitu, diberikan dua kaki segitiga siku-siku, karena dinding bangunan dan permukaan bumi berpotongan tegak lurus). Panjang tangga adalah panjang sisi miring yang tidak diketahui.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Jadi, perkiraan panjang tangga tersebut adalah 20,6 meter.

PENGUKURAN WILAYAH GAMBAR GEOMETRIS.

§ 58. TEOREMA PYTHAGORAS 1.

__________
1 Pythagoras adalah seorang ilmuwan Yunani yang hidup sekitar 2500 tahun yang lalu (564-473 SM).
_________

Mari kita diberikan segitiga siku-siku yang sisi-sisinya A, B Dan Dengan(gambar 267).

Mari kita buat persegi pada sisi-sisinya. Luas persegi-persegi tersebut masing-masing sama A 2 , B 2 dan Dengan 2. Mari kita buktikan itu Dengan 2 = sebuah 2 +b 2 .

Mari kita buat dua persegi MKOR dan M"K"O"R" (gambar 268, 269), dengan mengambil sisi masing-masing segmen yang sama dengan jumlah kaki-kaki segitiga siku-siku ABC.

Setelah menyelesaikan konstruksi yang ditunjukkan pada gambar 268 dan 269 pada kotak-kotak ini, kita akan melihat bahwa kotak MCOR dibagi menjadi dua kotak dengan luas A 2 dan B 2 dan empat segitiga siku-siku yang sama besar, masing-masing sama dengan segitiga siku-siku ABC. Persegi M"K"O"R" dibagi menjadi segi empat (diarsir pada gambar 269) dan empat segitiga siku-siku, yang masing-masing juga sama dengan segitiga ABC. Segi empat yang diarsir adalah persegi, karena sisi-sisinya sama panjang (masing-masing sama dengan sisi miring segitiga ABC, yaitu Dengan), dan sudutnya siku-siku / 1 + / 2 = 90°, dari mana / 3 = 90°).

Jadi, jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya (pada gambar 268 persegi tersebut diarsir) sama dengan luas persegi MKOR tanpa jumlah luas empat. segitiga sama kaki, dan luas persegi yang dibangun pada sisi miring (pada gambar 269 persegi ini juga diarsir) sama dengan luas persegi M"K"O"R", sama dengan persegi MCOR, tanpa jumlah luas empat segitiga sebangun. Oleh karena itu, luas persegi yang dibangun pada sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.

Kami mendapatkan rumusnya Dengan 2 = sebuah 2 +b 2 dimana Dengan- sisi miring, A Dan B- kaki segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras biasanya dirumuskan secara singkat sebagai berikut:

Kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Dari rumusnya Dengan 2 = sebuah 2 +b 2 Anda bisa mendapatkan rumus berikut:

A 2 = Dengan 2 - B 2 ;
B 2 = Dengan 2 - A 2 .

Rumus ini dapat digunakan untuk mencari sisi segitiga siku-siku yang tidak diketahui dari kedua sisinya.
Misalnya:

a) jika kaki diberikan A= 4 cm, B=3 cm, maka dicari sisi miringnya ( Dengan):
Dengan 2 = sebuah 2 +b 2, yaitu Dengan 2 = 4 2 + 3 2 ; dengan 2 = 25, dari mana Dengan= √25 =5 (cm);

b) jika sisi miring diberikan Dengan= 17 cm dan kaki A= 8 cm, maka kamu dapat mencari kaki yang lain ( B):

B 2 = Dengan 2 - A 2, yaitu B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, dari mana B= √225 = 15 (cm).

Konsekuensi: Jika dua segitiga siku-siku ABC dan A mempunyai 1 B 1 C 1 sisi miring Dengan Dan Dengan 1 sama, dan kaki B segitiga ABC lebih panjang dari kakinya B 1 segitiga A 1 B 1 C 1,
lalu kaki A segitiga ABC lebih kecil dari kakinya A 1 segitiga A 1 B 1 C 1. (Buatlah gambar yang mengilustrasikan konsekuensi ini.)

Faktanya, berdasarkan teorema Pythagoras kita memperoleh:

A 2 = Dengan 2 - B 2 ,
A 1 2 = Dengan 1 2 - B 1 2

Dalam rumus tertulis, minuendnya sama, dan pengurangan pada rumus pertama lebih besar dari pengurangan pada rumus kedua, oleh karena itu, selisih pertama lebih kecil dari selisih kedua,
yaitu A 2 < A 12. Di mana A< A 1 .

Latihan.

1. Dengan menggunakan gambar 270, buktikan teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku sama kaki.

2. Salah satu kaki segitiga siku-siku adalah 12 cm, yang lain 5 cm. Hitunglah panjang sisi miring segitiga tersebut.

3. Sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 10 cm, salah satu kakinya 8 cm. Hitunglah panjang kaki yang lain dari segitiga tersebut.

4. Sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 37 cm, salah satu kakinya 35 cm. Hitunglah panjang kaki yang lain dari segitiga tersebut.

5. Buatlah sebuah persegi dengan luas dua kali luasnya.

6. Buatlah sebuah persegi dengan luas setengah dari luas yang diberikan. Catatan. Gambarlah diagonal pada persegi ini. Kotak yang dibangun pada separuh diagonal ini akan menjadi kotak yang kita cari.

7. Kaki-kaki suatu segitiga siku-siku masing-masing berukuran 12 cm dan 15 cm. Hitunglah panjang sisi miring segitiga tersebut dengan ketelitian 0,1 cm.

8. Sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 20 cm, salah satu kakinya 15 cm. Hitunglah panjang kaki lainnya hingga ketelitian 0,1 cm.

9. Berapa panjang tangga yang harus dipasang agar dapat dipasang pada jendela yang terletak pada ketinggian 6 m, jika ujung bawah tangga harus berjarak 2,5 m dari bangunan? (Bagan 271.)