Saya pikir Anda pantas mendapatkan lebih dari ini. Inilah kunci trigonometri saya:

• Gambarlah kubah, dinding, dan langit-langit
• Fungsi trigonometri tidak lain hanyalah persentase dari ketiga bentuk tersebut.

Metafora sinus dan kosinus: kubah

Daripada hanya melihat segitiga itu sendiri, bayangkan aksinya dengan menemukan contoh spesifik di kehidupan nyata.

Bayangkan Anda berada di tengah-tengah kubah dan ingin menggantung layar proyektor film. Anda mengarahkan jari Anda ke kubah pada sudut tertentu “x”, dan layar harus digantung dari titik ini.

Sudut yang Anda tunjuk menentukan:

• sinus(x) = sin(x) = tinggi layar (dari lantai ke titik pemasangan kubah)
• cosinus(x) = cos(x) = jarak dari Anda ke layar (menurut lantai)
• sisi miring, jarak dari Anda ke bagian atas layar, selalu sama, sama dengan jari-jari kubah

Apakah Anda ingin layarnya sebesar mungkin? Gantungkan tepat di atas Anda.

Apakah Anda ingin layar digantung sejauh mungkin dari Anda? Gantung lurus tegak lurus. Layar akan memiliki ketinggian nol pada posisi ini dan akan menggantung paling jauh, seperti yang Anda minta.

Tinggi dan jarak dari layar berbanding terbalik: semakin dekat layar digantung, semakin besar tingginya.

Sinus dan kosinus adalah persentase

Sayangnya, selama bertahun-tahun saya belajar, tidak ada seorang pun yang menjelaskan kepada saya bahwa fungsi trigonometri sinus dan kosinus tidak lebih dari persentase. Nilainya berkisar dari +100% hingga 0 hingga -100%, atau dari maksimum positif hingga nol hingga maksimum negatif.

Katakanlah saya membayar pajak sebesar 14 rubel. Anda tidak tahu berapa jumlahnya. Tetapi jika Anda mengatakan bahwa saya membayar pajak sebesar 95%, Anda akan mengerti bahwa saya hanya ditipu.

Tinggi mutlak tidak berarti apa-apa. Tetapi jika nilai sinusnya 0,95, maka saya mengerti bahwa TV tersebut tergantung hampir di atas kubah Anda. Segera ia akan mencapai ketinggian maksimumnya di tengah kubah, dan kemudian mulai menurun lagi.

Bagaimana cara menghitung persentase ini? Caranya sangat sederhana: bagilah tinggi layar saat ini dengan jumlah maksimum yang mungkin (jari-jari kubah, juga disebut sisi miring).

Itu sebabnya kita diberitahu bahwa “cosinus = sisi berlawanan / sisi miring.” Ini semua tentang mendapatkan minat! Yang terbaik adalah mendefinisikan sinus sebagai “persentase ketinggian saat ini dari ketinggian maksimum yang mungkin”. (Sinus menjadi negatif jika sudut Anda mengarah ke “bawah tanah.” Kosinus menjadi negatif jika sudut mengarah ke titik kubah di belakang Anda.)

Mari kita sederhanakan perhitungannya dengan mengasumsikan kita berada di pusat lingkaran satuan (radius = 1). Kita bisa melewati pembagian dan mengambil sinus sama dengan tingginya.

Setiap lingkaran pada dasarnya adalah sebuah unit, diperbesar atau diperkecil skalanya ukuran yang tepat. Jadi tentukan koneksi lingkaran satuan dan terapkan hasilnya pada ukuran lingkaran spesifik Anda.

Eksperimen: ambil sudut mana pun dan lihat berapa persentase tinggi dan lebar yang ditampilkan:

Grafik pertumbuhan nilai sinus tidak sekedar garis lurus. 45 derajat pertama mencakup 70% ketinggian, namun 10 derajat terakhir (dari 80° hingga 90°) hanya mencakup 2%.

Hal ini akan memperjelas bagi Anda: jika Anda berjalan melingkar, pada suhu 0° Anda akan naik hampir secara vertikal, namun saat Anda mendekati puncak kubah, perubahan ketinggiannya semakin berkurang.

Garis singgung dan garis potong. Dinding

Suatu hari seorang tetangga membangun tembok tepat bersebelahan ke kubahmu. Menangis pemandangan Anda dari jendela dan harga bagus untuk dijual kembali!

Tetapi apakah mungkin untuk menang dalam situasi ini?

Tentu saja ya. Bagaimana jika kita menggantungkan layar film tepat di dinding tetangga kita? Anda menargetkan sudut (x) dan mendapatkan:

• tan(x) = tan(x) = tinggi layar di dinding
• jarakmu ke tembok: 1 (ini jari-jari kubahmu, tembok tidak bergerak kemana pun darimu kan?)
• garis potong(x) = detik(x) = “panjang tangga” dari Anda berdiri di tengah kubah hingga puncak layar gantung

Mari kita perjelas beberapa poin mengenai garis singgung, atau tinggi layar.

• itu dimulai dari 0, dan bisa menjadi sangat tinggi. Anda dapat meregangkan layar semakin tinggi di dinding untuk membuat kanvas tanpa akhir untuk menonton film favorit Anda! (Untuk yang sebesar itu tentunya harus mengeluarkan banyak uang).
• tangen hanyalah versi sinus yang lebih besar! Dan meskipun peningkatan sinus melambat saat Anda bergerak menuju puncak kubah, garis singgungnya terus bertambah!

Sekansu juga memiliki sesuatu untuk dibanggakan:

• Garis potong dimulai dari 1 (tangga ada di lantai, dari Anda ke dinding) dan mulai naik dari sana
• Garis potong selalu lebih panjang dari garis singgung. Tangga miring yang Anda gunakan untuk menggantung layar harus lebih panjang dari layar itu sendiri, bukan? (Dengan ukuran yang tidak realistis, ketika layarnya sangat panjang dan tangga harus ditempatkan hampir vertikal, ukurannya hampir sama. Namun potongannya akan sedikit lebih panjang).

Ingat, nilainya adalah persen. Jika Anda memutuskan untuk menggantung layar pada sudut 50 derajat, tan(50)=1,19. Layar Anda 19% lebih besar dari jarak ke dinding (radius kubah).

(Masukkan x=0 dan periksa intuisi Anda - tan(0) = 0 dan detik(0) = 1.)

Kotangen dan kosekan. Langit-langit

Hebatnya, tetangga Anda kini memutuskan untuk membangun atap di atas kubah Anda. (Ada apa dengan dia? Rupanya dia tidak ingin kamu memata-matainya saat dia berjalan telanjang di halaman...)

Nah, inilah waktunya membangun jalan keluar ke atap dan berbicara dengan tetangga Anda. Anda memilih sudut kemiringan dan memulai konstruksi:

• jarak vertikal antara outlet atap dan lantai selalu 1 (jari-jari kubah)
• kotangen(x) = cot(x) = jarak antara puncak kubah dan titik keluar
• cosecant(x) = csc(x) = panjang jalan menuju atap

Garis singgung dan garis potong menggambarkan dinding, sedangkan COtangent dan COsecant menggambarkan langit-langit.

Kesimpulan intuitif kami kali ini serupa dengan kesimpulan sebelumnya:

• Jika Anda mengambil sudut sama dengan 0°, jalan keluar Anda ke atap akan bertahan selamanya, karena tidak akan pernah mencapai langit-langit. Masalah.
• “Tangga” terpendek ke atap akan diperoleh jika Anda membangunnya dengan sudut 90 derajat ke lantai. Kotangennya akan sama dengan 0 (kita tidak bergerak di sepanjang atap sama sekali, kita keluar secara tegak lurus), dan kosekan akan sama dengan 1 (“panjang tangga” akan minimal).

Visualisasikan koneksi

Jika ketiga kasus tersebut digambar dalam kombinasi kubah-dinding-langit-langit, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

Ya, masih segitiga yang sama, diperbesar ukurannya hingga mencapai dinding dan langit-langit. Kita mempunyai sisi vertikal (sinus, tangen), sisi horizontal (kosinus, kotangen) dan “sisi miring” (garis potong, kosekan). (Dengan panah Anda dapat melihat jangkauan setiap elemen. Kosekan adalah jarak total dari Anda ke atap).

Sedikit keajaiban. Semua segitiga mempunyai persamaan yang sama:

Dari teorema Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) kita melihat bagaimana sisi-sisi setiap segitiga dihubungkan. Selain itu, rasio “tinggi dan lebar” juga harus sama untuk semua segitiga. (Cukup berpindah dari segitiga terbesar ke segitiga lebih kecil. Ya, ukurannya telah berubah, tetapi proporsi sisi-sisinya akan tetap sama).

Mengetahui sisi mana pada setiap segitiga yang sama dengan 1 (jari-jari kubah), kita dapat dengan mudah menghitung bahwa “sin/cos = tan/1”.

Saya selalu berusaha mengingat fakta-fakta ini melalui visualisasi sederhana. Dalam gambar Anda dengan jelas melihat ketergantungan ini dan memahami dari mana asalnya. Teknik ini jauh lebih baik dibandingkan menghafal rumus kering.

Jangan lupakan sudut lainnya

Psst... Jangan terjebak pada satu grafik, mengira garis singgungnya selalu kurang dari 1. Jika sudutnya diperbesar, Anda bisa mencapai langit-langit tanpa mencapai dinding:

Koneksi Pythagoras selalu berhasil, tetapi ukuran relatifnya mungkin berbeda-beda.

(Anda mungkin telah memperhatikan bahwa rasio sinus dan cosinus selalu yang terkecil karena keduanya terdapat di dalam kubah).

Ringkasnya: apa yang perlu kita ingat?

Bagi sebagian besar dari kita, menurut saya ini sudah cukup:

• trigonometri menjelaskan anatomi objek matematika seperti lingkaran dan interval berulang
• analogi kubah/dinding/atap menunjukkan hubungan antar yang berbeda fungsi trigonometri
• Fungsi trigonometri menghasilkan persentase, yang kita terapkan pada skenario kita.

Anda tidak perlu menghafal rumus seperti 1 2 + cot 2 = csc 2 . Mereka hanya cocok untuk tes bodoh di mana pengetahuan tentang suatu fakta dianggap sebagai pemahaman. Luangkan waktu sebentar untuk menggambar setengah lingkaran dalam bentuk kubah, dinding dan atap, beri label pada elemen-elemennya, dan semua rumus akan muncul di atas kertas.

Aplikasi: Fungsi Invers

Fungsi trigonometri apa pun menggunakan sudut sebagai parameter masukan dan mengembalikan hasilnya sebagai persentase. dosa(30) = 0,5. Artinya sudut 30 derajat menempati 50% dari ketinggian maksimum.

Fungsi trigonometri terbalik dituliskan sebagai sin -1 atau arcsin. Asin juga sering ditulis dalam berbagai bahasa pemrograman.

Jika tinggi kita 25% dari tinggi kubah, berapakah sudut kita?

Dalam tabel proporsi kami, Anda dapat menemukan rasio di mana garis potong dibagi 1. Misalnya, garis potong dengan 1 (sisi miring terhadap horizontal) akan sama dengan 1 dibagi kosinus:

Katakanlah garis potong kita adalah 3,5, mis. 350% jari-jari lingkaran satuan. Berapa sudut kemiringan dinding yang sesuai dengan nilai ini?

Lampiran: Beberapa contoh

Contoh: Carilah sinus sudut x.

Sebuah tugas yang membosankan. Mari kita rumitkan “temukan sinus” yang dangkal menjadi “Berapa tinggi sebagai persentase maksimum (sisi miring)?”

Pertama, perhatikan bahwa segitiga itu diputar. Tidak ada yang salah dengan itu. Segitiga juga mempunyai tinggi, ditunjukkan dengan warna hijau pada gambar.

Berapakah sisi miringnya? Berdasarkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa:

3 2 + 4 2 = sisi miring 2 25 = sisi miring 2 5 = sisi miring

Bagus! Sinus adalah persentase tinggi sisi terpanjang atau sisi miring segitiga. Dalam contoh kita, sinusnya adalah 3/5 atau 0,60.

Tentu saja, kita bisa menempuh beberapa cara. Sekarang kita tahu bahwa sinusnya adalah 0,60, kita dapat mencari arcsinusnya:

Asin(0,6)=36,9

Inilah pendekatan lain. Perhatikan bahwa segitiga tersebut “menghadap dinding”, jadi kita dapat menggunakan garis singgung sebagai ganti sinus. Tingginya 3, jarak ke tembok 4, jadi garis singgungnya adalah ¾ atau 75%. Kita dapat menggunakan tangen busur untuk berpindah dari nilai persentase kembali ke suatu sudut:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Contoh: Maukah kamu berenang ke pantai?

Anda berada di dalam perahu dan memiliki cukup bahan bakar untuk menempuh jarak 2 km. Anda sekarang berada 0,25 km dari pantai. Pada sudut maksimum ke pantai berapakah Anda dapat berenang ke sana sehingga Anda memiliki cukup bahan bakar? Tambahan pada rumusan masalah: kita hanya mempunyai tabel nilai arc cosinus.

Apa yang kita miliki? Garis pantai dapat direpresentasikan sebagai “dinding” dalam segitiga terkenal kita, dan “panjang tangga” yang menempel pada dinding adalah jarak maksimum yang mungkin ditempuh perahu ke pantai (2 km). Sebuah garis potong muncul.

Pertama, Anda perlu melihat persentasenya. Kita mempunyai 2 / 0,25 = 8, yaitu kita dapat berenang dengan jarak 8 kali jarak lurus ke pantai (atau ke dinding).

Timbul pertanyaan: “Apa yang dimaksud dengan garis potong 8?” Tapi kita tidak bisa menjawabnya, karena kita hanya punya arc cosinus.

Kita menggunakan dependensi yang diturunkan sebelumnya untuk menghubungkan garis potong dengan kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekan 8 sama dengan cosinus⅛. Sudut yang kosinusnya sama dengan acos(1/8) = 82,8. Dan ini adalah sudut terbesar yang mampu kita peroleh pada kapal dengan jumlah bahan bakar yang ditentukan.

Tidak buruk, bukan? Tanpa analogi langit-langit-dinding-kubah, saya akan tersesat dalam banyak rumus dan perhitungan. Memvisualisasikan masalah sangat menyederhanakan pencarian solusi, dan menarik juga untuk melihat fungsi trigonometri mana yang pada akhirnya akan membantu.

Untuk setiap soal, pikirkan seperti ini: Apakah saya tertarik pada kubah (sin/cos), dinding (tan/detik), atau langit-langit (ranjang bayi/csc)?

Dan trigonometri akan menjadi lebih menyenangkan. Perhitungan mudah untuk Anda!

Sinus dan kosinus awalnya muncul dari kebutuhan untuk menghitung besaran pada segitiga siku-siku. Telah diketahui bahwa jika besar derajat sudut-sudut dalam segitiga siku-siku tidak berubah, maka perbandingan aspeknya, tidak peduli seberapa besar perubahan panjang sisi-sisinya, selalu tetap sama.

Dari sinilah konsep sinus dan cosinus diperkenalkan. Sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi miring, dan kosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.

Teorema cosinus dan sinus

Namun cosinus dan sinus dapat digunakan lebih dari sekedar segitiga siku-siku. Untuk mencari nilai sudut atau sisi tumpul atau lancip suatu segitiga, cukup menerapkan teorema kosinus dan sinus.

Teorema kosinus cukup sederhana: “Kuadrat dari sisi-sisi suatu segitiga sama dengan jumlahnya kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya.”

Ada dua interpretasi teorema sinus: kecil dan diperluas. Menurut anak di bawah umur: “Dalam segitiga, sudut-sudutnya sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan.” Teorema ini sering kali diperluas karena sifat lingkaran yang dibatasi suatu segitiga: “Dalam suatu segitiga, sudut-sudutnya sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan, dan perbandingannya sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi itu.”

Derivatif

Turunan adalah alat matematika yang menunjukkan seberapa cepat suatu fungsi berubah relatif terhadap perubahan argumennya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan di sejumlah disiplin ilmu teknis.

Saat menyelesaikan masalah, Anda perlu mengetahui nilai tabel turunan fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Turunan sinus adalah kosinus, dan kosinus adalah sinus, tetapi bertanda minus.

Penerapan dalam matematika

Sinus dan cosinus terutama sering digunakan dalam menyelesaikan segitiga siku-siku dan masalah-masalah yang berkaitan dengannya.

Kemudahan sinus dan cosinus juga tercermin dalam teknologi. Sangat mudah untuk mengevaluasi sudut dan sisi menggunakan teorema kosinus dan sinus, dengan menguraikannya angka yang kompleks dan benda menjadi segitiga “sederhana”. Insinyur yang sering menangani penghitungan rasio aspek dan ukuran derajat menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk menghitung kosinus dan sinus sudut non-tabular.

Kemudian tabel Bradis datang untuk menyelamatkan, berisi ribuan nilai sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen. sudut yang berbeda. DI DALAM waktu Soviet beberapa guru memaksa siswanya untuk menghafal halaman tabel Bradis.

Radian adalah nilai sudut suatu busur yang panjangnya sama dengan jari-jari atau 57.295779513° derajat.

Derajat (dalam geometri) - 1/360 bagian lingkaran atau 1/90 bagian sudut kanan.

π = 3,141592653589793238462… (nilai perkiraan Pi).

Tabel kosinus sudut: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Sudut x (dalam derajat)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Sudut x (dalam radian)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
karena x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Artikel ini berisi tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen. Pertama kita akan memberikan tabel nilai dasar fungsi trigonometri yaitu tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut 0, 30, 45, 60, 90,…, 360 derajat ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Setelah itu, kami akan memberikan tabel sinus dan cosinus, serta tabel garis singgung dan kotangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan tabel tersebut saat mencari nilai fungsi trigonometri.

Navigasi halaman.

Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat

Bibliografi.

• Aljabar: Buku pelajaran untuk kelas 9. rata-rata sekolah/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Pendidikan, 1990. - 272 hal.: sakit
• Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
• Bradis V.M. Tabel matematika empat digit: Untuk pendidikan umum. buku pelajaran perusahaan. - edisi ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 hal.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2

Salah satu bidang matematika yang paling sulit dikuasai siswa adalah trigonometri. Tidak mengherankan: untuk leluasa menguasai bidang ilmu ini, diperlukan pemikiran spasial, kemampuan mencari sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dengan menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan mampu menggunakan bilangan pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus bisa menggunakan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini memerlukan memori matematika yang berkembang atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logika yang kompleks.

Asal usul trigonometri

Mengenal ilmu ini sebaiknya diawali dengan pengertian sinus, cosinus dan tangen suatu sudut, namun terlebih dahulu perlu dipahami terlebih dahulu apa fungsi trigonometri secara umum.

Secara historis, objek kajian utama pada bagian ini ilmu matematika adalah segitiga siku-siku. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk dilakukan berbagai operasi, memungkinkan Anda menentukan nilai semua parameter gambar yang dimaksud menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai menggunakannya secara aktif dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya orang membicarakan hubungan sudut dan sisi hanya dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku. Kemudian ditemukan formula khusus yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan Kehidupan sehari-hari cabang matematika ini.

Pembelajaran trigonometri di sekolah saat ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu siswa menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fisika dan memecahkan masalah abstrak. persamaan trigonometri, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.

Trigonometri bola

Belakangan, ketika ilmu pengetahuan mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, yang menerapkan aturan berbeda, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain mana pun berbentuk cembung, yang berarti setiap tanda permukaan akan “berbentuk busur” dalam ruang tiga dimensi.

Ambil globe dan utasnya. Pasangkan benang ke dua titik mana pun pada bola bumi agar kencang. Harap dicatat - itu berbentuk busur. Geometri bola berkaitan dengan bentuk-bentuk seperti itu, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara penggunaan trigonometri, mari kita kembali ke trigonometri dasar agar lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya, dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Ini yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, itu nilai numerik sama dengan akar jumlah kuadrat kedua sisi lainnya.

Misalnya, jika kedua sisinya masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, maka panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno mengetahui hal ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi sisanya yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut pada segitiga pada sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Terakhir, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometri, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa sinus dan cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default adalah yang terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, sisi miringnya akan lebih pendek dari sisi miringnya, yang berarti rasionya akan selalu kurang dari satu. Oleh karena itu, jika dalam jawaban suatu soal Anda mendapatkan sinus atau cosinus yang nilainya lebih besar dari 1, carilah kesalahan dalam perhitungan atau penalarannya. Jawaban ini jelas salah.

Terakhir, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Membagi sinus dengan cosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: sesuai rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, lalu membaginya dengan panjang sisi kedua dan mengalikannya dengan sisi miring. Dengan demikian, kita memperoleh hubungan yang sama seperti pada definisi tangen.

Oleh karena itu, kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berlawanan. Kita mendapatkan hasil yang sama dengan membagi satu dengan garis singgung.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, dan kita bisa beralih ke rumusnya.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri Anda tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa rumus tersebut? Tapi inilah yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui saat mulai mempelajari trigonometri adalah jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, namun menghemat waktu jika Anda perlu mengetahui besar sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa yang tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika menyelesaikan soal sekolah: jumlah satu dan kuadrat garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi kuadrat kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua ruas identitasnya dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana bisa melakukannya rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, aturan transformasi, dan beberapa rumus dasar, Anda dapat kapan saja secara mandiri memperoleh bilangan lebih yang diperlukan. rumus yang rumit di selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penjumlahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus jumlah dan selisih sudut. Mereka disajikan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, hasil kali berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai pelatihan, cobalah mendapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudutnya beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat disusun ulang untuk mengurangi pangkat sinus, kosinus, tangen alfa.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus, dan tangen, dan luas bangun, ukuran setiap sisinya, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan sudut yang berhadapan akan menghasilkan bilangan yang sama. Selain itu, bilangan ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang memuat semua titik pada segitiga tertentu.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras dengan memproyeksikannya ke segitiga mana pun. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisinya, kurangi hasil kali keduanya dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan yang ceroboh

Walaupun mengetahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen, kita mudah saja melakukan kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari kita lihat kesalahan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan menjadi desimal sampai Anda mendapatkan hasil akhir - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali dinyatakan lain dalam ketentuan. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah mungkin muncul akar-akar baru, yang menurut gagasan penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Hal ini terutama berlaku untuk nilai-nilai seperti akar tiga atau akar dua, karena nilai-nilai tersebut ditemukan dalam masalah di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka “jelek”.

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak berlaku untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa mengurangi dua kali hasil kali sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi Anda juga akan menunjukkan kurangnya pemahaman tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung antara nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingatlah nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk membingungkan mereka, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri karena belum memahami makna praktisnya. Apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen bagi seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep yang dapat digunakan untuk menghitung jarak ke bintang-bintang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, atau mengirim wahana penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil membangun gedung, merancang mobil, menghitung beban pada suatu permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanyalah contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi kamu sinus, kosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil menyelesaikan masalah sekolah.

Inti dari trigonometri adalah bahwa dengan menggunakan parameter segitiga yang diketahui, Anda perlu menghitung yang tidak diketahui. Ada total enam parameter: panjang tiga sisi dan ukuran tiga sudut. Satu-satunya perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang diberikan berbeda.

Anda sekarang tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari suatu rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari soal trigonometri adalah menemukan akar-akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematika sekolah reguler akan membantu Anda.

Contoh:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argumen dan makna

Kosinus sudut lancip

Kosinus sudut lancip dapat ditentukan dengan menggunakan segitiga siku-siku - itu sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Contoh :

1) Misalkan suatu sudut diberikan dan kita perlu menentukan kosinus sudut ini.

2) Mari kita selesaikan sembarang segitiga siku-siku pada sudut ini.

3) Setelah mengukur sisi-sisi yang diperlukan, kita dapat menghitung kosinusnya.

Kosinus suatu bilangan

Lingkaran bilangan memungkinkan Anda menentukan kosinus suatu bilangan, tetapi biasanya Anda menemukan kosinus bilangan yang berkaitan dengan: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Misalnya, untuk bilangan \(\frac(π)(6)\) - kosinusnya akan sama dengan \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Dan untuk bilangan \(-\)\(\frac(3π)(4)\) akan sama dengan \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (kira-kira \ (-0 ,71\)).

Untuk kosinus bilangan lain yang sering ditemui dalam praktik, lihat.

Nilai cosinus selalu berada pada rentang \(-1\) hingga \(1\). Dalam hal ini, kosinus dapat dihitung untuk semua sudut dan bilangan.

Cosinus dari sudut mana pun

Terimakasih untuk lingkaran angka Anda dapat menentukan kosinus tidak hanya sudut lancip, tetapi juga sudut tumpul, negatif, dan bahkan lebih besar dari \(360°\) (putaran penuh). Cara melakukannya lebih mudah dilihat sekali daripada didengar \(100\) kali, jadi lihatlah gambarnya.

Sekarang penjelasannya: misalkan kita perlu menentukan kosinus sudut KOA dengan ukuran derajat \(150°\). Menggabungkan intinya TENTANG dengan pusat lingkaran, dan sisinya OKE– dengan sumbu \(x\). Setelah ini, sisihkan \(150°\) berlawanan arah jarum jam. Maka ordinat titik tersebut A akan menunjukkan kepada kita kosinus sudut ini.

Jika kita tertarik pada sudut yang besarnya derajat, misalnya \(-60°\) (sudut KOV), lakukan hal yang sama, tetapi atur \(60°\) searah jarum jam.

Dan terakhir, sudutnya lebih besar dari \(360°\) (sudut CBS) - semuanya mirip dengan yang bodoh, hanya setelah memutar penuh searah jarum jam, kita pergi ke lingkaran kedua dan "mendapatkan derajat yang kurang". Khususnya, dalam kasus kita, sudut \(405°\) diplot sebagai \(360° + 45°\).

Mudah ditebak bahwa untuk memplot sudut, misalnya, di \(960°\), Anda perlu membuat dua putaran (\(360°+360°+240°\)), dan untuk sudut di \(2640 °\) - keseluruhan tujuh.

Seperti yang dapat Anda gantikan, kosinus suatu bilangan dan kosinus suatu sudut sembarang didefinisikan hampir sama. Hanya cara menemukan titik pada lingkaran yang berubah.

Tanda cosinus per perempat

Dengan menggunakan sumbu kosinus (yaitu sumbu absis, yang disorot dengan warna merah pada gambar), mudah untuk menentukan tanda kosinus sepanjang lingkaran numerik (trigonometri):

Dimana nilai pada sumbu dari \(0\) hingga \(1\), cosinus akan memiliki tanda plus (kuartal I dan IV - area hijau),
- dimana nilai pada sumbu dari \(0\) hingga \(-1\), kosinus akan memiliki tanda minus (kuartal II dan III - area ungu).

Kaitannya dengan fungsi trigonometri lainnya:

- sudut (atau angka) yang sama: utama identitas trigonometri\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- sudut (atau bilangan) yang sama: dengan rumus \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- dan sinus sudut (atau bilangan) yang sama: rumus \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Untuk rumus lain yang paling umum digunakan, lihat.

Penyelesaian persamaan \(\cos⁡x=a\)

Penyelesaian persamaan \(\cos⁡x=a\), dimana \(a\) adalah bilangan yang tidak lebih besar dari \(1\) dan tidak kurang dari \(-1\), yaitu \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Jika \(a>1\) atau \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Contoh . Selesaikan persamaan trigonometri \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Larutan:

Mari selesaikan persamaan menggunakan lingkaran bilangan. Untuk ini:
1) Mari kita buat sumbunya.
2) Mari kita membuat lingkaran.
3) Pada sumbu cosinus (sumbu \(y\)) tandai titik \(\frac(1)(2)\) .
4) Gambarlah garis tegak lurus terhadap sumbu kosinus melalui titik ini.
5) Tandai titik potong garis tegak lurus dan lingkaran.
6) Mari kita tandatangani nilai titik-titik ini: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Mari kita tuliskan semua nilai yang berhubungan dengan titik-titik ini menggunakan rumus \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Menjawab: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fungsi \(y=\cos(x)\)

Jika kita memplot sudut dalam radian sepanjang sumbu \(x\), dan nilai kosinus yang sesuai dengan sudut-sudut tersebut di sepanjang sumbu \(y\), kita mendapatkan grafik berikut:

Grafik ini disebut dan memiliki properti berikut:

Domain definisinya adalah nilai x apa pun: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- rentang nilai – dari \(-1\) hingga \(1\) inklusif: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- genap: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodik dengan periode \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- titik potong dengan sumbu koordinat:
sumbu absis: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), di mana \(n ϵ Z\)
Sumbu Y: \((0;1)\)
- interval keteguhan tanda:
fungsinya positif pada interval: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), dimana \(n ϵ Z\)
fungsinya negatif pada interval: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), dimana \(n ϵ Z\)
- interval kenaikan dan penurunan:
fungsi bertambah pada interval: \((π+2πn;2π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi menurun pada interval: \((2πn;π+2πn)\), di mana \(n ϵ Z\)
- fungsi maksimum dan minimum:
fungsi tersebut memiliki nilai maksimum \(y=1\) di titik \(x=2πn\), di mana \(n ϵ Z\)
fungsi tersebut memiliki nilai minimum \(y=-1\) di titik \(x=π+2πn\), di mana \(n ϵ Z\).