1. Хамгийн бага тооТетраэдр нь 6 ирмэгтэй.

2. Призм n нүүртэй. Түүний суурь дээр ямар олон өнцөгт байрладаг вэ?

(n - 2) - дөрвөлжин.

3. Призмийн хажуугийн хоёр нүүр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал шулуун байх уу?

Тийм ээ.

4. Аль призмд хажуугийн ирмэгүүд нь түүний өндөртэй параллель байна вэ?

Шулуун призм дээр.

5. Бүх ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү бол призм тогтмол уу?

Үгүй ээ, энэ нь шууд биш байж магадгүй юм.

6. Налуу призмийн аль нэг талын өндөр нь призмийн өндөртэй адил байж болох уу?

Тиймээ, хэрэв энэ нүүр нь суурьтай перпендикуляр байвал.

7. Үүнд: а) хажуугийн ирмэг нь суурийн зөвхөн нэг ирмэгт перпендикуляр байх призм байгаа эсэх; б) зөвхөн нэг талын нүүр нь сууринд перпендикуляр байна уу?

а) тийм. б) үгүй.

8. Энгийн гурвалжин призмийг суурийн дунд шугамаар дайран өнгөрөх хавтгайгаар хоёр призмд хуваана. Эдгээр призмүүдийн хажуугийн гадаргуугийн талбайн харьцаа хэд вэ?

27-р теоремоор бид хажуугийн гадаргуу нь 5: 3 харьцаатай байгааг олж мэдэв

9. Хажуугийн нүүр нь энгийн гурвалжин байвал пирамид жигд байх уу?

10. Пирамид суурийн хавтгайд перпендикуляр хэдэн нүүртэй байж болох вэ?

11. Эсрэг тал нь суурьтай перпендикуляр байдаг дөрвөлжин пирамид байдаг уу?

Үгүй, эс тэгвээс пирамидын оройг дамжин суурьтай перпендикуляр дор хаяж хоёр шулуун шугам байх болно.

12. Гурвалжин пирамидын бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин байж чадах уу?

Тийм (Зураг 183).

"А-г авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай дуусгахМатематикийн улсын нэгдсэн шалгалт 60-65 оноо. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудУлсын нэгдсэн шалгалтын шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Визуал тайлбар нарийн төвөгтэй ойлголтууд. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

Шулуун призмийн тухай ерөнхий мэдээлэл

Призмийн хажуугийн гадаргууг (илүү нарийвчлалтай, хажуугийн гадаргуугийн талбай) гэж нэрлэдэг нийлбэрхажуугийн нүүрний хэсгүүд. Призмийн нийт гадаргуу нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Теорем 19.1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн үржвэр, өөрөөр хэлбэл хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна.

Баталгаа. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт юм. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн суурь нь призмийн суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн талууд бөгөөд өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү байна

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

a 1 ба n нь суурийн ирмэгүүдийн урт, p нь призмийн суурийн периметр, I нь хажуугийн ирмэгүүдийн урт юм. Теорем нь батлагдсан.

Практик даалгавар

Асуудал (22) . Энэ нь налуу призм дээр хийгддэг Хэсэг, хажуугийн хавиргатай перпендикуляр, бүх хажуугийн хавиргатай огтлолцдог. Хэсгийн периметр нь p, хажуугийн ирмэг нь l-тэй тэнцүү бол призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Шийдэл. Зурсан хэсгийн хавтгай нь призмийг хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 411). Тэдгээрийн аль нэгийг призмийн суурийг нэгтгэн зэрэгцээ орчуулгад оруулъя. Энэ тохиолдолд бид шулуун призмийг олж авдаг бөгөөд түүний суурь нь анхны призмийн хөндлөн огтлол бөгөөд хажуугийн ирмэгүүд нь l-тэй тэнцүү байна. Энэ призм нь анхныхтай ижил хажуу гадаргуутай. Тиймээс анхны призмийн хажуугийн гадаргуу нь pl-тэй тэнцүү байна.

Хамрах сэдвийн хураангуй

Одоо призмийн тухай хөндсөн сэдвээ нэгтгэн дүгнэж, призм ямар шинж чанартай байдгийг санахыг хичээцгээе.

Призмийн шинж чанарууд

Нэгдүгээрт, призм нь бүх суурь нь тэнцүү олон өнцөгт хэлбэртэй байдаг;
Хоёрдугаарт, призм нь бүх зүйлтэй хажуугийн нүүрнүүдпараллелограммууд;
Гуравдугаарт, призм гэх мэт олон талт дүрст бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;

Түүнчлэн, призм гэх мэт олон өнцөгтүүд шулуун эсвэл налуу байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Аль призмийг шулуун призм гэж нэрлэдэг вэ?

Хэрэв призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байрладаг бол ийм призмийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Шулуун призмийн хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гэдгийг санах нь илүүц байх болно.

Ямар төрлийн призмийг ташуу гэж нэрлэдэг вэ?

Гэхдээ призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байрладаггүй бол түүнийг налуу призм гэж баттай хэлж чадна.

Аль призмийг зөв гэж нэрлэдэг вэ?

Шулуун призмийн сууринд жирийн олон өнцөгт байрладаг бол ийм призм тогтмол байна.

Одоо ердийн призмийн шинж чанаруудыг санацгаая.

Ердийн призмийн шинж чанарууд

Нэгдүгээрт, ердийн олон өнцөгт нь ердийн призмийн суурь болдог;
Хоёрдугаарт, хэрэв бид ердийн призмийн хажуугийн нүүрийг авч үзвэл тэдгээр нь үргэлж байх болно тэнцүү тэгш өнцөгтүүд;
Гуравдугаарт, хэрэв та хажуугийн хавирганы хэмжээг харьцуулж үзвэл ердийн призм дээр тэдгээр нь үргэлж тэнцүү байдаг.
Дөрөвдүгээрт, зөв ​​призм үргэлж шулуун байдаг;
Тавдугаарт, хэрэв ердийн призм дээр хажуугийн нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал ийм дүрсийг ихэвчлэн хагас тогтмол олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Призмийн хөндлөн огтлол

Одоо призмийн хөндлөн огтлолыг харцгаая.

Гэрийн даалгавар

Одоо сурсан сэдвээ бодлого шийдвэрлэж нэгтгэхийг хичээцгээе.

Налуу гурвалжин призмийг зуръя, түүний ирмэг хоорондын зай нь 3 см, 4 см, 5 см байх ба энэ призмийн хажуугийн гадаргуу нь 60 см2-тэй тэнцүү байна. Эдгээр параметрүүдтэй бол энэ призмийн хажуугийн ирмэгийг ол.

Геометрийн дүрсүүд зөвхөн геометрийн хичээлээр төдийгүй биднийг байнга хүрээлж байдгийг та мэдэх үү? Өдөр тутмын амьдралНэг буюу өөр геометрийн дүрстэй төстэй объектууд байдаг.

Гэртээ, сургууль дээрээ эсвэл ажил дээрээ хүн бүр системийн нэгж нь шулуун призм шиг хэлбэртэй компьютертэй байдаг.

Хэрэв та энгийн харандаа авбал харандааны гол хэсэг нь призм болохыг харах болно.

Хотын төв гудамжаар алхаж явахад бидний хөл дор зургаан өнцөгт призм хэлбэртэй хавтан хэвтэж байгааг бид харж байна.

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг

Олон талт

Стереометрийн судалгааны гол объект нь орон зайн биетүүд юм. Биетодорхой гадаргуугаар хязгаарлагдах орон зайн хэсгийг илэрхийлнэ.

Олон өнцөгтгадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх бие юм. Гадаргуу дээрх хавтгай олон өнцөгт бүрийн хавтгайн нэг талд байрлаж байвал олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Ийм хавтгайн нийтлэг хэсэг ба олон талт гадаргуу гэж нэрлэдэг ирмэг. Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь хавтгай гүдгэр олон өнцөгт юм. Нүүрний хажуу талууд гэж нэрлэгддэг олон өнцөгтийн ирмэгүүд, оройнууд нь байна олон өнцөгтийн оройнууд.

Жишээлбэл, шоо нь түүний нүүр царай болох зургаан квадратаас бүрдэнэ. Энэ нь 12 ирмэг (дөрвөлжингийн талууд) ба 8 орой (дөрвөлжингийн орой) агуулдаг.

Хамгийн энгийн олон өнцөгтүүд бол призм ба пирамидууд бөгөөд бид цаашид судлах болно.

Призм

Призмийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд

Призмнь хоёр хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх олон өнцөгт юм зэрэгцээ хавтгайнуудзэрэгцээ орчуулгатай хослуулсан ба эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментүүд. Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг призмийн суурь, мөн олон өнцөгтүүдийн харгалзах оройг холбосон хэрчмүүд байна призмийн хажуугийн ирмэгүүд.

Призмийн өндөртүүний суурийн хавтгай хоорондын зай () гэж нэрлэдэг. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр оройг холбосон хэрчмийг гэнэ призм диагональ(). Призмийг нэрлэдэг n-нүүрстөрөгч, хэрэв түүний суурь нь n-gon байвал.

Аливаа призм нь дараахь шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь призмийн суурийг параллель орчуулгаар нэгтгэдэг.

1. Призмийн сууриуд тэнцүү байна.

2. Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

Призмийн гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуу. Призмийн хажуугийн гадаргуу нь параллелограммуудаас бүрдэнэ (энэ нь призмийн шинж чанараас хамаарна). Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм.

Шулуун призм

Призмийг нэрлэдэг Чигээрээ, хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь суурийн перпендикуляр байвал. Үгүй бол призмийг дуудна налуу.

Зөв призмийн нүүрүүд нь тэгш өнцөгт юм. Шулуун призмийн өндөр нь түүний хажуугийн гадаргуутай тэнцүү байна.

Бүрэн призм гадаргуухажуугийн гадаргуугийн талбай ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Зөв призмээрСууриндаа жирийн олон өнцөгттэй зөв призм гэж нэрлэдэг.

Теорем 13.1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй (эсвэл хажуугийн ирмэгээр ижил) тэнцүү байна.

Баталгаа. Зөв призмийн хажуу талууд нь тэгш өнцөгтүүд бөгөөд тэдгээрийн суурь нь призмийн суурийн олон өнцөгтүүдийн талууд, өндөр нь призмийн хажуугийн ирмэгүүд юм. Дараа нь, тодорхойлолтоор, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

,

шулуун призмийн суурийн периметр хаана байна.

Параллелепипед

Хэрэв призмийн суурь дээр параллелограммууд оршдог бол түүнийг дуудна параллелепипед. Параллелепипедийн бүх нүүр нь параллелограмм юм. Энэ тохиолдолд параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.

Теорем 13.2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана.

Баталгаа. Жишээ нь, дурын хоёр диагональуудыг авч үзье. Учир нь параллелепипедийн нүүрнүүд нь параллелограмм, дараа нь ба , энэ нь To-ийн дагуу гурав дахь нь параллель хоёр шулуун байна гэсэн үг юм. Үүнээс гадна, энэ нь шулуун шугамууд нэг хавтгайд (хавтгай) хэвтэж байна гэсэн үг юм. Энэ хавтгай параллель хавтгай ба параллель шулуунуудын дагуу огтлолцох ба . Тиймээс дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд параллелограммын шинж чанараар диагональууд нь огтлолцдог бөгөөд огтлолцлын цэгээр хагас хуваагддаг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.

Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн параллель бус ирмэгүүдийн уртыг түүний шугаман хэмжээс (хэмжээ) гэж нэрлэдэг. Ийм гурван хэмжээ (өргөн, өндөр, урт) байдаг.

Теорем 13.3. Тэгш өнцөгт параллелепипедт дурын диагональ квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний гурван хэмжээст квадратууд (Pythagorean T-г хоёр удаа хэрэглэснээр батлагдсан).

Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо.

Даалгаврууд

13.1 Энэ нь хэдэн диагональтай вэ? n- нүүрстөрөгчийн призм

13.2 Налуу гурвалжин призмд хажуугийн ирмэгүүдийн хоорондох зай 37, 13, 40. Том хажуугийн ирмэг ба эсрэг талын ирмэгийн хоорондох зайг ол.

13.3 Энгийн гурвалжин призмийн доод суурийн хажуугаар хажуугийн нүүрийг тэдгээрийн хоорондох өнцөг бүхий хэрчмүүдийн дагуу огтолж буй хавтгайг татсан. Энэ хавтгайн призмийн суурь руу хазайх өнцгийг ол.

Тодорхойлолт. Призмнь олон өнцөгт бөгөөд түүний бүх оройнууд нь хоёр зэрэгцээ хавтгайд байрладаг бөгөөд эдгээр хоёр хавтгайд призмийн хоёр нүүр оршдог бөгөөд тэдгээр нь параллель талуудтай тэнцүү олон өнцөгтүүд бөгөөд эдгээр хавтгайд оршдоггүй бүх ирмэгүүд нь зэрэгцээ байна.

Хоёр тэнцүү царайг дууддаг призмийн суурь(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Призмийн бусад бүх нүүрийг дуудна хажуугийн нүүрнүүд(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Бүх хажуугийн нүүрнүүд үүсдэг призмийн хажуугийн гадаргуу .

Призмийн бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм юм .

Суурь дээр байрладаггүй ирмэгийг призмийн хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Призм диагональ Төгсгөл нь нэг нүүрэн дээр хэвтдэггүй призмийн хоёр орой болох хэрчмийг хэлнэ (МЭ 1).

Призмийн суурийн ба хоёр суурийн перпендикулярыг нэгэн зэрэг холбосон хэрчмийн уртыг гэнэ. призмийн өндөр .

Зориулалт:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Эхлээд, хөндлөнгийн дарааллаар нэг суурийн оройг, дараа нь нөгөө суурийн оройг ижил дарааллаар, хажуугийн ирмэг бүрийн төгсгөлийг ижил үсгээр, зөвхөн нэг сууринд байрлах оройг зааж өгсөн болно. индексгүй үсгээр, нөгөө талд нь индекстэй)

Призмийн нэр нь түүний суурь дээр байрлах зургийн өнцгийн тоотой холбоотой байдаг, жишээлбэл, 1-р зурагт суурь дээр таван өнцөгт байдаг тул призмийг гэж нэрлэдэг. таван өнцөгт призм. Гэхдээ учир нь ийм призм 7 нүүртэй, тэгвэл тэр долоон талт(2 нүүр - призмийн суурь, 5 нүүр - параллелограмм, түүний хажуугийн нүүр)

Шулуун призмүүдийн дотроос нэг төрөл нь тодордог: ердийн призмүүд.

Шулуун призм гэж нэрлэдэг зөв,Хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал.

Энгийн призм нь бүх хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгттэй байна. Призмийн онцгой тохиолдол бол параллелепипед юм.

Параллелепипед

Параллелепипеднь дөрвөлжин призм бөгөөд түүний суурь дээр параллелограмм (налуу параллелепипед) байрладаг. Баруун параллелепипед- хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг параллелепипед.

Тэгш өнцөгт параллелепипед- суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед.

Шинж чанар ба теоремууд:

Параллелепипедийн зарим шинж чанарууд нь параллелограммын шинж чанаруудтай төстэй байдаг тэнцүү хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг шоо .Шоогийн бүх нүүр нь тэнцүү квадратууд Диагоналын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна

,

энд d нь квадратын диагональ;
a нь квадратын тал юм.

Призмийн санааг дараахь байдлаар өгсөн болно.

• янз бүрийн архитектурын байгууламжууд;
• Хүүхдийн тоглоом;
• сав баглаа боодлын хайрцаг;
• дизайнерын зүйлс гэх мэт.

Призмийн нийт ба хажуугийн гадаргуугийн талбай

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайнь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм Хажуугийн гадаргуугийн талбайтүүний хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг. Призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгт, дараа нь тэдгээрийн талбай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

S дүүрэн = S тал + 2S үндсэн,

Хаана S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай, S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай; S суурь- суурь талбай

Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна..

S тал= P үндсэн * h,

Хаана S тал- шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай;

P гол - шулуун призмийн суурийн периметр,

h нь шулуун призмийн өндөр, тэнцүү хажуугийн хавирга.

Призмийн эзэлхүүн

Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.