Бяцхан бас хөөрхөн энгийн даалгавархөвөгч оюутны амь насыг хамгаалах үүрэг гүйцэтгэдэг ангиллаас. Байгаль дээр 7-р сарын дунд үе тул далайн эрэг дээр зөөврийн компьютерээ ашиглах цаг болжээ. Өглөө эрт, тун удалгүй практикт анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд онолын нарны туяа тоглож эхлэв, энэ нь тун хялбар гэж зарласан хэдий ч элсэнд шилний хэлтэрхий агуулсан байдаг. Үүнтэй холбогдуулан би энэ хуудасны цөөн хэдэн жишээг сайтар бодож үзэхийг зөвлөж байна. Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд та чадвартай байх ёстой деривативуудыг олохмөн нийтлэлийн материалыг ойлгох Функцийн монотоникийн интервал ба экстремум.

Нэгдүгээрт, гол зүйлийн талаар товчхон хэлье. тухай хичээл дээр функцийн тасралтгүй байдалБи нэг цэгийн тасралтгүй байдал, интервал дахь тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгсөн. Сегмент дээрх функцын үлгэр жишээ зан төлөвийг ижил төстэй байдлаар томъёолсон болно. Функц нь интервал дээр тасралтгүй байх тохиолдолд:

1) энэ нь интервал дээр үргэлжилдэг;
2) нэг цэг дээр тасралтгүй баруун талдмөн цэг дээр зүүн.

Хоёр дахь догол мөрөнд бид гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар ярьсан нэг талын тасралтгүй байдалцэг дээр ажилладаг. Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг, гэхдээ би өмнө нь эхлүүлсэн шугамаа баримтална:

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байна баруун талд, хэрэв энэ нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд түүний баруун гар талын хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай давхцаж байвал: . Энэ нь цэг дээр үргэлжилдэг зүүн, хэрэв өгөгдсөн цэг болон түүний зүүн талын хязгаарт тодорхойлогдсон бол утгатай тэнцүү байнаэнэ үед:

Ногоон цэгүүд нь тэдгээрт наалдсан шидэт уян тууз бүхий хадаас гэж төсөөлөөд үз дээ.

Оюун санааны хувьд улаан шугамыг гартаа аваарай. Мэдээжийн хэрэг, бид графикийг дээш доош (тэнхлэгийн дагуу) хичнээн хол сунгасан ч функц хэвээр байх болно. хязгаарлагдмал– дээд талд нь хашаа, доод талд нь хашаа, хашаанд манай бүтээгдэхүүн бэлчдэг. Тиймээс, интервал дээр үргэлжилсэн функц үүн дээр хязгаарлагддаг. Математикийн шинжилгээний явцад энгийн мэт санагдах энэ баримтыг хэлж, хатуу нотолсон байдаг. Вейерштрассын анхны теорем....Математикт анхан шатны хэллэгүүд уйтгартай үндэслэлтэй байдаг нь олон хүн бухимддаг ч энэ нь чухал ач холбогдолтой юм. Дундад зууны Терригийн тодорхой оршин суугч тэнгэрт харагдахуйц хязгаараас хэтэрсэн график татсан гэж бодъё. Телескопыг зохион бүтээхээс өмнө сансар огторгуй дахь хязгаарлагдмал функц нь огтхон ч тодорхой байгаагүй! Үнэхээр, тэнгэрийн хаяанд биднийг юу хүлээж байгааг та яаж мэдэх вэ? Эцсийн эцэст дэлхийг нэгэн цагт хавтгай гэж үздэг байсан тул өнөөдөр энгийн телепортац хүртэл нотлох баримт шаарддаг =)

дагуу Вейерштрассын хоёр дахь теорем, сегмент дээр тасралтгүйфункц түүндээ хүрнэ яг дээд хязгаарХарин таных яг доод ирмэг .

Энэ дугаарыг бас дууддаг сегмент дээрх функцийн хамгийн их утгаба -аар тэмдэглэгдсэн, тоо нь байна сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгатэмдэглэгдсэн.

Манай тохиолдолд:

Анхаарна уу : онолын хувьд бичлэгүүд нийтлэг байдаг .

Товчхондоо бол хамгийн их үнэ цэнэ нь хаана хамгийн их байдаг өндөр оноографик, хамгийн жижиг нь хамгийн доод цэг нь байна.

Чухал!Энэ тухай нийтлэлд аль хэдийн онцолсон функцийн экстремум, хамгийн их функцийн утгаТэгээд функцийн хамгийн бага утга – АДИЛХАН БИШ, Юу хамгийн их функцТэгээд хамгийн бага функц. Тиймээс авч үзэж буй жишээн дээр тоо нь функцийн хамгийн бага утга боловч хамгийн бага утга биш юм.

Дашрамд хэлэхэд сегментээс гадуур юу болдог вэ? Тийм ээ, үер ч гэсэн авч үзэж буй асуудлын хүрээнд энэ нь биднийг огт сонирхдоггүй. Даалгавар нь зөвхөн хоёр тоог олох явдал юм тэгээд л болоо!

Үүнээс гадна шийдэл нь зөвхөн аналитик шинж чанартай байдаг зураг зурах шаардлагагүй!

Алгоритм нь гадаргуу дээр байрладаг бөгөөд дээрх зургаас өөрийгөө харуулж байна.

1) Функцийн утгыг ол чухал цэгүүд, Энэ сегментэд хамаарах.

Өөр нэг урамшуулал аваарай: энд экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагагүй, учир нь зүгээр л харуулсанчлан хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээ байгаа эсэх. хараахан баталгаа өгөхгүй байна, хамгийн бага эсвэл хамгийн их утга хэд вэ. Үзүүлэн харуулах функц нь дээд талдаа хүрч, хувь заяаны хүслээр ижил тоо нь сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга юм. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, ийм давхцал үргэлж тохиолддоггүй.

Тиймээс, эхний алхамд сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох нь илүү хурдан бөгөөд хялбар бөгөөд тэдгээрт экстремум байгаа эсэхээс үл хамаарна.

2) Бид сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолно.

3) 1, 2-р догол мөрөнд байгаа функцүүдийн утгуудаас хамгийн жижиг, хамгийн ихийг сонгоно уу. том тоо, хариултыг бичнэ үү.

Бид эрэг дээр сууна цэнхэр далайГүехэн ус руу өсгийгөөрөө цохив:

Жишээ 1

Хамгийн агууг олох ба хамгийн бага утгаинтервал дээрх функцууд

Шийдэл:
1) Энэ сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолъё.

Хоёр дахь чухал цэг дэх функцийн утгыг тооцоолъё.

2) Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

3) Экспонент ба логарифмын тусламжтайгаар "Бод" үр дүнг олж авсан нь тэдгээрийн харьцуулалтыг ихээхэн хүндрүүлдэг. Энэ шалтгааны улмаас тооцоолуур эсвэл Excel-ээр өөрийгөө зэвсэглэж, ойролцоо утгыг тооцоолъё, үүнийг мартаж болохгүй.

Одоо бүх зүйл тодорхой боллоо.

Хариулах:

Бие даасан шийдлийн бутархай-рационал жишээ:

Жишээ 6

Сегмент дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол

Ийм асуудлыг шийдэх стандарт алгоритм нь функцийн тэгийг олсны дараа интервал дээрх деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлох явдал юм. Дараа нь тухайн нөхцөл байдалд ямар асуулт байгаагаас хамааран олсон хамгийн их (эсвэл хамгийн бага) цэгүүд ба интервалын хил дээрх утгыг тооцоолно.

Би та бүхнийг арай өөрөөр хийхийг зөвлөж байна. Яагаад? Би энэ тухай бичсэн.

Би ийм асуудлыг дараах байдлаар шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

1. Деривативыг ол.
2. Деривативын тэгийг ол.
3. Тэдгээрийн аль нь энэ интервалд хамаарахыг тодорхойл.
4. Бид 3-р алхамын интервал ба цэгүүдийн хил дээрх функцийн утгыг тооцоолно.
5. Бид дүгнэлт гаргадаг (асуултанд хариулах).

Үзүүлсэн жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзэхгүй; Тэд бас мэдэх ёстой.

Жишээнүүдийг харцгаая:

77422. y=x функцийн хамгийн том утгыг ол[–2;0] сегмент дээр 3 –3x+4.

Деривативын тэгийг олъё:

x = –1 цэг нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид функцийн утгыг -2, -1 ба 0 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн том утга нь 6 байна.

Хариулт: 6

77425. y = x 3 – 3x 2 + 2 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё:

x = 2 цэг нь нөхцөлд заасан интервалд хамаарна.

Бид 1, 2, 4-р цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь -2.

Хариулт: -2

77426. [–3;3] хэрчим дэх y = x 3 – 6x 2 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё:

Нөхцөлд заасан интервал нь x = 0 цэгийг агуулна.

Бид функцийн утгыг -3, 0, 3 цэгүүдэд тооцоолно.

Функцийн хамгийн бага утга нь 0 байна.

Хариулт: 0

77429. y = x 3 – 2x 2 + x +3 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

3х 2 – 4х + 1 = 0

Бид үндсийг нь авна: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Нөхцөлд заасан интервал нь зөвхөн x = 1-ийг агуулна.

1 ба 4-р цэг дээрх функцийн утгыг олцгооё.

Функцийн хамгийн бага утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77430. [– 4” хэрчим дэх y = x 3 + 2x 2 + x + 3 функцийн хамгийн том утгыг ол; -1].

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олъё, шийдье квадрат тэгшитгэл:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Нөхцөлд заасан интервал нь x = –1 язгуурыг агуулна.

Функцийн утгыг –4, –1, –1/3 ба 1 цэгүүдээс олно.

Функцийн хамгийн том утга нь 3 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: 3

77433. y = x 3 – x 2 – 40x +3 функцийн хэрчим дээрх хамгийн бага утгыг ол.

Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:

Деривативын тэгийг олоод квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

3х 2 – 2х – 40 = 0

Үндсийг нь авцгаая:

Нөхцөлд заасан интервал нь x = 4 язгуурыг агуулна.

0 ба 4 цэг дээрх функцийн утгыг ол:

Функцийн хамгийн бага утга нь -109 гэдгийг бид олж мэдсэн.

Хариулт: -109

Деривативгүйгээр функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргыг авч үзье. Хэрэв танд байгаа бол энэ аргыг ашиглаж болно том асуудлууд. Энэ зарчим нь энгийн - бид интервалаас бүх бүхэл утгыг функц болгон орлуулдаг (баримт нь ийм бүх прототипүүдэд хариулт нь бүхэл тоо юм).

77437. [–2;2] хэрчим дээрх y=7+12x–x 3 функцийн хамгийн бага утгыг ол.

-2-оос 2 хүртэлх оноог орлуулах: Шийдлийг харах

77434. [–2;0] хэрчим дэх y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 функцийн хамгийн том утгыг ол.

Тэгээд л болоо. Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Функцийг зөвшөөр у =е(X)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б]. Мэдэгдэж байгаагаар ийм функц нь энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг. Функц эдгээр утгыг сегментийн дотоод цэг дээр ч авч болно. а, б], эсвэл сегментийн хил дээр.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд [ а, б] шаардлагатай:

1) олох чухал цэгүүдинтервал дахь функцууд ( а, б);

2) олсон чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох;

3) сегментийн төгсгөлд байгаа функцын утгыг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл хэзээ x=Аба x = б;

4) функцийн бүх тооцоолсон утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Жишээ.Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

сегмент дээр.

Чухал цэгүүдийг олох:

Эдгээр цэгүүд сегмент дотор байрладаг; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

цэг дээр x= 3 ба цэг дээр x= 0.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн функцийн судалгаа.

Чиг үүрэг y = е (x) дуудсан гүдгэрхооронд (а, б) , хэрэв түүний график нь энэ интервалын аль ч цэгт зурсан шүргэгчийн доор орвол түүнийг дуудна гүдгэр доош (гүдгэр), хэрэв түүний график шүргэгчээс дээш байвал.

Гүдгэрийг хотгороор эсвэл эсрэгээр солих цэгийг нэрлэдэг гулзайлтын цэг.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийг шалгах алгоритм:

1. Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол.

2. Тооны шулуун дээр эгзэгтэй цэгүүдийг интервалд хувааж зур. Интервал бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг ол; хэрэв , функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв бол функц нь доошоо гүдгэр байна.

3. Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг нь өөрчлөгдөж, энэ үед хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол энэ цэг нь гулзайлтын цэгийн абсцисса болно. Түүний ординатыг ол.

Функцийн графикийн асимптотууд. Асимптотуудын функцийг судлах.

Тодорхойлолт.Функцийн графикийн асимптотыг нэрлэнэ Чигээрээ, энэ нь график дээрх цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед графикийн аль ч цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг болох хандлагатай байдаг.

Гурван төрлийн асимптот байдаг: босоо, хэвтээ, налуу.

Тодорхойлолт.Шулуун шугам гэж нэрлэдэг босоо асимптотфункциональ график у = f(x), хэрэв энэ цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү бол энэ нь

функцийн тасрах цэг хаана байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй.

Жишээ.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - таслах цэг.

Тодорхойлолт.Чигээрээ у =Адуудсан хэвтээ асимптотфункциональ график у = f(x)үед, хэрэв

Жишээ.

x
y

Тодорхойлолт.Чигээрээ у =кx +б (к≠ 0) гэж нэрлэдэг ташуу асимптотфункциональ график у = f(x)хаана

Функцийг судлах, график байгуулах ерөнхий схем.

Функцийн судалгааны алгоритму = f(x) :

1. Функцийн мужийг ол Д (y).

2. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг (боломжтой бол) ол x= 0 ба цагт y = 0).

3. Функцийн тэгш ба сондгой байдлыг шалгана уу ( y (‒ x) = y (x) ‒ тэгш байдал; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ сондгой).

4. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

5. Функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол.

6. Функцийн экстремумыг ол.

7. Функцийн графикийн гүдгэр (гүдгэр) ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол.

8. Хийсэн судалгаанд үндэслэн функцийн графикийг байгуул.

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.

1) Д (y) =

x= 4 - таслах цэг.

2) Хэзээ x = 0,

(0; ‒ 5) – огтлолцох цэг өө.

At y = 0,

3) y(‒ x)= функц ерөнхий үзэл(тэгш биш, сондгой биш).

4) Бид асимптотуудыг шалгадаг.

а) босоо

б) хэвтээ

в) ташуу асимптотуудыг хаанаас ол

‒ташуу асимптот тэгшитгэл

5) Энэ тэгшитгэлд функцийн монотон байдлын интервалыг олох шаардлагагүй.

6)

Эдгээр чухал цэгүүд нь функцийг тодорхойлох бүх мужийг (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ба (10; +∞) интервалд хуваадаг. Хүлээн авсан үр дүнг дараах хүснэгт хэлбэрээр танилцуулах нь тохиромжтой.

Үүнийг шийдэхийн тулд танд энэ сэдвээр хамгийн бага мэдлэг хэрэгтэй болно. Өөр нэг хичээлийн жил дуусч байна, бүгд амралтаараа явахыг хүсч байгаа бөгөөд энэ мөчийг ойртуулахын тулд би тэр дороо цэг рүү орох болно.

Бүс нутгаас эхэлье. Нөхцөл байдалд дурдсан талбай нь хязгаарлагдмал хаалттай хавтгай дээрх цэгүүдийн багц. Жишээлбэл, БҮХЭЛ гурвалжинг оруулаад гурвалжингаар хүрээлэгдсэн цэгүүдийн багц (хэрэвээс хил хязгаарДор хаяж нэг цэгийг "хатгавал" бүс хаагдахаа болино). Практикт тэгш өнцөгт, дугуй, арай илүү төвөгтэй хэлбэрийн хэсгүүд бас байдаг. Математик анализын онолд хатуу тодорхойлолт өгдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хязгаарлалт, тусгаарлалт, хил хязгаар гэх мэт., гэхдээ хүн бүр эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд мэддэг гэж би бодож байна, одоо өөр юу ч хэрэггүй.

Хавтгай бүсийг стандарт үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд дүрмээр бол аналитик байдлаар хэд хэдэн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. (заавал шугаман биш); тэгш бус байдал бага тохиолддог. Ердийн үг хэллэг: "хаалттай газар, шугамаар хязгаарлагдсан ».

Харж буй ажлын салшгүй хэсэг бол зураг дээрх талбайг барих явдал юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Та жагсаасан бүх шугамыг зурах хэрэгтэй (энэ тохиолдолд 3 Чигээрээ) болон юу болсныг шинжлэх. Хайж буй хэсэг нь ихэвчлэн бага зэрэг сүүдэрлэдэг бөгөөд түүний хил нь зузаан шугамаар тэмдэглэгдсэн байдаг.


Үүнтэй ижил талбайг тохируулж болно шугаман тэгш бус байдал: , ямар нэг шалтгааны улмаас бус харин тоологдсон жагсаалт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг систем.
Хил нь тухайн бүс нутагт хамаарах тул бүх тэгш бус байдал нь мэдээжийн хэрэг, сул.

Тэгээд одоо даалгаврын мөн чанар. Тэнхлэг нь гарал үүслээсээ шууд өөр рүүгээ гарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. гэсэн функцийг авч үзье Үргэлжилсэн бүртбүсийн цэг. Энэ функцийн график нь заримыг харуулж байна гадаргуу, мөн өчүүхэн аз жаргал нь өнөөдрийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ гадаргуу ямар харагддагийг мэдэх шаардлагагүй юм. Энэ нь илүү өндөр, доогуур байрлаж, онгоцыг огтолж болно - энэ бүхэн хамаагүй. Дараах нь чухал юм: дагуу Вейерштрассын теоремууд, ҮргэлжилсэнВ хязгаарлагдмал хаалттайталбарт функц хамгийн их утгад хүрнэ (хамгийн их")ба хамгийн бага ("хамгийн бага")олох шаардлагатай үнэт зүйлс. Ийм үнэт зүйлд хүрдэг эсвэлВ суурин цэгүүд, бүс нутагт харьяалагддагД , эсвэлэнэ хэсгийн хил дээр байрлах цэгүүдэд. Энэ нь энгийн бөгөөд ил тод шийдлийн алгоритмд хүргэдэг:

Жишээ 1

Хязгаарлагдмал хаалттай талбай

Шийдэл: Юуны өмнө та зураг дээрх талбайг дүрслэх хэрэгтэй. Харамсалтай нь би асуудлын интерактив загварыг гаргах нь техникийн хувьд хэцүү тул судалгааны явцад олдсон бүх "сэжигтэй" цэгүүдийг харуулсан эцсийн дүрслэлийг нэн даруй танилцуулах болно. Тэдгээрийг ихэвчлэн илрүүлсний дараа дараалан жагсаадаг.

Оршил хэсэгт үндэслэн шийдвэрийг хоёр хэсэгт хувааж болно.

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол. Энэ бол бидний хичээл дээр олон удаа хийдэг стандарт үйлдэл юм. хэд хэдэн хувьсагчийн экстремумуудын тухай:

Хөдөлгөөнгүй цэгийг оллоо харьяалагддагбүс нутаг: (зураг дээр тэмдэглээрэй), энэ нь өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм.

- нийтлэлд байгаа шиг Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд, Би тод үсгээр чухал үр дүнг тодруулах болно. Тэднийг дэвтэрт харандаагаар зурах нь тохиромжтой.

Бидний хоёр дахь аз жаргалд анхаарлаа хандуулаарай - шалгах нь утгагүй юм экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Яагаад? Тухайн үед функц хүрч байсан ч, жишээлбэл, орон нутгийн доод хэмжээ, тэгвэл энэ нь үр дүнгийн утга болно гэсэн үг биш хамгийн багабүс нутаг даяар (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү болзолгүй туйлшралын тухай) .

Хөдөлгөөнгүй цэг тухайн бүсэд хамаарахгүй бол яах вэ? Бараг юу ч биш! Үүнийг тэмдэглээд дараагийн цэг рүү шилжих хэрэгтэй.

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна.

Хил нь гурвалжингийн талуудаас бүрддэг тул судалгааг 3 дэд хэсэгт хуваахад тохиромжтой. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Миний бодлоор эхлээд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель сегментүүдийг, юуны түрүүнд тэнхлэг дээр хэвтэж буй хэсгүүдийг авч үзэх нь илүү ашигтай байдаг. Үйлдлүүдийн бүх дараалал, логикийг ойлгохын тулд "нэг амьсгалаар" төгсгөлийг судлахыг хичээ.

1) Гурвалжны доод талыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд функц руу шууд орлуулна уу:

Эсвэл та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Геометрийн хувьд энэ нь координатын хавтгай гэсэн үг юм (энэ нь мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн)-аас "сийлдэг" гадаргуу"орон зайн" парабол, түүний орой нь тэр даруй сэжиглэгдэж байна. Үүнийг олж мэдье тэр хаана байрладаг вэ:

- үүссэн утга нь тухайн хэсэгт "унасан" бөгөөд энэ нь тухайн үед гарч ирж магадгүй юм (зураг дээр тэмдэглэгдсэн)функц нь бүх бүсийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрдэг. Ямар нэг байдлаар тооцооллыг хийцгээе:

Бусад "нэр дэвшигчид" нь мэдээжийн хэрэг сегментийн төгсгөлүүд юм. Функцийн утгуудыг цэгүүдээр тооцоолъё (зураг дээр тэмдэглэгдсэн):

Энд, дашрамд хэлэхэд, та "хуулагдсан" хувилбарыг ашиглан аман мини шалгалт хийж болно.

2) Судалгааны зорилгоор баруун талБид гурвалжинг функцэд орлуулж, "юмыг эмх цэгцтэй болгоно":

Энд бид нэн даруй бүдүүлэг шалгалт хийж, сегментийн аль хэдийн боловсруулсан төгсгөлийг "дуугана":
, Агуу их.

Геометрийн нөхцөл байдал нь өмнөх цэгтэй холбоотой:

- үүссэн утга нь "бидний ашиг сонирхлын хүрээнд орж ирсэн" бөгөөд энэ нь гарч ирсэн цэг дээрх функц нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Сегментийн хоёр дахь төгсгөлийг авч үзье:

Функцийг ашиглах , хяналтын шалгалт хийцгээе:

3) Үлдсэн талыг нь хэрхэн судлахыг хүн бүр таах байх. Бид үүнийг функцэд орлуулж, хялбаршуулж байна:

Сегментийн төгсгөлүүд аль хэдийн судлагдсан боловч төсөлд бид функцийг зөв олсон эсэхийг шалгасаар байна :
- 1-р дэд хэсгийн үр дүнтэй давхцсан;
– 2-р заалтын үр дүнтэй давхцсан.

Сегмент дотор ямар нэгэн сонирхолтой зүйл байгаа эсэхийг олж мэдэхэд л үлдлээ.

- Байгаа! Шулуун шугамыг тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэхүү "сонирхолтой байдлын" ординатыг олж авна.

Бид зураг дээрх цэгийг тэмдэглээд функцийн харгалзах утгыг олно.

"Төсөв" хувилбарыг ашиглан тооцооллыг шалгацгаая :
, захиалга.

Мөн эцсийн алхам: Бид бүх "том" тоонуудыг анхааралтай ажиглаж байгаа тул эхлэгчдэд нэг жагсаалт гаргахыг зөвлөж байна.

үүнээс бид хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоно. ХариулахОлж олох бодлогын хэв маягаар бичье сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:

Ямар ч тохиолдолд би дахин тайлбар хийх болно геометрийн утгаүр дүн:
- энэ бүс нутгийн гадаргуугийн хамгийн өндөр цэг;
- энэ бол тухайн газрын гадаргуугийн хамгийн доод цэг юм.

Шинжилгээнд хамрагдсан даалгаварт бид 7 "сэжигтэй" цэгийг тодорхойлсон боловч тэдгээрийн тоо ажил бүрд өөр өөр байдаг. Гурвалжин бүсийн хувьд хамгийн бага "судалгааны багц" -аас бүрдэнэ гурван оноо. Энэ нь функц, жишээлбэл, зааж өгөх үед тохиолддог онгоц- Тогтвортой цэгүүд байхгүй нь тодорхой бөгөөд функц нь зөвхөн гурвалжны оройд хамгийн их / хамгийн бага утгуудад хүрч чаддаг. Гэхдээ ижил төстэй ганц эсвэл хоёр жишээ байдаг - ихэвчлэн та заримтай нь харьцах хэрэгтэй 2-р эрэмбийн гадаргуу.

Хэрэв та ийм даалгавруудыг бага зэрэг шийдэх гэж оролдвол гурвалжин таны толгойг эргүүлж чаддаг тул би танд зориулж бэлдсэн. ер бусын жишээнүүдИнгэснээр дөрвөлжин болно :))

Жишээ 2

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол шугамаар хязгаарлагдсан битүү талбайд

Жишээ 3

Хязгаарлагдмал хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Онцгой анхааралБүс нутгийн хил хязгаарыг судлах оновчтой дараалал, техник, түүнчлэн завсрын шалгалтын гинжин хэлхээнд анхаарлаа хандуулаарай, энэ нь тооцооллын алдаанаас бараг бүрэн зайлсхийх болно. Ерөнхийдөө та үүнийг хүссэнээрээ шийдэж болно, гэхдээ зарим асуудалд, жишээлбэл, 2-р жишээнд таны амьдралыг илүү хэцүү болгох бүх боломж бий. Ойролцоогоор дээжхичээлийн төгсгөлд даалгавраа дуусгах.

Шийдлийн алгоритмыг системчилье, эс тэгвээс аалз шиг хичээнгүйлэн ажилласнаар энэ нь 1-р жишээний тайлбарын урт хэлхээнд ямар нэгэн байдлаар төөрсөн:

– Эхний шатанд бид талбайг барьж байгаа тул түүнийг сүүдэрлэж, хилийг тод зураасаар тодруулахыг зөвлөж байна. Шийдэл хийх явцад зураг дээр тэмдэглэх шаардлагатай цэгүүд гарч ирнэ.

– Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олж, функцийн утгыг тооцоол зөвхөн тэдний доторбүс нутагт харьяалагддаг. Бид текст дэх үр дүнгийн утгыг тодруулна (жишээлбэл, харандаагаар дугуйлна уу). Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол бид энэ баримтыг дүрс эсвэл аман хэлбэрээр тэмдэглэнэ. Хэрэв суурин цэгүүд огт байхгүй бол бид тэдгээр нь байхгүй гэсэн дүгнэлтийг бичгээр гаргадаг. Ямар ч тохиолдолд энэ цэгийг алгасах боломжгүй юм!

– Бүс нутгийн хилийг судалж байна. Нэгдүгээрт, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг ойлгох нь ашигтай байдаг (хэрэв байгаа бол). Бид мөн "сэжигтэй" цэгүүдэд тооцоолсон функцийн утгыг онцлон тэмдэглэв. Уусмалын аргын талаар дээр маш их зүйлийг хэлсэн бөгөөд доор өөр зүйлийг хэлэх болно - унш, дахин унш, гүнзгийрээрэй!

– Сонгосон тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоод хариултаа өгнө үү. Заримдаа функц нь нэг дор хэд хэдэн цэг дээр ийм утгад хүрдэг - энэ тохиолдолд эдгээр бүх цэгүүдийг хариултанд тусгах ёстой. Жишээлбэл, Энэ нь хамгийн бага үнэ цэнэ болох нь тогтоогдсон. Дараа нь бид үүнийг бичнэ

Эцсийн жишээнүүд нь практикт хэрэг болох бусад ашигтай санаануудыг багтаасан болно.

Жишээ 4

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол .

Би үүнийг танд сануулж байна шугаман бусБид тэгш бус байдалтай тулгарсан бөгөөд хэрэв та тэмдэглэгээний геометрийн утгыг ойлгохгүй байгаа бол хойшлуулж болохгүй бөгөөд яг одоо нөхцөл байдлыг тодруулна уу;-)

Шийдэл, урьдын адил, нэг төрлийн "ул"-ыг төлөөлөх талбайг барьж эхэлдэг:

Хмм, заримдаа зөвхөн шинжлэх ухааны боржин чулууг зажилж идэх хэрэгтэй ...

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол:

Систем бол тэнэг хүний ​​мөрөөдөл :)

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүс нутагт хамаардаг, тухайлбал түүний хил дээр байрладаг.

За тэгэхээр... хичээл амжилттай боллоо - зөв цай ууна гэдэг энэ л гэсэн үг =)

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна. Захиалахгүйгээр x тэнхлэгээс эхэлье.

1) Хэрэв бол

Параболагийн орой хаана байгааг олъё.
- ийм мөчүүдийг үнэлээрэй - та бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болох хүртэл "цохисон". Гэхдээ бид шалгахаа мартдаггүй:

Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

2) "Нэг суултаар" "ул" -ын доод хэсгийг авч үзье - ямар ч цогцолборгүйгээр бид үүнийг функцэд орлуулж, зөвхөн сегментийг сонирхох болно.

Хяналт:

Энэ нь дугуйтай зам дагуу нэгэн хэвийн жолоодлого хийхэд аль хэдийн сэтгэлийн хөөрлийг авчирдаг. Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Ингээд шийдье квадрат тэгшитгэл, та энэ талаар өөр зүйл санаж байна уу? ...Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, эс тэгвээс та эдгээр мөрүүдийг уншихгүй байх байсан гэдгийг санаарай =) Хэрэв өмнөх хоёр жишээнд тооцооллыг аравтын бутархай(Дашрамд хэлэхэд энэ нь ховор тохиолддог), ердийнх нь биднийг энд хүлээж байна энгийн бутархай. Бид "X" үндсийг олж, "нэр дэвшигч" цэгүүдийн харгалзах "тоглоомын" координатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг ашиглана.


Олдсон цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Функцийг өөрөө шалгана уу.

Одоо бид хожсон цомуудыг сайтар судалж, бичиж байна хариулах:

Эдгээр нь "нэр дэвшигчид", эдгээр нь "нэр дэвшигчид"!

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 5

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол хаалттай газар

Буржгар хаалттай оруулга нь "тогтоосон цэгүүд" гэж бичнэ.

Заримдаа ийм жишээнд тэд ашигладаг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга, гэхдээ үүнийг ашиглах бодит шаардлага байхгүй байх магадлалтай. Жишээлбэл, хэрэв "de" талбайтай ижил функц өгөгдсөн бол түүнийг орлуулсны дараа - ямар ч бэрхшээлээс үүссэн дериватив; Түүнээс гадна дээд ба доод хагас тойргийг тусад нь авч үзэх шаардлагагүйгээр бүх зүйлийг "нэг мөрөнд" (тэмдэглэгээтэй) зурдаг. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, Лагранж функцгүй тохиолдолд илүү төвөгтэй тохиолдол байдаг (жишээлбэл, тойрогтой ижил тэгшитгэл байна)Сайн амрахгүйгээр явахад хэцүү байдаг шиг үүнийг даван туулахад хэцүү байдаг!

Бүгдээрээ сайхан амраарай, дараа улирал удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: Зураг дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

Асуудлын мэдэгдэл 2:

Тодорхой интервал дээр тодорхойлогдсон, тасралтгүй үргэлжлэх функц өгөгдсөн. Та энэ интервал дээрх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох хэрэгтэй.

Онолын үндэслэл.
Теорем (Вейерштрассын хоёрдугаар теорем):

Хэрэв функц нь хаалттай интервалд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал энэ интервалд хамгийн их ба хамгийн бага утгад хүрнэ.

Функц нь интервалын дотоод цэгүүд эсвэл түүний хил хязгаарт хамгийн том, хамгийн бага утгуудад хүрч болно. Бүх боломжит хувилбаруудыг тайлбарлая.

Тайлбар:
1) Функц нь интервалын зүүн зааг дээр хамгийн их утга, цэг дээр хамгийн бага утгад хүрнэ. баруун хилцэг дэх цоорхой.
2) Функц нь цэг дээрх хамгийн их утгад (энэ нь хамгийн их цэг), хамгийн бага утга нь цэг дээрх интервалын баруун хил дээр хүрдэг.
3) Функц нь цэг дээрх интервалын зүүн хязгаарт хамгийн их утга, цэг дээрх хамгийн бага утгад хүрдэг (энэ нь хамгийн бага цэг юм).
4) Функц нь интервал дээр тогтмол байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь интервалын аль ч цэгт хамгийн бага ба хамгийн их утгууддаа хүрдэг бөгөөд хамгийн бага ба хамгийн их утгууд нь хоорондоо тэнцүү байна.
5) Функц нь цэг дээр хамгийн их утга, цэг дээрх хамгийн бага утгад хүрдэг (энэ интервалд функц нь хамгийн их ба хамгийн бага аль аль нь байдаг ч).
6) Функц нь цэг дээр хамгийн их утга (энэ нь хамгийн их цэг), хамгийн бага утга нь цэг дээр (энэ нь хамгийн бага цэг) хүрдэг.
Сэтгэгдэл:

"Хамгийн их" ба "хамгийн их үнэ цэнэ" нь өөр зүйл юм. Энэ нь дээд зэргийн тодорхойлолт ба "хамгийн их үнэ цэнэ" гэсэн хэллэгийн зөн совингийн ойлголтоос үүдэлтэй.

2-р асуудлыг шийдэх алгоритм.



4) Хүлээн авсан утгуудаас хамгийн том (хамгийн жижиг) -ийг сонгоод хариултыг бичнэ үү.

Жишээ 4:

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно уу сегмент дээр.
Шийдэл:
1) Функцийн деривативыг ол.

2) Тэгшитгэлийг шийдэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг (мөн экстремумын сэжигтэй цэгүүдийг) ол. Хоёр талт төгсгөлтэй дериватив байхгүй цэгүүдэд анхаарлаа хандуулаарай.

3) Хөдөлгөөнгүй цэг ба интервалын хил дээрх функцийн утгыг тооцоол.

4) Хүлээн авсан утгуудаас хамгийн том (хамгийн жижиг) -ийг сонгоод хариултыг бичнэ үү.

Энэ сегмент дээрх функц нь координаттай цэг дээр хамгийн их утгад хүрдэг.

Энэ сегмент дээрх функц нь координаттай цэг дээр хамгийн бага утгадаа хүрдэг.

Та судалж буй функцийн графикийг хараад тооцооллын зөв эсэхийг шалгаж болно.


Сэтгэгдэл:Функц нь хамгийн их цэг дээр хамгийн их утга, сегментийн хил дээр хамгийн багадаа хүрдэг.

Онцгой тохиолдол.

Та сегмент дээрх зарим функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Алгоритмын эхний цэгийг дуусгасны дараа, i.e. Деривативыг тооцоолохдоо, жишээлбэл, авч үзэж буй бүх интервалын туршид зөвхөн сөрөг утгыг авах нь тодорхой болно. Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурна гэдгийг санаарай. Функц бүхэлдээ сегмент дээр буурч байгааг бид олж мэдсэн. Энэ нөхцөл байдлыг өгүүллийн эхэнд №1 графикт үзүүлэв.

Функц нь сегмент дээр буурдаг, i.e. түүнд хэт туйлшрал байхгүй. Зургаас харахад функц нь сегментийн баруун талын хамгийн бага утгыг, зүүн талд байгаа хамгийн том утгыг авах болно. хэрвээ сегмент дээрх дериватив хаа сайгүй эерэг байвал функц нэмэгдэнэ. Хамгийн бага утга нь сегментийн зүүн хил дээр, хамгийн том нь баруун талд байна.

---