Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Функцийн хамгийн их утга нь хамгийн их, хамгийн бага утга нь түүний бүх утгуудын хамгийн бага нь юм.

Функц нь зөвхөн нэг том, зөвхөн нэг хамгийн жижиг утгатай байж болно, эсвэл огт байхгүй байж болно. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох нь эдгээр функцүүдийн дараах шинж чанарууд дээр суурилдаг.

1) Хэрэв тодорхой интервалд (хязгааргүй эсвэл төгсгөлгүй) y=f(x) функц тасралтгүй бөгөөд зөвхөн нэг экстремумтай бөгөөд энэ нь хамгийн их (хамгийн бага) бол функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга болно. энэ интервалд.

2) Хэрэв f(x) функц нь ямар нэг интервал дээр тасралтгүй байвал заавал хамгийн их ба байх ёстой хамгийн бага утга. Эдгээр утгууд нь сегмент дотор байрлах экстремум цэгүүд эсвэл энэ сегментийн хил дээр хүрдэг.

Сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1. Деривативыг ол.

2. =0 эсвэл байхгүй функцийн чухал цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, тэдгээрээс хамгийн том f max, хамгийн бага f max-ийг сонгоно.

Хэрэглээний асуудлууд, ялангуяа оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхдээ X интервал дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (дэлхийн хамгийн их ба дэлхийн хамгийн бага) олох асуудал чухал байдаг , бие даасан хувьсагчийг сонгоод судалж буй утгыг энэ хувьсагчаар илэрхийлнэ. Дараа нь үүссэн функцийн хүссэн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг ол. Энэ тохиолдолд эцсийн болон хязгааргүй байж болох бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн интервалыг мөн асуудлын нөхцлөөс тодорхойлно.

Жишээ.Дөрвөлжин ёроолтой нээлттэй дээд тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй савыг дотор нь цагаан тугалгатай байх ёстой. Хэрэв савны багтаамж нь 108 литр бол савны хэмжээ ямар байх ёстой вэ? ус, ингэснээр үүнийг тугалгалах зардал хамгийн бага байх болно?

Шийдэл.Хэрэв тухайн багтаамжийн хувьд түүний гадаргуугийн талбай хамгийн бага байвал савыг цагаан тугалгагаар бүрэх зардал хамгийн бага байх болно. Суурийн талыг a дм, савны өндрийг b дм гэж тэмдэглэе. Дараа нь түүний гадаргуугийн S талбай тэнцүү байна

БА

Үүний үр дүнд үүссэн харилцаа нь усан сангийн гадаргуугийн талбайн S (функц) ба суурийн хажуугийн a (аргумент) хоорондын хамаарлыг тогтооно. S функцийг экстремумын хувьд авч үзье. Эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.

Тиймээс a = 6. (a) > 0 бол a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Жишээ. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол интервал дээр.

Шийдэл: Өгөгдсөн функц нь бүх тооны шулууны дагуу тасралтгүй байна. Функцийн дериватив

болон төлөө дериватив . Эдгээр цэгүүдийн функцын утгыг тооцоолъё.

.

Өгөгдсөн интервалын төгсгөлд функцийн утгууд тэнцүү байна. Тиймээс функцийн хамгийн том утга нь at-тай, хамгийн бага утга нь at-тай тэнцүү байна.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Маягтын тодорхой бус байдлыг илрүүлэх L'Hopital дүрмийг томъёол. L'Hopital-ийн дүрмийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох тодорхойгүй байдлын янз бүрийн төрлийг жагсаа.

2. Өсөх, буурах функцийн шинж тэмдгүүдийг томъёол.

3. Функцийн хамгийн их ба минимумыг тодорхойлно уу.

4. Экстремум оршин байх зайлшгүй нөхцөлийг томъёол.

5. Аргументийн ямар утгыг (аль оноог) шүүмжлэлтэй гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг хэрхэн олох вэ?

6. Функцийн экстремум байгаагийн хангалттай шинж тэмдгүүд юу вэ? Эхний дериватив ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймло.

7. Хоёрдахь дериватив ашиглан экстремум дахь функцийг судлах схемийг тоймлон бич.

8. Муруйн гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлно уу.

9. Функцийн графикийн гулзайлтын цэгийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр цэгүүдийг олох аргыг зааж өгнө үү.

10. Өгөгдсөн хэрчим дэх муруйн гүдгэр ба хотгорын шаардлагатай ба хангалттай шинж тэмдгүүдийг томъёол.

11. Муруйн асимптотыг тодорхойл. Функцийн графикийн босоо, хэвтээ, ташуу асимптотуудыг хэрхэн олох вэ?

12. Тойм ерөнхий схемфункцийг судалж, түүний графикийг байгуулах.

13. Өгөгдсөн интервал дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох дүрмийг томъёол.

Практик талаас нь авч үзвэл функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах нь хамгийн их сонирхол татдаг. Энэ юутай холбоотой вэ? Ашиг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт бид зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдэх ёстой. Эдгээр нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох даалгавар юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ихэвчлэн тодорхой X интервалаас хайдаг бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн муж эсвэл тодорхойлолтын домэйны нэг хэсэг юм. X интервал нь өөрөө сегмент, нээлттэй интервал байж болно , хязгааргүй интервал.

Энэ нийтлэлд бид хамгийн том, хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно өгөгдсөн функцнэг хувьсагч y=f(x) .

Хуудасны навигаци.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.

Үндсэн тодорхойлолтуудыг товчхон авч үзье.

Функцийн хамгийн том утга хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисса дээр авч үзэж буй интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив тэг болох аргументийн утгууд юм.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй байна вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос хэрэв дифференциалагдах функц нь аль нэг цэгт экстремум (орон нутгийн минимум эсвэл орон нутгийн максимум) байвал энэ цэг нь хөдөлгөөнгүй байна гэсэн үг. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.

Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгуудыг авч болно.

Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултанд нэн даруй хариулъя. Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний хилтэй давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгөх болно. Зургийг харвал олон зүйл илүү тодорхой болно.

Сегмент дээр

Эхний зурагт функц нь сегмент дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг [-6;6].

Хоёрдахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчилье. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том утгыг абсциссатай тохирох цэг дээр олж авна. баруун хилинтервал.

3-р зурагт [-3;2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай тохирох цэгүүдийн абсцисса юм.

Нээлттэй интервал дээр

Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг.

Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.

Хязгааргүйд

Долдугаар зурагт үзүүлсэн жишээн дээр функц нь абсцисса x=1 байх хөдөлгөөнгүй цэг дээр хамгийн том утгыг (max y) авах ба интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгыг (min y) олж авна. Хасах хязгааргүй үед функцын утга асимптотоор y=3-д ойртоно.

Интервалд функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. X=2 баруун гар талаас ойртох үед функцийн утга нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна (х=2 шулуун шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцийн утга нь асимптот байдлаар y=3-д ойртоно. Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичье.

1. Бид функцийн тодорхойлолтын домэйныг олж, бүх сегментийг агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
2. Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүдийг модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцүүдэд олдог. эрчим хүчний функцуудбутархай-рациональ илтгэгчтэй). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ үү.
3. Бид сегмент дотор байрлах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд ороогүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ.
4. Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй цэгүүд (хэрэв байгаа бол), түүнчлэн x = a ба x = b цэгүүдэд тооцдог.
5. Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижиг утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн шаардлагатай хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байх болно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдвэрлэх алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

• сегмент дээр;
• сегмент дээр [-4;-1] .

Шийдэл.

Функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын домэйнд багтдаг.

Функцийн деривативыг ол:

Функцийн дериватив нь сегмент ба [-4;-1] бүх цэгүүдэд байгаа нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Цорын ганц жинхэнэ үндэс нь x=2. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.

Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4:

Тиймээс функцийн хамгийн их утга x=1, хамгийн бага утгад хүрнэ – x=2 үед.

Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцоолно [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул):

Заримдаа В15 асуудалд дериватив олоход хэцүү байдаг "муу" функцууд байдаг. Өмнө нь энэ нь зөвхөн дээжийн шалгалтын үеэр л тохиолддог байсан бол одоо эдгээр даалгаврууд маш түгээмэл болсон тул жинхэнэ Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх үед тэдгээрийг үл тоомсорлох боломжгүй болсон.

Энэ тохиолдолд бусад техникүүд ажилладаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь юм монотон.

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон буурч байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Өөрөөр хэлбэл, өсөн нэмэгдэж буй функцийн хувьд x том байх тусам том f(x). Буурах функцийн хувьд эсрэгээрээ: x том байх тусам бага f(x).

Жишээлбэл, суурь нь a > 1 бол логарифм нэг хэвийн өсөх ба 0 бол монотон буурна.< a < 1. Не забывайте про область хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудлогарифм: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметик квадрат (зөвхөн дөрвөлжин биш) язгуур нь тодорхойлолтын бүх талбарт нэг хэвийн байдлаар нэмэгддэг:

Экспоненциал функц нь логарифмтай адил ажилладаг: a > 1 үед нэмэгдэж, 0 бол буурдаг.< a < 1. Но в отличие от логарифма, экспоненциал функцЗөвхөн x > 0 биш бүх тоонд тодорхойлогдсон:

f (x) = a x (a > 0)

Эцэст нь сөрөг үзүүлэлттэй градус. Та тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тэд нэгэн хэвийн байдал эвдэрсэн завсарлагатай байдаг.

Эдгээр бүх функцууд хэзээ ч байдаггүй цэвэр хэлбэр. Тэд олон гишүүнт, бутархай болон бусад утгагүй зүйлсийг нэмдэг бөгөөд энэ нь деривативыг тооцоолоход хэцүү болгодог. Энэ тохиолдолд юу болохыг харцгаая.

Парабола оройн координатууд

Ихэнхдээ функцийн аргументыг орлуулдаг квадрат гурвалжин y = ax 2 + bx + c хэлбэрийн. Түүний график нь бидний сонирхож буй стандарт парабол юм:

1. Параболагийн мөчрүүд дээш (a > 0 бол) эсвэл доош (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Параболын орой нь квадрат функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ функц нь хамгийн бага (a > 0-ийн хувьд) эсвэл хамгийн их (a) утгыг авдаг.< 0) значение.

Хамгийн их сонирхол татдаг параболын орой, түүний абсциссыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Тиймээс бид квадрат функцийн экстремум цэгийг оллоо. Гэхдээ хэрэв анхны функц нь монотон бол түүний хувьд x 0 цэг нь мөн экстремум цэг болно. Тиймээс, үндсэн дүрмийг томъёолъё:

Квадрат гурвалжны экстремум цэгүүд ба нарийн төвөгтэй функц, үүнд багтсан нь давхцаж байна. Иймд та квадрат гурвалжны хувьд x 0-г хайж, функцийг мартаж болно.

Дээрх үндэслэлээс бид аль оноо авах нь тодорхойгүй хэвээр байна: хамгийн их эсвэл хамгийн бага. Гэсэн хэдий ч даалгаврууд нь энэ нь хамаагүй байхаар тусгайлан хийгдсэн байдаг. Өөрийгөө шүүх:

1. Асуудлын мэдэгдэлд сегмент байхгүй байна. Тиймээс f(a) ба f(b)-ийг тооцоолох шаардлагагүй. Зөвхөн туйлын цэгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй;
2. Гэхдээ ийм цорын ганц цэг байдаг - энэ бол х 0 параболын орой бөгөөд координатыг шууд утгаараа, ямар ч деривативгүйгээр тооцдог.

Тиймээс, асуудлыг шийдвэрлэх нь маш хялбаршуулсан бөгөөд ердөө хоёр үе шаттай:

1. y = ax 2 + bx + c параболын тэгшитгэлийг бичээд оройг нь дараах томъёогоор олно уу: x 0 = −b /2a ;
2. Энэ цэг дэх анхны функцийн утгыг ол: f (x 0). Хэрэв нэмэлт нөхцөл байхгүй бол энэ нь хариулт болно.

Эхлээд харахад энэ алгоритм болон түүний үндэслэл нь төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Ийм дүрмийг бодлогогүй хэрэгжүүлэх нь алдаа гаргахад хүргэдэг тул би "нүцгэн" шийдлийн диаграммыг санаатайгаар нийтлэхгүй байна.

Бодит асуудлуудыг эндээс харцгаая туршилтын улсын нэгдсэн шалгалтматематикийн хувьд - энэ техникийг ихэвчлэн олдог газар юм. Үүний зэрэгцээ бид ийм байдлаар В15-ийн олон асуудал бараг аман болж хувирахыг баталгаажуулах болно.

Үндэс дор зогсож байна квадрат функц y = x 2 + 6x + 13. Энэ функцийн график нь a = 1 > 0 коэффициент учир дээшээ салбарласан парабол юм.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн тул x 0 = −3 цэгт y = x 2 + 6x + 13 функц хамгийн бага утгыг авна.

Үндэс нь монотоноор нэмэгддэг бөгөөд энэ нь x 0 нь бүх функцийн хамгийн бага цэг юм. Бидэнд байгаа:

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Логарифмын доор дахин квадрат функц байна: y = x 2 + 2x + 9. График нь дээшээ салбарласан парабол, учир нь a = 1 > 0.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Тэгэхээр x 0 = −1 цэгт квадрат функц хамгийн бага утгыг авна. Харин y = log 2 x функц нь монотон тул:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Экспонент нь y = 1 − 4x − x 2 квадрат функцийг агуулна. Энгийн хэлбэрээр дахин бичье: y = −x 2 − 4x + 1.

Мэдээжийн хэрэг, энэ функцийн график нь парабол, доош салбарласан (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Анхны функц нь экспоненциал, энэ нь монотон тул хамгийн том утга нь олдсон цэг дээр байх болно x 0 = −2:

Анхааралтай уншигч бид язгуур болон логарифмын зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг бичээгүйг анзаарах байх. Гэхдээ энэ нь шаардлагагүй байсан: дотор нь утгууд нь үргэлж эерэг байдаг функцүүд байдаг.

Функцийн домайнаас гарсан үр дүн

Заримдаа зүгээр л параболын оройг олох нь В15 бодлогыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй байдаг. Хүссэн үнэ цэнэ нь худал байж болно сегментийн төгсгөлд, мөн туйлын цэг дээр огт биш. Хэрэв асуудал сегментийг огт заагаагүй бол харна уу хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээанхны функц. Тухайлбал:

Дахин анхаарна уу: тэг нь язгуур дор байж болох ч бутархайн логарифм эсвэл хуваарьт хэзээ ч байдаггүй. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг тодорхой жишээн дээр харцгаая:

Даалгавар. Функцийн хамгийн том утгыг ол:

Үндэс дор дахин квадрат функц байна: y = 3 − 2x − x 2 . График нь парабол боловч a = −1 учраас доош салбарладаг< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Квадрат язгуурсөрөг тоо байхгүй байна.

Бид зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг (APV) бичнэ:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Одоо параболын оройг олъё:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

x 0 = −1 цэг нь ODZ сегментэд хамаарах бөгөөд энэ нь сайн байна. Одоо бид функцийн утгыг x 0 цэг, мөн ODZ-ийн төгсгөлд тооцоолно.

y(−3) = y(1) = 0

Тиймээс бид 2 ба 0 тоонуудыг авсан. Биднээс хамгийн томыг нь олохыг хүссэн - энэ бол 2 тоо.

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 0.5 (6x − x 2 − 5)

Логарифм дотор y = 6x − x 2 − 5 квадрат функц байдаг. Энэ нь доош салбарласан парабол, харин логарифмд байж болохгүй. сөрөг тоонууд, тиймээс бид ODZ-г бичнэ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Анхаарна уу: тэгш бус байдал нь хатуу тул төгсгөлүүд нь ODZ-д хамаарахгүй. Энэ нь логарифмыг үндэснээс нь ялгаатай бөгөөд сегментийн төгсгөлүүд нь бидэнд маш сайн тохирдог.

Бид параболын оройг хайж байна:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Параболын орой нь ODZ-ийн дагуу тохирно: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Гэхдээ бид сегментийн төгсгөлийг сонирхдоггүй тул функцийн утгыг зөвхөн x 0 цэг дээр тооцоолно.

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

Бяцхан бас хөөрхөн энгийн даалгавархөвөгч оюутны амь насыг хамгаалах үүрэг гүйцэтгэдэг ангиллаас. Байгаль дээр 7-р сарын дунд үе тул далайн эрэг дээр зөөврийн компьютерээ ашиглах цаг болжээ. Өглөө эрт, тун удалгүй практикт анхаарлаа төвлөрүүлэхийн тулд онолын нарны туяа тоглож эхлэв, энэ нь тун хялбар гэж зарласан хэдий ч элсэнд шилний хэлтэрхий агуулсан байдаг. Үүнтэй холбогдуулан би энэ хуудасны цөөн хэдэн жишээг ухамсартайгаар авч үзэхийг зөвлөж байна. Практик асуудлыг шийдэхийн тулд та чадвартай байх ёстой деривативуудыг олохмөн нийтлэлийн материалыг ойлгох Функцийн монотоникийн интервал ба экстремум.

Нэгдүгээрт, гол зүйлийн талаар товчхон хэлье. тухай хичээл дээр функцийн тасралтгүй байдалБи нэг цэгийн тасралтгүй байдал, завсарлагааны тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг өгсөн. Сегмент дээрх функцын үлгэр жишээ зан төлөвийг ижил төстэй байдлаар томъёолсон болно. Функц нь интервал дээр тасралтгүй байна, хэрэв:

1) энэ нь интервал дээр үргэлжилдэг;
2) нэг цэг дээр тасралтгүй баруун талдмөн цэг дээр зүүн.

Хоёр дахь догол мөрөнд бид гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар ярьсан нэг талын тасралтгүй байдалцэг дээр ажилладаг. Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн арга байдаг ч би өмнө нь эхлүүлсэн мөрийг баримтлах болно:

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байна баруун талд, хэрэв энэ нь тухайн цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд түүний баруун гар талын хязгаар нь тухайн цэг дэх функцийн утгатай давхцаж байвал: . Энэ нь цэг дээр үргэлжилдэг зүүн, хэрэв өгөгдсөн цэг болон түүний зүүн талын хязгаарт тодорхойлогдсон бол утгатай тэнцүү байнаэнэ үед:

Ногоон цэгүүд нь тэдгээрт наалдсан шидэт уян тууз бүхий хадаас гэж төсөөлөөд үз дээ.

Оюун санааны хувьд улаан шугамыг гартаа аваарай. Мэдээжийн хэрэг, бид графикийг дээш доош (тэнхлэгийн дагуу) хичнээн хол сунгасан ч функц хэвээр байх болно. хязгаарлагдмал– дээд талд нь хашаа, доод талд нь хашаа, хашаанд манай бүтээгдэхүүн бэлчдэг. Тиймээс, интервал дээр үргэлжилсэн функц үүн дээр хязгаарлагддаг. Математикийн шинжилгээний явцад энгийн мэт санагдах энэ баримтыг хэлж, хатуу нотолсон байдаг. Вейерштрассын анхны теорем....Математикт анхан шатны хэллэгүүд уйтгартай үндэслэлтэй байдаг нь олон хүн бухимддаг ч энэ нь чухал ач холбогдолтой юм. Дундад зууны Терригийн тодорхой оршин суугч тэнгэрт харагдахуйц хязгаараас хэтэрсэн график татсан гэж бодъё. Телескопыг зохион бүтээхээс өмнө сансар огторгуй дахь хязгаарлагдмал функц нь огт тодорхойгүй байсан! Үнэхээр биднийг тэнгэрийн хаяанд юу хүлээж байгааг та яаж мэдэх вэ? Эцсийн эцэст, дэлхийг нэгэн цагт хавтгай гэж үздэг байсан тул өнөөдөр энгийн телепортац хүртэл нотлох баримт шаарддаг =)

дагуу Вейерштрассын хоёр дахь теорем, сегмент дээр тасралтгүйфункц түүндээ хүрнэ яг дээд хязгаарХарин таных яг доод ирмэг .

Энэ дугаарыг бас дууддаг сегмент дээрх функцийн хамгийн их утгаба -аар тэмдэглэгдсэн, тоо нь байна сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгатэмдэглэгдсэн.

Манай тохиолдолд:

Анхаарна уу : онолын хувьд бичлэгүүд нийтлэг байдаг .

Товчхондоо бол хамгийн их үнэ цэнэ нь хаана хамгийн их байдаг өндөр оноографик, хамгийн жижиг нь хамгийн доод цэг нь хаана байна.

Чухал!Энэ тухай нийтлэлд аль хэдийн онцолсон функцийн экстремум, хамгийн их функцийн утгаТэгээд функцийн хамгийн бага утга – АДИЛХАН БИШ, Юу хамгийн их функцТэгээд хамгийн бага функц. Тиймээс авч үзэж буй жишээн дээр тоо нь функцийн хамгийн бага утга боловч хамгийн бага утга биш юм.

Дашрамд хэлэхэд сегментээс гадуур юу болдог вэ? Тийм ээ, үер ч гэсэн авч үзэж буй асуудлын хүрээнд энэ нь биднийг огт сонирхдоггүй. Даалгавар нь зөвхөн хоёр тоог олох явдал юм тэгээд л болоо!

Үүнээс гадна шийдэл нь зөвхөн аналитик шинж чанартай байдаг зураг зурах шаардлагагүй!

Алгоритм нь гадаргуу дээр байрладаг бөгөөд дээрх зургаас өөрийгөө харуулж байна.

1) Функцийн утгыг ол чухал цэгүүд, Энэ сегментэд хамаарах.

Өөр нэг урамшуулал аваарай: энд экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгах шаардлагагүй, учир нь зүгээр л харуулсанчлан хамгийн бага эсвэл дээд хэмжээ байгаа эсэх. хараахан баталгаа өгөхгүй байна, хамгийн бага эсвэл хамгийн их утга хэд вэ. Үзүүлэн харуулах функц нь дээд талдаа хүрч, хувь заяаны хүслээр ижил тоо нь сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга юм. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, ийм давхцал үргэлж тохиолддоггүй.

Тиймээс эхний алхамд сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох нь илүү хурдан бөгөөд хялбар бөгөөд тэдгээрт экстремум байгаа эсэхээс үл хамаарна.

2) Бид сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолно.

3) 1 ба 2-р догол мөрөнд байгаа функцүүдийн утгуудаас хамгийн бага, хамгийн ихийг сонгоно уу. том тоо, хариултыг бичнэ үү.

Бид эрэг дээр сууна цэнхэр далайГүехэн ус руу өсгийгөөрөө цохив:

Жишээ 1

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

Шийдэл:
1) Энэ сегментэд хамаарах чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолъё.

Хоёр дахь чухал цэг дэх функцийн утгыг тооцоолъё.

2) Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

3) Экспонент ба логарифмын тусламжтайгаар "Бод" үр дүнг олж авсан нь тэдгээрийн харьцуулалтыг ихээхэн хүндрүүлдэг. Энэ шалтгааны улмаас тооцоолуур эсвэл Excel-ээр өөрийгөө зэвсэглэж, ойролцоо утгыг тооцоолъё, үүнийг мартаж болохгүй.

Одоо бүх зүйл тодорхой боллоо.

Хариулах:

Бие даасан шийдлийн бутархай-рационал жишээ:

Жишээ 6

Сегмент дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол

Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?

Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээ юм.

Урьдчилсан нөхцөлФункцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл байхгүй байна.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэгийн дериватив нь энэ цэгт экстремум байхгүйгээр тэг, хязгааргүй эсвэл байхгүй байж болно.

Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?

Эхний нөхцөл:

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. дээд тал нь

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. хамгийн багаЭнд f(x) функц тасралтгүй байх нөхцөлд.

Үүний оронд та функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөлийг ашиглаж болно:

x = a цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёрдахь дериватив f??(a) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.

Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцын график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгууд болон график тасалдсан утгуудыг бид сонирхож байна.

Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.

Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2

Тэгшитгэлийг шийд: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Энэ аргументын утга нь функцэд байна экстремум. Түүнд олох, "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна уу:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн том ба хамгийн бага үнэ цэнэ?

Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.

Үзсэн жишээний хувьд:

-ийн зүүн талд дурын аргументын утгыг авна уу чухал цэг: x = -1

x = -1 үед деривативын утга нь y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "хасах").

Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1

x = 1 үед деривативын утга нь y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "нэмэх").

Таны харж байгаагаар дериватив нь эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилсөн. Энэ нь x0 чухал утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил процедурыг ашиглан олно, зөвхөн бүх чухал цэгүүд заасан интервалд багтахгүй байж магадгүй гэдгийг харгалзан үзнэ. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

интервалаар:

Тэгэхээр функцийн дериватив нь юм

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (интервалд ороогүй)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (интервалд ороогүй)

Бид аргументийн эгзэгтэй утгуудаас функцийн утгыг олдог.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:

x = -4.88, y = 5.398,

ба хамгийн бага нь - x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398-тай тэнцүү байна.

Интервалын төгсгөлд байгаа функцийн утгыг ол:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Интервал дээр [-6; -3] функцийн хамгийн их утга нь бидэнд байна

x = -4.88 үед у = 5.398

хамгийн бага утга -

x = -3 үед y = 1.077

Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хотгор талыг тодорхойлох вэ?

y = f(x) шугамын бүх гулзайлтын цэгүүдийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлгах болно. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөөгүй бол гулзайлт байхгүй болно.

f тэгшитгэлийн язгуурууд? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун дээш хонхойж, сөрөг байвал доошоо байна.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?

Тодорхойлолтын мужид ялгах боломжтой f(x,y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) чухал цэгүүдийг олох, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийднэ

фх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.

бүх цэгийн хувьд (x;y) P0-д хангалттай ойр. Хэрэв зөрүү эерэг хэвээр байвал P0 цэг дээр бид хамгийн бага, сөрөг байвал хамгийн их байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол P0 цэгт экстремум байхгүй болно.

Функцийн экстремумыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно илүүаргументууд.