МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантанЭлеагийн Зено өөрийн алдартай апориа бүтээсэн бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байна, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математикийн шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик, философийн хандлагыг оролцуулсан; ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг бүрэн зогсох хүртэл удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Үлдэх тогтмол нэгжүүдцаг хэмжигдэхүүн болон явах хэрэггүй харилцан. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ тийм биш бүрэн шийдэлАсуудлууд. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш, хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл Онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн их байна сонирхол Асуу: олонлогийн элементүүд нь олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ч ойрхон биш юм.

Энд харах. Бид ижил талбай бүхий хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид үр дүнд нь нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ үү. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын заадаг “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. ХАМТ их тоо 12345 Би толгойгоо хуурмааргүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг харцгаая. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тоон систем нь тоонуудын хэмжлийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид тоонуудыг харьцуулж болохгүй өөр өөр нэгжүүдхэмжилт. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ бол үр дүн юм математик үйлдэлтоон хэмжээ, ашигласан хэмжих нэгж, үйлдлийг хэн гүйцэтгэхээс хамаарахгүй.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ бол "баасан хүн" буюу "хорин зургаа" гэсэн тоо юм арван зургаатын системТооцоолол. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Экспоненциал гэдэг нь үржүүлэхтэй нягт холбоотой үйлдэл бөгөөд энэ үйлдэл нь тоог өөрөө дахин дахин үржүүлсний үр дүн юм. Үүнийг дараах томьёогоор илэрхийлье: a1 * a2 * … * an = an.

Жишээ нь, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Ерөнхийдөө экспонентацийг математик, физикийн янз бүрийн томъёонд ихэвчлэн ашигладаг. Энэ функц нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах гэсэн дөрвөн үндсэн функцээс илүү шинжлэх ухааны зорилготой.

Тоог хүч болгон өсгөх

Тоог хүч болгон өсгөх нь төвөгтэй ажиллагаа биш юм. Энэ нь үржүүлэх, нэмэх хоёрын харьцаатай ижил төстэй байдлаар үржүүлэхтэй холбоотой. Ан тэмдэглэгээ нь n-р тооны “a” тооны бие биенээ үржүүлсэн богино тэмдэглэгээ юм.

Хамгийн ихдээ экспоненциацийг авч үзье энгийн жишээнүүд, нарийн төвөгтэй зүйл рүү шилжих.

Жишээлбэл, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Дөрөв квадрат (хоёр дахь зэрэглэл) нь арван зургаатай тэнцэнэ. Хэрэв та 4 * 4 үржүүлэхийг ойлгохгүй байгаа бол үржүүлэх тухай манай нийтлэлийг уншина уу.

Өөр нэг жишээг харцгаая: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Таван шоо (гурав дахь зэрэглэлд) нь зуун хорин тавтай тэнцэнэ.

Өөр нэг жишээ: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Есөн куб нь долоон зуун хорин естэй тэнцэнэ.

Экспонентацийн томъёо

Хүчийг зөв өсгөхийн тулд доор өгөгдсөн томъёог санаж, мэдэж байх хэрэгтэй. Үүнд ямар ч байгалийн зүйл байхгүй, гол зүйл бол мөн чанарыг ойлгох явдал юм, тэгвэл тэд зөвхөн дурсагдах болно, гэхдээ бас амархан санагдах болно.

Мономиалыг хүчирхэг болгож өсгөх

Мономиал гэж юу вэ? Энэ нь ямар ч хэмжээгээр тоо болон хувьсагчийн бүтээгдэхүүн юм. Жишээлбэл, хоёр нь мономиал юм. Мөн энэ нийтлэл нь ийм мономуудыг эрх мэдэлд хүргэх тухай юм.

Экспонентацийн томъёог ашигласнаар мономиалын экспонентацийг тооцоолоход хэцүү биш байх болно.

Жишээлбэл, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Хэрэв та мономиалыг хүчирхэг болгож өсгөх юм бол мономиал бүрийг хүчирхэг болгож өсгөнө.

Хүчин чадал нь аль хэдийн байгаа хувьсагчийг өсгөснөөр хүчийг үржүүлдэг. Жишээ нь, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Сөрөг хүчийг өсгөх

Сөрөг хүч нь тооны эсрэг хүч юм. Харилцан тоо хэд вэ? Аливаа X тооны эсрэг тал нь 1/X байна. Энэ нь X-1=1/X. Энэ бол сөрөг зэрэглэлийн мөн чанар юм.

(3Y)^-3 жишээг авч үзье:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Яагаад тэр вэ? Зэрэглэлд хасах зүйл байгаа тул бид энэ илэрхийллийг хуваагч руу шилжүүлж, дараа нь гурав дахь зэрэглэлд шилжүүлнэ. Энгийн биш гэж үү?

Бутархай хүчийг нэмэгдүүлэх

-аас асуудлыг авч үзье тодорхой жишээ. 43/2. 3/2 зэрэг нь юу гэсэн үг вэ? 3 – тоологч гэдэг нь тоог (энэ тохиолдолд 4) шоо болгон өсгөх гэсэн үг юм. 2-ын тоо нь хуваагч юм (энэ тохиолдолд 4).

Дараа нь бид 43 = 2^3 = 8-ын квадрат язгуурыг авна. Хариулт: 8.

Тиймээс бутархай зэрэглэлийн хуваагч нь 3 эсвэл 4 эсвэл хязгааргүй хүртэлх дурын тоо байж болох бөгөөд энэ тоо нь градусыг тодорхойлдог. квадрат язгуур, өгөгдсөн тооноос гаргаж авсан. Мэдээжийн хэрэг, хуваагч нь тэг байж болохгүй.

Үндэсийг хүчирхэг болгох

Хэрэв үндсийг өөрийнх нь зэрэгтэй тэнцүү хэмжээнд өсгөвөл хариулт нь радикал илэрхийлэл болно. Жишээлбэл, (√x)2 = x. Тиймээс ямар ч тохиолдолд язгуурын зэрэг, үндсийг өсгөх зэрэг нь тэнцүү байна.

Хэрэв (√x)^4. Дараа нь (√x)^4=x^2. Уусмалыг шалгахын тулд бид илэрхийллийг бутархай зэрэгтэй илэрхийлэл болгон хувиргадаг. Үндэс нь дөрвөлжин тул хуваагч нь 2. Хэрэв үндсийг 4-р зэрэглэлд хүргэвэл тоологч нь 4. Бид 4/2=2 болно. Хариулт: x = 2.

Ямар ч байсан хамгийн сайн сонголтзүгээр л илэрхийлэлийг бутархай зэрэгтэй илэрхийлэл болгон хувирга. Хэрэв бутархай нь цуцлагдахгүй бол өгөгдсөн тооны язгуурыг тусгаарлаагүй тохиолдолд энэ нь хариулт болно.

Комплекс тоог хүчирхэг болгох

Комплекс тоо гэж юу вэ? Комплекс тоо нь a + b * i томьёотой илэрхийлэл юм; a, b нь бодит тоонууд. i бол квадрат нь авахдаа -1 тоог өгдөг тоо юм.

Нэг жишээ авч үзье. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Хэрхэн хурдан бөгөөд зөв нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, квадрат тоо, бүр үндсийг задлах аргад суралцахын тулд "Сэтгэцийн арифметик биш, оюун ухааны арифметикийг хурдасгах" сургалтанд бүртгүүлээрэй. 30 хоногийн дотор та арифметикийн үйлдлийг хялбарчлах хялбар арга хэрэглэж сурах болно. Хичээл бүр шинэ арга техник, тодорхой жишээнүүд, хэрэгтэй даалгаваруудыг агуулдаг.

Экспонентаци онлайн

Манай тооны машиныг ашигласнаар та тоог нэг зэрэгт өсгөхийг тооцоолж болно.

Экспотенциал 7-р анги

Сургуулийн хүүхдүүд долдугаар ангиасаа л хүчирхэгжиж эхэлдэг.

Экспоненциал гэдэг нь үржүүлэхтэй нягт холбоотой үйлдэл бөгөөд энэ үйлдэл нь тоог өөрөө дахин дахин үржүүлсний үр дүн юм. Үүнийг дараах томьёогоор илэрхийлье: a1 * a2 * … * an=an.

Жишээлбэл, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Шийдвэрлэх жишээ:

Экспонентацийн танилцуулга

Долоодугаар ангийн хүүхдүүдэд зориулсан эрх мэдлийг дээшлүүлэх тухай танилцуулга. Танилцуулга нь зарим нэг ойлгомжгүй зүйлийг тодруулж болох ч бидний нийтлэлийн ачаар эдгээр асуудлуудыг арилгахгүй байх магадлалтай.

Доод шугам

Математикийг илүү сайн ойлгохын тулд бид мөсөн уулын зөвхөн оройг л харлаа - манай курст бүртгүүлээрэй: Сэтгэцийн арифметикийг хурдасгах - Сэтгэцийн арифметик БИШ.

Хичээлээс та зөвхөн хялбаршуулсан олон арван арга техникийг сурах болно хурдан үржүүлэх, нэмэх, үржүүлэх, хуваах, хувь тооцох, гэхдээ та тэдгээрийг тусгай даалгавар, боловсролын тоглоомуудад дадлага хийх болно! Сэтгэцийн арифметик нь маш их анхаарал, төвлөрөл шаарддаг бөгөөд сонирхолтой асуудлыг шийдвэрлэхэд идэвхтэй сургадаг.

Алгебр, бүх математикийн үндсэн шинж чанаруудын нэг бол зэрэг юм. Мэдээж 21-р зуунд бүх тооцоог онлайн тооны машин дээр хийж болох ч тархины хөгжилд өөрөө үүнийг хийж сурсан нь дээр.

Энэ нийтлэлд бид хамгийн ихийг авч үзэх болно чухал асуултуудэнэ тодорхойлолттой холбоотой. Энэ нь ерөнхийдөө юу вэ, түүний үндсэн үүрэг юу вэ, математикт ямар шинж чанарууд байдгийг ойлгоцгооё.

Тооцоолол ямар харагдах, үндсэн томъёо нь юу болох жишээг авч үзье. Хэмжигдэхүүний үндсэн төрлүүд болон тэдгээр нь бусад функцээс юугаараа ялгаатай болохыг харцгаая.

Энэ хэмжигдэхүүнийг ашиглан янз бүрийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгоцгооё. Хэрхэн тэг хүч, үндэслэлгүй, сөрөг гэх мэтийг хэрхэн өсгөх талаар жишээгээр харуулах болно.

Онлайн экспонентацийн тооцоолуур

Тооны хүч гэж юу вэ

"Тоогоо өсгөх" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Тооны n чадал нь a n удаа дараалсан хүчин зүйлийн үржвэр юм.

Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

a n = a * a * a * …a n .

Жишээлбэл:

• Гурав дахь зэрэгт 2 3 = 2 байна. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 алхам руу. хоёр = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 алхам. дөрөв = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 алхамаар 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 алхамаар 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Доорх нь 1-ээс 10 хүртэлх квадрат ба шоо дөрвөлжин хүснэгт юм.

1-ээс 10 хүртэлх градусын хүснэгт

Барилгын ажлын үр дүнг доор харуулав натурал тоонуудэерэг хүч рүү - "1-ээс 100 хүртэл".

Ч-ло	2-р ст.	3-р шат
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Ийм математик функцын онцлог нь юу вэ? Үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Эрдэмтэд дараахь зүйлийг тогтоов Бүх зэрэглэлийн шинж тэмдгүүд:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Нөгөө талаас 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Үүнтэй адил: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Үгүй бол 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Хэрэв өөр байвал яах вэ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Таны харж байгаагаар дүрэм журам ажилладаг.

Гэхдээ яах вэ нэмэх, хасах үйлдэлтэй? Энэ бол энгийн. Эхлээд экспонентацийг хийж, дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Жишээнүүдийг харцгаая:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Анхаарна уу: Хэрэв та эхлээд хасвал дүрэм үйлчлэхгүй: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Гэхдээ энэ тохиолдолд хаалтанд үйлдлүүд байгаа тул та эхлээд нэмэхийг тооцоолох хэрэгтэй: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Хэрхэн үйлдвэрлэх вэ илүү төвөгтэй тохиолдолд тооцоолол? Дараалал нь адилхан:

• хэрэв хаалт байгаа бол та тэдгээрээс эхлэх хэрэгтэй;
• дараа нь экспонентаци;
• дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх;
• нэмсний дараа, хасах.

Бүх зэрэглэлд хамаарахгүй тодорхой шинж чанарууд байдаг:

1. a тооны m-ийн n-р язгуурыг дараах байдлаар бичнэ: a m / n.
2. Бутархайг зэрэглэлд хүргэх үед: тоологч болон хуваагч хоёулаа энэ журамд хамаарна.
3. Бүтээлийг барьж байгуулахдаа өөр өөр тооХүчин чадалтай бол илэрхийлэл нь эдгээр тоонуудын үржвэрт өгөгдсөн чадалтай тохирно. Энэ нь: (a * b) n = a n * b n .
4. Тоог сөрөг хүчинтэй болгохдоо 1-ийг тухайн зууны тоонд хуваах хэрэгтэй, гэхдээ "+" тэмдэгтэй.
5. Хэрэв бутархайн хуваагч нь сөрөг утгатай байвал энэ илэрхийлэл нь хүртэгчийн үржвэр, хуваагч нь эерэг зэрэгтэй тэнцүү байна.
6. Дурын тоо 0 = 1 ба чадал руу. 1 = өөртөө.

Эдгээр дүрмүүд зарим тохиолдолд чухал байдаг; бид тэдгээрийг доор дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг

Хэзээ юу хийх вэ хасах градус, өөрөөр хэлбэл индикатор сөрөг байх үед?

4 ба 5-р шинж чанарууд дээр үндэслэсэн(дээрх цэгийг үзнэ үү), Энэ нь болж байна:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Мөн эсрэгээр:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Хэрэв энэ нь бутархай бол яах вэ?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг

Үүнийг бүхэл тоотой тэнцүү илтгэгчтэй зэрэг гэж ойлгодог.

Санаж байх зүйлс:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... гэх мэт.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... гэх мэт.

Түүнчлэн хэрэв (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... байвал үр дүн нь “+” тэмдэгтэй байна. Хэрэв сөрөг тоог сондгой хэмжээнд өсгөсөн бол эсрэгээр.

Ерөнхий шинж чанарууд болон дээр дурдсан бүх онцлог шинж чанарууд нь тэдний онцлог шинж юм.

Бутархай зэрэг

Энэ төрлийг схем хэлбэрээр бичиж болно: A m / n. Дараах байдлаар уншина уу: А тооны n-р язгуураас m-ийн түвшин.

Бутархай үзүүлэлтээр та хүссэн бүхнээ хийж болно: үүнийг багасгах, хэсэг болгон хуваах, өөр хүч рүү өсгөх гэх мэт.

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэг

α нь иррационал тоо ба A ˃ 0 байг.

Ийм үзүүлэлттэй зэрэглэлийн мөн чанарыг ойлгохын тулд Янз бүрийн тохиолдлуудыг авч үзье:

• A = 1. Үр дүн нь 1-тэй тэнцүү байх болно. Аксиом байгаа тул - бүх зэрэгт 1 нь нэгтэй тэнцүү;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационал тоо;

• 0˂А˂1.

Энэ тохиолдолд энэ нь эсрэгээрээ: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 хоёр дахь догол мөртэй ижил нөхцөлд.

Жишээлбэл, илтгэгч нь π тоо юм.Энэ бол оновчтой.

r 1 – энэ тохиолдолд 3-тай тэнцүү;

r 2 - 4-тэй тэнцүү байх болно.

Дараа нь A = 1-ийн хувьд 1 π = 1 байна.

A = 2, дараа нь 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, дараа нь (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ийм зэрэг нь дээр дурдсан бүх математикийн үйлдлүүд болон тодорхой шинж чанаруудаар тодорхойлогддог.

Дүгнэлт

Дүгнэж хэлье - эдгээр хэмжигдэхүүнүүд юунд хэрэгтэй вэ, ийм функцүүдийн давуу тал юу вэ? Мэдээжийн хэрэг, юуны түрүүнд тэд жишээг шийдвэрлэхдээ математикч, програмистуудын амьдралыг хялбаршуулдаг, учир нь тэд тооцооллыг багасгах, алгоритмуудыг богиносгох, өгөгдлийг системчлэх гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжийг олгодог.

Энэ мэдлэг өөр хаана хэрэг болох вэ? Аливаа ажлын мэргэжлээр: анагаах ухаан, эм зүй, шүдний эмчилгээ, барилга, технологи, инженерчлэл, дизайн гэх мэт.

үржүүлэх аргыг ашиглан олж болно. Жишээ нь: 5+5+5+5+5+5=5х6. Ийм илэрхийлэл нь тэнцүү гишүүдийн нийлбэрийг үржвэр болгон нугалав гэж хэлдэг. Мөн эсрэгээр, хэрэв бид энэ тэгш байдлыг баруунаас зүүн тийш уншвал бид тэнцүү нөхцлүүдийн нийлбэрийг өргөжүүлсэн болохыг олж мэднэ. Үүний нэгэн адил 5x5x5x5x5x5=5 6 гэсэн хэд хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг нурааж болно.

Өөрөөр хэлбэл 5х5х5х5х5х5 гэсэн зургаан ижил хүчин зүйлийг үржүүлэхийн оронд 5 6 гэж бичээд "таваас зургаа дахь зэрэглэл" гэж хэлдэг.

5 6 илэрхийлэл нь тооны зэрэглэл бөгөөд үүнд:

5 - зэрэглэлийн суурь;

6 - илтгэгч.

Тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг хүчин чадал болгон бууруулах үйлдлүүд гэж нэрлэдэг хүч чадалд хүргэх.

IN ерөнхий үзэл"a" суурьтай, "n" илтгэгчтэй зэрэг нь ингэж бичигдэнэ

a тоог n зэрэгт хүргэнэ гэдэг нь тус бүр нь а-тай тэнцүү n хүчин зүйлийн үржвэрийг олно гэсэн үг юм.

Хэрэв “a” зэрэглэлийн суурь нь 1-тэй тэнцүү бол дурын натурал n тооны градусын утга 1-тэй тэнцүү байх болно. Жишээ нь: 1 5 =1, 1 256 =1.

Хэрэв та "a" тоог өсгөвөл нэгдүгээр зэрэг, дараа нь бид a дугаарыг өөрөө авна: a 1 = a

Хэрэв та ямар нэгэн тоог өсгөх юм бол тэг градус, дараа нь тооцооллын үр дүнд бид нэгийг авна. a 0 = 1

Тооны хоёр ба гурав дахь зэрэглэлийг тусгай гэж үзнэ. Тэд өөрсдийнхөө нэрийг гаргаж ирэв: хоёр дахь зэрэг гэж нэрлэдэг тооны квадрат, гурав дахь - шооэнэ тоо.

Ямар ч тоог эерэг, сөрөг эсвэл тэг болгон өсгөж болно. Энэ тохиолдолд дараах дүрмийг баримтлахгүй.

Эерэг тооны хүчийг олоход үр дүн нь эерэг тоо юм.

Байгалийн хүчинд тэгийг тооцохдоо бид тэгийг авдаг.

х м · x n = x m + n

жишээ нь: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

руу зэрэгтэй хуваалцах ижил үндэслэлээр Бид суурийг өөрчлөхгүй, харин илтгэгчийг хасна:

х м / x n = x m - n , Хаана, m > n,

жишээ нь: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Тооцоолох үед хүчийг хүчирхэг болгохБид суурийг өөрчилдөггүй, харин илтгэгчийг бие биенээсээ үржүүлдэг.

(м ) n = y м n

жишээ нь: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · у) n = x n · y м ,

жишээ нь:(2 3) 3 = 2 n 3 м,

дагуу тооцоо хийхдээ бутархайг хүчирхэг болгохбид бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг өгөгдсөн зэрэгт өсгөнө

(x/y)n = x n / y n

жишээ нь: (2/5) 3 = (2/5) · (2 / 5) · (2 /5) = 2 3/5 3.

Зэрэг агуулсан илэрхийлэлтэй ажиллахдаа тооцоолох дараалал.

Хаалтгүй боловч эрх мэдэл агуулсан илэрхийллийн тооцоог хийхдээ юуны түрүүнд экспентацийг, дараа нь үржүүлэх, хуваах, зөвхөн дараа нь нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Хэрэв та хаалт агуулсан илэрхийллийг тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд хаалтанд байгаа тооцоог дээр дурдсан дарааллаар хийж, үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш ижил дарааллаар хийнэ.

Практик тооцоололд маш өргөн хүрээнд тооцооллыг хялбарчлахын тулд чадлын бэлэн хүснэгтүүдийг ашигладаг.

Та бүхний мэдэж байгаагаар математикт эерэг тоонууд төдийгүй сөрөг тоонууд байдаг. Хэрэв эерэг хүчнүүдтэй танилцах нь квадратын талбайг тодорхойлохоос эхэлдэг бол сөрөг хүчний хувьд бүх зүйл арай илүү төвөгтэй байдаг.

Үүнийг та мэдэх ёстой:

1. тоог нэмэгдүүлэх замаар байгалийн зэрэгтоог илтгэгч (ирээдүйд бид параллель, зүгээр л илтгэгч үгийг ашиглах болно) зэрэг хэмжээгээр үржүүлэх гэж нэрлэдэг (нийтлэлд бид тоо ба цифрийн эквивалент гэсэн ойлголтыг авч үзэх болно). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Ерөнхийдөө энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: m^n = m*m*m*…*m (n удаа).
2. Сөрөг тоог натурал зэрэглэлд өсгөхөд экспонент нь тэгш бол эерэг болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
3. Тоог 0-ийн илтгэгч хүртэл өсгөх нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд нэгийг өгнө. Тэгээс тэг хүртэлх хүчийг тодорхойгүй гэж үзнэ. 17^0 = 1.
4. Тооноос тодорхой зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авна гэдэг нь тохирох илтгэгч рүү аваачихад хүссэн утгыг өгөх тоог олох явдал юм. Тэгэхээр 5^3 = 125 тул 125-ын шоо язгуур нь 5 байна.
5. Хэрэв та тоог эерэг бутархай болгон өсгөхийг хүсвэл тоог хуваагч илтгэгч хүртэл өсгөж, түүнээс хүртэгчийн илтгэгчийн үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй. 6^5/7 = 6*6*6*6*6 бүтээгдэхүүний долоо дахь үндэс.
6. Хэрэв та тоог сөрөг илтгэгч рүү өсгөх шаардлагатай бол өгөгдсөн тооны урвуу тоог олох хэрэгтэй. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Тоо модулийг тэгээс нэг болгон нэмэх нь сөрөг хүчинтэй байх

Эхлээд бид санаж байх ёстой модуль гэж юу вэ. Энэ нь координатын шугам дээрх бидний сонгосон утгаас эх (координатын шугамын тэг) хүртэлх зай юм. Тодорхойлолтоор энэ нь хэзээ ч сөрөг байж чадахгүй.

Утга тэгээс их байна

Цифрийн утга нь тэгээс нэгийн хооронд байвал сөрөг үзүүлэлт нь тухайн цифрийн өсөлтийг өгдөг. Энэ нь хуваагч эерэг хэвээр байхад буурч байгаатай холбоотой юм.

Жишээнүүдийг харцгаая:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Түүгээр ч зогсохгүй индикаторын модуль том байх тусам тоо илүү идэвхтэй өсдөг. Хуваагч нь тэг рүү чиглэдэг тул бутархай нь өөрөө хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг.

Утга тэгээс бага

Одоо тоо бол сөрөг хүчин рүү хэрхэн өсгөх талаар авч үзье тэгээс бага. Энэ зарчим нь өмнөх хэсгийнхтэй адил боловч энд индикаторын тэмдэг чухал юм.

Жишээнүүдийг дахин харцгаая:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Энэ тохиолдолд бид үүнийг харж байна модуль өссөөр байна, гэхдээ тэмдэг нь индикатор тэгш эсвэл сондгой байхаас хамаарна.

Хэрэв бид нэгж барих юм бол энэ нь үргэлж өөрөө үлдэх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв та хасах нэг тоог өсгөх шаардлагатай бол тэгш илтгэгчтэй бол энэ нь нэг болж, сондгой илтгэгчтэй бол хасах нэг хэвээр үлдэнэ.

Хэрэв модуль нэгээс их бол сөрөг бүхэл тоо хүртэл өсгөх

Модуль нь нэгээс их тоонуудын хувьд,үйл ажиллагааны өөрийн гэсэн онцлогтой. Юуны өмнө та бутархайн бүх хэсгийг тоологч болгон хувиргах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл буруу бутархай болгон хувиргах хэрэгтэй. Хэрэв бидэнд байгаа бол аравтын, дараа нь үүнийг хэвийн болгох ёстой. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ.

• 6 бүхэл тоо 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Одоо эдгээр нөхцлөөр тоог сөрөг хүчин рүү хэрхэн өсгөх талаар авч үзье. Дээр дурдсан зүйлсээс бид тооцооллын үр дүнгээс юу хүлээж болохыг таамаглаж болно. Хялбарчлах үед давхар бутархай урвуу байдаг тул зургийн модуль хурдан буурах тусам экспонентийн модуль том байх болно.

Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье даалгаварт өгсөн тоо эерэг байна.

Юуны өмнө эцсийн үр дүн тэгээс их байх нь тодорхой болно, учир нь хоёр эерэгийг хуваах нь үргэлж эерэг үр дүнг өгдөг. Үүнийг хэрхэн хийх жишээг дахин харцгаая:

• 6 бүхэл тоо 1/20-аас тав дахь хасах нь = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Таны харж байгаагаар үйлдлүүд нь ямар ч хүндрэл учруулдаггүй бөгөөд бидний бүх анхны таамаглал үнэн болж хувирав.

Одоо сөрөг оронтой тоон дээр очъё.

Эхлэхийн тулд индикатор тэгш байвал үр дүн эерэг, сондгой байвал сөрөг байна гэж бид үзэж болно. Энэ хэсэгт хийсэн бидний өмнөх бүх тооцоог одоо хүчинтэй гэж үзнэ. Дахин жишээнүүдийг харцгаая:

• -3 бүхэл 1/2-ыг хасах зургаа дахь зэрэглэл = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Ингээд бидний бүх үндэслэл зөв болсон.

Сөрөг бутархай илтгэгчийн тохиолдолд байгуулах

Энд та ийм барилга байгууламж байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй тооноос хуваагчийн чадлын үндсийг гаргаж авах. Бидний өмнөх бүх үндэслэл энэ удаад үнэн хэвээр байна. Үйлдлээ жишээгээр тайлбарлая:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/рад(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Энэ тохиолдолд та үндсийг нь гаргаж авдаг гэдгийг санах хэрэгтэй өндөр түвшинЭнэ нь зөвхөн тусгайлан сонгосон хэлбэрээр боломжтой бөгөөд үнэн зөв тооцоолол хийснээр та радикал (квадрат үндэс, шоо язгуур гэх мэт) тэмдгийг арилгах боломжгүй болно.

Гэсэн хэдий ч өмнөх бүлгүүдийг нарийвчлан судалсны дараа та сургуулийн тооцоололд хүндрэл гарна гэж найдаж болохгүй.

Энэ бүлгийн тайлбар нь бас багтсан гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй зориуд үндэслэлгүй үзүүлэлт бүхий барилга, жишээлбэл, индикатор нь хасах PI-тэй тэнцүү бол. Та дээр дурдсан зарчмуудын дагуу ажиллах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч ийм тохиолдолд тооцоо хийх нь маш нарийн төвөгтэй болж, зөвхөн хүчирхэг электрон компьютер үүнийг хийх боломжтой.

Дүгнэлт

Бидний судалсан үйлдэл математикийн хамгийн хэцүү асуудлуудын нэг юм(ялангуяа бутархай-рациональ эсвэл иррациональ утгын хувьд). Гэсэн хэдий ч нарийвчлан, алхам алхмаар судалж үзсэн эдгээр заавар, та үүнийг ямар ч асуудалгүйгээр бүрэн автоматаар хийж сурах боломжтой.