Зааварчилгаа

Хэрэв өгөгдсөн гурвалжин нь тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт байвал тэр нь байна
хоёр буюу гурван тал, дараа нь түүний биссектрис, өмчийн дагуу гурвалжин, мөн медиан байх болно. Тиймээс эсрэг талынх нь биссектрисаар хагас хуваагдана.

Эсрэг талыг захирагчаар хэмжинэ гурвалжин, биссектрис хаана чиглэх болно. Энэ талыг хагасаар хувааж, хажуугийн голд цэг тавь.

Баригдсан цэг болон эсрэг талын оройгоор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг зур. Энэ нь биссектриса байх болно гурвалжин.

Эх сурвалжууд:

• Гурвалжны медиан, биссектриса ба өндөр

Нэг өнцгийг хоёр хувааж, дээрээс нь эсрэг тал руу нь татсан шугамын уртыг тооцоолох нь зүсэгч, маркшейдер, суурилуулагч болон бусад зарим мэргэжлийн хүмүүсийн хийх чадвартай байх ёстой зүйл юм.

Танд хэрэгтэй болно

• Хэрэглүүр Харандаа захирагч Протектор Синус ба косинусын хүснэгтүүд Математикийн томьёо ба ойлголтууд: Биссектрисын тодорхойлолт Синус ба косинусын теоремууд Бисекторын теорем

Зааварчилгаа

Танд юу өгөгдсөнөөс хамааран шаардлагатай хэмжээтэй гурвалжин барих уу? dfe талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, гурван тал эсвэл хоёр өнцөг ба тэдгээрийн хооронд байрлах тал.

Булангийн болон хажуугийн оройг уламжлалт латин үсгээр A, B, C үсгээр тэмдэглэнэ үү. Булангийн оройг -аар, эсрэг талыг нь жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Өнцгийг Грек үсгээр тэмдэглэнэ үү?,? Тэгээд?

Синус ба косинусын теоремуудыг ашиглан өнцөг ба талуудыг тооцоол гурвалжин.

Биссектрисийг санаарай. Бисектрис - өнцгийг хагасаар хуваах. Өнцгийн биссектриса гурвалжинэсрэг талыг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд энэ нь зэргэлдээх хоёр талын харьцаатай тэнцүү байна гурвалжин.

Өнцгийн биссектрисаг зур. Үүссэн хэсгүүдийг өнцгүүдийн нэрээр бичнэ үү жижиг үсэгнүүд, l гэсэн дэд тэмдэгтэй. c тал нь l индекс бүхий a ба b сегментүүдэд хуваагдана.

Үүссэн хэрчмүүдийн уртыг синусын хуулийг ашиглан тооцоол.

Сэдвийн талаархи видео

тэмдэглэл

Анхны гурвалжны аль нэг тал болох биссектриса ба хэрчим өөрөө үүссэн гурвалжны хажуу тал болох сегментийн уртыг синусын хуулийг ашиглан тооцоолно. Нэг талын өөр сегментийн уртыг тооцоолохын тулд үүссэн сегментүүд болон анхны гурвалжны зэргэлдээ талуудын харьцааг ашиглана.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд биссектрис зур өөр өөр өнцөг өөр өөр өнгө.

Биссектрис өнцөгоройноос эхэлдэг туяа гэж нэрлэдэг өнцөгмөн хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Тэдгээр. зарцуулах биссектрис, та дундыг нь олох хэрэгтэй өнцөг. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол луужин юм. Энэ тохиолдолд та ямар ч тооцоо хийх шаардлагагүй бөгөөд үр дүн нь тоо хэмжээ байгаа эсэхээс хамаарахгүй. өнцөгбүхэл тоо.

Танд хэрэгтэй болно

• луужин, харандаа, захирагч.

Зааварчилгаа

Луужингийн нээлхийн өргөнийг ижил хэвээр үлдээж, зүүг сегментийн төгсгөлд аль нэг талд байрлуулж, тойргийн хэсгийг дотор нь байрлуулахаар зурна. өнцөг. Хоёрдахьтай ижил зүйлийг хий. Та дотор нь огтлолцох хоёр тойрог тойрогтой болно өнцөг- ойролцоогоор дунд хэсэгт. Тойргийн хэсгүүд нэг эсвэл хоёр цэг дээр огтлолцдог.

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Өнцгийн биссектрисийг байгуулахын тулд та протектор ашиглаж болно, гэхдээ энэ арга нь илүү нарийвчлал шаарддаг. Түүнээс гадна, хэрэв өнцгийн утга нь бүхэл тоо биш бол биссектрис байгуулахад алдаа гарах магадлал нэмэгддэг.

Байшингийн дизайны төслийг барьж байгуулах эсвэл боловсруулахдаа ихэвчлэн барих шаардлагатай байдаг булан, аль хэдийн бэлэн болсонтой тэнцүү. Загварууд болон сургуулийн геометрийн мэдлэг нь аврах ажилд ирдэг.

Зааварчилгаа

Нэг цэгээс гарах хоёр шулуун шугамаар өнцөг үүсгэнэ. Энэ цэгийг өнцгийн орой гэж нэрлэх ба шугамууд нь өнцгийн талууд байх болно.

Булангуудыг заахдаа гурвыг ашиглана уу: нэг нь дээд талд, хоёр нь хажуу талдаа. Дуудсан булан, нэг талдаа зогсож байгаа үсгээс эхлээд дээд талд байгаа үсгийг дуудаж, дараа нь нөгөө талд байгаа үсгийг дуудна. Хэрэв та өөрөөр сонгохыг хүсвэл бусад өнцгийг зааж өгнө үү. Заримдаа зөвхөн нэг үсгийг нэрлэсэн байдаг бөгөөд энэ нь дээд талд байдаг. Мөн та өнцгийг Грек үсгээр тэмдэглэж болно, жишээлбэл, α, β, γ.

Шаардлагатай нөхцөл байдал бий булан, ингэснээр өгөгдсөн булангаас нарийхан байна. Барилга барихдаа протектор ашиглах боломжгүй бол зөвхөн захирагч, луужингаар л явж болно. MN үсгээр тэмдэглэгдсэн шулуун шугам дээр та бүтээх хэрэгтэй гэж бодъё булан K цэг дээр, ингэснээр B өнцөгтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, K цэгээс MN шугамтай шулуун шугам татах шаардлагатай. булан, энэ нь B өнцөгтэй тэнцүү байх болно.

Эхлээд өгөгдсөн өнцгийн тал бүр дээр цэгийг, жишээлбэл, А ба С цэгүүдийг тэмдэглээд дараа нь С ба А цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоно. Tre аваарай булан nik ABC.

Одоо MN шулуун шугам дээр ижил тре-г барина буланИнгэснээр түүний В орой нь K цэг дээрх шулуун дээр байна. Гурвалжин байгуулах дүрмийг ашиглана булан nnik гуравт. K цэгээс KL сегментийг таслана. Энэ нь BC сегменттэй тэнцүү байх ёстой. L цэгийг аваарай.

K цэгээс BA сегменттэй тэнцүү радиустай тойрог зур. L цэгээс CA радиустай тойрог зур. Хоёр тойргийн огтлолцлын үүссэн цэгийг (P) K-тэй холбоно уу. Гурав аваарай буланГуравтай тэнцэх KPL булан ABC ном. Та ингэж л авна булан K. Энэ нь B өнцөгтэй тэнцүү байх болно. Үүнийг илүү тохиромжтой, хурдан болгохын тулд B оройноос тэнцүү сегментүүдийг гаргаж, нэг луужингийн нээлхийг ашиглан хөлөө хөдөлгөхгүйгээр К цэгээс ижил радиустай тойргийг дүрсэл.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 5: Хоёр тал ба медианыг ашиглан гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ

Гурвалжин бол энэ олон өнцөгтийн талуудыг бүрдүүлдэг сегментүүдээр хос хосоороо холбогдсон гурван оройтой хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Эсрэг талын дунд оройг холбосон сегментийг медиан гэж нэрлэдэг. Хоёр талын урт ба оройн аль нэгийг нь холбосон медианыг мэдсэнээр та гурав дахь талын урт, өнцгийн хэмжээ ямар ч мэдээлэлгүйгээр гурвалжин байгуулж болно.

Зааварчилгаа

А цэгээс урт нь гурвалжны (a) мэдэгдэж буй талуудын нэг болох хэрчмийг зур. Энэ сегментийн төгсгөлийн цэгийг B үсгээр тэмдэглээрэй. Үүний дараа хүссэн гурвалжны аль нэг талыг (AB) аль хэдийн барьсан гэж үзэж болно.

Луужин ашиглан голчоос хоёр дахин урттай (2∗м) радиустай, төв нь А цэг дээр байгаа тойрог зур.

Луужин ашиглан мэдэгдэж буй тал (b) -ийн урттай тэнцүү радиустай, төв нь B цэг дээр байгаа хоёр дахь тойрог зур. Луужинг хэсэг хугацаанд хойш тавь, гэхдээ хэмжсэн хэсгийг нь үлдээгээрэй - танд хэрэгтэй болно. жаахан дараа дахиад л.

А цэгийг өөрийн зурсан хоёрын огтлолцлын цэгтэй холбосон шугамын хэсгийг байгуул. Энэ сегментийн тал нь таны барьж буй хэсэг байх болно - энэ хагасыг хэмжиж, M цэгийг тавь. Энэ мөчид та хүссэн гурвалжны нэг тал (AB) ба түүний медиан (AM) байна.

Луужин ашиглан хоёр дахь мэдэгдэж буй талын урттай (b) радиустай, төв нь А цэг дээр байгаа тойрог зур.

В цэгээс эхлэх ёстой хэрчмийг зурж, M цэгийг дайран өнгөрч, өмнөх алхам дээр зурсан тойрогтой шулуун шугамын огтлолцлын цэгээр төгсгөнө. С үсгээр огтлолцох цэгийг тэмдэглэ. Одоо асуудлын нөхцлийн дагуу үл мэдэгдэх ВС тал нь хүссэн хэсэгтээ баригдсан.

Дурын өнцгийг биссектрисаар хуваах чадвар нь зөвхөн математикт "А" авахын тулд шаардлагатай биш юм. Энэхүү мэдлэг нь барилгачин, дизайнер, маркшейдер, оёдолчин нарт маш их хэрэгтэй болно. Амьдралд та олон зүйлийг хагас болгон хувааж чаддаг байх хэрэгтэй.

Сургуулийн бүх хүмүүс булан тойрон гүйж, буланг хоёр хуваадаг хархын тухай онигоо сурсан. Энэхүү уян хатан, ухаалаг мэрэгч амьтны нэрийг Бисектор гэдэг байв. Харх буланг хэрхэн хуваасан нь тодорхойгүй байгаа боловч сургуулийн "Геометр" сурах бичигт математикчдад дараах аргуудыг санал болгож болно.

Протектор ашиглах

Биссектрис хийх хамгийн хялбар арга бол төхөөрөмжийг ашиглах явдал юм. Та протекторыг өнцгийн нэг талд хавсаргаж, лавлагаа цэгийг үзүүрээр нь O. Дараа нь өнцгийг градусаар эсвэл радианаар хэмжиж, хоёр хуваана. Ижил протекторыг ашиглан аль нэг талаас олж авсан градусыг салгаж, О өнцгийн эхлэлийн цэг хүртэл биссектрис болох шулуун шугамыг зур.

Луужин ашиглах

Та луужин аваад дурын хэмжээтэй (зургийн хүрээнд) шилжүүлэх хэрэгтэй. О өнцгийн эхлэлийн цэг дээр үзүүрийг байрлуулсны дараа цацрагийг огтолж буй нум зурж, тэдгээрийн дээр хоёр цэгийг тэмдэглэнэ. Тэдгээрийг А1 ба А2 гэж тодорхойлсон. Дараа нь эдгээр цэгүүдэд луужингаа ээлжлэн байрлуулснаар ижил дурын диаметртэй хоёр тойрог зурах хэрэгтэй (зургийн масштабаар). Тэдний огтлолцох цэгүүдийг C ба B гэж тэмдэглэв. Дараа нь та O, C, B цэгүүдээр шулуун шугам татах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хүссэн биссектрис болно.

Захирагч ашиглах

Захирагч ашиглан өнцгийн биссектрисийг зурахын тулд туяа (хажуу тал) дээрх О цэгээс ижил урттай сегментүүдийг буулгаж, тэдгээрийг А ба В цэг гэж зааж өгөх хэрэгтэй. Дараа нь тэдгээрийг шулуун шугамаар холбох хэрэгтэй. мөн захирагч ашиглан үүссэн хэрчимийг хагасаар хувааж, С цэгийг зааж өгнө. Хэрэв та C ба О цэгүүдийг шулуун шугамаар зурвал биссектрис гарна.

Хэрэгсэл байхгүй

Хэрэв хэмжих хэрэгсэл байхгүй бол та өөрийн ур чадвараа ашиглаж болно. Мөрний цаас эсвэл энгийн нимгэн цаасан дээр өнцгийг зурж, өнцгийн туяа тэгшлэхийн тулд цаасыг сайтар нугалахад хангалттай. Зурган дээрх нугалах шугам нь хүссэн биссектриса байх болно.

Шулуун өнцөг

180 градусаас дээш өнцгийг ижил аргуудыг ашиглан биссектрисаар хувааж болно. Зөвхөн үүнийг биш, харин тойргоос үлдэж байгаа түүний хажуугийн хурц өнцгийг хуваах шаардлагатай болно. Олдсон биссектрисын үргэлжлэл нь хүссэн шулуун шугам болж, атираат өнцгийг хагасаар хуваана.

Гурвалжин дахь өнцөг

Тэгш талт гурвалжинд биссектриса нь дундаж ба өндөр гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс түүний доторх биссектрисийг зүгээр л өнцгийн (өндөр) эсрэг талын перпендикулярыг буулгаж эсвэл энэ талыг хагасаар хувааж, дунд цэгийг эсрэг өнцөгтэй (медиан) холбосноор олж болно.

Сэдвийн талаархи видео

“Биссектрис бол булан тойрон гүйж, хоёр хэсэгт хуваадаг харх юм” гэсэн мнемоник дүрэм нь уг ойлголтын мөн чанарыг тодорхойлсон боловч биссектрис байгуулах зөвлөмжийг өгдөггүй. Үүнийг зурахын тулд дүрмээс гадна луужин, захирагч хэрэгтэй болно.

Зааварчилгаа

Та барих хэрэгтэй гэж бодъё биссектрисөнцөг A. Луужин авч, үзүүрийг нь А цэг дээр (өнцөг) байрлуулж, дурын . Булангийн хажуу талуудтай огтлолцох газар B ба C цэгүүдийг байрлуулна.

Эхний тойргийн радиусыг хэмжинэ. Б цэг дээр луужин тавиад ижил радиустай өөр нэгийг зур.

Дараагийн тойргийг (өмнөх хэмжээтэй тэнцүү) төвийг нь С цэг дээр зур.

Гурван тойрог бүгд нэг цэгт огтлолцох ёстой - үүнийг F гэж нэрлэе. Захирагчийг ашиглан A ба F цэгүүдийг дайран өнгөрөх туяа зур. Энэ нь А өнцгийн хүссэн биссектриса болно.

Таныг олоход туслах хэд хэдэн дүрэм байдаг. Жишээлбэл, энэ нь эсрэг талд, хоёр зэргэлдээ талын харьцаатай тэнцүү байна. Адил өнцөгт

Гурвалжны биссектриса нь сурахад нэг их хүндрэл учруулдаггүй нийтлэг геометрийн ойлголт юм. Түүний шинж чанарын талаархи мэдлэгтэй бол та олон асуудлыг бэрхшээлгүйгээр шийдэж чадна. Биссектрис гэж юу вэ? Бид энэ математик шугамын бүх нууцыг уншигчдад танилцуулахыг хичээх болно.

-тай холбоотой

Үзэл баримтлалын мөн чанар

Энэхүү үзэл баримтлалын нэр нь Латин хэл дээрх "bi" - хоёр, "sectio" - таслах гэсэн утгатай үгсийн хэрэглээнээс гаралтай. Тэд тусгайлан зааж байна геометрийн утгаүзэл баримтлал - туяа хоорондын зайг задлах хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Гурвалжны биссектриса нь зургийн оройноос үүссэн хэрчим бөгөөд нөгөө үзүүр нь түүний эсрэг талд байрлах бөгөөд орон зайг ижил хоёр хэсэгт хуваана.

Математикийн ойлголтыг хурдан цээжлэхийн тулд олон багш нар өөр өөр нэр томъёог ашигладаг бөгөөд энэ нь шүлэг эсвэл холбоонд тусгагдсан байдаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ тодорхойлолтыг ахимаг насны хүүхдүүдэд ашиглахыг зөвлөж байна.

Энэ шугамыг хэрхэн тодорхойлсон бэ? Энд бид сегмент эсвэл цацрагийг тодорхойлох дүрэмд тулгуурладаг. Хэрэв бид ярьж байнагурвалжин дүрсийн өнцгийн биссектрисын тэмдэглэгээний тухайд ихэвчлэн төгсгөлүүд нь сегмент гэж бичдэг. орой ба оройн эсрэг талын талтай огтлолцох цэг. Түүгээр ч зогсохгүй тэмдэглэгээний эхлэлийг оройноос яг нарийн бичдэг.

Анхаар!Гурвалжин хэдэн биссектрисатай вэ? Хариулт нь тодорхой байна: аль болох олон орой байна - гурав.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Тодорхойлолтоос гадна энэ геометрийн ойлголтын олон шинж чанарыг сургуулийн сурах бичигт олж чадахгүй. Сургуулийн сурагчдад танилцуулсан гурвалжны биссектрисын эхний шинж чанар нь бичээстэй төв, хоёр дахь нь үүнтэй шууд холбоотой сегментүүдийн пропорциональ байдал юм. Хамгийн гол нь:

1. Ямар ч хуваах шугам дээр цэгүүд байдаг хажуу талуудаас ижил зайд, туяа хоорондын зайг бүрдүүлдэг.
2. Гурвалжин дүрст тойрог оруулахын тулд эдгээр сегментүүдийн огтлолцох цэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Ийм л байна төв цэгтойрог.
3. Гурвалжин геометрийн дүрсийг хуваах шугамаар хуваасан хажуугийн хэсгүүд байрладаг В пропорциональ хамааралөнцгийг бүрдүүлж буй талуудаас.

Бид үлдсэн шинж чанаруудыг системд оруулж, энэхүү геометрийн үзэл баримтлалын давуу талыг илүү сайн ойлгоход туслах нэмэлт баримтуудыг танилцуулахыг хичээх болно.

Урт

Сургуулийн сурагчдад хүндрэл учруулдаг асуудлын нэг бол гурвалжны өнцгийн биссектрисын уртыг олох явдал юм. Түүний уртыг агуулсан эхний сонголт нь дараах өгөгдлийг агуулна.

• өгөгдсөн сегмент гарч ирэх оройноос туяа хоорондын зайны хэмжээ;
• энэ өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын урт.

Асуудлыг шийдэхийн тулд томъёо ашигласанҮүний утга нь өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын утгуудын үржвэрийн харьцааг 2 дахин ихэсгэж, түүний хагасын косинусын талуудын нийлбэрт харьцуулсан харьцааг олох явдал юм.

Тодорхой жишээг авч үзье. Бидэнд А өнцгөөс хэрчим татсан, ВС талыг K цэгээр огтолж байгаа ABC дүрс өгөгдсөн гэж бодъё. Бид А-ийн утгыг Y гэж тэмдэглэв.Үүнд үндэслэн AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Гурвалжны биссектрисын уртыг тодорхойлсон асуудлын хоёр дахь хувилбар нь дараах өгөгдлийг агуулна.

• зургийн бүх талын утгыг мэддэг.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхдээ эхлээд хагас периметрийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд та бүх талуудын утгыг нэмж, хоёр хэсэгт хуваах хэрэгтэй: p=(AB+BC+AC)/2. Дараа нь бид өмнөх асуудалд энэ сегментийн уртыг тодорхойлоход ашигласан тооцооллын томъёог ашиглана. Зөвхөн шинэ параметрүүдийн дагуу томъёоны мөн чанарт зарим өөрчлөлт оруулах шаардлагатай. Тэгэхээр оройтой зэргэлдээх талуудын уртын үржвэрийн хоёр дахь чадлын давхар язгуурын харьцаа ба хагас периметр ба уртын зөрүүг олох шаардлагатай. түүний эсрэг тал нь өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Анхаар!Материалыг эзэмшихэд хялбар болгохын тулд та энэ шугамын "адал явдал" -ын тухай өгүүлдэг интернетэд байдаг комик үлгэрт хандаж болно.

Гурвалжин гэдэг нь гурван талтай олон өнцөгт, эсвэл гурван холбоос бүхий битүү тасархай шугам, эсвэл нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс үүссэн дүрс юм (1-р зургийг үз).

Чухал элементүүд гурвалжин abc

Оргилууд - A, B, C цэгүүд;

Намууд – оройнуудыг холбосон a = BC, b = AC ба c = AB сегментүүд;

Өнцөг – α, β, γ гурван хос талаас үүссэн. Өнцөг нь ихэвчлэн оройнуудын адил A, B, C үсгээр тодорхойлогддог.

Гурвалжны хажуу талуудаас үүссэн, түүний дотоод талбайд хэвтэж буй өнцгийг дотоод өнцөг гэж нэрлэх ба түүнтэй зэргэлдээх өнцгийг гурвалжны зэргэлдээх өнцөг гэнэ (2, х 534).

Гурвалжны өндөр, медиан, биссектриса, дунд шугам

Гурвалжин дахь гол элементүүдээс гадна сонирхолтой шинж чанартай бусад сегментүүдийг авч үздэг: өндөр, медиан, биссектрис, дунд шугам.

Өндөр

Гурвалжингийн өндөр- эдгээр нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу унасан перпендикуляр юм.

Өндөрийг зурахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) гурвалжны аль нэг талыг агуулсан шулуун шугам зурах (хэрэв өндрийг мохоо гурвалжин дахь хурц өнцгийн оройноос зурсан бол);

2) зурсан шугамын эсрэг талд байрлах оройгоос энэ шугам хүртэлх цэгээс сегментийг зурж, 90 градусын өнцөг үүсгэнэ.

Гурвалжны талтай өндрийн огтлолцох цэгийг нэрлэдэг өндөр суурь (2-р зургийг үз).

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт гурвалжинд оройгоос татсан өндөр зөв өнцөг, анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

Цочмог гурвалжинд түүний хоёр өндөр нь ижил төстэй гурвалжингуудыг таслав.

Хэрэв гурвалжин нь хурц байвал өндрийн бүх суурь нь гурвалжны талуудад хамаарах ба мохоо гурвалжинд талуудын үргэлжлэл дээр хоёр өндөр унадаг.

Хурц гурвалжны гурван өндөр нь нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд энэ цэгийг нэрлэдэг ортоцентр гурвалжин.

Медиан

Медианууд(Латин mediana - "дунд") - эдгээр нь гурвалжны оройг эсрэг талын дундын цэгүүдтэй холбосон сегментүүд юм (3-р зургийг үз).

Медиан үүсгэхийн тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) хажуугийн дунд хэсгийг олох;

2) гурвалжны хажуугийн дунд байгаа цэгийг эсрэг талын оройтой хэрчимтэй холбоно.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг. Энэ цэгийг нэрлэдэг таталцлын төв гурвалжин.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Биссектрис

Биссектрис(Латин хэлнээс bis - хоёр дахин ба seko - зүсэгдсэн) нь гурвалжин доторх шулуун шугамын хэсгүүдийг түүний өнцгийг хоёр хуваасан (4-р зургийг үз).

Бисектрис байгуулахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) өнцгийн оройноос гарч буй туяаг байгуулж, хоёр тэнцүү хэсэгт (өнцгийн биссектриса) хуваах;

2) гурвалжны өнцгийн биссектрисын эсрэг талтай огтлолцох цэгийг олох;

3) гурвалжны оройг эсрэг талын огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментийг сонгоно.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын талыг зэргэлдээх хоёр талын харьцаатай тэнцүү харьцаагаар хуваана.

Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэгийг бичээстэй тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриса нь перпендикуляр байна.

Гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын суналтыг огтолж байвал ADBD=ACBC болно.

Гурвалжны нэг дотоод ба гадаад хоёр өнцгийн биссектриса нь нэг цэгт огтлолцоно. Энэ цэг нь гурвын аль нэгнийх нь төв юм эргэлддэгэнэ гурвалжин.

Гадна өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талтай параллель биш бол гурвалжны хоёр дотоод, нэг гадаад өнцгийн биссектрисагийн суурь нь нэг шулуун дээр оршино.

Гурвалжны гаднах өнцгүүдийн биссектриса нь эсрэг талуудтай параллель биш бол тэдгээрийн суурь нь нэг шулуун дээр байрладаг.

Өнөөдөр маш хялбар хичээл байх болно. Бид зөвхөн нэг объект болох өнцгийн биссектрисийг авч үзэх бөгөөд түүний хамгийн чухал шинж чанарыг батлах болно, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их хэрэгтэй болно.

Зүгээр л тайвширч болохгүй: заримдаа нэг улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалтанд өндөр оноо авахыг хүсч буй оюутнууд эхний хичээл дээр биссектрисын тодорхойлолтыг нарийн томъёолж чаддаггүй.

Тэгээд бид үнэхээр сонирхолтой ажлуудыг хийхийн оронд ийм энгийн зүйлд цаг үрдэг. Тиймээс унш, үз, үрчилж ав. :)

Эхлээд жаахан хачирхалтай асуулт: өнцөг гэж юу вэ? Энэ нь зөв: өнцөг гэдэг нь нэг цэгээс гарч буй хоёр цацраг юм. Жишээлбэл:

Өнцгийн жишээ: хурц, мохоо, зөв

Зурган дээрээс харахад өнцөг нь хурц, мохоо, шулуун байж болно - энэ нь одоо хамаагүй. Ихэнхдээ, ая тухтай байлгах үүднээс туяа тус бүр дээр нэмэлт цэгийг тэмдэглэдэг бөгөөд бидний өмнө $ AOB $ өнцөг ($ \ өнцөг AOB $ гэж бичсэн) байдаг гэж хэлдэг.

Captain Obviousness $OA$ ба $OB$ туяанаас гадна $O$ цэгээс олон тооны туяа зурах боломжтой гэдгийг сануулж байх шиг байна. Гэхдээ тэдний дунд нэг онцгой зүйл байх болно - түүнийг биссектрис гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн оройноос гарч, өнцгийг хоёр хуваасан цацраг юм.

Дээрх өнцгүүдийн хувьд биссектриса нь дараах байдлаар харагдах болно.

Хурц, мохоо, зөв ​​өнцгийн биссектрисын жишээ

Бодит зураг дээр тодорхой туяа (манай тохиолдолд $OM$ туяа) анхны өнцгийг хоёр тэнцүү болгон хуваадаг нь үргэлж тодорхой байдаггүй тул геометрийн хувьд үүнийг тэмдэглэдэг заншилтай байдаг. тэнцүү өнцөгижил тооны нуман (бидний зураг дээр энэ нь хурц өнцөгт 1 нум, мохоо өнцгийн хувьд хоёр, шулуун өнцгийн хувьд гурав).

За, бид тодорхойлолтыг эрэмбэлсэн. Одоо та биссектрис ямар шинж чанартай болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Өнцгийн биссектрисын үндсэн шинж чанар

Үнэн хэрэгтээ биссектрис маш олон шинж чанартай байдаг. Мөн бид дараагийн хичээл дээр тэднийг үзэх нь гарцаагүй. Гэхдээ та яг одоо ойлгох хэрэгтэй нэг заль мэх байна:

Теорем. Өнцгийн биссектриса нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал юм.

Математикаас орос хэл рүү орчуулбал энэ нь нэг дор хоёр баримтыг илэрхийлнэ.

1. Тодорхой өнцгийн биссектрис дээр байрлах аливаа цэг нь энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
2. Мөн эсрэгээр: хэрэв цэг нь өгөгдсөн өнцгийн талуудаас ижил зайд оршдог бол энэ өнцгийн биссектрис дээр хэвтэх нь баталгаатай болно.

Эдгээр мэдэгдлийг батлахын өмнө нэг цэгийг тодруулъя: цэгээс өнцгийн тал хүртэлх зайг яг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энд цэгээс шугам хүртэлх зайг сайн тодорхойлох нь бидэнд тусална.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь өгөгдсөн цэгээс энэ шугам руу татсан перпендикулярын урт юм.

Жишээлбэл, $l$ шулуун ба энэ шулуун дээр ороогүй $A$ цэгийг авч үзье. $AH$-д перпендикуляр зуръя, $H\ in l$. Тэгвэл энэ перпендикулярын урт нь $A$ цэгээс $l$ шулуун хүртэлх зай болно.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг графикаар дүрслэх

Өнцөг нь ердөө хоёр туяа бөгөөд тус бүр нь шулуун шугамын нэг хэсэг тул цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлоход хялбар байдаг. Эдгээр нь зөвхөн хоёр перпендикуляр юм:

Цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зайг тодорхойлно

Тэгээд л болоо! Одоо бид зай гэж юу болох, биссектрис гэж юу болохыг мэддэг болсон. Тиймээс бид үндсэн өмчийг баталж чадна.

Амласан ёсоор бид нотлох баримтыг хоёр хэсэгт хуваана:

1. Бисектрисын цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай нь ижил байна

$O$ орой ба биссектрис $OM$ бүхий дурын өнцгийг авч үзье.

Яг энэ $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байгааг баталцгаая.

Баталгаа. $M$ цэгээс өнцгийн талууд руу перпендикуляр зуръя. Тэднийг $M((H)_(1))$ ба $M((H)_(2))$ гэж нэрлэе:

Өнцгийн хажуу талуудтай перпендикуляр зур

Хоёр авсан зөв гурвалжин: $\vartriangle OM((H)_(1))$ болон $\vartriangle OM((H)_(2))$. Тэдгээр нь нийтлэг гипотенуз $OM$ ба тэнцүү өнцөгтэй:

1. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$ нөхцөлөөр ($OM$ нь биссектрис учраас);
2. $\өнцөг M((H)_(1))O=\өнцөг M((H)_(2))O=90()^\circ $ бүтцээр;
3. $\өнцөг OM((H)_(1))=\өнцөг OM((H)_(2))=90()^\circ -\өнцөг MO((H)_(1))$, учир нь нийлбэр хурц булангуудТэгш өнцөгт гурвалжин үргэлж 90 градус байна.

Үүний үр дүнд гурвалжнууд нь хажуу ба хоёр зэргэлдээх өнцгүүдийн хувьд тэнцүү байна (гурвалжны тэгш байдлын тэмдгийг харна уу). Тиймээс, ялангуяа $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, i.e. $O$ цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай үнэхээр тэнцүү байна. Q.E.D. :)

2. Хэрэв зайнууд тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрлана

Одоо байдал эсрэгээрээ. Энэ өнцгийн талуудаас ижил зайд $O$ өнцөг, $M$ цэг өгье.

$OM$ туяа нь биссектриса гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл. $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$.

Баталгаа. Эхлээд энэ $OM$ туяаг зуръя, эс тэгвээс нотлох зүйл байхгүй болно:

Булангийн дотор $OM$ цацрагийг явуулсан

Дахин бид хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авна: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$. Мэдээжийн хэрэг, тэд тэнцүү, учир нь:

1. Гипотенуз $OM$ - ерөнхий;
2. Хөл $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ нөхцөлөөр (эцсийн эцэст $M$ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байна);
3. Үлдсэн хөл нь бас тэнцүү, учир нь Пифагорын теоремоор $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Тиймээс гурван талдаа $\vartriangle OM((H)_(1))$ ба $\vartriangle OM((H)_(2))$ гурвалжингууд. Ялангуяа тэдгээрийн өнцөг тэнцүү байна: $\өнцөг MO((H)_(1))=\өнцөг MO((H)_(2))$. Энэ нь зөвхөн $OM$ нь биссектриса гэсэн үг юм.

Баталгаажуулахын тулд бид үүссэн тэнцүү өнцгийг улаан нумаар тэмдэглэнэ.

Биссектриса $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ өнцгийг хоёр тэнцүү болгож хуваана.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид өнцгийн биссектриса нь энэ өнцгийн талуудтай ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэдгийг баталсан.

Одоо бид нэр томъёоны талаар бага эсвэл бага хэмжээгээр шийдсэн тул дараагийн түвшинд шилжих цаг болжээ. Дараагийн хичээлээр бид биссектрисын илүү төвөгтэй шинж чанаруудыг авч үзэж, тэдгээрийг бодит асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар сурах болно.

Ерөнхий боловсролын сургуулийн олон хичээлийн дунд "геометр" гэх мэт нэг хичээл байдаг. Энэхүү системчилсэн шинжлэх ухааныг үндэслэгч нь Грекчүүд гэж уламжлалт ёсоор үздэг. Өнөөдөр Грекийн геометрийг анхан шатны гэж нэрлэдэг, учир нь тэрээр хамгийн энгийн хэлбэрүүд болох хавтгай, шулуун шугам, гурвалжин зэргийг судалж эхэлсэн юм. Бид сүүлийнх, эс тэгвээс энэ зургийн биссектрист анхаарлаа хандуулах болно. Аль хэдийн мартсан хүмүүсийн хувьд гурвалжны биссектриса нь гурвалжны нэг булангийн биссектрисын сегмент бөгөөд үүнийг хагасаар хувааж, оройг эсрэг талд байрлах цэгтэй холбодог.

Гурвалжны биссектриса нь тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдэх шаардлагатай хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

• Өнцгийн биссектриса нь өнцөгтэй зэргэлдээх талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.
• Гурвалжин дахь биссектриса нь өнцгийн эсрэг талын талыг зэргэлдээ талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг. Жишээлбэл, энэ өнцгийн оройг MB эсрэг талын А цэгтэй холбосон биссектрис K өнцгөөс гарч буй MKB гурвалжинг өгөв. Энэ шинж чанар болон гурвалжинд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид MA/AB=MK/KB байна.
• Гурвалжны бүх гурван өнцгийн биссектрисс огтлолцох цэг нь нэг гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв юм.
• Гадаад өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талд параллель биш байх тохиолдолд нэг гадаад ба дотоод хоёр өнцгийн биссектрисын суурь нь нэг шулуун дээр байна.
• Нэгийн хоёр биссектриса бол энэ

Гурван биссектрис өгөгдсөн бол тэдгээрээс гурвалжин байгуулах нь луужингийн тусламжтайгаар ч боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Маш олон удаа, асуудлыг шийдвэрлэхдээ гурвалжны биссектриса нь үл мэдэгдэх боловч түүний уртыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд биссектрисаар хоёр хуваагдсан өнцөг болон энэ өнцгийн зэргэлдээ талуудыг мэдэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд шаардлагатай уртыг булангийн зэргэлдээ талуудын хоёр дахин үржвэр ба булангийн хажуугийн талуудын нийлбэртэй хагаст хуваасан өнцгийн косинусыг хоёр дахин үржүүлсэн харьцаагаар тодорхойлно. Жишээ нь, ижил гурвалжин MKB өгсөн. Биссектрис нь K өнцгийг орхиж, огтлолцоно эсрэг талА цэг дээрх MV. Бисектрис гарах өнцгийг у гэж тэмдэглэнэ. Одоо үгээр хэлсэн бүх зүйлийг томъёо хэлбэрээр бичье: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Гурвалжны биссектрис гарах өнцгийн утга тодорхойгүй ч бүх талууд нь мэдэгдэж байвал биссектрисын уртыг тооцоолохын тулд нэмэлт хувьсагчийг ашиглах бөгөөд үүнийг хагас периметр гэж нэрлээд дараах байдлаар тэмдэглэнэ. P үсэг: P=1/2*(MK+KB+MB). Үүний дараа бид биссектрисын уртыг тодорхойлсон өмнөх томьёодоо зарим өөрчлөлт оруулах болно, тухайлбал бутархайн тоологч хэсэгт булангийн зэргэлдээ талуудын уртын үржвэрийг хагас периметрээр хоёр дахин нэмэгдүүлнэ. ба 3-р талын уртыг хагас периметрээс хассан хуваарь. Хусагчийг өөрчлөхгүй орхиё. Томъёоны хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү харагдах болно: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Хоёр талт гурвалжны биссектриса нь ерөнхий шинж чанаруудын хамт хэд хэдэн өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Энэ ямар гурвалжин болохыг санацгаая. Ийм гурвалжин нь суурьтай зэргэлдээх хоёр тэнцүү талтай, ижил өнцөгтэй байдаг. Эндээс харахад ижил өнцөгт гурвалжны хажуу талууд дээр унасан биссектриса нь хоорондоо тэнцүү байна. Нэмж дурдахад, суурь руу буулгасан биссектриса нь өндөр ба медиан хоёулаа байна.