Трапецын дунд шугам нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү байнаүндэслэл. Энэ нь трапецын талуудын дунд цэгүүдийг холбодог бөгөөд суурьтай үргэлж параллель байдаг.

Хэрэв трапецын суурь нь a ба b-тэй тэнцүү бол дунд шугам m тэнцүү байна m=(a+b)/2.

Хэрэв трапецын талбай мэдэгдэж байгаа бол дунд шугамыг олж болноба өөр аргаар трапецын S талбайг h трапецын өндөрт хуваана.



Тэр бол, трапецын дунд шугам м=С/цаг

Трапецын дунд шугамын уртыг олох олон арга бий. Аргын сонголт нь анхны өгөгдлөөс хамаарна.

Энд трапецын дунд шугамын уртын томъёо:

Трапецын дунд шугамыг олохын тулд та таван томьёоны аль нэгийг ашиглаж болно (би тэдгээрийг бичихгүй, учир нь тэдгээр нь бусад хариултанд байгаа) гэхдээ энэ нь зөвхөн бидэнд хэрэгтэй анхны өгөгдлийн утгууд юм. мэдэгдэж байна.

Практикт мэдээлэл дутмаг байгаа үед бид олон асуудлыг шийдэх ёстой зөв хэмжээодоо ч олох хэрэгтэй.

Ийм сонголтууд энд байна

бүх зүйлийг томъёоны дагуу авчрах алхам алхмаар шийдэл;

бусад томьёог ашиглан шаардлагатай тэгшитгэлийг зохиож, шийдвэрлэх.

Трапецын дунд хэсгийн уртыг бидэнд хэрэгтэй томъёогоор олногеометр болон хэрэглээний талаархи бусад мэдлэгийн тусламжтайгаар алгебрийн тэгшитгэл:

Бид тэгш өнцөгт трапецтай, түүний диагональууд зөв өнцгөөр огтлолцдог, өндөр нь 9 см.

Бид зураг зурж, энэ асуудлыг шууд шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг харж байна (хангалттай мэдээлэл байхгүй)



Тиймээс бид бага зэрэг хялбарчилж, диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжуулан өндрийг зурах болно.

Энэ бол хурдан шийдэлд хүргэдэг эхний чухал алхам юм.

өндрийг хоёр үл мэдэгдэх замаар тэмдэглэе, бид талуудтай ижил өнцөгт гурвалжнуудыг харах болно. XТэгээд цагт



мөн бид үүнийг амархан олох болно үндэслэлийн нийлбэртрапецууд

тэнцүү байна 2х+2у

Зөвхөн одоо бид томъёог хаана хэрэглэж болно

мөн тэнцүү байна x+yмөн асуудлын нөхцлийн дагуу энэ нь тэнцүү өндөртэй урт юм 9 см.

Одоо бид диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог тэгш өнцөгт трапецын хэд хэдэн моментуудыг гаргаж авсан.

ийм трапец дээр

дунд шугам нь үргэлж өндөртэй тэнцүү байна

талбай нь үргэлж өндрийн квадраттай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугам нь трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Хэрэв та дараах томъёог ашиглавал трапецын дунд шугамыг олоход хялбар байдаг.

m = (a + b)/2

m - трапецын дунд шугамын урт;

a, b трапецын суурийн урт.

Тэгэхээр, трапецын дунд шугамын урт нь суурийн уртын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугамын томьёоны үндсэн томъёо: Трапецын дунд шугамын урт нь a ба b суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү: MN=(a+b)2. Энэ томьёоны баталгаа нь гурвалжны дунд шугамын томьёо.Трапецын төгсгөлөөс бага өндрийн суурийг томруулан зурсны дараа ямар ч трапецийг дүрсэлж болно.Үйлдвэрлэсэн 2 гурвалжин ба тэгш өнцөгтийг авч үзнэ.Үүний дараа трапецын дунд шугамын томъёог амархан нотлогдсон.

Трапецын дунд шугамыг олохын тулд суурийн утгыг мэдэх хэрэгтэй.

Бид эдгээр утгыг олсны дараа, эсвэл магадгүй тэдгээр нь бидэнд мэдэгдэж байсан бол бид эдгээр тоонуудыг нэгтгэж, тэдгээрийг хоёр хэсэгт хуваана.

Ийм л зүйл болно трапецын дунд шугам.

Сургуулийн геометрийн хичээлүүдийг санаж байгаагаар трапецын дунд шугамын уртыг олохын тулд суурийн уртыг нэмж, хоёр хуваах хэрэгтэй. Тиймээс трапецын дунд шугамын урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Энэ нийтлэлд бид трапецын шинж чанарыг аль болох бүрэн тусгахыг хичээх болно. Ялангуяа бид ярих болно ерөнхий шинж тэмдэгба трапецын шинж чанарууд, түүнчлэн бичээстэй трапецын шинж чанарууд ба трапецын дотор бичигдсэн тойргийн тухай. Бид мөн адил тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапецын шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Хэлэлцсэн шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг шийдэх жишээ нь үүнийг толгойнхоо хэсэгт ангилж, материалыг илүү сайн санахад тусална.

Трапец ба бүх зүйл

Эхлэхийн тулд трапец гэж юу болох, түүнтэй өөр ямар ойлголтууд холбоотой болохыг товч дурдъя.

Тиймээс трапец бол дөрвөлжин дүрс бөгөөд хоёр тал нь хоорондоо параллель байдаг (эдгээр нь суурь). Мөн энэ хоёр нь зэрэгцээ биш - эдгээр нь талууд юм.

Трапецын хувьд өндрийг бууруулж болно - суурьтай перпендикуляр. Төвийн шугам ба диагональ зурсан байна. Мөн трапецын аль ч өнцгөөс биссектрис зурах боломжтой.

Одоо бид эдгээр бүх элементүүд болон тэдгээрийн хослолуудтай холбоотой янз бүрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Трапецын диагональуудын шинж чанарууд

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд уншиж байхдаа ACME трапецын зургийг цаасан дээр зурж, диагональ зур.

1. Хэрэв та диагональ тус бүрийн дунд цэгүүдийг (эдгээр цэгүүдийг X ба T гэж нэрлэе) олж, тэдгээрийг холбовол сегментийг авна. Трапецын диагональуудын нэг шинж чанар нь HT сегмент нь дунд шугам дээр байрладаг явдал юм. Мөн түүний уртыг суурийн зөрүүг хоёроор хуваах замаар олж авч болно. ХТ = (a – b)/2.
2. Бидний өмнө ижил трапец хэлбэрийн ACME байна. Диагональууд нь О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын сууриудтай хамт диагональуудын хэрчмүүдээс үүссэн AOE ба MOK гурвалжнуудыг харцгаая. Эдгээр гурвалжин нь ижил төстэй. Гурвалжны ижил төстэй байдлын k коэффициентийг трапецын суурийн харьцаагаар илэрхийлнэ. k = AE/KM.
   AOE ба MOK гурвалжны талбайн харьцааг k 2 коэффициентээр тодорхойлно.
3. Ижил трапец, ижил диагональууд О цэг дээр огтлолцдог. Зөвхөн энэ удаад бид диагональуудын сегментүүд трапецын талуудтай хамт үүссэн гурвалжнуудыг авч үзэх болно. AKO ба EMO гурвалжны талбайн хэмжээ тэнцүү - талбайнууд нь ижил байна.
4. Трапецын өөр нэг шинж чанар нь диагональ барих явдал юм. Тиймээс, хэрэв та АК ба ME-ийн талуудыг жижиг суурийн чиглэлд үргэлжлүүлбэл эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэд тодорхой цэг дээр огтлолцох болно. Дараа нь трапецын суурийн дундуур шулуун шугам зур. Энэ нь X ба T цэгүүд дээр сууриудтай огтлолцдог.
   Хэрэв бид одоо XT шугамыг сунгах юм бол энэ нь трапецын О диагональуудын огтлолцох цэг, X ба T суурийн хажуугийн өргөтгөл ба дунд хэсгийн огтлолцох цэгийг хооронд нь холбох болно.
5. Диагональуудын огтлолцох цэгээр бид трапецын суурийг холбосон сегментийг зурах болно (T нь бага KM суурь дээр, X нь том AE дээр байрладаг). Диагональуудын огтлолцлын цэг нь энэ сегментийг дараах харьцаагаар хуваана. TO/OX = KM/AE.
6. Одоо диагональуудын огтлолцлын цэгээр бид трапецын суурьтай параллель сегментийг (a ба b) зурах болно. Уулзвар цэг нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Та томьёог ашиглан сегментийн уртыг олох боломжтой 2ab/(a + b).

Трапецын дунд шугамын шинж чанарууд

Трапецын дунд шугамыг суурьтай параллель зур.

1. Трапецын дунд шугамын уртыг суурийн уртыг нэмж, хагас болгон хуваах замаар тооцоолж болно. m = (a + b)/2.
2. Хэрэв та трапецын хоёр суурийн дундуур аль нэг сегментийг (жишээлбэл, өндөр) зурвал дунд шугам нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Трапецын биссектрисын шинж чанар

Трапецын дурын өнцгийг сонгоод биссектрис зур. Жишээлбэл, манай трапецын ACME-ийн KAE өнцгийг авч үзье. Барилга угсралтын ажлыг өөрөө дуусгасны дараа биссектрис нь хажуугийнхтай ижил урттай сегментийг сууринаас (эсвэл зургийн гаднах шулуун шугамын үргэлжлэл) таслаж байгааг хялбархан шалгаж болно.

Трапецын өнцгийн шинж чанарууд

1. Хажуугийн хажууд байрлах хоёр хос өнцгийн алийг нь сонгох нь хамаагүй, хос дахь өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 0 байна: α + β = 180 0 ба γ + δ = 180 0.
2. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг TX сегментээр холбоно. Одоо трапецын суурийн өнцгүүдийг харцгаая. Хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь өнцгийн нийлбэр нь 90 0 байвал TX сегментийн уртыг суурийн уртын зөрүүг үндэслэн хагас болгон хувааж хялбархан тооцоолж болно. TX = (AE – KM)/2.
3. Хэрэв трапецын өнцгийн хажуу талуудаар параллель шугамууд татагдах юм бол тэдгээр нь өнцгийн талуудыг пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Адил хажуу талт трапецын шинж чанарууд

1. Хоёр талт трапецын аль ч суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
2. Одоо бидний ярьж буй зүйлийг төсөөлөхөд хялбар болгохын тулд трапецийг дахин бүтээ. AE суурийг анхааралтай ажиглаарай - эсрэг талын M суурийн орой нь AE-г агуулсан шугамын тодорхой цэг рүү проекц байна. А оройноос М оройн проекцын цэг хүртэлх зай ба ижил өнцөгт трапецын дунд шугамын хоорондох зай тэнцүү байна.
3. Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлье - тэдгээрийн урт нь тэнцүү байна. Мөн эдгээр диагональуудын трапецын суурь руу хазайх өнцөг нь ижил байна.
4. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 тул зөвхөн ижил өнцөгт трапецын эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой - энэ нь урьдчилсан нөхцөл юм.
5. Хоёр талт трапецын шинж чанар нь өмнөх догол мөрөөс гардаг - хэрэв трапецын ойролцоо тойрог дүрслэх боломжтой бол энэ нь тэгш өнцөгт юм.
6. Хоёр талт трапецын шинж чанараас трапецын өндрийн шинж чанарыг дагаж мөрддөг: хэрэв түүний диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог бол өндрийн урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. h = (a + b)/2.
7. Дахин хэлэхэд TX сегментийг трапецын суурийн дунд цэгүүдээр зурна - ижил тэгш өнцөгт трапецын хувьд суурьтай перпендикуляр байна. Үүний зэрэгцээ TX нь ижил өнцөгт трапецын тэгш хэмийн тэнхлэг юм.
8. Энэ удаад трапецын эсрэг оройноос өндрийг том суурь руу буулгана (үүнийг a гэж нэрлэе). Та хоёр сегментийг авах болно. Хэрэв суурийн уртыг нэмж, хагасаар хуваавал нэгийн уртыг олж болно. (a + b)/2. Том баазаас жижигийг нь хасаад гарсан зөрүүг хоёр хуваахад бид хоёр дахь нь болно. (а – б)/2.

Тойрог дотор бичсэн трапецын шинж чанарууд

Бид аль хэдийн тойрог хэлбэрээр бичсэн трапецын тухай ярьж байгаа тул энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ялангуяа тойргийн төв нь трапецтай харьцуулахад хаана байна. Энд бас харандаа авч, доор хэлэлцэх зүйлийг зурах цаг гаргахыг зөвлөж байна. Ингэснээр та илүү хурдан ойлгож, илүү сайн санах болно.

1. Тойргийн төвийн байрлалыг трапецын диагональ түүний хажуу тийш хазайх өнцгөөр тодорхойлно. Жишээлбэл, диагональ нь трапецын оройноос хажуу тийшээ зөв өнцгөөр гарч болно. Энэ тохиолдолд том суурь нь тойргийн төвийг яг дундуур нь огтолдог (R = ½AE).
2. Диагональ ба хажуу талууд нь хурц өнцгөөр уулзаж болно - дараа нь тойргийн төв нь трапецын дотор байна.
3. Хэрэв трапецын диагональ ба хажуугийн хооронд мохоо өнцөг байгаа бол хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь трапецын гадна, түүний том суурийн гадна байж болно.
4. ACME трапецын (бичсэн өнцөг) диагональ ба том суурийн үүсгэсэн өнцөг нь түүний хагас юм. төв өнцөг, энэ нь үүнтэй тохирч байна: MAE = ½MOE.
5. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг олох хоёр аргын талаар товчхон дурдъя. Нэгдүгээр арга: зурсан зургаа анхааралтай хараарай - та юу харж байна вэ? Диагональ нь трапецийг хоёр гурвалжин болгон хувааж байгааг та амархан анзаарч болно. Радиусыг гурвалжны хажуугийн эсрэг талын өнцгийн синусын харьцааг хоёроор үржүүлснээр олж болно. Жишээлбэл, R = AE/2*sinAME. Үүнтэй адилаар томьёог гурвалжны аль алинд нь бичиж болно.
6. Хоёрдугаар арга: трапецын диагональ, хажуу ба суурийн хэсгээс үүссэн гурвалжны талбайгаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол. R = AM*ME*AE/4*S AME.

Тойрог тойрон хүрээлэгдсэн трапецын шинж чанарууд

Хэрэв нэг нөхцөл хангагдсан бол та дугуйг трапец хэлбэрээр байрлуулж болно. Энэ талаар доороос уншина уу. Мөн энэ тоонуудын хослол нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

1. Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол түүний дунд шугамын уртыг талуудын уртыг нэмж, үүссэн нийлбэрийг хагас болгон хуваах замаар хялбархан олох боломжтой. m = (c + d)/2.
2. Тойрог дүрсэлсэн ACME трапецын хувьд суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. AK + ME = KM + AE.
3. Трапецын суурийн энэ шинж чанараас урвуу мэдэгдэл дараах байдалтай байна: суурийн нийлбэр нь түүний талуудын нийлбэртэй тэнцүү трапецын дотор тойрог бичиж болно.
4. Трапецын дотор бичээстэй r радиустай тойргийн шүргэгч цэг нь хажуу талыг хоёр хэрчим болгон хуваадаг тул тэдгээрийг a, b гэж нэрлэе. Тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно. r = √ab.
5. Бас нэг өмч. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд энэ жишээг өөрөө зур. Бидэнд дугуй тойруулан дүрсэлсэн хуучин сайн ACME трапец байна. Энэ нь О цэг дээр огтлолцдог диагональуудыг агуулдаг. Диагональ ба хажуу талуудын сегментүүдээс үүссэн AOK ба EOM гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
   Гипотенуз руу буулгасан эдгээр гурвалжны өндөр (жишээлбэл, трапецын хажуу тал) нь бичээстэй тойргийн радиустай давхцдаг. Мөн трапецын өндөр нь бичээстэй тойргийн диаметртэй давхцдаг.

Тэгш өнцөгт трапецын шинж чанарууд

Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Мөн түүний шинж чанарууд нь энэ нөхцөл байдлаас үүдэлтэй.

1. Тэгш өнцөгт трапецын аль нэг тал нь сууриндаа перпендикуляр байдаг.
2. Зэргэлдээх трапецын өндөр ба хажуу тал зөв өнцөг, тэнцүү байна. Энэ нь тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно (ерөнхий томъёо S = (a + b) * h/2) зөвхөн өндрөөр төдийгүй зөв өнцгөөр зэргэлдээх хажуугаар дамжина.
3. Тэгш өнцөгт трапецын хувьд дээр дурдсан трапецын диагональуудын ерөнхий шинж чанарууд хамааралтай.

Трапецын зарим шинж чанарын нотолгоо

Хоёр талт трапецын суурь дээрх өнцгийн тэгш байдал:

• Энд бидэнд дахин AKME трапец хэрэгтэй болно гэж та аль хэдийн таамагласан байх - ижил өнцөгт трапец зур. М оройноос AK (MT || AK) талтай параллель MT шулуун шугамыг зур.

Үүссэн дөрвөлжин AKMT нь параллелограмм (AK || MT, KM || AT) юм. ME = KA = MT тул ∆ MTE нь хоёр талт, MET = MTE.

АК || MT, тиймээс MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME хаана байна.

Q.E.D.

Одоо ижил өнцөгт трапецын (диагональуудын тэгш байдал) шинж чанарт үндэслэн бид үүнийг баталж байна трапецын ACME нь тэгш өнцөгт юм:

• Эхлээд MX – MX || шулуун шугамыг зуръя KE. Бид KMHE параллелограммыг (суурь – MX || KE ба KM || EX) авдаг.

AM = KE = MX, MAX = MEA тул ∆AMX нь ижил өнцөгт байна.

MH || KE, KEA = MXE, тиймээс MAE = MXE.

AKE ба EMA гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү болох нь тогтоогдсон, учир нь AM = KE ба AE – нийтлэг талхоёр гурвалжин. Мөн MAE = MXE. Бид AK = ME гэж дүгнэж болох бөгөөд эндээс AKME трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Даалгаврыг хянана

ACME трапецын суурь нь 9 см ба 21 см, хажуугийн KA нь 8 см-тэй тэнцүү, жижиг суурьтай 150 0 өнцөг үүсгэдэг. Та трапецын талбайг олох хэрэгтэй.

Шийдэл: K оройноос бид өндрийг трапецын том суурь хүртэл бууруулна. Тэгээд трапецын өнцгийг харж эхэлцгээе.

AEM болон KAN өнцөг нь нэг талт байна. Энэ нь нийтдээ 180 0 өгдөг гэсэн үг. Тиймээс KAN = 30 0 (трапецын өнцгийн шинж чанарт үндэслэн).

Одоо тэгш өнцөгт ∆ANC-г авч үзье (энэ цэг нь нэмэлт нотлох баримтгүйгээр уншигчдад ойлгомжтой гэж би үзэж байна). Үүнээс бид трапецын KH өндрийг олох болно - гурвалжинд энэ нь 30 0 өнцгийн эсрэг байрлах хөл юм. Тиймээс KH = ½AB = 4 см.

Бид трапецын талбайг томъёогоор олно: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2.

Дараах үг

Хэрэв та энэ өгүүллийг анхааралтай, нухацтай судалж, гартаа харандаагаар өгөгдсөн бүх шинж чанаруудын трапецийг зурж, практик дээр дүн шинжилгээ хийхээс залхуураагүй бол материалыг сайн эзэмшсэн байх ёстой.

Мэдээжийн хэрэг, энд янз бүрийн, заримдаа бүр төөрөгдүүлсэн маш олон мэдээлэл байдаг: тайлбарласан трапецын шинж чанарыг бичээстэй шинж чанаруудтай төөрөлдүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ ялгаа асар их байгааг та өөрөө харсан.

Одоо та трапецын бүх ерөнхий шинж чанаруудын нарийвчилсан тоймтой байна. Түүнчлэн тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапецын өвөрмөц шинж чанар, шинж чанарууд. Энэ нь шалгалт, шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглахад маш тохиромжтой. Өөрөө туршиж үзээд холбоосыг найзуудтайгаа хуваалцаарай!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын сегментийг трапецын дунд шугам гэж нэрлэдэг. Трапецын дунд шугамыг хэрхэн олох, энэ зургийн бусад элементүүдтэй хэрхэн холбоотой болохыг бид доор хэлэх болно.

Төвийн шугамын теорем

AD нь том суурь, BC нь жижиг суурь, EF нь дунд шугам байх трапецийг зуръя. AD суурийг D цэгээс цааш сунгацгаая.BF шулууныг зураад AD суурийн үргэлжлэлтэй О цэгт огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ.∆BCF ба ∆DFO гурвалжнуудыг авч үзье. Өнцөг нь ∟BCF = ∟DFO босоо. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, учир нь VS // ХК. Тиймээс гурвалжингууд ∆BCF = ∆DFO. Тиймээс талууд BF = FO байна.

Одоо ∆ABO ба ∆EBF-ийг авч үзье. ∟АВО нь гурвалжинд нийтлэг байдаг. Нөхцөлөөр BE/AB = ½, BF/BO = ½, учир нь ∆BCF = ∆DFO. Тиймээс ABO ба EFB гурвалжин нь ижил төстэй. Эндээс талуудын харьцаа EF/AO = ½, түүнчлэн бусад талуудын харьцаа.

Бид EF = ½ AO-г олно. Зураг дээр AO = AD + DO байгааг харуулж байна. DO = BC талуудын хувьд тэнцүү гурвалжин, энэ нь AO = AD + BC гэсэн үг юм. Эндээс EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Тэдгээр. трапецын дунд шугамын урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапецын дунд шугам нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх уу?

Ийм байна гэж бодъё онцгой тохиолдол, EF ≠ ½ (AD + BC) үед. Тэгвэл BC ≠ DO, тиймээс ∆BCF ≠ ∆DCF болно. Гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээрийн хооронд хоёр ижил өнцөг, талууд байдаг. Тиймээс теорем нь бүх нөхцөлд үнэн байдаг.

Дунд шугамын асуудал

Манай трапецын ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 см, диагональ АС нь хажуу тийш перпендикуляр гэж бодъё. EF трапецын дунд шугамыг ол.

Хэрэв ∟A = 90° бол ∟B = 90°, энэ нь ∆ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90°, тиймээс ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45° байна.

Хэрэв ∆ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг нь 45°-тай тэнцүү бол түүний хөл нь тэнцүү байна: AB = BC = 2 см.

Гипотенуз AC = √(AB² + BC²) = √8 см.

∆ACD-г авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу ∟ACD = 90°. ∟CAD = ∟BCA = 45° трапецын параллель суурийн хөндлөн огтлолоор үүссэн өнцөг. Тиймээс хөлүүд AC = CD = √8.

Гипотенуз AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.

Трапецын дунд шугам EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.

Хичээлийн зорилго:

1) оюутнуудад трапецын дунд шугамын тухай ойлголтыг танилцуулж, түүний шинж чанарыг харгалзан үзэж, нотлох;

2) трапецын дунд шугамыг хэрхэн барихыг заах;

3) оюутнуудын трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, трапецын дунд шугамын шинж чанарыг асуудлыг шийдвэрлэхдээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;

4) шаардлагатай математикийн нэр томъёог ашиглан оюутнуудын чадварлаг ярих чадварыг үргэлжлүүлэн хөгжүүлэх; өөрийн үзэл бодлыг батлах;

5) хөгжүүлэх логик сэтгэлгээ, санах ой, анхаарал.

Хичээлийн үеэр

1. Хичээлийн явцад гэрийн даалгавраа шалгана. Гэрийн даалгавар нь аман байсан, санаарай:

а) трапецын тодорхойлолт; трапецын төрлүүд;

б) гурвалжны дунд шугамыг тодорхойлох;

в) гурвалжны дунд шугамын шинж чанар;

г) гурвалжны дунд шугамын тэмдэг.

2. Шинэ материал судлах.

a) Самбар нь ABCD трапецийг харуулж байна.

б) Багш танаас трапецын тодорхойлолтыг санахыг хүсч байна. Ширээ бүр дээр "Трапец" сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг санахад туслах зөвлөмжийн диаграм байдаг (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү). 1-р хавсралтыг ширээ бүрт олгов.

Сурагчид дэвтэр дээрээ ABCD трапецийг зурдаг.

в) Багш танаас дунд шугамын тухай ойлголт аль сэдвээр тохиолдсоныг санахыг хүсч байна ("Гурвалжны дунд шугам"). Оюутнууд гурвалжны дунд шугам, түүний шинж чанаруудын тодорхойлолтыг санаж байна.

д) Трапецын дунд шугамын тодорхойлолтыг дэвтэрт зурж бич.

Дунд шугамТрапец бол түүний хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Трапецын дунд шугамын шинж чанар энэ үе шатанд батлагдаагүй хэвээр байгаа тул хичээлийн дараагийн шатанд трапецын дунд шугамын өмчийг нотлох ажил орно.

Теорем. Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: ABCD - трапец,

MN – дунд шугам ABCD

Нотлох, Юу:

1. МЭӨ || MN || А.Д.

2. MN = (МЭ + МЭӨ).

Теоремын нөхцлөөс үүдэн гарах зарим үр дагаварыг бид бичиж болно.

AM = MB, CN = ND, BC || А.Д.

Зөвхөн жагсаасан шинж чанарууд дээр үндэслэн юу шаардагдахыг батлах боломжгүй юм. Асуулт, дасгалын систем нь оюутнуудыг трапецын дунд шугамыг зарим гурвалжны дунд шугамтай холбох хүсэлд хөтлөх ёстой бөгөөд тэдгээрийн шинж чанарыг аль хэдийн мэддэг байх ёстой. Хэрэв санал байхгүй бол та асуулт асууж болно: MN сегмент нь дунд шугам байх гурвалжинг хэрхэн байгуулах вэ?

Тохиолдлуудын аль нэгэнд нэмэлт бүтээн байгуулалтыг бичье.

AD талын үргэлжлэлийг K цэгт огтолж BN шулуун зуръя.

Нэмэлт элементүүд гарч ирнэ - гурвалжин: ABD, BNM, DNK, BCN. Хэрэв бид BN = NK гэдгийг нотлох юм бол энэ нь MN нь ABD-ийн дунд шугам гэсэн үг бөгөөд гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанарыг ашиглаж, шаардлагатайг баталж чадна.

Нотолгоо:

1. BNC болон DNK-г авч үзье, тэдгээр нь:

a) CNB =DNK (өмч босоо өнцөг);

b) BCN = NDK (дотоод хөндлөн огтлолын өнцгийн шинж чанар);

в) CN = ND (теоремын нөхцлийн үр дүнд).

Энэ нь BNC =DNK (хажуу тал ба хоёр зэргэлдээ өнцөг) гэсэн үг юм.

Q.E.D.

Баталгаажуулалтыг ангид амаар хийж болох бөгөөд гэртээ сэргээн засварлаж, тэмдэглэлийн дэвтэрт бичиж болно (багшийн үзэмжээр).

Энэ теоремыг батлах бусад боломжит аргуудын талаар хэлэх шаардлагатай.

1. Трапецын диагональуудын аль нэгийг зурж, гурвалжны дунд шугамын тэмдэг, шинж чанарыг ашиглана.

2. CF || хийх BA ба ABCF ба DCF параллелограммыг авч үзье.

3. EF || хийх BA ба FND болон ENC-ийн тэгш байдлыг авч үзэх.

g) Энэ үе шатанд гэрийн даалгавар өгсөн: 84-р зүйл, сурах бичиг хэвлэл. Атанасян Л.С. (трапецын дунд шугамын шинж чанарыг векторын аргаар нотлох) дэвтэртээ бичнэ үү.

h) Бид бэлэн зураг ашиглан трапецын дунд шугамын тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийддэг (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Хавсралт 2-ыг оюутан бүрт өгч, асуудлын шийдлийг нэг хуудсан дээр богино хэлбэрээр бичнэ.

Трапец бол нэг хос тал нь параллель байх дөрвөн өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. "Трапец" гэсэн нэр томъёо нь "ширээ", "ширээ" гэсэн утгатай τράπεζα гэсэн грек үгнээс гаралтай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Нэмж дурдахад бид үүний бие даасан элементүүдийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно. Жишээлбэл, ижил тэгш өнцөгт трапецын диагональ, төвийн шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл хялбар хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулсан болно. .

Ерөнхий мэдээлэл

Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ зураг нь дөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын хувьд мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец, дельтоид юм.

Тиймээс трапецууд руу буцаж орцгооё. Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн энэ зураг хоёр зэрэгцээ талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь хажуу талууд юм. Шалгалтын материал болон төрөл бүрийн туршилтуудИхэнх тохиолдолд та трапецтай холбоотой асуудлуудыг олох боломжтой бөгөөд үүний шийдэл нь оюутнуудаас хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональуудын шинж чанарууд, мөн адил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын талаар танилцуулдаг. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь өөр шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар бага зэрэг дараа ...

Трапецын төрлүүд

Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.

1. Тэгш өнцөгт трапец гэдэг нь аль нэг тал нь суурийн перпендикуляр байрласан дүрс юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градустай тэнцүү байдаг.

2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Трапецын шинж чанарыг судлах арга зүйн үндсэн зарчим

Гол зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад олж, томъёолж болно (илүү зохимжтой систем). Үүний зэрэгцээ багш оюутнуудад нэг удаад ямар даалгавар өгөх ёстойг мэддэг байх нь маш чухал юм. боловсролын үйл явц. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.

Хоёрдахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт юм. Энэ нь сургалтын үйл явцад өгөгдсөн геометрийн дүрсийн бие даасан шинж чанарууд руу буцах гэсэн үг юм. Энэ нь оюутнуудад тэдгээрийг санахад хялбар болгодог. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлыг судлах, дараа нь вектор ашиглах үед нотлох боломжтой. Зургийн хажуу талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын эквивалентийг зөвхөн ижил шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглахаас гадна S = 1/2() томъёог ашиглан баталж болно. ab*sinα). Нэмж дурдахад та бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дээр ажиллаж болно.

Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометрийн дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаварт суурилсан технологи юм. Бусад сэдвүүдийг судлах явцад судалж буй шинж чанаруудыг байнга дурдах нь оюутнуудад трапецын талаар илүү гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, даалгасан асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.

Хоёр талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд

Өмнө дурьдсанчлан энэ геометрийн дүрс нь тэнцүү талуудтай. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн талууд ба өнцөг нь тэнцүү төдийгүй диагональууд юм. Үүнээс гадна ижил өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх мэдэгдэж байгаа трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийг тойрог гэж тодорхойлж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжин тойргийг дүрсэлж болно. Харгалзан үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь суурийн оройноос энэ суурийг агуулсан шулуун шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.

Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.

Шийдэл

Ихэвчлэн дөрвөн өнцөгтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд BS ба AD нь суурь юм. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X-тэй тэнцүү, суурийн хэмжээ нь Y ба Z-тэй тэнцүү байна (тус тус бүр жижиг ба том). Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үр дүн нь ABN тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд энд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл юм. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг нь хасаад үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y)/2 = F. Одоо цочмог хэмжээг тооцоолохын тулд. гурвалжны өнцгийн хувьд бид cos функцийг ашигладаг. Бид дараах оруулгыг авна: cos(β) = X/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (X/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид хоёр дахь өнцгийг тодорхойлж чадна, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх өнцгийг тодорхойлсон.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий. Эхлээд бид булангаас өндөрт буулгана H. Бид хөл BN-ийн утгыг тооцоолно. Гипотенузын квадрат гэдгийг бид мэднэ зөв гурвалжин нийлбэртэй тэнцүү байнахөлний квадратууд. Бид дараахийг авна: BN = √(X2-F2). Дараа нь бид ашигладаг тригонометрийн функцтг. Үүний үр дүнд бид: β = arctan (BN/F). Хурц буланолдсон. Дараа нь бид үүнийг эхний аргын адилаар тодорхойлно.

Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанар

Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:

Зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;

Түүний өндөр ба дунд шугам нь тэнцүү;

Тойргийн төв нь цэг юм;

Хэрэв хажуу талыг шүргэлтийн цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол энэ нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр сегментийн бүтээгдэхүүн;

Шүргэдэг цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөн өнцөгт нь тал нь радиустай тэнцүү дөрвөлжин юм;

Зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй трапецууд

Энэ сэдэв нь түүний шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээ нь, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү мэдэгдлийн эхний хэсэг нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байдлын тэмдгээр нотлогддог. Хоёрдахь хэсгийг батлахын тулд доор өгөгдсөн аргыг ашиглах нь дээр.

Теоремын баталгаа

ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональд хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцлын цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжинг олж авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Тэдний талбайн ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Тиймээс PSOD = PBOS/K. Үүний нэгэн адил BOS ба AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS/PAOB = CO/OA = K ба PAOB = PBOS/K-г авна. Үүнээс үзэхэд PSOD = PAOB байна.

Материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудад трапецийг диагональд нь хуваасан үүссэн гурвалжны талбайн хоорондын холбоог дараах асуудлыг шийдэх замаар олохыг зөвлөж байна. BOS ба AOD гурвалжин нь ижил талбайтай гэдгийг мэддэг тул трапецын талбайг олох шаардлагатай. PSOD = PAOB тул PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD гэсэн үг. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BO/OD = √(PBOS/PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Бид PSOD = √(PBOS*PAOD) авна. Дараа нь PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Ижил төстэй шинж чанарууд

Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр нэг нь нөгөөгөө нотолж чадна сонирхолтой онцлогтрапец. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан та цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн өмчийг баталж чадна. уулзвараас үүссэнЭнэ геометрийн дүрсийн диагональууд нь суурийн зэрэгцээ. Үүний тулд дараах бодлогыг шийдье: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох хэрэгтэй. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS = AD/BS гарч ирнэ. AOP ба ASB гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=BS*BP/(BS+BP)-ийг авна. Үүний нэгэн адил DOC ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд OK = BS*AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=OK ба RK=2*BS*AD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч, суурьтай параллель, хоёр хажуу талыг холбосон сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.

Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) огтлолцол, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба F) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнийг ижил төстэй байдлын аргаар хялбархан баталж болно. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт ET ба EJ медианууд нь E оройн өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваадаг. Тиймээс E, T, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүний нэгэн адил T, O, Zh цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг.Энэ бүхэн BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй. Эндээс бид бүх дөрвөн цэг - E, T, O, F - нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.

Ижил төстэй трапецын тусламжтайгаар та зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегментийн уртыг (LS) олохыг сурагчдаас хүсч болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Үүссэн трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF = LF/AD болно. Үүнээс LF=√(BS*AD) гарч ирнэ. Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртын геометрийн дундажтай тэнцүү урттай болохыг бид олж мэдэв.

Дараах ижил төстэй шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү дүрс болгон хуваах сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EH сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваана гэж бид таамаглаж байна. В оройноос өндрийг хассан бөгөөд энэ нь EN сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахыг авна: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ба PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, хоёр дахь (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 гэсэн системийг бүрдүүлнэ. Үүнээс үзэхэд B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртуудын язгуур квадраттай тэнцүү болохыг олж мэдэв: √((BS2+AD2)/2).

Ижил төстэй байдлын үр дүн

Тиймээс бид үүнийг нотолсон:

1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь AD ба BS-тэй параллель байх ба BS ба AD-ийн арифметик дундажтай тэнцүү байна (трапецын суурийн урт).

2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.

4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS тоонуудын язгуур квадратын урттай байна.

Материалыг нэгтгэж, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холболтыг ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд барих хэрэгтэй. Тэрээр суурьтай параллель - зургийн диагональуудын огтлолцол - O цэгээр дамждаг дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Харин гурав, дөрөв дэх нь хаана байрлах вэ? Энэ хариулт нь оюутныг дундаж утгуудын хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент

Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH хэрчмийг суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэж бид таамаглаж байна. Ш ба Ш огтлолцох цэгүүдийг нэрлэе.Энэ хэрчим нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байх болно. Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. MS нь ABS гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь BS/2-тэй тэнцүү байна. MSH нь ABD гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь AD/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShShch = MSh-MSh, тиймээс ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2 гэдгийг олж авна.

Таталцлын төв

Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн хувьд энэ элемент хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд үндэслэлийг өргөтгөх шаардлагатай эсрэг талууд. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Та доод суурийг дээд суурь руу нэмэх хэрэгтэй - аль ч чиглэлд, жишээлбэл, баруун тийш. Мөн бид доод хэсгийг дээд талынх нь уртаар зүүн тийш сунгана. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональ байдлаар холбоно. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн трапецууд

Ийм тоонуудын онцлогуудыг жагсаая:

1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичиж болно.

2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Тойргийн үр дагавар:

1. Тайлбарласан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.

2. Тодорхойлсон трапецын тал нь тойргийн төвөөс тэгш өнцөгт ажиглагдаж байна.

Эхний үр дүн нь тодорхой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ энэ өмчийн талаархи мэдлэг нь асуудлыг шийдэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг танд олгоно.

Одоо тойрог дотор бичсэн ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлъё. Өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BS*AD). Трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга барил (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийх явцад оюутан дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэж бид таамаглаж байна. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээр дурдсан томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хэцүү биш байх болно.

Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. Бид өндрийг B оройноос AD суурь хүртэл бууруулна. Тойрог трапец хэлбэрээр бичсэн тул BS+AD = 2AB эсвэл AB = (BS+AD)/2 болно. ABN гурвалжнаас бид sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)-ийг олно. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Бид PABSD = (BS+BP)*R авна, үүнээс R = PABSD/(BS+BP) гарна.

Трапецын дунд шугамын бүх томъёо

Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг болжээ. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье.

1. Суурийн тусламжтайгаар: M = (A+B)/2.

2. Өндөр, суурь, булангаар:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Өндөр, диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ юм; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Талбай ба өндрөөр: M = P/N.