Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.
При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если A,B,C,D,... - некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида
Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.
1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида . В умножаем числитель и знаменатель на
Пример 1. .
2) В случае дробей вида . Умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель
соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.
Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.
Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:
Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение . Получаем (при условии, что )
3) В случае выражений типа
знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((20.11), (20.12)). На тот же множитель умножается и числитель.
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:
Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:
или окончательно:
В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.
Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе дроби .
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое "сопряжённое" выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин "сопряжённое выражение", использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
\begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation}
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Так как $\lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0$ и $\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое "сопряжённое выражение". Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$
Чтобы раскрыть скобки применим , подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$
Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$
Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$
Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}.$$
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру - в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Ответ : $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}=-\frac{1}{4}$.
Пример №2
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})=\sqrt{2^2+5}-\sqrt{7\cdot 2^2-19}=3-3=0$ и $\lim_{x\to 2}(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})} $$
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{x^2+5}$, $b=\sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:
$$ \left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}\right)\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}\right)=\\ =\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2-\left(\sqrt{7x^2-19}\right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Вернёмся к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{-6\cdot(x^2-4)}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} $$
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать . Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2. \end{aligned} $$
Подставляя $x_1=-\frac{1}{3}$, $x_2=2$ в , будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac{1}{3}\right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся , подставив в неё $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} $$
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}. $$
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot\frac{(3\cdot 2+1)(\sqrt{2^2+5}+\sqrt{7\cdot 2^2-19})}{2+2}= -\frac{1}{6}\cdot\frac{7(3+3)}{4}=-\frac{7}{4}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=-\frac{7}{4}$.
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}$.
Так как $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})=\sqrt{9}-\sqrt{9}=0$ и $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0$, то мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.
$$ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})} $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin{aligned} & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;\\ & x_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{-2}=\frac{8}{-2}=-4. \end{aligned} \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin{aligned} & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2}=\frac{6}{2}=3;\\ & x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{aligned}\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
$$ \lim_{x\to 5}\frac{(-x^2+x+20)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \lim_{x\to 5}\frac{-(x-5)(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{-(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \frac{-(5+4)(\sqrt{5^2-3\cdot 5+6}+\sqrt{5\cdot 5-9})}{(5-3)(\sqrt{5+4}+\sqrt{5^2-16})}=-6. $$
Ответ : $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения - избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
По вашим просьбам!
5. Решите неравенство:
6 . Упростите выражение:
17. f(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).
Найдем С, зная, что F(-1) = 3.
3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;
3 = -2 + 4 – 5 + C;
Таким образом первообразная F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Найдем F(-2).
F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.
20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.
21. Упростить выражение:
Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b) 2 . Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.
2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.
Решайте удобным для себя способом!
22. Найдите (х 1 ∙у 1 +х 2 ∙у 2), где (х n ; y n) – решения системы уравнений:
Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0 . Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0 . Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у , а затем найдем значения х , соответствующие полученным ранее значениям у .
23. Решить неравенство: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.
Так как по основному тригонометрическому тождеству: sin 2 x+cos 2 x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Решаем неравенство:
6sin 2 x-5sinx+1 >0. Сделаем замену: sinx=y и получим квадратичное неравенство:
6y 2 -5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:
6y 2 -5y+1=0. Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у 1 и у 2:
24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см 3 .
Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 , в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=S осн. ∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA 1 =H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: S бок. =P осн. ∙ H.
25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?
Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:
12х-10·(20-х)=86;
12х-200+10х=86;
22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.
Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!
24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
Пусть шар с центром в точке О 1 и радиусом МО 1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО 1 . Рассмотрим ΔМАМ 1 , в котором сторона ММ 1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ 1 =90°. Найдем гипотенузу ММ 1 , если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.
Записываем равенство: МА 2 =МО∙ММ 1 . Подставляем свои данные: 6 2 =3∙ ММ 1 . Отсюда ММ 1 =36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО 1 =6.
25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?
Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем: Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно: Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.
Желаю успешной подготовки к ЕНТ!
Урок №1 Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»
Цели:
Образовательная:
Развивающая:
Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.
Тип урока: изучение нового
Стандарт урока:
уметь находить способ избавления от иррациональности
понимать смысл «сопряженное выражение»
уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.
Оборудование: карточки к самостоятельной работе.
Ход урока
Немного юмора:Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель
Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.
Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.
Я имею в виду корень квадратный.
Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.
Арифметический квадратный корень из девяти.
Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти =3!
А вы корни извлекать умеете?
2. «Повторение – мать учения».
(8 мин)
2.Проверка дом/з № 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8
3.Разминка. Выполни действия (Слайд 1). Проверка по кругу против часовой стрелки.
1. Подбери неизвестный множитель (Слайд2)
Деление на группы: по выбранным фигурам.
Проверяют в парах сменного состава.
Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.
(Приложение 1)
3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)
(Слайд 3) Два друга решали уравнение 
и получили разные ответы. Один из них подобрал х = 
, сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на 
и получил х = 
. Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.
Тема урока (Слайд 4): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Цели (Слайд 5): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;
Решают и проверяют в парах сменного состава.
Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.
Записывают тему
Формулируют цели : ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.
развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;
4. Работа над новым материалом.
(10 мин)
Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?
Работа в группах над новым материалом
Выступление групп
Закрепление (Слайд 6)
Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)
Решают примеры.
(Приложение 3)
Обмениваются информацией.
5. Зарядка (3 мин)
Делают зарядку
(10 мин)
По разноуровневым карточкам
1-в: 
2-в: 
3-в: 
Выполняют индивидуально, проверяют меняясь тетрадями с другой группой.
Баллы заносят в оценочную карту группы.
(Приложение 1)
7.Творческое задание
(2 мин)
Мартышка – апельсинов продавщица,(Слайд 7)
Приехав как – то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Разбрасывать их стала все подряд.
Мы просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.
Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.
Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.
8. Задание на дом: (2 мин)
П.19(Слайд 7)
1 уровень: №170 (1-6)
2 уровень: №170 (1-6 и 9,12)
Творческое задание: Мартышкина задача.
Записывают
9.Итог урока. Рефлексия
(3 мин)
Две звезды и пожелание на стикерах прикрепляются на выбранный смайлик (Слайд 7)
Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Оценочная карта группы.
0-8 баллов
Подбери множитель
0-8 баллов
Работа в группе над новым материалом
0-5 баллов
Сам. работа
0-5 баллов
Активность на уроке
0-5 баллов
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Опорный конспект
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе
