Instrukcje

Znajdź dziedzinę funkcji. Przykładowo funkcja sin(x) jest definiowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest definiowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.

Identyfikacja obszarów ciągłości i punktów nieciągłości. Zazwyczaj funkcja jest ciągła w tym samym obszarze, w którym jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, należy obliczyć, gdy argument zbliża się do izolowanych punktów w dziedzinie definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x → 0+ i do minus nieskończoności, gdy x → 0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeśli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli są one równe, to funkcję uważa się za ciągłą, chociaż nie jest ona zdefiniowana w izolowanym punkcie.

Znajdować asymptoty pionowe, Jeśli są. Pomogą Ci w tym obliczenia z poprzedniego kroku, ponieważ asymptota pionowa prawie zawsze leży w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z dziedziny definicji wyłączone są nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów i wówczas na krawędziach tych przedziałów można zlokalizować asymptoty pionowe.

Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie parzysta jeśli dla dowolnego x z dziedziny f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 - nawet funkcje.

Okresowość to właściwość mówiąca, że ​​istnieje pewna liczba T, zwana okresem, dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie główne funkcje trygonometryczne(sinus, cosinus, tangens) - okresowe.

Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną dana funkcja i znajdź te wartości x, gdzie staje się zerem. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.

Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, śledź zmianę znaków pochodnej przy znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa w punkcie x = -6, a w punkcie x = 0 z powrotem z minusa na plus. W konsekwencji funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.

W ten sposób znalazłeś również obszary monotoniczności: f(x) monotonicznie rośnie w przedziale -∞;-6, monotonicznie maleje w -6;0 i ponownie rośnie w przedziale 0;+∞.

Znajdź drugą pochodną. Jej pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład druga pochodna funkcji f(x) będzie wynosić h(x) = 6x + 18. Przy x = -3 dochodzi do zera, zmieniając znak z minus na plus. W konsekwencji wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.

Funkcja może mieć inne asymptoty oprócz pionowych, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x → ∞ lub x → ​​-∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptota pozioma.

Asymptota ukośna jest linią prostą w postaci kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x → ∞. Znalezienie b - granicy (f(x) – kx) dla tego samego x→∞.

Aby w pełni przestudiować funkcję i wykreślić jej wykres, zaleca się skorzystanie z następującego schematu:

1) znaleźć dziedzinę definicji funkcji;

2) znaleźć punkty nieciągłości funkcji i asymptoty pionowe (jeśli istnieją);

3) zbadać zachowanie funkcji w nieskończoności, znaleźć asymptoty poziome i ukośne;

4) badać funkcję pod kątem parzystości (nieparzystości) i okresowości (dla funkcji trygonometrycznych);

5) znaleźć ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji;

6) wyznaczać przedziały wypukłości i punkty przegięcia;

7) znaleźć punkty przecięcia z osiami współrzędnych i, jeśli to możliwe, kilka dodatkowych punktów wyjaśniających wykres.

Badanie funkcji odbywa się jednocześnie z konstrukcją jej wykresu.

Przykład 9 Zbadaj funkcję i zbuduj wykres.

1. Zakres definicji: ;

2. Funkcja ma nieciągłość punktową
,
;

Badamy funkcję obecności asymptot pionowych.

;
,
─ asymptota pionowa.

;
,
─ asymptota pionowa.

3. Badamy funkcję obecności asymptot ukośnych i poziomych.

Prosty
─ asymptota ukośna, jeśli
,
.

,
.

Prosty
─ asymptota pozioma.

4. Funkcja jest parzysta, ponieważ
. Parzystość funkcji wskazuje na symetrię wykresu względem osi y.

5. Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne, tj. punkty, w których pochodna wynosi 0 lub nie istnieje:
;
. Mamy trzy punkty
;

. Punkty te dzielą całą oś rzeczywistą na cztery przedziały. Zdefiniujmy znaki na każdym z nich.

Na przedziałach (-∞; -1) i (-1; 0) funkcja rośnie, na przedziałach (0; 1) i (1; +∞) ─ maleje. Podczas przechodzenia przez punkt
pochodna zmienia znak z plusa na minus, dlatego w tym momencie funkcja ma maksimum
.

6. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia.

Znajdźmy punkty, w których wynosi 0 lub nie istnieje.

nie ma prawdziwych korzeni.
,
,

Zwrotnica
I
podzielić oś rzeczywistą na trzy przedziały. Zdefiniujmy znak w każdym odstępie czasu.

Zatem krzywa na interwałach
I
wypukły w dół, na przedziale (-1;1) wypukły w górę; nie ma punktów przegięcia, ponieważ funkcja jest w punktach
I
niezdeterminowany.

7. Znajdź punkty przecięcia z osiami.

Z osią
wykres funkcji przecina się w punkcie (0; -1) i z osią
wykres się nie przecina, ponieważ licznik tej funkcji nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wykres danej funkcji pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1 ─ Wykres funkcji

Zastosowanie pojęcia pochodnej w ekonomii. Funkcja sprężystości

Do badania procesów ekonomicznych i rozwiązywania innych stosowanych problemów często używa się pojęcia elastyczności funkcji.

Definicja. Funkcja sprężystości
nazywa się granicą stosunku względnego przyrostu funkcji do względnego przyrostu zmiennej Na
, . (VII)

Elastyczność funkcji pokazuje w przybliżeniu, o ile procent funkcja się zmieni
gdy zmienia się zmienna niezależna o 1%.

Funkcja elastyczności wykorzystywana jest w analizie popytu i konsumpcji. Jeżeli elastyczność popytu (w wartości bezwzględnej)
, to popyt uważa się za elastyczny, jeśli
─ neutralny jeśli
─ nieelastyczny w stosunku do ceny (lub dochodu).

Przykład 10 Oblicz elastyczność funkcji
i znajdź wartość wskaźnika elastyczności dla = 3.

Rozwiązanie: zgodnie ze wzorem (VII) elastyczność funkcji wynosi:

Niech więc x=3
Oznacza to, że jeśli zmienna niezależna wzrośnie o 1%, to wartość zmiennej zależnej wzrośnie o 1,42%.

Przykład 11 Niech popyt działa odnośnie ceny wygląda jak
, Gdzie ─ stały współczynnik. Znajdź wartość wskaźnika elastyczności funkcji popytu przy cenie x = 3 den. jednostki

Rozwiązanie: oblicz elastyczność funkcji popytu korzystając ze wzoru (VII)

Wierzyć
jednostek pieniężnych, otrzymujemy
. Oznacza to, że po cenie
jednostki monetarne wzrost ceny o 1% spowoduje spadek popytu o 6%, tj. popyt jest elastyczny.

Prowadzić pełne badania i wykreśl funkcję

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Zakres funkcji. Ponieważ funkcja jest ułamkiem zwykłym, musimy znaleźć zera w mianowniku.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Z dziedziny definicji funkcji wykluczamy jedyny punkt x=1x=1 i otrzymujemy:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Przeanalizujmy zachowanie funkcji w pobliżu punktu nieciągłości. Znajdźmy jednostronne granice:

Ponieważ granice są równe nieskończoności, punkt x=1x=1 jest nieciągłością drugiego rodzaju, prosta x=1x=1 jest asymptotą pionową.

3) Wyznaczmy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

Znajdźmy punkty przecięcia z osią rzędnych OyOy, dla których przyrównujemy x=0x=0:

Zatem punkt przecięcia z osią OyOy ma współrzędne (0;8)(0;8).

Znajdźmy punkty przecięcia z osią odciętych OxOx, dla której ustawiamy y=0y=0:

Równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przecięcia z osią OxOx.

Zauważ, że x2+8>0x2+8>0 dla dowolnego xx. Zatem dla x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcja y>0y>0 (przyjmuje wartości dodatnie, wykres znajduje się nad osią x), dla x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcja y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ:

5) Zbadajmy funkcję pod kątem okresowości. Funkcja nie jest okresowa, ponieważ jest to ułamkowa funkcja wymierna.

6) Zbadajmy funkcję ekstremów i monotoniczności. Aby to zrobić, znajdujemy pierwszą pochodną funkcji:

Przyrównajmy pierwszą pochodną do zera i znajdźmy punkty stacjonarne (w których y′=0y′=0):

Mamy trzy punkty krytyczne: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Podzielmy całą dziedzinę definicji funkcji na przedziały z tymi punktami i wyznaczmy znaki pochodnej w każdym przedziale:

Dla x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) pochodna y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Dla x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) pochodnej y′>0y′>0 funkcja rośnie w tych przedziałach.

W tym przypadku x=−2x=−2 jest punktem minimum lokalnego (funkcja maleje, a następnie rośnie), x=4x=4 jest punktem lokalnego maksimum (funkcja rośnie, a następnie maleje).

Znajdźmy wartości funkcji w tych punktach:

Zatem punkt minimalny to (−2;4)(−2;4), punkt maksymalny to (4;−8)(4;−8).

7) Sprawdzamy funkcję pod kątem załamań i wypukłości. Znajdźmy drugą pochodną funkcji:

Przyrównajmy drugą pochodną do zera:

Powstałe równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przegięcia. Ponadto, gdy x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 jest spełnione, czyli funkcja jest wklęsła, gdy x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) jest spełnione przez y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Zbadajmy zachowanie funkcji w nieskończoności, czyli w .

Ponieważ granice są nieskończone, nie ma asymptot poziomych.

Spróbujmy wyznaczyć asymptoty ukośne postaci y=kx+by=kx+b. Wartości k,bk,b obliczamy korzystając ze znanych wzorów:

Ustaliliśmy, że funkcja ma jedną asymptotę ukośną y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatkowe punkty. Obliczmy wartość funkcji w innych punktach, aby dokładniej skonstruować wykres.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Na podstawie uzyskanych danych skonstruujemy wykres, uzupełnimy go o asymptoty x=1x=1 (kolor niebieski), y=−x−1y=−x−1 (kolor zielony) i zaznaczymy charakterystyczne punkty (fioletowe przecięcie z rzędną oś, ekstremum pomarańczowe, dodatkowe punkty czarne):

Zadanie 4: Problemy geometryczne, ekonomiczne (nie mam pojęcia jakie, oto przybliżony wybór problemów z rozwiązaniami i wzorami)

Przykład 3.23. A

Rozwiązanie. X I y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Ponieważ x = a/4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdźmy, czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla xa/4 S " > 0 i dla x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Przykład 3.24.

Rozwiązanie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Przykład 3.22. Znajdź ekstrema funkcji f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rozwiązanie. Ponieważ f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), to punkty krytyczne funkcji x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstrema mogą być tylko w Czyli tak jak przy przejściu przez punkt x 1 = 2 pochodna zmienia swój znak z plusa na minus, to w tym momencie funkcja ma maksimum. Przy przejściu przez punkt x 2 = 3 pochodna zmienia swój znak z minus do plus, dlatego w punkcie x 2 = 3 funkcja ma minimum. Po obliczeniu wartości funkcji w punktach
x 1 = 2 i x 2 = 3, znajdujemy ekstrema funkcji: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Przykład 3.23. Konieczne jest zbudowanie prostokątnego obszaru w pobliżu kamiennego muru, tak aby był on z trzech stron ogrodzony siatką drucianą, a czwarty bok przylegał do ściany. Do tego istnieje A metry liniowe siatki. W jakim formacie witryna będzie miała największą powierzchnię?

Rozwiązanie. Oznaczmy boki platformy przez X I y. Powierzchnia witryny to S = xy. Pozwalać y- jest to długość boku przylegającego do ściany. Następnie, pod warunkiem, równość 2x + y = a musi być spełniona. Zatem y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdzie
0 ≤ x ≤ a/2 (długość i szerokość podkładki nie może być ujemna). S " = a - 4x, a - 4x = 0 przy x = a/4, skąd
y = a - 2×a/4 =a/2. Ponieważ x = a/4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdźmy, czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla xa/4 S " > 0 i dla x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Przykład 3.24. Wymagane jest wykonanie zbiornika cylindrycznego zamkniętego o pojemności V=16p ≈ 50 m 3 . Jakie powinien mieć wymiary zbiornika (promień R i wysokość H), aby do jego wykonania zużyto jak najmniej materiału?

Rozwiązanie. Całkowita powierzchnia cylindra wynosi S = 2pR(R+H). Znamy objętość walca V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16 p/ pR 2 = 16/ R 2 . Oznacza to S(R) = 2p(R2 +16/R). Znajdujemy pochodną tej funkcji:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 dla R 3 = 8, zatem
R = 2, H = 16/4 = 4.

Powiązana informacja.

Od jakiegoś czasu wbudowana w TheBat baza certyfikatów dla SSL przestała działać poprawnie (nie wiadomo z jakiego powodu).

Podczas sprawdzania posta pojawia się błąd:

Nieznany certyfikat urzędu certyfikacji
Serwer nie przedstawił w sesji certyfikatu głównego i w książce adresowej nie znaleziono odpowiedniego certyfikatu głównego.
To połączenie nie może być tajne. Proszę
skontaktuj się z administratorem serwera.

I masz wybór odpowiedzi - TAK / NIE. I tak za każdym razem, gdy usuwasz pocztę.

Rozwiązanie

W takim wypadku należy w ustawieniach TheBat zamienić standard implementacji S/MIME i TLS na Microsoft CryptoAPI!

Ponieważ musiałem połączyć wszystkie pliki w jeden, najpierw przekonwertowałem wszystkie pliki doc na jeden plik pdf (za pomocą programu Acrobat), a następnie przeniosłem go do fb2 za pomocą konwertera online. Możesz także konwertować pliki indywidualnie. Formaty mogą być absolutnie dowolne (źródło) - doc, jpg, a nawet archiwum zip!

Nazwa strony odpowiada istocie :) Photoshop online.

Aktualizacja z maja 2015 r

Znalazłem kolejną świetną stronę! Jeszcze wygodniejsze i funkcjonalne w tworzeniu całkowicie niestandardowego kolażu! To jest strona http://www.fotor.com/ru/collage/. Ciesz się tym dla swojego zdrowia. I sam z tego skorzystam.

W swoim życiu natknąłem się na problem naprawy kuchenki elektrycznej. Robiłem już wiele rzeczy, wiele się nauczyłem, ale jakoś z płytkami niewiele miałem wspólnego. Należała wymienić styki na regulatorach i palnikach. Powstało pytanie - jak określić średnicę palnika na kuchence elektrycznej?

Odpowiedź okazała się prosta. Nie musisz niczego mierzyć, możesz łatwo określić naocznie, jakiego rozmiaru potrzebujesz.

Najmniejszy palnik- to jest 145 milimetrów (14,5 centymetra)

Środkowy palnik- to jest 180 milimetrów (18 centymetrów).

I na koniec najbardziej duży palnik- to jest 225 milimetrów (22,5 centymetra).

Wystarczy określić rozmiar na oko i zrozumieć, jakiej średnicy potrzebujesz palnika. Kiedy tego nie wiedziałem, martwiłem się tymi wymiarami, nie wiedziałem, jak mierzyć, którą krawędzią się poruszać itp. Teraz zmądrzałem :) Mam nadzieję, że Tobie też pomogłem!

W swoim życiu spotkałem się z takim problemem. Myślę, że nie jestem jedyny.

Badanie funkcji odbywa się według przejrzystego schematu i wymaga od studenta solidnej znajomości podstawowych pojęć matematycznych, takich jak dziedzina definicji i wartości, ciągłość funkcji, asymptota, punkty ekstremalne, parzystość, okresowość itp. . Student musi umieć swobodnie różniczkować funkcje i rozwiązywać równania, które czasami mogą być bardzo złożone.

Oznacza to, że w tym zadaniu sprawdzana jest znaczna warstwa wiedzy, a każda luka stanie się przeszkodą w uzyskaniu prawidłowego rozwiązania. Szczególnie często trudności pojawiają się przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ten błąd jest natychmiast zauważalny dla nauczyciela i może znacznie zaszkodzić Twojej ocenie, nawet jeśli wszystko inne zostało zrobione poprawnie. Tutaj możesz znaleźć Problemy z badaniem funkcji online: przykłady badań, rozwiązania do pobrania, zadania zamówień.

Przeglądaj funkcję i kreśl wykres: przykłady i rozwiązania online

Przygotowaliśmy dla Ciebie wiele gotowych badań funkcyjnych, zarówno płatnych w książce rozwiązań, jak i bezpłatnych w dziale Przykłady badań funkcyjnych. Na podstawie rozwiązanych zadań będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z metodologią wykonywania podobnych zadań i przeprowadzić swoje badania przez analogię.

Oferujemy gotowe przykłady kompletnych badań i wykreślania funkcji najpopularniejszych typów: wielomianów, funkcji ułamkowo-wymiernych, niewymiernych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych. Do każdego rozwiązanego problemu dołączony jest gotowy wykres z wyróżnionymi kluczowymi punktami, asymptotami, maksimami i minimami. Rozwiązanie przeprowadza się za pomocą algorytmu badania funkcji;

W każdym razie rozwiązane przykłady będą dla Ciebie bardzo pomocne, ponieważ obejmują najpopularniejsze typy funkcji. Oferujemy setki już rozwiązanych problemów, ale jak wiadomo, na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji matematycznych, a nauczyciele są świetnymi ekspertami w wymyślaniu coraz trudniejszych zadań dla biednych uczniów. Tak więc, drodzy studenci, wykwalifikowana pomoc wam nie zaszkodzi.

Rozwiązywanie problemów związanych z badaniem funkcji niestandardowych

W takim przypadku nasi partnerzy zaoferują Ci inną usługę - pełne badanie funkcji online zamówić. Zadanie zostanie dla Ciebie wykonane zgodnie ze wszystkimi wymaganiami dotyczącymi algorytmu rozwiązywania takich problemów, co bardzo ucieszy Twojego nauczyciela.

Wykonamy dla Ciebie pełne badanie funkcji: znajdziemy dziedzinę definicji i dziedzinę wartości, zbadamy ciągłość i nieciągłość, ustalimy parzystość, sprawdzimy okresowość funkcji oraz znajdziemy punkty przecięcia z osiami współrzędnych . I oczywiście dalej korzystając z rachunku różniczkowego: znajdziemy asymptoty, obliczymy ekstrema, punkty przegięcia i skonstruujemy sam wykres.