Instrukcje

Jeżeli znany jest promień (R) okręgu i długość łuku (L) odpowiadająca żądanemu kątowi środkowemu (θ), można go obliczyć zarówno w stopniach, jak i radianach. Suma jest określana wzorem 2*π*R i odpowiada kątowi centralnemu wynoszącemu 360° lub dwóm liczbom Pi, jeśli zamiast stopni stosuje się radiany. Dlatego należy wyjść z proporcji 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Wyraź z tego kąt środkowy w radianach θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R lub stopnie θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π*R) i obliczyć według otrzymaną formułę.

Na podstawie długości cięciwy (m) łączącej punkty wyznaczające kąt środkowy (θ) można również obliczyć jej wartość, jeśli znany jest promień (R) okręgu. Aby to zrobić, rozważmy trójkąt utworzony przez dwa promienie i . To jest trójkąt równoramienny, wszyscy są znani, ale musisz znaleźć kąt naprzeciwko podstawy. Sinus jego połowy jest równy stosunkowi długości podstawy - cięciwy - do dwukrotności długości boku - promienia. Dlatego do obliczeń użyj odwrotnej funkcji sinus - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Kąt środkowy można określić w ułamkach obrotu lub na podstawie kąta obrotu. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej pełnego obrotu, podziel 360° przez cztery: θ = 360°/4 = 90°. Ta sama wartość w radianach powinna wynosić 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Kąt rozłożony jest równy połowie pełnego obrotu, dlatego np. kąt środkowy odpowiadający jego ćwiartce będzie stanowił połowę wartości obliczonych powyżej zarówno w stopniach, jak i radianach.

Odwrotność sinusa nazywa się funkcją trygonometryczną arcsinus. Może przyjmować wartości w granicach połowy liczby Pi, zarówno dodatnie, jak i ujemne. zła strona mierzona w radianach. Wartości te mierzone w stopniach będą odpowiednio mieścić się w zakresie od -90° do +90°.

Instrukcje

Niektórych „okrągłych” wartości nie trzeba obliczać; łatwiej je zapamiętać. Na przykład: - jeśli argument funkcji wynosi zero, to jej arcusinus również wynosi zero; - 1/2 jest równe 30° lub 1/6 Pi, jeśli jest mierzone; - arcsinus -1/2 wynosi -30° lub -1/6 od liczby Pi w; - arcsinus 1 jest równy 90° lub 1/2 liczby Pi w radianach; - arcsinus -1 jest równy -90° lub -1/2 liczba Pi w radianach;

Aby zmierzyć wartości tej funkcji na podstawie innych argumentów, najłatwiej jest skorzystać ze standardowego kalkulatora Windows, jeśli taki masz pod ręką. Aby rozpocząć, otwórz menu główne przyciskiem „Start” (lub naciskając klawisz WIN), przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie do podsekcji „Akcesoria” i kliknij „Kalkulator”.

Przełącz interfejs kalkulatora na tryb pracy, który pozwala na obliczenia funkcje trygonometryczne. Aby to zrobić, otwórz w jego menu sekcję „Widok” i wybierz „Inżynieria” lub „Naukowe” (w zależności od rodzaju system operacyjny).

Wprowadź wartość argumentu, z którego ma zostać obliczony arcus tangens. Można to zrobić klikając myszką przyciski interfejsu kalkulatora, naciskając klawisze , lub kopiując wartość (CTRL + C), a następnie wklejając ją (CTRL + V) do pola wejściowego kalkulatora.

Wybierz jednostki miary, w których chcesz uzyskać wynik obliczenia funkcji. Poniżej pola wejściowego znajdują się trzy opcje, z których należy wybrać (klikając myszką) jedną - , radiany lub rady.

Zaznacz pole wyboru odwracające funkcje wskazane na przyciskach interfejsu kalkulatora. Obok krótki napis Inv.

Kliknij przycisk grzechu. Kalkulator odwróci związaną z nim funkcję, wykona obliczenia i przedstawi wynik w określonych jednostkach.

Wideo na ten temat

Jednym z typowych problemów geometrycznych jest obliczenie pola odcinka kołowego - części koła ograniczonej cięciwą i odpowiadającej cięciwy łukiem koła.

Pole segmentu kołowego jest równe różnicy między obszarem odpowiedniego sektora kołowego a obszarem trójkąta utworzonego przez promienie sektora odpowiadającego segmentowi i cięciwie ograniczającej segment.

Przykład 1

Długość cięciwy opierającej się na okręgu jest równa wartości a. Miara stopnia łuku odpowiadającego cięciwie wynosi 60°. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie

Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny, więc wysokość poprowadzona od wierzchołka kąta środkowego do boku trójkąta utworzonego przez cięciwę będzie również dwusieczną kąta środkowego, dzieląc go na pół, a środkowa, dzieląca akord na pół. Wiedząc, że sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, możemy obliczyć promień:

Grzech 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio S▲=√3/4*a².

Pole odcinka, obliczone jako Sreg = Sc – S▲, jest równe:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Zastępując wartość liczbową wartością a, można łatwo obliczyć wartość liczbową pola powierzchni segmentu.

Przykład 2

Promień okręgu jest równy a. Miara stopnia łuku odpowiadającego segmentowi wynosi 60°. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie:

Obszar odpowiedniego sektora dany kąt można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Pole trójkąta odpowiadające sektorowi oblicza się w następujący sposób:

S▲=1/2*ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio S▲=√3/4*a².

I wreszcie pole odcinka, obliczone jako Sreg = Sc - S▲, jest równe:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Rozwiązania w obu przypadkach są niemal identyczne. Możemy zatem stwierdzić, że aby obliczyć pole odcinka w najprostszym przypadku wystarczy znać wartość kąta odpowiadającego łukowi odcinka oraz jeden z dwóch parametrów – albo promień okręgu, albo długość cięciwy opierającej się na łuku okręgu tworzącego odcinek.

Źródła:

• Segment - geometria

To jest kąt utworzony przez dwa akordy, mający swój początek w jednym punkcie okręgu. Mówi się, że jest to kąt wpisany odpoczywa na łuku zawartym pomiędzy jego bokami.

Kąt wpisany równy połowie łuku, na którym spoczywa.

Innymi słowy, kąt wpisany zawiera tyle stopni kątowych, minut i sekund, ile stopnie łuku, minuty i sekundy zawarte są w połowie łuku, na którym się opiera. Aby to uzasadnić, przeanalizujmy trzy przypadki:

Pierwszy przypadek:

Centrum O znajduje się z boku kąt wpisany ABC. Rysując promień AO, otrzymujemy ΔABO, w nim OA = OB (jako promienie) i odpowiednio ∠ABO = ∠BAO. W związku z tym trójkąt, kąt AOC - zewnętrzny. A to oznacza, że ​​on równa sumie kąty ABO i BAO lub równe podwójnemu kątowi ABO. Zatem ∠ABO jest równe połowie kąt środkowy AOC. Ale ten kąt jest mierzony łukiem AC. Oznacza to, że kąt wpisany ABC jest mierzony przez połowę łuku AC.

Drugi przypadek:

Centrum O znajduje się pomiędzy bokami kąt wpisany ABC. Po narysowaniu średnicy BD dzielimy kąt ABC na dwa kąty, z których w pierwszym przypadku jeden jest mierzony przez połowę. łuki AD, a druga połowa łuku CD. I odpowiednio mierzony jest kąt ABC (AD+DC) /2, tj. 1/2 prądu przemiennego.

Trzeci przypadek:

Centrum O znajduje się na zewnątrz kąt wpisany ABC. Rysując średnicę BD, będziemy mieli: ∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Ale kąty ABD i CBD mierzone są na podstawie wcześniej uzasadnionej połowy łuk AD i CD. A ponieważ ∠ABC mierzy się za pomocą (AD-CD)/2, czyli połowy łuku AC.

Wniosek 1. Wszystkie oparte na tym samym łuku są takie same, czyli równe sobie. Ponieważ każdy z nich jest mierzony przez połowę tego samego łuki .

Konsekwencja 2. Kąt wpisany, w oparciu o średnicę - prosty kąt. Ponieważ każdy taki kąt jest mierzony przez pół półkola i odpowiednio zawiera 90°.

Średni poziom

Okrąg i kąt wpisany. Przewodnik wizualny (2019)

Podstawowe warunki.

Jak dobrze pamiętasz wszystkie imiona związane z kręgiem? Na wszelki wypadek przypomnijmy - spójrz na zdjęcia - odśwież swoją wiedzę.

Po pierwsze - Środek okręgu to punkt, od którego odległości od wszystkich punktów okręgu są takie same.

Po drugie - promień - odcinek łączący środek z punktem na okręgu.

Promieni jest wiele (tyle jest punktów na okręgu), ale Wszystkie promienie mają tę samą długość.

Czasem na krótko promień dokładnie to nazywają długość odcinka„środek jest punktem na okręgu”, a nie samym odcinkiem.

I oto co się dzieje jeśli połączysz dwa punkty na okręgu? Również odcinek?

Tak więc ten segment nazywa się "akord".

Podobnie jak w przypadku promienia, średnica jest często długością odcinka łączącego dwa punkty na okręgu i przechodzącego przez jego środek. Swoją drogą, w jaki sposób średnica i promień są ze sobą powiązane? Przyjrzyj się uważnie. Oczywiście, promień jest równy połowie średnicy.

Oprócz akordów są też sieczne.

Pamiętasz najprostszą rzecz?

Kąt środkowy to kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami.

A teraz - kąt wpisany

Kąt wpisany - kąt pomiędzy dwiema cięciwami przecinającymi się w punkcie na okręgu.

W tym przypadku mówią, że kąt wpisany opiera się na łuku (lub cięciwie).

Zobacz zdjęcie:

Pomiary łuków i kątów.

Obwód. Łuki i kąty mierzone są w stopniach i radianach. Najpierw o stopniach. Z kątami nie ma problemów - musisz nauczyć się mierzyć łuk w stopniach.

Miara stopnia (rozmiar łuku) to wartość (w stopniach) odpowiedniego kąta środkowego

Co oznacza tutaj słowo „odpowiedni”? Przyjrzyjmy się uważnie:

Czy widzisz dwa łuki i dwa kąty środkowe? Cóż, większy łuk odpowiada większemu kątowi (i dobrze, że jest większy), a mniejszy łuk odpowiada mniejszemu kątowi.

Zatem zgodziliśmy się: łuk zawiera tę samą liczbę stopni, co odpowiadający mu kąt środkowy.

A teraz o przerażającej rzeczy – o radianach!

Co to za bestia?

Wyobraź to sobie: Radiany to sposób pomiaru kątów... w promieniach!

Kąt radianów to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Wtedy pojawia się pytanie - ile radianów znajduje się w kącie prostym?

Innymi słowy: ile promieni „mieści się” w połowie koła? Lub w inny sposób: ile razy długość połowy koła jest większa od promienia?

Naukowcy zadali to pytanie już w starożytnej Grecji.

I tak po długich poszukiwaniach odkryli, że stosunek obwodu do promienia nie chce być wyrażony w liczbach „ludzkich” itp.

I nie da się tej postawy wyrazić nawet poprzez korzenie. Oznacza to, że nie można powiedzieć, że połowa koła jest razy większa niż promień! Czy możesz sobie wyobrazić, jak niesamowite było dla ludzi odkrycie tego po raz pierwszy?! Dla stosunku długości połowy koła do promienia „normalne” liczby nie wystarczyły. Musiałem wpisać literę.

Zatem - jest to liczba wyrażająca stosunek długości półkola do promienia.

Teraz możemy odpowiedzieć na pytanie: ile radianów znajduje się w kącie prostym? Zawiera radiany. Właśnie dlatego, że połowa koła jest razy większa niż promień.

Starożytni (i nie tak starożytni) ludzie na przestrzeni wieków (!) próbował dokładniej obliczyć tę tajemniczą liczbę, lepiej ją wyrazić (przynajmniej w przybliżeniu) za pomocą „zwykłych” liczb. A teraz jesteśmy niesamowicie leniwi - wystarczą nam dwa znaki po pracowitym dniu, do tego jesteśmy przyzwyczajeni

Pomyśl o tym, oznacza to na przykład, że długość koła o promieniu jeden jest w przybliżeniu równa, ale tej dokładnej długości po prostu nie da się zapisać „ludzką” liczbą - potrzebujesz litery. A wtedy ten obwód będzie równy. I oczywiście obwód promienia jest równy.

Wróćmy do radianów.

Dowiedzieliśmy się już, że kąt prosty zawiera radiany.

Co mamy:

Więc cieszę się, to znaczy cieszę się. W ten sam sposób uzyskuje się płytę o najpopularniejszych kątach.

Zależność między wartościami kąta wpisanego i środkowego.

Jest niesamowity fakt:

Kąt wpisany jest o połowę mniejszy od odpowiadającego mu kąta środkowego.

Zobacz, jak to stwierdzenie wygląda na obrazku. „Odpowiadający” kąt środkowy to taki, którego końce pokrywają się z końcami kąta wpisanego, a wierzchołek znajduje się w środku. Jednocześnie „odpowiadający” kąt środkowy musi „patrzeć” na tę samą cięciwę (), co kąt wpisany.

Dlaczego tak jest? Przyjrzyjmy się najpierw prostemu przypadkowi. Niech jeden z akordów przejdzie przez środek. Czasem tak się zdarza, prawda?

co się tutaj stało? Rozważmy. W końcu jest to równoramienny i - promień. A więc (oznaczył je).

Teraz spójrzmy. To jest zewnętrzny kącik! Przypominamy, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają, i piszemy:

To jest! Nieoczekiwany efekt. Ale istnieje także kąt centralny dla wpisanego.

Oznacza to, że w tym przypadku udowodniono, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego. Ale to za bardzo boli szczególny przypadek: Czy nie jest prawdą, że akord nie zawsze przebiega prosto przez środek? Ale nie ma sprawy, teraz ten konkretny przypadek będzie nam bardzo pomocny. Spójrz: drugi przypadek: niech środek leży w środku.

Zróbmy tak: narysuj średnicę. I wtedy... widzimy dwa obrazy, które w pierwszym przypadku były już analizowane. Dlatego już to mamy

Oznacza to (na rysunku a)

Cóż, to pozostaje ostatni przypadek: środek znajduje się poza rogiem.

Robimy to samo: rysujemy średnicę przez punkt. Wszystko jest takie samo, ale zamiast sumy jest różnica.

To wszystko!

Wyprowadźmy teraz dwie główne i bardzo ważne konsekwencje ze stwierdzenia, że ​​kąt wpisany jest połową kąta środkowego.

Wniosek 1

Wszystkie kąty wpisane oparte na jednym łuku są sobie równe.

Ilustrujemy:

Kątów wpisanych opartych na tym samym łuku jest niezliczona ilość (mamy ten łuk), mogą wyglądać zupełnie inaczej, ale wszystkie mają ten sam kąt środkowy (), co oznacza, że ​​wszystkie te kąty wpisane są między sobą równe.

Konsekwencja 2

Kąt oparty na średnicy jest kątem prostym.

Spójrz: dla jakiego kąta jest centralny?

Z pewnością, . Ale on jest równy! Cóż, zatem (jak również wiele innych kątów wpisanych spoczywających na) i jest równy.

Kąt między dwoma cięciwami i siecznymi

A co jeśli kąt, który nas interesuje NIE jest wpisany i NIE jest środkowy, ale np. taki:

lub tak?

Czy można to jakoś wyrazić za pomocą kątów środkowych? Okazuje się, że jest to możliwe. Spójrz: jesteśmy zainteresowani.

a) (jako narożnik zewnętrzny). Ale - wpisany, spoczywa na łuku -. - wpisany, spoczywa na łuku - .

O pięknie mówią:

Kąt między cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Piszą to dla zwięzłości, ale oczywiście korzystając z tego wzoru, należy pamiętać o kątach środkowych

b) A teraz - „na zewnątrz”! Jak być? Tak, prawie takie same! Dopiero teraz (ponownie stosujemy właściwość kąta zewnętrznego dla). To jest teraz.

I to oznacza, że... Dodajmy piękna i zwięzłości do notatek i sformułowań:

Kąt między siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Cóż, teraz jesteś uzbrojony w całą podstawową wiedzę na temat kątów związanych z okręgiem. Śmiało, podejmuj wyzwania!

okrąg i wcięty kąt. ŚREDNI POZIOM

Nawet pięcioletnie dziecko wie, co to jest okrąg, prawda? Matematycy jak zawsze mają na ten temat zawiłą definicję, ale nie podamy jej (patrz), ale raczej przypomnijmy sobie, jak nazywają się punkty, proste i kąty związane z okręgiem.

Ważne warunki

Po pierwsze:

środek okręgu- punkt, od którego wszystkie punkty na okręgu są w tej samej odległości.

Po drugie:

Istnieje inne akceptowane wyrażenie: „akord zaciąga łuk”. Na przykład tutaj, na rysunku, cięciwa opiera się na łuku. A jeśli akord nagle przechodzi przez środek, ma specjalną nazwę: „średnica”.

Swoją drogą, w jaki sposób średnica i promień są ze sobą powiązane? Przyjrzyj się uważnie. Oczywiście,

A teraz - nazwy narożników.

Naturalne, prawda? Boki kąta rozciągają się od środka, co oznacza, że ​​kąt jest środkowy.

W tym miejscu czasami pojawiają się trudności. Zwróć uwagę - ŻADEN kąt wewnątrz okręgu nie jest wpisany, ale tylko taki, którego wierzchołek „siedzi” na samym okręgu.

Zobaczmy różnicę na zdjęciach:

Inaczej mówią:

Jest tu jeden trudny punkt. Co to jest „odpowiadający” lub „własny” kąt środkowy? Tylko kąt z wierzchołkiem w środku okręgu i końcami na końcach łuku? Na pewno nie w ten sposób. Spójrz na rysunek.

Jeden z nich jednak nawet nie wygląda na narożnik – jest większy. Ale trójkąt nie może mieć więcej kątów, ale okrąg może! Zatem: mniejszy łuk AB odpowiada mniejszemu kątowi (pomarańczowy), a większy łuk odpowiada większemu. Właśnie tak, prawda?

Zależność między wielkościami kąta wpisanego i środkowego

Zapamiętaj to bardzo ważne stwierdzenie:

W podręcznikach lubią zapisywać ten sam fakt w ten sposób:

Czy nie jest prawdą, że sformułowanie jest prostsze w przypadku kąta środkowego?

Ale mimo to znajdźmy zgodność między tymi dwoma sformułowaniami, a jednocześnie nauczmy się znajdować na rysunkach „odpowiadający” kąt środkowy i łuk, na którym „opiera się kąt wpisany”.

Spójrz: tutaj jest okrąg i kąt wpisany:

Gdzie jest jego „odpowiadający” kąt środkowy?

Spójrzmy jeszcze raz:

Jaka jest zasada?

Ale! W tym przypadku ważne jest, aby kąt wpisany i środkowy „patrzyły” na łuk z jednej strony. Na przykład:

Co dziwne, niebieski! Ponieważ łuk jest długi, dłuższy niż połowa koła! Więc nigdy nie daj się zwieść!

Jakie konsekwencje można wywnioskować z „połowy” kąta wpisanego?

Ale na przykład:

Kąt wyznaczony przez średnicę

Już zauważyłeś, że matematycy uwielbiają rozmawiać o tych samych rzeczach. innymi słowami? Dlaczego tego potrzebują? Widzisz, język matematyki, choć formalny, jest żywy i dlatego, jak w języku potocznym, za każdym razem chcesz go wypowiedzieć w sposób, który jest wygodniejszy. Cóż, widzieliśmy już, co oznacza „kąt opiera się na łuku”. I wyobraźcie sobie, że ten sam obraz nazywa się „kątem opartym na cięciwie”. Na czym? Tak, oczywiście, temu, który zacieśnia ten łuk!

Kiedy wygodniej jest polegać na akordzie niż na łuku?

Cóż, w szczególności, gdy ten cięciwa jest średnicą.

Istnieje zaskakująco proste, piękne i przydatne stwierdzenie na taką sytuację!

Spójrz: oto okrąg, jego średnica i kąt, który na nim spoczywa.

okrąg i wcięty kąt. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

1. Podstawowe pojęcia.

3. Pomiary łuków i kątów.

Kąt radianów to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Jest to liczba wyrażająca stosunek długości półkola do jego promienia.

Obwód promienia jest równy.

4. Zależność między wartościami kąta wpisanego i środkowego.

Kąt wpisany, teoria problemu. Przyjaciele! W tym artykule porozmawiamy o zadaniach, dla których musisz znać właściwości kąta wpisanego. To cała grupa zadań, które są uwzględnione w ujednoliconym egzaminie państwowym. Większość z nich można rozwiązać bardzo prosto, w jednej akcji.

Są trudniejsze problemy, ale nie sprawią ci one większej trudności; musisz znać właściwości kąta wpisanego. Stopniowo będziemy analizować wszystkie prototypy zadań, zapraszam na bloga!

Teraz niezbędna teoria. Przypomnijmy sobie, czym jest kąt środkowy i wpisany, cięciwa, łuk, na którym opierają się te kąty:

Kąt środkowy w okręgu jest kątem płaskimwierzchołek w jego środku.

Część koła znajdująca się wewnątrz kąta płaskiegozwany łukiem koła.

Miara stopnia łuku koła nazywa się miarą stopniaodpowiedni kąt środkowy.

Mówi się, że kąt jest wpisany w okrąg, jeśli wierzchołek kąta leżyna okręgu, a boki kąta przecinają ten okrąg.

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa sięakord. Największy akord przechodzi przez środek okręgu i nazywa sięśrednica.

Aby rozwiązać zadania dotyczące kątów wpisanych w okrąg,musisz znać następujące właściwości:

1. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

2. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

3. Wszystkie kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie i których wierzchołki leżą po tej samej stronie tej cięciwy, są równe.

4. Dowolna para kątów opartych na tej samej cięciwie, której wierzchołki leżą po przeciwnych stronach cięciwy, sumuje się do 180°.

Wniosek: przeciwne kąty czworokąta wpisanego w okrąg sumują się do 180 stopni.

5. Wszystkie kąty wpisane oparte na średnicy są kątami prostymi.

Ogólnie rzecz biorąc, właściwość ta jest konsekwencją właściwości (1); jest to jej szczególny przypadek. Spójrz - kąt środkowy wynosi 180 stopni (a ten kąt rozłożony to nic innego jak średnica), co oznacza, zgodnie z pierwszą właściwością, że kąt wpisany C jest równy połowie jego, czyli 90 stopni.

Znajomość tej właściwości pomaga w rozwiązaniu wielu problemów i często pozwala uniknąć niepotrzebnych obliczeń. Dobrze go opanowawszy, będziesz w stanie rozwiązać ustnie ponad połowę tego typu problemów. Można wyciągnąć dwa wnioski:

Wniosek 1: Jeżeli trójkąt jest wpisany w okrąg i jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą tego okręgu, to trójkąt jest prostokątny (wierzchołek prosty kąt leży na okręgu).

Wniosek 2: centrum opisywanego tematu trójkąt prostokątny okrąg pokrywa się ze środkiem jego przeciwprostokątnej.

Wiele prototypów problemów stereometrycznych jest również rozwiązywanych przy użyciu tej właściwości i tych konsekwencji. Zapamiętaj sam fakt: jeśli średnica koła jest bokiem trójkąta wpisanego, to trójkąt ten jest prostokątny (kąt leżący naprzeciw średnicy wynosi 90 stopni). Wszystkie inne wnioski i konsekwencje możesz wyciągnąć sam, nie musisz ich uczyć.

Z reguły połowa problemów dotyczących kąta wpisanego jest podawana ze szkicem, ale bez symboli. Aby zrozumieć proces rozumowania przy rozwiązywaniu problemów (poniżej w artykule), wprowadzono oznaczenia wierzchołków (kątów). Nie musisz tego robić na egzaminie Unified State Examination.Rozważmy zadania:

Jaka jest wartość kąta wpisanego ostrego opartego na cięciwie równej promieniowi okręgu? Podaj odpowiedź w stopniach.

Konstruujemy kąt środkowy dla danego kąta wpisanego i wyznaczamy jego wierzchołki:

Z własności kąta wpisanego w okrąg:

Kąt AOB jest równy 60 0, ponieważ trójkąt AOB jest równoboczny, a w trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe 60 0. Boki trójkąta są równe, ponieważ warunek mówi, że cięciwa jest równa promieniowi.

Zatem kąt wpisany ACB jest równy 30 0.

Odpowiedź: 30

Znajdź cięciwę podpartą kątem 30 0 wpisanym w okrąg o promieniu 3.

To jest zasadniczo problem odwrotny(poprzedni). Skonstruujmy kąt środkowy.

Jest dwa razy większy od wpisanego, czyli kąt AOB jest równy 60 0. Z tego możemy wywnioskować, że trójkąt AOB jest równoboczny. Zatem akord jest równy promieniowi, czyli trzem.

Odpowiedź: 3

Promień okręgu wynosi 1. Znajdź wielkość rozwartego kąta wpisanego opartego na cięciwie równej pierwiastkowi z dwóch. Podaj odpowiedź w stopniach.

Skonstruujmy kąt środkowy:

Znając promień i cięciwę, możemy znaleźć kąt środkowy ASV. Można to zrobić za pomocą twierdzenia cosinus. Znając kąt środkowy, łatwo znaleźć kąt wpisany ACB.

Twierdzenie cosinus: kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków, bez dwukrotnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Dlatego drugi kąt środkowy wynosi 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Kąt ACB, zgodnie z właściwością kąta wpisanego, jest równy jego połowie, czyli 135 stopni.

Odpowiedź: 135

Znajdź cięciwę wyznaczoną przez kąt 120 stopni wpisany w okrąg o pierwiastku z promienia z trzech.

Połączmy punkty A i B ze środkiem okręgu. Oznaczmy to jako O:

Znamy promień i kąt wpisany ASV. Możemy znaleźć kąt środkowy AOB (większy niż 180 stopni), a następnie znaleźć kąt AOB w trójkącie AOB. A następnie, korzystając z twierdzenia cosinus, oblicz AB.

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego, kąt środkowy AOB (który jest większy niż 180 stopni) będzie równy dwukrotności kąta wpisanego, czyli 240 stopni. Oznacza to, że kąt AOB w trójkącie AOB jest równy 360 0 – 240 0 = 120 0.

Zgodnie z twierdzeniem cosinus:

Odpowiedź:3

Znajdź kąt wpisany oparty na łuku stanowiącym 20% okręgu. Podaj odpowiedź w stopniach.

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego jest on o połowę mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku, w tym przypadku mówimy o łuku AB.

Mówi się, że łuk AB stanowi 20 procent obwodu. Oznacza to, że kąt środkowy AOB wynosi również 20 procent z 360 0.*Okrąg to kąt mający 360 stopni. Oznacza,

Zatem kąt wpisany ACB jest równy 36 stopni.

Odpowiedź: 36

Łuk koła AC, nie zawierający punktu B, wynosi 200 stopni. Oraz łuk okręgu BC, niezawierający punktu A, wynosi 80 stopni. Znajdź kąt wpisany ACB. Podaj odpowiedź w stopniach.

Dla jasności oznaczmy łuki, których miary kątowe są podane. Łuk odpowiadający 200 stopniom – Kolor niebieski, łuk odpowiadający 80 stopniom jest czerwony, pozostała część koła jest czerwona żółty.

Zatem miara stopnia łuku AB (żółty), a zatem kąt środkowy AOB wynosi: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Kąt wpisany ACB jest o połowę mniejszy od kąta środkowego AOB, czyli równy 40 stopni.

Odpowiedź: 40

Jaki jest kąt wpisany oparty na średnicy okręgu? Podaj odpowiedź w stopniach.

Kąt środkowy- jest kątem utworzonym przez dwa promienie koło. Przykładem kąta środkowego jest kąt AOB, BOC, COE i tak dalej.

O róg środkowy I łuk zawarte między jego stronami korespondować nawzajem.

1. jeśli kąty środkowe łuki są równe.

2. jeśli kąty środkowe nie są równe, wówczas większy z nich odpowiada większemu łuk.

Niech AOB i COD będą równe dwa kąty środkowe, równe lub nierówne. Obróćmy sektor AOB wokół środka w kierunku wskazanym przez strzałkę, tak aby promień OA pokrywał się z OC. Następnie, jeśli kąty środkowe są równe, to promień OA będzie pokrywał się z OD, a łuk AB z łukiem CD .

Oznacza to, że te łuki będą równe.

Jeśli kąty środkowe nie są równe, to promień OB nie będzie przebiegał wzdłuż OD, ale w innym kierunku, na przykład wzdłuż OE lub OF. W obu przypadkach większy kąt odpowiada oczywiście większemu łukowi.

Twierdzenie, które udowodniliśmy dla jednego okręgu, pozostaje prawdziwe równe koła, ponieważ takie kręgi nie różnią się od siebie niczym poza swoim położeniem.

Oferty odwrotne też będzie prawdą . W jednym okręgu lub w równych okręgach:

1. jeśli łuki są równe, to ich odpowiedniki kąty środkowe są równe.

2. jeśli łuki nie są równe, wówczas większy z nich odpowiada większemu kąt środkowy.

W jednym okręgu lub w równych okręgach kąty środkowe są powiązane jako odpowiadające im łuki. Lub parafrazując, otrzymujemy, że kąt środkowy proporcjonalny odpowiadający mu łuk.