Zatoka kąt ostryα trójkąta prostokątnego to stosunek naprzeciwko noga do przeciwprostokątnej.
Oznacza się to następująco: sin α.
Cosinus Kąt ostry α w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznacza się go następująco: cos α.
Tangens kąt ostry α jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Oznacza się go następująco: tg α.
Cotangens kąt ostry α jest stosunkiem boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
Oznacza się go następująco: ctg α.
Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.
Zasady:
Podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:
(α – kąt ostry przeciwny do nogi B i przylegający do nogi A . Strona Z – przeciwprostokątna. β – drugi kąt ostry).
B | grzech 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
B | 1 | |
A | 1 1 | |
grzech α |
Wraz ze wzrostem kąta ostregogrzech α iwzrost opalenizny α icos α maleje.
Dla dowolnego kąta ostrego α:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Przykład-wyjaśnienie:
Wprowadźmy trójkąt prostokątny ABC
AB = 6,
p.n.e. = 3,
kąt A = 30°.
Znajdźmy sinus kąta A i cosinus kąta B.
Rozwiązanie .
1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: skoro w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°, to kąt B = 60°:
B = 90° – 30° = 60°.
2) Obliczmy grzech A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Dla kąta A przeciwną stroną jest bok BC. Więc:
BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2
3) Teraz obliczmy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Dla kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC przez AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:
BC 3 1
ponieważ B = -- = - = -
AB 6 2
Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.
grzech 30° = cos 60° = 1/2.
Wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego wynosi równy cosinusowi kolejny ostry kąt - i odwrotnie. To właśnie oznaczają nasze dwie formuły:
grzech (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Przekonajmy się o tym jeszcze raz:
1) Niech α = 60°. Podstawiając wartość α do wzoru sinus, otrzymujemy:
grzech (90° – 60°) = cos 60°.
grzech 30° = cos 60°.
2) Niech α = 30°. Podstawiając wartość α do wzoru na cosinus, otrzymujemy:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = grzech 30°.
(Aby uzyskać więcej informacji na temat trygonometrii, zobacz sekcję Algebra)
Tam, gdzie rozważane były problemy z rozwiązaniem trójkąta prostokątnego, obiecałem przedstawić technikę zapamiętywania definicji sinusa i cosinusa. Dzięki niemu zawsze szybko zapamiętasz, która strona należy do przeciwprostokątnej (sąsiadująca czy przeciwna). Postanowiłem nie odkładać tego na długo, niezbędny materiał znajdziecie poniżej, zapraszamy do lektury 😉
Faktem jest, że wielokrotnie obserwowałem, jak uczniowie klas 10-11 mają trudności z zapamiętaniem tych definicji. Doskonale pamiętają, że noga odnosi się do przeciwprostokątnej, ale do której- zapominają i zdezorientowany. Ceną błędu, jak wiadomo na egzaminie, jest stracony punkt.
Informacje, które przedstawię bezpośrednio, nie mają nic wspólnego z matematyką. Jest połączona z twórcze myślenie oraz z metodami komunikacji werbalno-logicznej. Dokładnie tak to zapamiętałem, raz na zawszedane definicji. Jeśli je zapomnisz, zawsze możesz je łatwo zapamiętać, korzystając z przedstawionych technik.
Przypomnę definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym:
Cosinus Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Jakie skojarzenia masz ze słowem cosinus?
Chyba każdy ma swoje 😉Zapamiętaj link:
W ten sposób wyrażenie natychmiast pojawi się w Twojej pamięci -
«… stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej».
Problem z wyznaczeniem cosinusa został rozwiązany.
Jeśli musisz pamiętać definicję sinusa w trójkącie prostokątnym, to pamiętając definicję cosinusa, możesz łatwo ustalić, że sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. W końcu są tylko dwie nogi; jeśli sąsiednia noga jest „zajęta” przez cosinus, wówczas z sinusem pozostaje tylko przeciwna noga.
A co ze styczną i cotangensem? Zamieszanie jest takie samo. Uczniowie wiedzą, że jest to związek nóg, jednak problemem jest zapamiętanie, która z nich odnosi się do której – albo przeciwstawna do sąsiadującej, albo odwrotnie.
Definicje:
Tangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
Cotangens Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego:
Jak zapamiętać? Istnieją dwa sposoby. Jeden posługuje się także powiązaniem słowno-logicznym, drugi posługuje się matematycznym.
METODA MATEMATYCZNA
Istnieje taka definicja - tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
*Po zapamiętaniu wzoru zawsze możesz ustalić, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Podobnie.Kotangens kąta ostrego to stosunek cosinusa kąta do jego sinusa:
Więc! Zapamiętując te wzory, zawsze możesz ustalić, że:
- tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej
— cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
METODA SŁOWA-LOGICZNA
O stycznej. Zapamiętaj link:
Oznacza to, że jeśli chcesz zapamiętać definicję stycznej, korzystając z tego logicznego połączenia, możesz łatwo zapamiętać, co to jest
„...stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej”
Jeśli mówimy o cotangensie, to pamiętając definicję stycznej, możesz łatwo wyrazić definicję kotangencji -
„...stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego”
Na stronie internetowej istnieje ciekawy trik na zapamiętywanie tangensów i cotangensów " Matematyczny tandem " , Patrzeć.
METODA UNIWERSALNA
Możesz to po prostu zapamiętać.Ale jak pokazuje praktyka, dzięki powiązaniom werbalno-logicznym człowiek długo zapamiętuje informacje, i to nie tylko matematyczne.
Mam nadzieję, że materiał był dla Ciebie przydatny.
Pozdrawiam, Alexander Krutitskikh
P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.
Sinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, której zastosowanie nie ogranicza się wyłącznie do geometrii. Tabele do obliczania funkcji trygonometrycznych, takie jak kalkulatory inżynieryjne, nie zawsze są pod ręką, a obliczenie sinusa jest czasami potrzebne do rozwiązania różnych problemów. Ogólnie rzecz biorąc, obliczenie sinusa pomoże utrwalić umiejętności rysowania i wiedzę o tożsamościach trygonometrycznych.
Gry z linijką i ołówkiem
Proste zadanie: jak znaleźć sinus kąta narysowanego na papierze? Do rozwiązania potrzebujesz zwykłej linijki, trójkąta (lub kompasu) i ołówka. Najprostszym sposobem obliczenia sinusa kąta jest podzielenie dalszej ramienia trójkąta z kątem prostym przez dłuższy bok - przeciwprostokątną. Zatem najpierw należy uzupełnić kąt ostry do kształtu trójkąta prostokątnego, rysując linię prostopadłą do jednego z promieni w dowolnej odległości od wierzchołka kąta. Będziemy musieli zachować kąt dokładnie 90°, dla którego potrzebujemy trójkąta urzędniczego.
Korzystanie z kompasu jest nieco dokładniejsze, ale zajmuje więcej czasu. Na jednym z promieni należy zaznaczyć 2 punkty w określonej odległości, ustawić promień na kompasie w przybliżeniu równy odległości między punktami i rysować półkola ze środkami w tych punktach, aż do uzyskania przecięcia tych linii. Łącząc ze sobą punkty przecięcia naszych okręgów, otrzymujemy ścisłą prostopadłość do promienia naszego kąta; pozostaje tylko przedłużyć linię, aż przetnie się ona z innym promieniem.
W powstałym trójkącie musisz za pomocą linijki zmierzyć bok przeciwny do narożnika i długi bok jednego z promieni. Stosunek pierwszego wymiaru do drugiego będzie pożądaną wartością sinusa kąta ostrego.
Znajdź sinus dla kąta większego niż 90°
Dla kąta rozwartego zadanie nie jest dużo trudniejsze. Musisz narysować promień od wierzchołka do przeciwna strona za pomocą linijki utwórz linię prostą z jednym z półprostych kąta, który nas interesuje. Powstały kąt ostry należy traktować jak opisano powyżej, sinusy sąsiadujące rogi, tworzące razem kąt odwrotny 180°, są równe.
Obliczanie sinusa przy użyciu innych funkcji trygonometrycznych
Obliczenie sinusa jest również możliwe, jeśli znane są wartości innych funkcji trygonometrycznych kąta lub przynajmniej długości boków trójkąta. Pomogą nam w tym tożsamości trygonometryczne. Spójrzmy na typowe przykłady.
Jak znaleźć sinus ze znanym cosinusem kąta? Pierwsza tożsamość trygonometryczna, oparta na twierdzeniu Pitagorasa, stwierdza, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden.
Jak znaleźć sinus ze znaną tangensem kąta? Styczną uzyskuje się dzieląc stronę dalszą przez stronę bliższą lub dzieląc sinus przez cosinus. Zatem sinus będzie iloczynem cosinusa i tangensa, a kwadrat sinusa będzie kwadratem tego iloczynu. Cosinus kwadratowy zastępujemy różnicą między jednością a sinusem kwadratowym zgodnie z pierwszym tożsamość trygonometryczna i poprzez proste manipulacje sprowadzamy równanie do obliczenia sinusa kwadratowego poprzez styczną, odpowiednio, aby obliczyć sinus, będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek uzyskanego wyniku.
Jak znaleźć sinus ze znanym cotangensem kąta? Wartość cotangens można obliczyć, dzieląc długość nogi najbliższej kątowi przez długość dalekiej, a także dzieląc cosinus przez sinus, czyli cotangens jest funkcją odwrotną do stycznej względem do liczby 1. Aby obliczyć sinus, możesz obliczyć tangens korzystając ze wzoru tg α = 1 / ctg α i skorzystać ze wzoru z drugiej opcji. Można także wyprowadzić wzór bezpośredni przez analogię do tangensa, który będzie wyglądał następująco.
Jak znaleźć sinus trzech boków trójkąta
Istnieje wzór na znalezienie długości nieznanego boku dowolnego trójkąta, nie tylko trójkąta prostokątnego, z dwóch znanych boków za pomocą funkcji trygonometrycznej cosinusa przeciwnego kąta. Ona wygląda tak.
Co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta, pomoże ci zrozumieć trójkąt prostokątny.
Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok \(AC\)); nogami są dwa pozostałe boki \(AB\) i \(BC\) (te sąsiadujące ze sobą prosty kąt) i jeśli rozważymy nogi w odniesieniu do kąta \(BC\), to noga \(AB\) jest nogą sąsiednią, a noga \(BC\) jest przeciwieństwem. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?
Sinus kąta– jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangens kąta– jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).
W naszym trójkącie:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotansa kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).
W naszym trójkącie:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:
Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;
Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.
Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:
Rozważmy na przykład cosinus kąta \(\beta \) . Z definicji z trójkąta \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale możemy obliczyć cosinus kąta \(\beta \) z trójkąta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens zależą wyłącznie od wielkości kąta.
Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!
Dla trójkąta \(ABC \) pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta \(\beta \) .
Odpowiedzi: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).
Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym \(1\) . Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.
Jak widać, okrąg ten jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, środek okręgu leży w początku współrzędnych, położenie początkowe wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\) (w naszym przykładzie jest to jest promieniem \(AB\)).
Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej na osi \(x\) i współrzędnej na osi \(y\). Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt \(ACG\) . Jest prostokątny, ponieważ \(CG\) jest prostopadły do osi \(x\).
Co oznacza \(\cos \alpha \) z trójkąta \(ACG \)? Zgadza się \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ponadto wiemy, że \(AC\) jest promieniem okręgu jednostkowego, co oznacza \(AC=1\) . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ile wynosi \(\sin \ \alpha \) z trójkąta \(ACG \)? Ależ oczywiście, \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Podstaw wartość promienia \(AC\) do tego wzoru i otrzymaj:
\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt \(C\) należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie sprawę, że \(\cos \alpha \) i \(\sin \alpha \) to tylko liczby? Jakiej współrzędnej odpowiada \(\cos \alpha \)? Cóż, oczywiście, współrzędna \(x\)! A jakim współrzędnym odpowiada \(\sin \alpha \)? Zgadza się, współrzędne \(y\)! A więc o co chodzi \(C(x;y)=C(\cos \alfa ;\sin \alfa) \).
Czym zatem są \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) równe? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i zdobądźmy to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kąt (w sąsiedztwie kąta \(\beta \) ). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dla kąta? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kąt ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kąt ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tablica) \)
Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej \(y\) ; wartość cosinusa kąta - współrzędna \(x\) ; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą zatem dowolnego obrotu wektora promienia.
Wspomnieliśmy już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\). Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara – negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi \(360()^\circ \) lub \(2\pi \) . Czy można obrócić wektor promienia o \(390()^\circ \) lub o \(-1140()^\circ \)? Oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), zatem wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji \(30()^\circ \) lub \(\dfrac(\pi )(6) \) .
W drugim przypadku \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znaczy wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji \(-60()^\circ \) lub \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o \(360()^\circ \cdot m \) lub \(2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą), odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.
Poniższy rysunek przedstawia kąt \(\beta =-60()^\circ \) . Ten sam obraz odpowiada narożnikowi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru \(\beta +360()^\circ \cdot m\) lub \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tablica) \)
Teraz znajomość definicji podstawowych funkcji trygonometrycznych i posługiwanie się nimi okrąg jednostkowy, spróbuj odpowiedzieć, jakie są wartości:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:
Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(tablica)\)
Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: róg do środka \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odpowiada punktowi o współrzędnych \(\left(0;1 \right) \) , zatem:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nie istnieje;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Dalej, kierując się tą samą logiką, dowiadujemy się, że rogi w \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odpowiadają punktom o współrzędnych \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \prawo) \) odpowiednio. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
\(\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)
\(\ Displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nie istnieje
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nie istnieje
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nie istnieje
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nie istnieje
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:
Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Musisz pamiętać lub potrafić to wypisać!! \) !}
Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) podane w poniższej tabeli, należy pamiętać:
Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość prostego zapamiętywania odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusów dla wszystkich trzech miar kąta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), a także wartość tangensa kąta w \(30()^\circ \) . Znając te \(4\) wartości odtworzenie całej tabeli jest dość proste - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\koniec(tablica)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Licznik „\(1 \)” będzie odpowiadał \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a mianownik „\(\sqrt(\text(3)) \)” będzie odpowiadał \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać tylko \(4\) wartości z tabeli.
Współrzędne punktu na okręgu
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu? Oczywiście, że możesz! Wyprowadźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu. Na przykład oto okrąg przed nami:
Dano nam ten punkt \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- środek okręgu. Promień okręgu wynosi \(1,5\) . Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu \(P\) uzyskanych przez obrót punktu \(O\) o \(\delta \) stopni.
Jak widać z rysunku, współrzędna \(x\) punktu \(P\) odpowiada długości odcinka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Długość odcinka \(UK\) odpowiada współrzędnej \(x\) środka okręgu, czyli jest równa \(3\) . Długość odcinka \(KQ\) można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Następnie mamy to dla punktu \(P\) współrzędnej \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu \(P\) . Zatem,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Więc w ogólna perspektywa współrzędne punktów wyznaczają wzory:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tablica) \), Gdzie
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - współrzędne środka okręgu,
\(r\) - promień okręgu,
\(\delta \) - kąt obrotu promienia wektora.
Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!
Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze je zrozumieć, na pierwszy rzut oka złożone koncepcje(co powoduje u wielu uczniów stan przerażenia) i aby mieć pewność, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od samego początku i zrozumiejmy pojęcie kąta.
Pojęcie kąta: radian, stopień
Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miara tego obrotu względem położenia początkowego będzie wynosić narożnik.
Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Cóż, oczywiście, jednostki kąta!
Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.
Nazywa się kąt (jeden stopień). kąt środkowy w okręgu, opartym na łuku kołowym równym części koła. Zatem całe koło składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.
Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje kąt równy, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym wielkości obwodu.
Kąt w radianach to kąt środkowy okręgu oparty na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, wpadłeś na to? Jeśli nie, to rozwiążmy to na podstawie rysunku.
Zatem rysunek pokazuje kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi koła (długość jest równa długości lub promień jest równy promieniowi długość łuku). Zatem długość łuku oblicza się ze wzoru:
Gdzie jest kąt środkowy w radianach.
Cóż, wiedząc to, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera się w kącie opisanym przez okrąg? Tak, w tym celu musisz pamiętać wzór na obwód. Tutaj jest:
Cóż, teraz skorelujmy te dwa wzory i przekonajmy się, że kąt opisany przez okrąg jest równy. Oznacza to, że korelując wartość w stopniach i radianach, otrzymamy to. Odpowiednio, . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radian” zostało pominięte, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.
Ile jest tam radianów? Zgadza się!
Rozumiem? Następnie napraw to:
Masz trudności? Potem spójrz odpowiedzi:
Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta
Opracowaliśmy więc pojęcie kąta. Ale czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, pomoże nam trójkąt prostokątny.
Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogami są dwie pozostałe boki i (te sąsiadujące z kątem prostym), a jeśli weźmiemy pod uwagę nogi w odniesieniu do kąta, to noga jest sąsiednią nogą, a noga jest przeciwna. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?
Sinus kąta- jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie.
Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie.
Tangens kąta- jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).
W naszym trójkącie.
Kotansa kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).
W naszym trójkącie.
Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:
Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;
Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.
Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:
Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale cosinus kąta możemy obliczyć z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens zależą wyłącznie od wielkości kąta.
Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!
Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.
No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta.
Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).
Rozumiejąc pojęcia stopnia i radiana, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym. Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.
Jak widać, okrąg ten jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku współrzędnych, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).
Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej osi i współrzędnej osi. Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.
Czemu równy jest trójkąt? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, co oznacza . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:
Czemu równy jest trójkąt? Ależ oczywiście, ! Zastąp wartość promienia tym wzorem i uzyskaj:
Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie z tego sprawę i okażesz się tylko liczbami? Której współrzędnej odpowiada? Cóż, oczywiście, współrzędne! I jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, współrzędne! Zatem kropka.
Jakie zatem są i równe? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i otrzymajmy to, a.
A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (w sąsiedztwie kąta). Jakie są wartości sinusa, cosinusa, tangens i cotangens dla kąta? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą zatem dowolnego obrotu wektora promienia.
Wspomniano już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara - negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi lub. Czy można obrócić wektor promienia do lub do? Oczywiście, że możesz! Zatem w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.
W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.
Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)
Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:
Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:
Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:
Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: kąt w odpowiada punktowi o współrzędnych, zatem:
Nie istnieje;
Dalej, trzymając się tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:
Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:
Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i, podane w poniższej tabeli, trzeba pamiętać:
Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość proste do zapamiętania odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także o wartości tangensa kąta. Znając te wartości, dość łatwo jest przywrócić całą tabelę - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:
Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” będzie zgodny i mianownik „ ” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać wszystkie wartości z tabeli.
Współrzędne punktu na okręgu
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?
Oczywiście, że możesz! Wyciągnijmy to ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu.
Na przykład oto okrąg przed nami:
Wiemy, że punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót punktu o stopnie.
Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość odcinka odpowiada współrzędnej środka okręgu, czyli jest równa. Długość odcinka można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:
Następnie mamy to dla współrzędnej punktu.
Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. Zatem,
Ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów określają wzory:
Współrzędne środka okręgu,
Promień okręgu,
Kąt obrotu promienia wektora.
Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:
Cóż, wypróbujmy te formuły, ćwicząc znajdowanie punktów na okręgu?
1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
4. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.
5. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.
Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?
Rozwiąż te pięć przykładów (lub bądź w tym dobry), a nauczysz się je znajdować!
1.
Możesz to zauważyć. Wiemy jednak, co odpowiada pełnemu obrotowi punktu początkowego. W ten sposób pożądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy skręcie. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:
2. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:
Możesz to zauważyć. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu początkowego. W ten sposób pożądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy skręcie. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:
Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Przypominamy sobie ich znaczenie i otrzymujemy:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
3. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:
Możesz to zauważyć. Przedstawmy dany przykład na rysunku:
Promień tworzy kąty równe i z osią. Wiedząc, że wartości tabeli cosinus i sinus są równe i po ustaleniu, że cosinus przyjmuje tutaj wartość ujemną, a sinus przyjmuje wartość dodatnią, mamy:
Takie przykłady są omówione bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów na redukcję funkcji trygonometrycznych w tym temacie.
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
4.
Kąt obrotu promienia wektora (według warunku)
Aby określić odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:
Jak widać, wartość jest dodatnia, a wartość jest ujemna. Znając wartości tabelaryczne odpowiednich funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy, że:
Podstawmy otrzymane wartości do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie
Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie
Promień okręgu (według warunku)
Kąt obrotu promienia wektora (według warunku).
Podstawmy wszystkie wartości do wzoru i otrzymajmy:
i - wartości tabeli. Zapamiętajmy je i podstawmy je do wzoru:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY
Sinus kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej (dalekiej) do strony sąsiedniej (bliskiej).
Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) strony do przeciwnej (dalekiej) strony.
