Edhe funksionin.

Madjeështë një funksion, shenja e të cilit nuk ndryshon kur shenja ndryshon x.

x barazia vlen f(–x) = f(x). Shenjë x nuk ndikon në shenjë y.

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ (Fig. 1).

Shembuj të një funksioni çift:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Shpjegim:
Le të marrim funksionin y = x 2 ose y = –x 2 .
Për çdo vlerë x funksioni është pozitiv. Shenjë x nuk ndikon në shenjë y. Grafiku është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ. Ky është një funksion i barabartë.

Funksioni tek.

E çuditshmeështë një funksion, shenja e të cilit ndryshon kur shenja ndryshon x.

Me fjalë të tjera, për çdo vlerë x barazia vlen f(–x) = –f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (Fig. 2).

Shembuj të funksionit tek:

y= mëkat x

y = x 3

y = –x 3

Shpjegim:

Le të marrim funksionin y = – x 3 .
Të gjitha kuptimet në do të ketë një shenjë minus. Kjo është një shenjë x ndikon në shenjë y. Nëse ndryshorja e pavarur është numër pozitiv, atëherë funksioni është pozitiv, nëse ndryshorja e pavarur është një numër negativ, atëherë funksioni është negativ: f(–x) = –f(x).
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën. Ky është një funksion i rastësishëm.

Vetitë e funksioneve çift dhe tek:

SHËNIM:

Jo të gjitha funksionet janë çift ose tek. Ka funksione që nuk i binden një gradimi të tillë. Për shembull, funksioni rrënjë në = √X nuk zbatohet as për funksionet çift ose tek (Fig. 3). Kur renditni vetitë e funksioneve të tilla, duhet të jepet një përshkrim i duhur: as çift, as tek.

Funksionet periodike.

Siç e dini, periodiciteti është përsëritja e proceseve të caktuara në një interval të caktuar. Funksionet që përshkruajnë këto procese quhen funksionet periodike. Domethënë, këto janë funksione në grafikët e të cilëve ka elementë që përsëriten në intervale të caktuara numerike.

Njëjtësia dhe çudia e një funksioni janë një nga vetitë kryesore të tij, dhe barazia zë një pjesë mbresëlënëse të kursit të matematikës shkollore. Ai përcakton në masë të madhe sjelljen e funksionit dhe lehtëson shumë ndërtimin e grafikut përkatës.

Le të përcaktojmë paritetin e funksionit. Në përgjithësi, funksioni në studim konsiderohet edhe nëse për vlerat e kundërta të ndryshores së pavarur (x) të vendosura në domenin e tij të përkufizimit, vlerat përkatëse të y (funksionit) rezultojnë të jenë të barabarta.

Le të japim një përkufizim më të rreptë. Konsideroni një funksion f (x), i cili është përcaktuar në domenin D. Do të jetë edhe nëse për çdo pikë x të vendosur në domenin e përkufizimit:

• -x (pika e kundërt) gjithashtu qëndron në këtë fushë,

• f(-x) = f(x).

Nga përkufizimi i mësipërm rrjedh kushti i nevojshëm për domenin e përcaktimit të një funksioni të tillë, përkatësisht, simetria në lidhje me pikën O, e cila është origjina e koordinatave, pasi nëse një pikë b përmbahet në domenin e përkufizimit të një funksioni çift. funksion, atëherë në këtë fushë qëndron edhe pika përkatëse b. Nga sa më sipër, pra, rrjedh përfundimi: funksioni çift ka një formë simetrike në lidhje me boshtin e ordinatës (Oy).

Si të përcaktohet barazia e një funksioni në praktikë?

Le të specifikohet duke përdorur formulën h(x)=11^x+11^(-x). Duke ndjekur algoritmin që rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi, së pari shqyrtojmë fushën e tij të përkufizimit. Natyrisht, është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit, domethënë, kushti i parë është i plotësuar.

Hapi tjetër është zëvendësimi i vlerës së kundërt (-x) për argumentin (x).
Ne marrim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Meqenëse mbledhja plotëson ligjin komutativ (komutativ), është e qartë se h(-x) = h(x) dhe varësia funksionale e dhënë është çift.

Le të kontrollojmë paritetin e funksionit h(x)=11^x-11^(-x). Duke ndjekur të njëjtin algoritëm, marrim se h(-x) = 11^(-x) -11^x. Duke nxjerrë minusin, në fund kemi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prandaj, h(x) është tek.

Meqë ra fjala, duhet kujtuar se ka funksione që nuk mund të klasifikohen sipas këtyre kritereve, ato nuk quhen as çift e as tek.

Edhe funksionet kanë një numër karakteristikash interesante:

• si rezultat i shtimit të funksioneve të ngjashme, ata marrin një të barabartë;
• si rezultat i zbritjes së funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• madje, edhe madje;
• si rezultat i shumëzimit të dy funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• si rezultat i shumëzimit të funksioneve tek dhe çift, fitohet një tek;
• si rezultat i ndarjes së funksioneve tek dhe çift, fitohet tek;
• derivati ​​i një funksioni të tillë është tek;
• Nëse vendosni në katror një funksion tek, ju merrni një çift.

Pariteti i një funksioni mund të përdoret për të zgjidhur ekuacionet.

Për të zgjidhur një ekuacion si g(x) = 0, ku ana e majte ekuacioni është një funksion çift, do të jetë mjaft e mjaftueshme për të gjetur zgjidhjet e tij për vlerat jo negative të ndryshores. Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të kombinohen me numrat e kundërt. Njëri prej tyre i nënshtrohet verifikimit.

Kjo përdoret gjithashtu me sukses për të zgjidhur problemet jo standarde me një parametër.

Për shembull, a ka ndonjë vlerë të parametrit a për të cilin ekuacioni 2x^6-x^4-ax^2=1 do të ketë tre rrënjë?

Nëse marrim parasysh se ndryshorja hyn në ekuacion me fuqi çift, atëherë është e qartë se zëvendësimi i x me - x nuk do të ndryshojë ekuacionin e dhënë. Nga kjo rrjedh se nëse një numër i caktuar është rrënja e tij, atëherë edhe numri i kundërt është rrënja. Përfundimi është i qartë: rrënjët e një ekuacioni që janë të ndryshme nga zero përfshihen në grupin e zgjidhjeve të tij në "çifte".

Është e qartë se vetë numri nuk është 0, domethënë, numri i rrënjëve të një ekuacioni të tillë mund të jetë vetëm çift dhe, natyrisht, për çdo vlerë të parametrit nuk mund të ketë tre rrënjë.

Por numri i rrënjëve të ekuacionit 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 mund të jetë tek, dhe për çdo vlerë të parametrit. Në të vërtetë, është e lehtë të kontrollohet se grupi i rrënjëve të këtij ekuacioni përmban zgjidhje "në çifte". Le të kontrollojmë nëse 0 është një rrënjë. Kur e zëvendësojmë në ekuacion, marrim 2=2. Kështu, përveç atyre “të çiftëzuara”, 0 është edhe rrënjë, e cila vërteton numrin e tyre tek.

madje, nëse për të gjitha \(x\) nga domeni i tij i përkufizimit është e vërtetë: \(f(-x)=f(x)\) .

Grafiku i një funksioni çift është simetrik rreth boshtit \(y\):

Shembull: funksioni \(f(x)=x^2+\cos x\) është çift, sepse \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\trekëndëshi i zi\) Thërret funksioni \(f(x)\). i çuditshëm, nëse për të gjitha \(x\) nga domeni i tij i përkufizimit është e vërtetë: \(f(-x)=-f(x)\) .

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën:

Shembull: funksioni \(f(x)=x^3+x\) është tek sepse \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funksionet që nuk janë as çift e as tek quhen funksione pamje e përgjithshme. Një funksion i tillë gjithmonë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si shuma e një funksioni çift dhe tek.

Për shembull, funksioni \(f(x)=x^2-x\) është shuma e funksionit çift \(f_1=x^2\) dhe tek \(f_2=-x\) .

\(\drejtkëndëshi i zi\) Disa veti:

1) Prodhimi dhe herësi i dy funksioneve me të njëjtin paritet është një funksion çift.

2) Prodhimi dhe herësi i dy funksioneve të pariteteve të ndryshme është një funksion tek.

3) Shuma dhe ndryshimi i funksioneve çift - funksion çift.

4) Shuma dhe diferenca e funksioneve tek - funksion tek.

5) Nëse \(f(x)\) është një funksion çift, atëherë ekuacioni \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ka një rrënjë unike nëse dhe vetëm kur \( x =0\) .

6) Nëse \(f(x)\) është një funksion çift ose tek, dhe ekuacioni \(f(x)=0\) ka një rrënjë \(x=b\), atëherë ky ekuacion do të ketë domosdoshmërisht një të dytë rrënja \(x =-b\) .

\(\trekëndëshi i zi\) Funksioni \(f(x)\) quhet periodik në \(X\) nëse për një numër \(T\ne 0\) vlen si vijon: \(f(x)=f( x+T) \) , ku \(x, x+T\në X\) . \(T\) më e vogël për të cilën plotësohet kjo barazi quhet periudha kryesore (kryesore) e funksionit.

Një funksion periodik ka çdo numër të formës \(nT\) , ku \(n\in \mathbb(Z)\) do të jetë gjithashtu një pikë.

Shembull: çdo funksioni trigonometrikështë periodik;
për funksionet \(f(x)=\sin x\) dhe \(f(x)=\cos x\) periudha kryesore është e barabartë me \(2\pi\), për funksionet \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) dhe \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) periudha kryesore është e barabartë me \(\pi\) .

Për të ndërtuar një grafik të një funksioni periodik, mund ta vizatoni grafikun e tij në çdo segment me gjatësi \(T\) (periudha kryesore); atëherë grafiku i të gjithë funksionit plotësohet duke zhvendosur pjesën e ndërtuar me një numër të plotë periodash djathtas dhe majtas:

\(\blacktriangleright\) Domeni \(D(f)\) i funksionit \(f(x)\) është një grup i përbërë nga të gjitha vlerat e argumentit \(x\) për të cilin funksioni ka kuptim (është përcaktuar).

Shembull: funksioni \(f(x)=\sqrt x+1\) ka një domen të përkufizimit: \(x\in

Detyra 1 #6364

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Në cilat vlera të parametrit \(a\) bën ekuacioni

ka një zgjidhje të vetme?

Vini re se meqenëse \(x^2\) dhe \(\cos x\) janë funksione çift, nëse ekuacioni ka një rrënjë \(x_0\) , ai do të ketë gjithashtu një rrënjë \(-x_0\) .
Në të vërtetë, le të jetë \(x_0\) një rrënjë, domethënë barazia \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) drejtë. Le të zëvendësojmë \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Kështu, nëse \(x_0\ne 0\) , atëherë ekuacioni do të ketë tashmë të paktën dy rrënjë. Prandaj, \(x_0=0\) . Pastaj:

Ne morëm dy vlera për parametrin \(a\). Vini re se kemi përdorur faktin që \(x=0\) është pikërisht rrënja e ekuacionit origjinal. Por asnjëherë nuk e kemi shfrytëzuar faktin që ai është i vetmi. Prandaj, ju duhet të zëvendësoni vlerat rezultuese të parametrit \(a\) në ekuacionin origjinal dhe të kontrolloni se cila specifike \(a\) rrënja \(x=0\) do të jetë me të vërtetë unike.

1) Nëse \(a=0\) , atëherë ekuacioni do të marrë formën \(2x^2=0\) . Natyrisht, ky ekuacion ka vetëm një rrënjë \(x=0\) . Prandaj, vlera \(a=0\) na përshtatet.

2) Nëse \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atëherë ekuacioni do të marrë formën \ Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ Sepse \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Kjo \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Rrjedhimisht, vlerat e anës së djathtë të ekuacionit (*) i përkasin segmentit \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Meqenëse \(x^2\geqslant 0\) , atëherë ana e majtë e ekuacionit (*) është më e madhe ose e barabartë me \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Kështu, barazia (*) mund të jetë e vërtetë vetëm kur të dyja anët e ekuacionit janë të barabarta me \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Dhe kjo do të thotë se \[\fillimi(rastet) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(rastet) \quad\Shigjeta e majta e djathta\katër \fillimi(rastet) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \fund(rastet)\katër\Shigjeta e majta djathtas\katër x=0\] Prandaj, vlera \(a=-\mathrm(tg)\,1\) na përshtatet.

Përgjigje:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Detyra 2 #3923

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave grafiku i funksionit \

simetrike për origjinën.

Nëse grafiku i një funksioni është simetrik në lidhje me origjinën, atëherë një funksion i tillë është tek, domethënë \(f(-x)=-f(x)\) vlen për çdo \(x\) nga fusha e përkufizimit të funksionit. Kështu, kërkohet të gjenden ato vlera të parametrave për të cilat \(f(-x)=-f(x).\)

\[\fillim(i rreshtuar) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\majtas(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightshigjeta \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\djathtas)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \fund (lidhur)\]

Ekuacioni i fundit duhet të plotësohet për të gjithë \(x\) nga domeni i \(f(x)\), prandaj, \(\sin(2\pi a)=0 \Djathtas a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Përgjigje:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Detyra 3 #3069

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave ekuacioni \ ka 4 zgjidhje, ku \(f\) është një funksion i barabartë periodik me periodë \(T=\dfrac(16)3\) të përcaktuara në të gjithë rreshtin numerik , dhe \(f(x)=ax^2\) për \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Detyrë nga abonentët)

Meqenëse \(f(x)\) është një funksion çift, grafiku i tij është simetrik rreth boshtit të ordinatave, prandaj, kur \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Kështu, kur \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), dhe ky është një segment me gjatësi \(\dfrac(16)3\) , funksion \(f(x)=ax^2\) .

1) Le të \(a>0\) . Atëherë grafiku i funksionit \(f(x)\) do të duket kështu:


Pastaj, në mënyrë që ekuacioni të ketë 4 zgjidhje, është e nevojshme që grafiku \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) të kalojë në pikën \(A\) :


Prandaj, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Shigjeta majtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\fund(lidhur)\fund(mbledhur)\djathtas. \quad\Shigjeta djathtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(i rreshtuar) \end( mbledhur)\ drejtë.\] Meqenëse \(a>0\) , atëherë \(a=\dfrac(18)(23)\) është i përshtatshëm.

2) Le të \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Është e nevojshme që grafiku \(g(x)\) të kalojë nëpër pikën \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \majtas[\begin(mbled)\begin(linjëzuar) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end (lidhur) \end (mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Rasti kur \(a=0\) nuk është i përshtatshëm, që atëherë \(f(x)=0\) për të gjitha \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) dhe ekuacioni do të ketë vetëm 1 rrënjë.

Përgjigje:

\(a\në \majtas\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\djathtas\)

Detyra 4 #3072

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e \(a\) , për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka të paktën një rrënjë.

(Detyrë nga abonentët)

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) dhe \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funksioni \(g(x)\) është çift dhe ka një pikë minimale \(x=0\) (dhe \(g(0)=49\) ).
Funksioni \(f(x)\) për \(x>0\) është në rënie, dhe për \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Në të vërtetë, kur \(x>0\) moduli i dytë do të hapet pozitivisht (\(|x|=x\) ), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i parë, \(f(x)\) do të jetë i barabartë në \( kx+A\) , ku \(A\) është shprehja e \(a\) dhe \(k\) është e barabartë me \(-9\) ose \(-3\) . Kur \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Le të gjejmë vlerën e \(f\) në pikën maksimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve \(f\) dhe \(g\) të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ \\]

Përgjigje:

\(a\në \(-7\)\kupë\)

Detyra 5 #3912

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka gjashtë zgjidhje të ndryshme.

Le të bëjmë zëvendësimin \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Atëherë ekuacioni do të marrë formën \ Ne gradualisht do të shkruajmë kushtet në të cilat ekuacioni origjinal do të ketë gjashtë zgjidhje.
Vini re se ekuacioni kuadratik \((*)\) mund të ketë maksimum dy zgjidhje. Çdo ekuacion kub \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) mund të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Prandaj, nëse ekuacioni \((*)\) ka dy zgjidhje të ndryshme (pozitive!, pasi \(t\) duhet të jetë më i madh se zero) \(t_1\) dhe \(t_2\) , atëherë, duke bërë të kundërtën zëvendësim, marrim: \[\majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(lidhur) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\fund (lidhur)\fund (i mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si \(\sqrt2\) në një farë mase, për shembull, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atëherë ekuacioni i parë i grupit do të rishkruhet në formë \ Siç kemi thënë tashmë, çdo ekuacion kub nuk ka më shumë se tre zgjidhje, prandaj, çdo ekuacion në grup do të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Kjo do të thotë që i gjithë grupi nuk do të ketë më shumë se gjashtë zgjidhje.
Kjo do të thotë që që ekuacioni origjinal të ketë gjashtë zgjidhje, ekuacioni kuadratik \((*)\) duhet të ketë dy zgjidhje të ndryshme, dhe çdo ekuacion kub që rezulton (nga grupi) duhet të ketë tre zgjidhje të ndryshme (dhe jo një zgjidhje të vetme të një ekuacion duhet të përkojë me cilindo - me vendim të të dytit!)
Natyrisht, nëse ekuacioni kuadratik \((*)\) ka një zgjidhje, atëherë nuk do të marrim gjashtë zgjidhje për ekuacionin origjinal.

Kështu, plani i zgjidhjes bëhet i qartë. Le të shkruajmë kushtet që duhet të plotësohen pikë për pikë.

1) Që ekuacioni \((*)\) të ketë dy zgjidhje të ndryshme, diskriminuesi i tij duhet të jetë pozitiv: \

2) Është gjithashtu e nevojshme që të dyja rrënjët të jenë pozitive (pasi \(t>0\) ). Nëse produkti i dy rrënjëve është pozitiv dhe shuma e tyre është pozitive, atëherë vetë rrënjët do të jenë pozitive. Prandaj, ju duhet: \[\fillimi(rastet) 12-a>0\\-(a-10)>0\fund(rastet)\quad\Shigjeta e majta e djathta\katër a<10\]

Kështu, ne tashmë i kemi dhënë vetes dy rrënjë të ndryshme pozitive \(t_1\) dhe \(t_2\) .

3) Le të shohim këtë ekuacion \ Për çfarë \(t\) do të ketë tre zgjidhje të ndryshme?
Konsideroni funksionin \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Mund të faktorizohet: \ Prandaj, zerot e tij janë: \(x=-1;2\) .
Nëse gjejmë derivatin \(f"(x)=3x^2-6x\) , atëherë marrim dy pika ekstreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prandaj, grafiku duket si ky:


Ne shohim se çdo vijë horizontale \(y=k\) , ku \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) kishte tre zgjidhje të ndryshme, është e nevojshme që \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Kështu, ju duhet: \[\fillimi (rastet) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Le të vërejmë gjithashtu menjëherë se nëse numrat \(t_1\) dhe \(t_2\) janë të ndryshëm, atëherë numrat \(\log_(\sqrt2)t_1\) dhe \(\log_(\sqrt2)t_2\) do të jenë të ndryshme, që do të thotë ekuacionet \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Dhe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) do të ketë rrënjë të ndryshme.
Sistemi \((**)\) mund të rishkruhet si më poshtë: \[\fillimi (rastet) 1

Kështu, ne kemi përcaktuar se të dy rrënjët e ekuacionit \((*)\) duhet të qëndrojnë në intervalin \((1;4)\) . Si të shkruhet kjo gjendje?
Ne nuk do t'i shkruajmë rrënjët në mënyrë eksplicite.
Merrni parasysh funksionin \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafiku i saj është një parabolë me degë lart, e cila ka dy pika kryqëzimi me boshtin x (e kemi shkruar këtë kusht në paragrafin 1)). Si duhet të duket grafiku i tij që pikat e prerjes me boshtin x të jenë në intervalin \((1;4)\)? Kështu që:


Së pari, vlerat \(g(1)\) dhe \(g(4)\) të funksionit në pikat \(1\) dhe \(4\) duhet të jenë pozitive, dhe së dyti, kulmi i parabola \(t_0\ ) gjithashtu duhet të jetë në intervalin \((1;4)\) . Prandaj, ne mund të shkruajmë sistemin: \[\fillimi(rastet) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ka gjithmonë të paktën një rrënjë \(x=0\) . Kjo do të thotë se për të përmbushur kushtet e problemit është e nevojshme që ekuacioni \

kishte katër rrënjë të ndryshme, të ndryshme nga zero, që përfaqësojnë, së bashku me \(x=0\), një progresion aritmetik.

Vini re se funksioni \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) është çift, që do të thotë se nëse \(x_0\) është rrënja e ekuacionit \( (*)\ ) , atëherë \(-x_0\) do të jetë gjithashtu rrënja e tij. Atëherë është e nevojshme që rrënjët e këtij ekuacioni të jenë numra të renditur në rend rritës: \(-2d, -d, d, 2d\) (pastaj \(d>0\)). Pikërisht atëherë këta pesë numra do të formojnë një progresion aritmetik (me ndryshimin \(d\)).

Që këto rrënjë të jenë numrat \(-2d, -d, d, 2d\) , është e nevojshme që numrat \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) të jenë rrënjët e ekuacioni \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Pastaj, sipas teoremës së Vieta:

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) dhe \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funksioni \(g(x)\) ka një pikë maksimale \(x=0\) (dhe \(g_(\tekst(lart))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivati ​​zero: \(x=0\) . Kur \(x<0\) имеем: \(g">0\) , për \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funksioni \(f(x)\) për \(x>0\) po rritet, dhe për \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Në të vërtetë, kur \(x>0\) moduli i parë do të hapet pozitivisht (\(|x|=x\)), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i dytë, \(f(x)\) do të jetë i barabartë në \( kx+A\) , ku \(A\) është shprehja e \(a\) , dhe \(k\) është e barabartë me \(13-10=3\) ose \(13+10 =23\) . Kur \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Le të gjejmë vlerën e \(f\) në pikën minimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve \(f\) dhe \(g\) të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ Duke zgjidhur këtë grup sistemesh, marrim përgjigjen: \\]

Përgjigje:

\(a\në \(-2\)\kupë\)

Konvertimi i grafikëve.

Përshkrimi verbal i funksionit.

Metoda grafike.

Metoda grafike e specifikimit të një funksioni është më vizuale dhe përdoret shpesh në teknologji. Në analizën matematikore, si ilustrim përdoret metoda grafike e specifikimit të funksioneve.

Grafiku i funksionit f është bashkësia e të gjitha pikave (x;y) të planit koordinativ, ku y=f(x), dhe x “përshkon” gjithë domenin e përkufizimit të këtij funksioni.

Një nëngrup i planit koordinativ është një grafik i një funksioni nëse nuk ka më shumë se një pikë të përbashkët me ndonjë drejtëz paralele me boshtin Oy.

Shembull. A janë figurat e paraqitura më poshtë grafikët e funksioneve?

Avantazhi i një detyre grafike është qartësia e saj. Ju mund të shihni menjëherë se si funksioni sillet, ku rritet dhe ku zvogëlohet. Nga grafiku mund të zbuloni menjëherë disa karakteristika të rëndësishme të funksionit.

Në përgjithësi, metodat analitike dhe grafike të përcaktimit të një funksioni shkojnë paralelisht. Puna me formulën ndihmon për të ndërtuar një grafik. Dhe grafiku shpesh sugjeron zgjidhje që as nuk do t'i vini re në formulë.

Pothuajse çdo student i di tre mënyrat për të përcaktuar një funksion që sapo shikuam.

Le të përpiqemi t'i përgjigjemi pyetjes: "A ka mënyra të tjera për të përcaktuar një funksion?"

Ekziston një mënyrë e tillë.

Funksioni mund të specifikohet në mënyrë mjaft të qartë me fjalë.

Për shembull, funksioni y=2x mund të specifikohet me përshkrimin verbal të mëposhtëm: çdo vlerë reale e argumentit x shoqërohet me vlerën e tij të dyfishtë. Rregulli është vendosur, funksioni është specifikuar.

Për më tepër, mund të specifikoni verbalisht një funksion që është jashtëzakonisht i vështirë, nëse jo i pamundur, të përcaktohet duke përdorur një formulë.

Për shembull: çdo vlerë e argumentit natyror x shoqërohet me shumën e shifrave që përbëjnë vlerën e x. Për shembull, nëse x=3, atëherë y=3. Nëse x=257, atëherë y=2+5+7=14. Dhe kështu me radhë. Është problematike ta shkruajmë këtë në një formulë. Por shenja është e lehtë për t'u bërë.

Metoda e përshkrimit verbal është një metodë mjaft e rrallë e përdorur. Por ndonjëherë ndodh.

Nëse ekziston një ligj i korrespondencës një-me-një midis x dhe y, atëherë ekziston një funksion. Cili ligj, në çfarë forme shprehet - një formulë, një tabletë, një grafik, fjalë - nuk e ndryshon thelbin e çështjes.

Le të shqyrtojmë funksionet, domenet e përkufizimit të të cilëve janë simetrike në lidhje me origjinën, d.m.th. për këdo X nga fusha e numrit të përkufizimit (- X) gjithashtu i përket fushës së përkufizimit. Ndër këto funksione janë çift ​​dhe tek.

Përkufizimi. Funksioni f quhet madje, nëse për ndonjë X nga fusha e tij e përkufizimit

Shembull. Merrni parasysh funksionin

Është madje. Le ta kontrollojmë.

Për këdo X barazitë janë të kënaqura

Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i këtij funksioni.

Përkufizimi. Funksioni f quhet i çuditshëm, nëse për ndonjë X nga fusha e tij e përkufizimit

Shembull. Merrni parasysh funksionin

Është e çuditshme. Le ta kontrollojmë.

Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti i numrave, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën (0;0).

Për këdo X barazitë janë të kënaqura

Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i këtij funksioni.

Grafikët e paraqitur në figurën e parë dhe të tretë janë simetrikë në lidhje me boshtin e ordinatave dhe grafikët e paraqitur në figurën e dytë dhe të katërt janë simetrikë në lidhje me origjinën.

Cilët nga funksionet grafikët e të cilëve janë paraqitur në figura janë çift dhe cilët janë tek?

Fshih Shfaq

Metodat për përcaktimin e një funksioni

Le të jepet funksioni me formulën: y=2x^(2)-3. Duke caktuar çdo vlerë në ndryshoren e pavarur x, mund të llogaritni, duke përdorur këtë formulë, vlerat përkatëse të ndryshores së varur y. Për shembull, nëse x=-0.5, atëherë, duke përdorur formulën, gjejmë se vlera përkatëse e y është y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

Duke marrë çdo vlerë të marrë nga argumenti x në formulën y=2x^(2)-3, mund të llogaritni vetëm një vlerë të funksionit që i korrespondon. Funksioni mund të përfaqësohet si një tabelë:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Duke përdorur këtë tabelë, mund të shihni se për vlerën e argumentit −1 do të korrespondojë vlera e funksionit −3; dhe vlera x=2 do t'i përgjigjet y=0, etj. Është gjithashtu e rëndësishme të dini se çdo vlerë argumenti në tabelë korrespondon me vetëm një vlerë funksioni.

Më shumë funksione mund të specifikohen duke përdorur grafikët. Duke përdorur një grafik, përcaktohet se cila vlerë e funksionit lidhet me një vlerë të caktuar x. Më shpesh, kjo do të jetë një vlerë e përafërt e funksionit.

Funksioni çift dhe tek

Funksioni është madje funksion, kur f(-x)=f(x) për çdo x nga fusha e përkufizimit. Një funksion i tillë do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Funksioni është funksion tek, kur f(-x)=-f(x) për çdo x nga fusha e përkufizimit. Një funksion i tillë do të jetë simetrik në lidhje me origjinën O (0;0) .

Funksioni është jo edhe, as e çuditshme dhe quhet funksioni i përgjithshëm, kur nuk ka simetri rreth boshtit ose origjinës.

Le të shqyrtojmë funksionin e mëposhtëm për barazi:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) me një domen simetrik të përkufizimit në lidhje me origjinën. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Kjo do të thotë se funksioni f(x)=3x^(3)-7x^(7) është tek.

Funksioni periodik

Funksioni y=f(x) , në domenin e të cilit vlen barazia f(x+T)=f(x-T)=f(x) për çdo x quhet funksion periodik me periodë T \neq 0 .

Përsëritja e grafikut të një funksioni në çdo segment të boshtit x që ka gjatësi T.

Intervalet ku funksioni është pozitiv, pra f(x) > 0, janë segmente të boshtit të abshisave që korrespondojnë me pikat e grafikut të funksionit që shtrihen mbi boshtin e abshisave.

f(x) > 0 aktiv (x_(1); x_(2)) \kupë (x_(3); +\infty)

Intervalet ku funksioni është negativ, pra f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ filxhan (x_(2); x_(3))

Funksion i kufizuar

I kufizuar nga poshtëËshtë zakon të thirret një funksion y=f(x), x \në X kur ka një numër A për të cilin pabarazia f(x) \geq A vlen për çdo x \në X.

Një shembull i një funksioni të kufizuar nga poshtë: y=\sqrt(1+x^(2)) pasi y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 për çdo x.

I kufizuar nga lart një funksion y=f(x), x \in X thirret kur ka një numër B për të cilin vlen mosbarazimi f(x) \neq B për çdo x \në X .

Një shembull i një funksioni të kufizuar më poshtë: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] meqënëse y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 për çdo x \in [-1;1] .

I kufizuarËshtë zakon të thirret një funksion y=f(x), x \në X kur ka një numër K > 0 për të cilin mosbarazimi \left | f(x)\djathtas | \neq K për çdo x \në X.

Shembull funksion të kufizuar: y=\sin x është i kufizuar në të gjithë boshtin e numrave, pasi \majtas | \sin x \djathtas | \neq 1.

Funksioni rritës dhe pakësues

Është zakon të flitet për një funksion që rritet në intervalin në shqyrtim si funksion në rritje atehere kur vlerë më të lartë x do t'i përgjigjet një vlere më të madhe të funksionit y=f(x) . Nga kjo rrjedh se duke marrë dy vlera arbitrare të argumentit x_(1) dhe x_(2) nga intervali në shqyrtim, me x_(1) > x_(2) , rezultati do të jetë y(x_(1)) > y(x_(2)).

Një funksion që zvogëlohet në intervalin në shqyrtim quhet funksion në rënie kur një vlerë më e madhe e x korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit y(x) . Nga kjo rrjedh se, duke marrë nga intervali në shqyrtim dy vlera arbitrare të argumentit x_(1) dhe x_(2) dhe x_(1) > x_(2), rezultati do të jetë y(x_(1))< y(x_{2}) .

Rrënjët e funksionitËshtë zakon të quhen pikat në të cilat funksioni F=y(x) pret boshtin e abshisave (ato fitohen duke zgjidhur ekuacionin y(x)=0).

a) Nëse për x > 0 një funksion çift rritet, atëherë ai zvogëlohet për x< 0

b) Kur një funksion çift zvogëlohet në x > 0, atëherë ai rritet në x< 0

c) Kur një funksion tek rritet në x > 0, atëherë ai gjithashtu rritet në x< 0

d) Kur një funksion tek zvogëlohet për x > 0, atëherë do të ulet edhe për x< 0

Ekstreme e funksionit

Pika minimale e funksionit y=f(x) zakonisht quhet një pikë x=x_(0) fqinjësia e së cilës do të ketë pika të tjera (përveç pikës x=x_(0)), dhe për to pabarazia f(x) > f atëherë do të jetë i kënaqur (x_(0)) . y_(min) - përcaktimi i funksionit në pikën min.

Pika maksimale e funksionit y=f(x) zakonisht quhet një pikë x=x_(0) fqinjësia e së cilës do të ketë pika të tjera (përveç pikës x=x_(0)), dhe për to atëherë do të plotësohet pabarazia f(x).< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Kusht i domosdoshëm

Sipas teoremës së Fermatit: f"(x)=0 kur funksioni f(x) që është i diferencueshëm në pikën x_(0) do të ketë një ekstrem në këtë pikë.

Gjendje e mjaftueshme

1. Kur derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, atëherë x_(0) do të jetë pika minimale;
2. x_(0) - do të jetë një pikë maksimale vetëm kur derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus kur kalon në pikën stacionare x_(0) .

Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni në një interval

Hapat e llogaritjes:

1. Kërkohet derivati ​​f"(x);
2. Gjenden pikat stacionare dhe kritike të funksionit dhe zgjidhen ato që i përkasin segmentit;
3. Vlerat e funksionit f(x) gjenden në stacionare dhe pikat kritike dhe skajet e segmentit. Sa më i vogël nga rezultatet e fituara do të jetë vlera më e ulët funksione, dhe me shume - me e madhja.