Disa njerëz e trajtojnë fjalën "përparim" me kujdes, si një term shumë kompleks nga seksionet matematikë e lartë. Ndërkaq, progresioni më i thjeshtë aritmetik është puna e taksimatësit (aty ku ende ekzistojnë). Dhe kuptoni thelbin (dhe në matematikë nuk ka asgjë më të rëndësishme sesa "marrja e thelbit") sekuenca aritmetike Nuk është aq e vështirë pasi të kuptoni disa koncepte themelore.

Sekuenca matematikore e numrave

Një sekuencë numerike zakonisht quhet një seri numrash, secila prej të cilave ka numrin e vet.

a 1 është anëtari i parë i sekuencës;

dhe 2 është termi i dytë i sekuencës;

dhe 7 është anëtari i shtatë i sekuencës;

dhe n është anëtari i n-të i sekuencës;

Megjithatë, asnjë grup arbitrar numrash dhe numrash nuk na intereson. Ne do të përqendrojmë vëmendjen tonë në një sekuencë numerike në të cilën vlera e termit të n-të lidhet me numrin e tij rendor nga një marrëdhënie që mund të formulohet qartë matematikisht. Me fjale te tjera: vlerë numerike Numri n është një funksion i n-së.

a është vlera e një anëtari të një sekuence numerike;

n - e tij numër serik;

f(n) është një funksion, ku numri rendor në sekuencën numerike n është argumenti.

Përkufizimi

Një progresion aritmetik zakonisht quhet një sekuencë numerike në të cilën çdo term pasues është më i madh (më i vogël) se ai i mëparshmi me të njëjtin numër. Formula për termin e n-të të një sekuence aritmetike është si më poshtë:

a n - vlera e anëtarit aktual të progresionit aritmetik;

a n+1 - formula e numrit vijues;

d - ndryshim (numër i caktuar).

Është e lehtë të përcaktohet se nëse diferenca është pozitive (d>0), atëherë çdo anëtar i mëpasshëm i serisë në shqyrtim do të jetë më i madh se ai i mëparshmi dhe një progresion i tillë aritmetik do të rritet.

Në grafikun e mëposhtëm është e lehtë të kuptohet pse sekuenca e numrave quajtur "rritje".

Në rastet kur diferenca është negative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vlera e specifikuar e anëtarit

Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohet vlera e çdo termi arbitrar a n të një progresion aritmetik. Kjo mund të bëhet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale vlerat e të gjithë anëtarëve të progresionit aritmetik, duke filluar nga i pari në atë të dëshiruar. Megjithatë, kjo rrugë nuk është gjithmonë e pranueshme nëse, për shembull, është e nevojshme të gjendet vlera e termit pesëmijë ose tetëmilionësh. Llogaritjet tradicionale do të marrin shumë kohë. Megjithatë, një progresion specifik aritmetik mund të studiohet duke përdorur formula të caktuara. Ekziston gjithashtu një formulë për termin e n-të: vlera e çdo termi të një progresioni aritmetik mund të përcaktohet si shuma e termit të parë të progresionit me diferencën e progresionit, shumëzuar me numrin e termit të dëshiruar, reduktuar me një.

Formula është universale për rritjen dhe uljen e progresionit.

Një shembull i llogaritjes së vlerës së një termi të caktuar

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm të gjetjes së vlerës së anëtarit të n-të të një progresion aritmetik.

Kushti: ekziston një progresion aritmetik me parametra:

Termi i parë i sekuencës është 3;

Diferenca në serinë e numrave është 1.2.

Detyrë: duhet të gjeni vlerën e 214 termave

Zgjidhja: për të përcaktuar vlerën e një termi të caktuar, ne përdorim formulën:

a(n) = a1 + d(n-1)

Duke zëvendësuar të dhënat nga deklarata e problemit në shprehje, kemi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Përgjigje: Termi 214 i vargut është i barabartë me 258.6.

Përparësitë e kësaj metode të llogaritjes janë të dukshme - e gjithë zgjidhja merr jo më shumë se 2 rreshta.

Shuma e një numri të caktuar termash

Shumë shpesh, në një seri të caktuar aritmetike, është e nevojshme të përcaktohet shuma e vlerave të disa prej segmenteve të saj. Për ta bërë këtë, gjithashtu nuk ka nevojë të llogaritni vlerat e secilit term dhe më pas t'i mblidhni ato. Kjo metodë është e zbatueshme nëse numri i termave shuma e të cilëve duhet gjetur është i vogël. Në raste të tjera, është më i përshtatshëm të përdorni formulën e mëposhtme.

Shuma e termave të një progresion aritmetik nga 1 në n është e barabartë me shumën e termave të parë dhe të n-të, shumëzuar me numrin e termit n dhe pjesëtuar me dy. Nëse në formulë vlera e termit të n-të zëvendësohet me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm i artikullit, marrim:

Shembull i llogaritjes

Për shembull, le të zgjidhim një problem me kushtet e mëposhtme:

Termi i parë i sekuencës është zero;

Diferenca është 0.5.

Problemi kërkon përcaktimin e shumës së termave të serisë nga 56 në 101.

Zgjidhje. Le të përdorim formulën për përcaktimin e sasisë së progresionit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Së pari, ne përcaktojmë shumën e vlerave të 101 termave të progresionit duke zëvendësuar kushtet e dhëna të problemit tonë në formulën:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Natyrisht, për të gjetur shumën e termave të progresionit nga 56-ta në 101, është e nevojshme të zbritet S 55 nga S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Kështu, shuma e progresionit aritmetik për këtë shembull është:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Shembull i zbatimit praktik të progresionit aritmetik

Në fund të artikullit, le të kthehemi te shembulli i një sekuence aritmetike të dhënë në paragrafin e parë - një taksimetër (matësi i makinës së taksive). Le të shqyrtojmë këtë shembull.

Hipja në taksi (që përfshin 3 km udhëtim) ​​kushton 50 rubla. Çdo kilometër pasues paguhet në masën 22 rubla/km. Distanca e udhëtimit është 30 km. Llogaritni koston e udhëtimit.

1. Le të hedhim 3 km të parë, çmimi i të cilave përfshihet në koston e uljes.

30 - 3 = 27 km.

2. Llogaritja e mëtejshme nuk është gjë tjetër veçse analizimi i një serie numrash aritmetike.

Numri i anëtarëve - numri i kilometrave të udhëtuara (minus tre të parët).

Vlera e anëtarit është shuma.

Termi i parë në këtë problem do të jetë i barabartë me 1 = 50 rubla.

Diferenca e progresionit d = 22 r.

numri që na intereson është vlera e termit (27+1)-të të progresionit aritmetik - leximi i njehsorit në fund të kilometrit të 27-të është 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Llogaritjet e të dhënave kalendarike për një periudhë arbitrare të gjatë bazohen në formula që përshkruajnë sekuenca të caktuara numerike. Në astronomi, gjatësia e orbitës varet gjeometrikisht nga distanca e trupit qiellor nga ylli. Për më tepër, seri të ndryshme numrash përdoren me sukses në statistika dhe fusha të tjera të aplikuara të matematikës.

Një lloj tjetër i sekuencës së numrave është gjeometrik

Progresioni gjeometrik karakterizohet nga ritme më të mëdha ndryshimi në krahasim me progresionin aritmetik. Nuk është rastësi që në politikë, sociologji dhe mjekësi, për të treguar shpejtësinë e madhe të përhapjes së një dukurie të caktuar, për shembull, një sëmundje gjatë një epidemie, thonë se procesi zhvillohet në progresion gjeometrik.

Termi N i serisë së numrave gjeometrikë ndryshon nga ai i mëparshmi në atë që shumëzohet me një numër konstant - emëruesi, për shembull, termi i parë është 1, emëruesi është përkatësisht i barabartë me 2, atëherë:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vlera e termit aktual të progresionit gjeometrik;

b n+1 - formula e termit vijues të progresionit gjeometrik;

q është emëruesi i progresionit gjeometrik (një numër konstant).

Nëse grafiku i një progresion aritmetik është një vijë e drejtë, atëherë një progresion gjeometrik paraqet një pamje paksa të ndryshme:

Ashtu si në rastin e aritmetikës, progresioni gjeometrik ka një formulë për vlerën e një termi arbitrar. Çdo term i n-të i një progresioni gjeometrik është i barabartë me produktin e termit të parë dhe emëruesin e progresionit në fuqinë e n reduktuar me një:

Shembull. Kemi një progresion gjeometrik me termin e parë të barabartë me 3 dhe emëruesin e progresionit të barabartë me 1.5. Le të gjejmë termin e 5-të të progresionit

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Shuma e një numri të caktuar termash llogaritet gjithashtu duke përdorur një formulë të veçantë. Shuma e n termave të parë të një progresioni gjeometrik është e barabartë me diferencën midis produktit të mandatit të n-të të progresionit dhe emëruesit të tij dhe anëtarit të parë të progresionit, pjesëtuar me emëruesin e reduktuar me një:

Nëse b n zëvendësohet duke përdorur formulën e diskutuar më sipër, vlera e shumës së n termave të parë të serisë së numrave në shqyrtim do të marrë formën:

Shembull. Progresioni gjeometrik fillon me termin e parë të barabartë me 1. Emëruesi është vendosur në 3. Le të gjejmë shumën e tetë anëtarëve të parë.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Llogaritësi online.
Zgjidhja e një progresion aritmetik.
Jepet: a n , d, n
Gjeni: a 1

Ky program matematikor gjen \(a_1\) të një progresion aritmetik bazuar në numrat e specifikuar nga përdoruesi \(a_n, d\) dhe \(n\).
Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa. Për më tepër, numri thyesor mund të futet në formën e një thyese dhjetore (\(2.5\)) dhe në formën e një fraksioni të zakonshëm (\(-5\frac(2)(7)\)).

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Ky kalkulator online mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e mesme kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni njohur me rregullat për futjen e numrave, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e numrave

Numrat \(a_n\) dhe \(d\) mund të specifikohen jo vetëm si numra të plotë, por edhe si thyesa.
Numri \(n\) mund të jetë vetëm një numër i plotë pozitiv.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesët e plota dhe thyesore në thyesat dhjetore mund të ndahen ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si 2.5 ose si 2.5

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Hyrja:
Rezultati: \(-\frac(2)(3)\)

E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja:
Rezultati: \(-1\frac(2)(3)\)

Futni numrat a n, d, n

Gjeni një 1

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Sekuenca e numrave

Në praktikën e përditshme, numërimi i objekteve të ndryshme shpesh përdoret për të treguar rendin në të cilin janë rregulluar. Për shembull, shtëpitë në secilën rrugë janë të numëruara. Në bibliotekë, abonimet e lexuesve numërohen dhe më pas renditen sipas renditjes së numrave të caktuar në skedarë të veçantë të kartave.

Në një bankë kursimi, duke përdorur numrin personal të llogarisë së depozituesit, mund ta gjeni lehtësisht këtë llogari dhe të shihni se çfarë depozite ka në të. Lëreni llogarinë nr. 1 të përmbajë një depozitë prej a1 rubla, llogaria nr. 2 të përmbajë një depozitë prej a2 rubla, etj. Rezulton sekuenca e numrave
a 1, a 2, a 3, ..., një N
ku N është numri i të gjitha llogarive. Këtu, çdo numër natyror n nga 1 në N shoqërohet me një numër a n.

Ka studiuar edhe në matematikë sekuenca me numra të pafund:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numri a 1 quhet termi i parë i sekuencës, numri a 2 - termi i dytë i sekuencës, numri a 3 - termi i tretë i sekuencës etj.
Numri a n quhet anëtari i n-të (n-të) i sekuencës, dhe numri natyror n është i tij numri.

Për shembull, në një sekuencë katrorësh numrat natyrorë 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... dhe 1 = 1 është termi i parë i sekuencës; dhe n = n 2 është termi i n-të i sekuencës; a n+1 = (n + 1) 2 është termi (n + 1) i (n plus i pari) i sekuencës. Shpesh një sekuencë mund të specifikohet me formulën e termit të saj të n-të. Për shembull, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) përcakton sekuencën \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3), \\frac(1)(4), \pika,\frac(1)(n) , \pikë \)

Progresioni aritmetik

Gjatësia e vitit është afërsisht 365 ditë. Një vlerë më e saktë është \(365\frac(1)(4)\) ditë, kështu që çdo katër vjet grumbullohet një gabim prej një dite.

Për të llogaritur këtë gabim, çdo vit të katërt i shtohet një ditë dhe viti i zgjatur quhet vit i brishtë.

Për shembull, në mijëvjeçarin e tretë, vite të brishtë janë vitet 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Në këtë sekuencë, çdo anëtar, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, i shtuar në të njëjtin numër 4. Sekuenca të tilla quhen progresionet aritmetike.

Përkufizimi.
Quhet sekuenca e numrave a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresion aritmetik, nëse për të gjithë n barazinë natyrore
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
ku d është një numër.

Nga kjo formulë del se a n+1 - a n = d. Numri d quhet diferencë progresion aritmetik.

Nga përkufizimi i një progresion aritmetik kemi:
\(a_(n+1)=a_n+d, \katër a_(n-1)=a_n-d, \)
ku
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), ku \(n>1 \)

Kështu, çdo term i një progresion aritmetik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të dy termave të tij ngjitur. Kjo shpjegon emrin e progresionit "aritmetik".

Vini re se nëse jepen 1 dhe d, atëherë termat e mbetur të progresionit aritmetik mund të llogariten duke përdorur formulën e përsëritur a n+1 = a n + d. Në këtë mënyrë nuk është e vështirë të llogariten termat e parë të progresionit, megjithatë, për shembull, një 100 tashmë do të kërkojë shumë llogaritje. Në mënyrë tipike, formula e termit të n-të përdoret për këtë. Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
etj.
fare,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
sepse mandati i nëntë i një progresioni aritmetik fitohet nga termi i parë duke shtuar (n-1) herë numrin d.
Kjo formulë quhet formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik

Gjeni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në 100.
Le ta shkruajmë këtë shumë në dy mënyra:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Le t'i shtojmë këto barazi term pas termi:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Kjo shumë ka 100 terma
Prandaj, 2S = 101 * 100, pra S = 101 * 50 = 5050.

Le të shqyrtojmë tani një progresion aritmetik arbitrar
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Le të jetë S n shuma e n termave të parë të këtij progresioni:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Pastaj shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik është e barabartë me
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Meqenëse \(a_n=a_1+(n-1)d\), atëherë duke zëvendësuar një n në këtë formulë, marrim një formulë tjetër për të gjetur shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Problemet mbi progresionin aritmetik ekzistonin tashmë në kohët e lashta. Ata u shfaqën dhe kërkuan zgjidhje sepse kishin nevojë praktike.

Kështu, një nga papiruset e Egjiptit të lashtë që ka përmbajtje matematikore, papirusi Rhind (shek. 19 p.e.s.), përmban detyrën e mëposhtme: ndani dhjetë masa bukë midis dhjetë njerëzve, me kusht që ndryshimi midis secilit prej tyre të jetë një e teta e masë.”

Dhe në veprat matematikore të grekëve të lashtë ka teorema elegante që lidhen me progresionin aritmetik. Kështu, Hipsiku i Aleksandrisë (shek. II, i cili përpiloi shumë probleme interesante dhe shtoi librin e katërmbëdhjetë Elementeve të Euklidit), formuloi idenë: “Në një progresion aritmetik që ka një numër çift termash, shuma e termave të gjysmës së dytë është më e madhe se shuma e termave të 1-së në katrorin 1/2 të numrit të anëtarëve."

Sekuenca shënohet me një. Numrat e një sekuence quhen anëtarë të saj dhe zakonisht përcaktohen me shkronja me indekse që tregojnë numrin serial të këtij anëtari (a1, a2, a3 ... lexo: "a 1", "a 2", "a 3" dhe kështu me radhë).

Sekuenca mund të jetë e pafundme ose e fundme.

Çfarë është një progresion aritmetik? Me të nënkuptojmë atë që fitohet duke shtuar termin e mëparshëm (n) me të njëjtin numër d, që është diferenca e progresionit.

Nëse d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atëherë ky progresion konsiderohet në rritje.

Progresioni aritmetik quhet i fundëm nëse merren parasysh vetëm termat e parë të tij. Në shumë sasi të mëdha anëtarë është tashmë përparim i pafund.

Çdo progresion aritmetik përcaktohet me formulën e mëposhtme:

an =kn+b, ndërsa b dhe k janë disa numra.

Pohimi i kundërt është absolutisht i vërtetë: nëse një sekuencë jepet me një formulë të ngjashme, atëherë është pikërisht një progresion aritmetik që ka vetitë:

1. Çdo term i progresionit është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij pasues.
2. Anasjelltas: nëse, duke filluar nga i dyti, çdo term është mesatarja aritmetike e termit të mëparshëm dhe atij të mëpasshëm, d.m.th. nëse kushti plotësohet, atëherë kjo sekuencë është një progresion aritmetik. Kjo barazi është gjithashtu një shenjë e progresionit, prandaj zakonisht quhet veti karakteristike e progresionit.
   Në të njëjtën mënyrë, teorema që pasqyron këtë veti është e vërtetë: një sekuencë është një progresion aritmetik vetëm nëse kjo barazi është e vërtetë për cilindo nga termat e sekuencës, duke filluar nga i dyti.

Vetia karakteristike për çdo katër numra të një progresioni aritmetik mund të shprehet me formulën an + am = ak + al, nëse n + m = k + l (m, n, k janë numra të progresionit).

Në një progresion aritmetik, çdo term i nevojshëm (N-të) mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Për shembull: termi i parë (a1) në një progresion aritmetik është dhënë dhe i barabartë me tre, dhe ndryshimi (d) është i barabartë me katër. Ju duhet të gjeni termin e dyzet e pestë të këtij progresi. a45 = 1+4 (45-1) = 177

Formula an = ak + d(n - k) ju lejon të përcaktoni termin e n-të të një progresioni aritmetik përmes cilitdo prej termave të tij k-të, me kusht që të dihet.

Shuma e termave të një progresion aritmetik (që do të thotë n termat e parë të një progresion të fundëm) llogaritet si më poshtë:

Sn = (a1+an) n/2.

Nëse dihet edhe termi i parë, atëherë një formulë tjetër është e përshtatshme për llogaritjen:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Shuma e një progresion aritmetik që përmban n terma llogaritet si më poshtë:

Zgjedhja e formulave për llogaritjet varet nga kushtet e problemeve dhe të dhënat fillestare.

Seritë natyrore të çdo numri, si p.sh. 1,2,3,...,n,...- shembulli më i thjeshtë progresion aritmetik.

Përveç progresionit aritmetik, ekziston edhe një progresion gjeometrik, i cili ka vetitë dhe karakteristikat e veta.

Niveli i parë

Progresioni aritmetik. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Sekuenca e numrave

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:
Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa më shumë prej tyre që dëshironi (në rastin tonë, ka ato). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca e numrave
Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër në sekuencë. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i th) është gjithmonë i njëjtë.
Numri me numër quhet termi i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Le të themi se kemi një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.
Për shembull:

etj.
Kjo sekuencë numrash quhet progresion aritmetik.
Termi "përparim" u prezantua nga autori romak Boethius në shekullin e 6-të dhe u kuptua në një kuptim më të gjerë si një sekuencë numerike e pafundme. Emri "aritmetikë" u transferua nga teoria e përmasave të vazhdueshme, e cila u studiua nga grekët e lashtë.

Ky është një sekuencë numrash, secili anëtar i të cilit është i barabartë me atë të mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër. Ky numër quhet diferenca e një progresion aritmetik dhe është caktuar.

Mundohuni të përcaktoni se cilat sekuenca numrash janë një progresion aritmetik dhe cilat jo:

a)
b)
c)
d)

E kuptova? Le të krahasojmë përgjigjet tona:
Është progresion aritmetik - b, c.
Nuk eshte progresion aritmetik - a, d.

Le të kthehemi në progresionin e dhënë () dhe të përpiqemi të gjejmë vlerën e termit të tij të th. ekziston dy mënyrë për ta gjetur.

1. Metoda

Ne mund të shtojmë numrin e progresionit në vlerën e mëparshme derisa të arrijmë termin e th të progresionit. Është mirë që nuk kemi shumë për të përmbledhur - vetëm tre vlera:

Pra, termi i th i progresionit aritmetik të përshkruar është i barabartë me.

2. Metoda

Po sikur të na duhej të gjenim vlerën e termit të th të progresionit? Mbledhja do të na merrte më shumë se një orë dhe nuk është fakt që nuk do të bënim gabime kur mblidhnim numrat.
Natyrisht, matematikanët kanë dalë me një mënyrë në të cilën nuk është e nevojshme të shtohet diferenca e një progresion aritmetik në vlerën e mëparshme. Shikoni më nga afër foton e vizatuar... Me siguri tashmë keni vënë re një model të caktuar, përkatësisht:

Për shembull, le të shohim se nga përbëhet vlera e termit të th të këtij progresioni aritmetik:


Me fjale te tjera:

Përpiquni të gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresioni të caktuar aritmetik në këtë mënyrë.

E keni llogaritur? Krahasoni shënimet tuaja me përgjigjen:

Ju lutemi vini re se keni marrë saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur kemi shtuar në mënyrë sekuenciale termat e progresionit aritmetik në vlerën e mëparshme.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - le ta sjellim atë formë e përgjithshme dhe marrim:

Ekuacioni i progresionit aritmetik.

Progresionet aritmetike mund të jenë në rritje ose në rënie.

Në rritje- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e madhe se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Duke zbritur- progresionet në të cilat çdo vlerë pasuese e termave është më e vogël se ajo e mëparshme.
Për shembull:

Formula e prejardhur përdoret në llogaritjen e termave si në terma në rritje ashtu edhe në ulje të një progresion aritmetik.
Le ta kontrollojmë këtë në praktikë.
Na jepet një progresion aritmetik i përbërë nga numrat e mëposhtëm: Le të kontrollojmë se cili do të jetë numri i th i këtij progresioni aritmetik nëse përdorim formulën tonë për ta llogaritur atë:

Që atëherë:

Kështu, ne jemi të bindur se formula funksionon si në zvogëlimin ashtu edhe në rritjen e progresionit aritmetik.
Përpiquni të gjeni vetë termat e th dhe të të këtij progresi aritmetik.

Le të krahasojmë rezultatet:

Vetia e progresionit aritmetik

Le ta komplikojmë problemin - do të nxjerrim vetinë e progresionit aritmetik.
Le të themi se na jepet kushti i mëposhtëm:
- progresion aritmetik, gjeni vlerën.
Lehtë, thoni dhe filloni të numëroni sipas formulës që tashmë e dini:

Le, ah, atëherë:

Absolutisht e drejtë. Rezulton se fillimisht e gjejmë, pastaj e shtojmë në numrin e parë dhe marrim atë që kërkojmë. Nëse progresioni përfaqësohet nga vlera të vogla, atëherë nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të, por çka nëse na jepen numra në kusht? Pajtohem, ekziston mundësia për të bërë një gabim në llogaritjet.
Tani mendoni nëse është e mundur të zgjidhet ky problem në një hap duke përdorur ndonjë formulë? Sigurisht që po, dhe kjo është ajo që ne do të përpiqemi të nxjerrim në pah tani.

Le të shënojmë termin e kërkuar të progresionit aritmetik si, formula për gjetjen e tij është e njohur për ne - kjo është e njëjta formulë që kemi nxjerrë në fillim:
, Pastaj:

• termi i mëparshëm i progresionit është:
• termi tjetër i progresionit është:

Le të përmbledhim termat e mëparshëm dhe të mëvonshëm të progresionit:

Rezulton se shuma e termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm të progresionit është vlera e dyfishtë e termit të progresionit që ndodhet midis tyre. Me fjalë të tjera, për të gjetur vlerën e një termi progresion me vlera të njohura të mëparshme dhe të njëpasnjëshme, duhet t'i shtoni ato dhe t'i ndani me.

Është e drejtë, kemi të njëjtin numër. Le të sigurojmë materialin. Llogaritni vetë vlerën për përparimin, nuk është aspak e vështirë.

Te lumte! Ju dini pothuajse gjithçka për përparimin! Mbetet për të zbuluar vetëm një formulë, e cila, sipas legjendës, u konkludua lehtësisht nga një nga matematikanët më të mëdhenj të të gjitha kohërave, "mbreti i matematikanëve" - ​​Karl Gauss...

Kur Carl Gauss ishte 9 vjeç, një mësues, i zënë duke kontrolluar punën e nxënësve në klasat e tjera, caktoi detyrën e mëposhtme në klasë: "Llogaritni shumën e të gjithë numrave natyrorë nga deri në (sipas burimeve të tjera) përfshirëse." Imagjinoni habinë e mësuesit kur një nga nxënësit e tij (ky ishte Karl Gauss) një minutë më vonë i dha përgjigjen e saktë detyrës, ndërsa shumica e shokëve të klasës së guximtarit, pas llogaritjeve të gjata, morën rezultatin e gabuar...

I riu Carl Gauss vuri re një model të caktuar që edhe ju mund ta vini re lehtësisht.
Le të themi se kemi një progresion aritmetik të përbërë nga -të terma: Duhet të gjejmë shumën e këtyre termave të progresionit aritmetik. Sigurisht, ne mund t'i përmbledhim manualisht të gjitha vlerat, por çka nëse detyra kërkon gjetjen e shumës së termave të saj, siç po kërkonte Gauss?

Le të përshkruajmë përparimin që na është dhënë. Shikoni më nga afër numrat e theksuar dhe përpiquni të kryeni veprime të ndryshme matematikore me ta.


E keni provuar? Çfarë keni vënë re? E drejtë! Shumat e tyre janë të barabarta

Tani më thuaj, sa çifte të tilla ka gjithsej në progresionin që na është dhënë? Sigurisht, saktësisht gjysma e të gjithë numrave, domethënë.
Bazuar në faktin se shuma e dy termave të një progresion aritmetik është e barabartë dhe çiftet e ngjashme janë të barabarta, marrim se shuma totale është e barabartë me:
.
Kështu, formula për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Në disa probleme nuk e dimë termin e th, por dimë dallimin e progresionit. Përpiquni të zëvendësoni formulën e termit të th në formulën e shumës.
Çfarë more?

Te lumte! Tani le t'i kthehemi problemit që iu drejtua Karl Gausit: llogarisni vetë se sa është e barabartë shuma e numrave që fillojnë nga th dhe shuma e numrave që fillojnë nga th.

Sa keni marrë?
Gausi zbuloi se shuma e termave është e barabartë dhe shuma e termave. Kështu vendosët?

Në fakt, formula për shumën e termave të një progresion aritmetik u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Diophantus në shekullin e 3-të, dhe gjatë gjithë kësaj kohe, njerëzit e zgjuar përdorën plotësisht vetitë e progresionit aritmetik.
Për shembull, imagjinoni Egjipti i lashte dhe projekti më i madh ndërtimor i asaj kohe - ndërtimi i një piramide... Fotoja tregon njërën anë të saj.

Ku është përparimi këtu, ju thoni? Shikoni me kujdes dhe gjeni një model në numrin e blloqeve të rërës në çdo rresht të murit të piramidës.


Pse jo një progresion aritmetik? Llogaritni sa blloqe nevojiten për të ndërtuar një mur nëse tullat e bllokut vendosen në bazë. Shpresoj se nuk do të numëroni ndërsa lëvizni gishtin nëpër monitor, ju kujtohet formula e fundit dhe gjithçka që thamë për progresionin aritmetik?

Në këtë rast, progresioni duket si ky: .
Diferenca e progresionit aritmetik.
Numri i termave të një progresion aritmetik.
Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulat e fundit (llogaritni numrin e blloqeve në 2 mënyra).

Metoda 1.

Metoda 2.

Dhe tani mund të llogaritni në monitor: krahasoni vlerat e marra me numrin e blloqeve që janë në piramidën tonë. E kuptova? Bravo, ju keni zotëruar shumën e termave të n-të të një progresion aritmetik.
Sigurisht, nuk mund të ndërtoni një piramidë nga blloqet në bazë, por nga? Mundohuni të llogaritni sa tulla rëre nevojiten për të ndërtuar një mur me këtë gjendje.
A ia dolët?
Përgjigja e saktë është blloqet:

Trajnimi

Detyrat:

1. Masha po bëhet në formë për verën. Çdo ditë ajo rrit numrin e squats me. Sa herë do të bëjë Masha squats në një javë nëse ajo bën squats në seancën e parë stërvitore?
2. Sa është shuma e të gjithë numrave tek që përmbahen.
3. Gjatë ruajtjes së shkrimeve, regjistruesit i grumbullojnë ato në mënyrë të tillë që secili shtresa e sipërme përmban një regjistër më pak se ai i mëparshmi. Sa trungje ka në një muraturë, nëse themeli i muraturës është trungje?

Përgjigjet:

1. Le të përcaktojmë parametrat e progresionit aritmetik. Në këtë rast
   (javë = ditë).

   Përgjigje: Në dy javë, Masha duhet të bëjë squats një herë në ditë.

2. Numri i parë tek, numri i fundit.
   Diferenca e progresionit aritmetik.
   Numri i numrave tek është gjysma, megjithatë, le ta kontrollojmë këtë fakt duke përdorur formulën për të gjetur termin e th të një progresion aritmetik:

   Numrat përmbajnë numra tek.
   Le të zëvendësojmë të dhënat e disponueshme në formulën:

   Përgjigje: Shuma e të gjithë numrave tek të përfshirë është e barabartë.

3. Le të kujtojmë problemin për piramidat. Për rastin tonë, një , meqenëse çdo shtresë e sipërme zvogëlohet me një regjistër, atëherë në total ka një grup shtresash, d.m.th.
   Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën:

   Përgjigje: Në muraturë ka trungje.

Le ta përmbledhim

1. - një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë. Mund të jetë në rritje ose në ulje.
2. Gjetja e formulës Termi i th i një progresioni aritmetik shkruhet me formulën - , ku është numri i numrave në progresion.
3. Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik- - ku është numri i numrave në progresion.
4. Shuma e termave të një progresion aritmetik mund të gjendet në dy mënyra:
   
   , ku është numri i vlerave.

PROGRESIONI ARITHMETIK. NIVELI MESATAR

Sekuenca e numrave

Le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër dhe mund të ketë aq sa të doni. Por ne gjithmonë mund të themi se cili është i pari, cili është i dyti e kështu me radhë, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash.

Sekuenca e numraveështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Me fjalë të tjera, çdo numër mund të shoqërohet me një numër të caktuar natyror dhe një unik. Dhe ne nuk do ta caktojmë këtë numër në asnjë numër tjetër nga ky grup.

Numri me numër quhet anëtari i th i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën me ndonjë shkronjë (për shembull,), dhe çdo anëtar i kësaj sekuence është e njëjta shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Është shumë i përshtatshëm nëse termi i th i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula

vendos sekuencën:

Dhe formula është sekuenca e mëposhtme:

Për shembull, një progresion aritmetik është një sekuencë (termi i parë këtu është i barabartë, dhe ndryshimi është). Ose (, dallimi).

Formula për mandatin e nëntë

Ne e quajmë një formulë të përsëritur në të cilën, për të gjetur termin e th, duhet të njihni ato të mëparshme ose disa të mëparshme:

Për të gjetur, për shembull, termin e th të progresionit duke përdorur këtë formulë, do të duhet të llogarisim nëntë e mëparshme. Për shembull, lëreni. Pastaj:

Epo, a është e qartë tani cila është formula?

Në çdo rresht që i shtojmë, shumëzuar me një numër. Cila? Shumë e thjeshtë: ky është numri i anëtarit aktual minus:

Shumë më i përshtatshëm tani, apo jo? Ne kontrollojmë:

Vendosni vetë:

Në një progresion aritmetik, gjeni formulën për termin e n-të dhe gjeni termin e qindtë.

Zgjidhja:

Termi i parë është i barabartë. Qfare eshte dallimi? Ja çfarë:

(Kjo është arsyeja pse quhet ndryshim sepse është i barabartë me diferencën e termave të njëpasnjëshëm të progresionit).

Pra, formula:

Atëherë termi i njëqindtë është i barabartë me:

Sa është shuma e të gjithë numrave natyrorë nga deri në?

Sipas legjendës, matematikani i madh Carl Gauss, si një djalë 9-vjeçar, e llogariti këtë shumë në pak minuta. Ai vuri re se shuma e numrit të parë dhe të fundit është e barabartë, shuma e të dytit dhe të parafundit është e njëjtë, shuma e të tretit dhe të 3-të nga fundi është e njëjtë, e kështu me radhë. Sa çifte të tilla ka gjithsej? Kjo është e drejtë, saktësisht gjysma e numrit të të gjithë numrave, domethënë. Kështu që,

Formula e përgjithshme për shumën e termave të parë të çdo progresioni aritmetik do të jetë:

Shembull:
Gjeni shumën e të gjithave numra dyshifrorë, të shumëfishta.

Zgjidhja:

Numri i parë i tillë është ky. Çdo numër i mëpasshëm fitohet duke i shtuar numrin e mëparshëm. Kështu, numrat që na interesojnë formojnë një progresion aritmetik me termin e parë dhe diferencën.

Formula e termit të th për këtë progresion:

Sa terma ka në progresion nëse të gjithë duhet të jenë dyshifrorë?

Shumë e lehtë: .

Afati i fundit i progresionit do të jetë i barabartë. Pastaj shuma:

Përgjigje:.

Tani vendosni vetë:

1. Çdo ditë atleti vrapon më shumë metra se një ditë më parë. Sa kilometra gjithsej do të vrapojë në një javë nëse ka vrapuar km m në ditën e parë?
2. Një çiklist udhëton më shumë kilometra çdo ditë se një ditë më parë. Ditën e parë ai udhëtoi km. Sa ditë i duhen të udhëtojë për të kaluar një kilometër? Sa kilometra do të udhëtojë ai gjatë ditës së fundit të udhëtimit të tij?
3. Çmimi i një frigoriferi në një dyqan ulet me të njëjtën sasi çdo vit. Përcaktoni se sa u ul çmimi i një frigoriferi çdo vit nëse, i vendosur në shitje për rubla, gjashtë vjet më vonë ai shitet për rubla.

Përgjigjet:

1. Gjëja më e rëndësishme këtu është njohja e progresionit aritmetik dhe përcaktimi i parametrave të tij. Në këtë rast, (javë = ditë). Ju duhet të përcaktoni shumën e termave të parë të këtij progresi:
   .
   Përgjigje:
2. Këtu jepet: , duhet gjetur.
   Natyrisht, ju duhet të përdorni të njëjtën formulë të shumës si në problemin e mëparshëm:
   .
   Zëvendësoni vlerat:

   Rrënja padyshim nuk përshtatet, kështu që përgjigja është.
   Le të llogarisim shtegun e përshkuar gjatë ditës së fundit duke përdorur formulën e termit të th:
   (km).
   Përgjigje:

3. Jepet: . Gjej: .
   Nuk mund të ishte më e thjeshtë:
   (fshij).
   Përgjigje:

PROGRESIONI ARITHMETIK. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Kjo është një sekuencë numrash në të cilën ndryshimi midis numrave ngjitur është i njëjtë dhe i barabartë.

Progresioni aritmetik mund të jetë në rritje () dhe në rënie ().

Për shembull:

Formula për gjetjen e mandatit të n-të të një progresion aritmetik

shkruhet me formula, ku është numri i numrave në progresion.

Vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik

Kjo ju lejon të gjeni me lehtësi një term të një progresion nëse dihen termat fqinjë - ku është numri i numrave në progresion.

Shuma e termave të një progresion aritmetik

Ka dy mënyra për të gjetur shumën:

Ku është numri i vlerave.

Ku është numri i vlerave.

Shuma e një progresion aritmetik.

Shuma e një progresion aritmetik është një gjë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në formulë. Por ka të gjitha llojet e detyrave për këtë temë. Nga bazë në mjaft solide.

Së pari, le të kuptojmë kuptimin dhe formulën e shumës. Dhe pastaj do të vendosim. Për kënaqësinë tuaj.) Kuptimi i shumës është aq i thjeshtë sa një moo. Për të gjetur shumën e një progresion aritmetik, ju vetëm duhet të shtoni me kujdes të gjitha termat e tij. Nëse këto terma janë të pakta, mund të shtoni pa formula. Por nëse ka shumë, ose shumë... shtimi është i bezdisshëm.) Në këtë rast, formula i vjen në ndihmë.

Formula për shumën është e thjeshtë:

Le të kuptojmë se çfarë lloj shkronjash përfshihen në formulë. Kjo do t'i qartësojë shumë gjërat.

S n - shuma e një progresion aritmetik. Rezultati i shtimit të gjithë anëtarët, me së pari Nga e fundit.Është e rëndësishme. Ata mblidhen saktësisht Të gjitha anëtarë me radhë, pa kapërcyer apo kapërcyer. Dhe, pikërisht, duke u nisur nga së pari. Në problemet si gjetja e shumës së termave të tretë dhe të tetë, ose shuma e termave nga i pesti në të njëzetën - aplikimi i drejtpërdrejtë formulat do të zhgënjejnë.)

a 1 - së pari anëtar i progresionit. Gjithçka është e qartë këtu, është e thjeshtë së pari numri i rreshtit.

a n- e fundit anëtar i progresionit. Numri i fundit i serisë. Nuk është një emër shumë i njohur, por kur aplikohet për shumën, është shumë i përshtatshëm. Atëherë do ta shihni vetë.

n - numri i anëtarit të fundit. Është e rëndësishme të kuptohet se në formulë ky numër përkon me numrin e termave të shtuar.

Le të përcaktojmë konceptin e fundit anëtar a n. Pyetje e ndërlikuar: cili anëtar do të jetë e fundit nëse jepet pafund progresion aritmetik?)

Për t'u përgjigjur me siguri, duhet të kuptoni kuptimin elementar të progresionit aritmetik dhe ... lexoni detyrën me kujdes!)

Në detyrën e gjetjes së shumës së një progresion aritmetik, termi i fundit shfaqet gjithmonë (drejtpërsëdrejti ose indirekt), të cilat duhet të kufizohen. Përndryshe, një shumë përfundimtare, specifike thjesht nuk ekziston. Për zgjidhjen nuk ka rëndësi nëse progresioni është dhënë: i fundëm apo i pafund. Nuk ka rëndësi se si jepet: një seri numrash ose një formulë për termin e n-të.

Gjëja më e rëndësishme është të kuptojmë se formula funksionon nga termi i parë i progresionit në termin me numër n. Në fakt, emri i plotë i formulës duket si ky: shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik. Numri i këtyre anëtarëve të parë, d.m.th. n, përcaktohet vetëm nga detyra. Në një detyrë, i gjithë ky informacion i vlefshëm shpesh është i enkriptuar, po... Por mos u shqetësoni, në shembujt më poshtë ne zbulojmë këto sekrete.)

Shembuj detyrash mbi shumën e një progresion aritmetik.

Para së gjithash, informacione të dobishme:

Vështirësia kryesore në detyrat që përfshijnë shumën e një progresion aritmetik është përkufizimi i saktë elementet e formulës.

Shkrimtarët e detyrave i kodojnë pikërisht këta elementë me imagjinatë të pakufishme.) Gjëja kryesore këtu është të mos kesh frikë. Duke kuptuar thelbin e elementeve, mjafton thjesht t'i deshifroni ato. Le të shohim disa shembuj në detaje. Le të fillojmë me një detyrë të bazuar në një GIA të vërtetë.

1. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a n = 2n-3.5. Gjeni shumën e 10 termave të tij të parë.

Punë e mirë. Lehtë.) Për të përcaktuar sasinë duke përdorur formulën, çfarë duhet të dimë? Anëtari i parë a 1, termi i fundit a n, po numri i anëtarit të fundit n.

Ku mund ta marr numrin e anëtarit të fundit? n? Po, po aty, me kusht! Ai thotë: gjeni shumën 10 anëtarët e parë. Epo, me cilin numër do të jetë? e fundit, anëtari i dhjetë?) Nuk do ta besoni, numri i tij është i dhjeti!) Prandaj, në vend të a n Ne do të zëvendësojmë në formulë një 10, dhe në vend të kësaj n- dhjetë. E përsëris, numri i anëtarit të fundit përkon me numrin e anëtarëve.

Mbetet për të përcaktuar a 1 Dhe një 10. Kjo llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën për termin e n-të, e cila është dhënë në deklaratën e problemit. Nuk dini si ta bëni këtë? Merrni pjesë në mësimin e mëparshëm, pa këtë nuk ka asnjë mënyrë.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

një 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ne kemi zbuluar kuptimin e të gjithë elementëve të formulës për shumën e një progresion aritmetik. Gjithçka që mbetet është t'i zëvendësojmë ato dhe të numërojmë:

Kjo eshte. Përgjigje: 75.

Një detyrë tjetër e bazuar në GIA. Pak më e ndërlikuar:

2. Jepet një progresion aritmetik (a n), diferenca e të cilit është 3,7; a 1 = 2.3. Gjeni shumën e 15 termave të tij të parë.

Ne shkruajmë menjëherë formulën e shumës:

Kjo formulë na lejon të gjejmë vlerën e çdo termi me numrin e tij. Ne kërkojmë një zëvendësim të thjeshtë:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Mbetet të zëvendësojmë të gjithë elementët në formulën për shumën e një progresion aritmetik dhe të llogarisim përgjigjen:

Përgjigje: 423.

Nga rruga, nëse në formulën e shumës në vend të a n Thjesht zëvendësojmë formulën për termin e n-të dhe marrim:

Le të paraqesim të ngjashme dhe të marrim një formulë të re për shumën e termave të një progresion aritmetik:

Siç mund ta shihni, termi i n-të nuk kërkohet këtu a n. Në disa probleme kjo formulë ndihmon shumë, po... Ju mund ta mbani mend këtë formulë. Ose thjesht mund ta shfaqni në kohën e duhur, si këtu. Në fund të fundit, gjithmonë duhet të mbani mend formulën për shumën dhe formulën për termin e n-të.)

Tani detyra në formën e një kriptimi të shkurtër):

3. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë pozitivë që janë shumëfish të tre.

Uau! As anëtari yt i parë, as i fundit, as përparimi fare... Si të jetosh!?

Ju do të duhet të mendoni me kokën tuaj dhe të nxirrni të gjithë elementët e shumës së progresionit aritmetik nga kushti. Ne e dimë se çfarë janë numrat dyshifrorë. Ato përbëhen nga dy numra.) Cili numër dyshifror do të jetë së pari? 10, me sa duket.) A gjëja e fundit numër dyshifror? 99, sigurisht! Do ta ndjekin treshifrorët...

Shumëfisha të treshit... Hm... Janë numra që pjesëtohen me tre, këtu! Dhjetë nuk pjesëtohet me tre, 11 nuk pjesëtohet... 12... pjesëtohet! Pra, diçka po shfaqet. Ju tashmë mund të shkruani një seri sipas kushteve të problemit:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

A do të jetë kjo seri një progresion aritmetik? Sigurisht! Çdo term ndryshon nga ai i mëparshmi me rreptësisht tre. Nëse i shtoni 2 ose 4 një termi, le të themi, rezultati, d.m.th. numri i ri nuk është më i pjesëtueshëm me 3. Mund të përcaktoni menjëherë ndryshimin e progresionit aritmetik: d = 3. Do të jetë e dobishme!)

Pra, ne mund të shkruajmë me siguri disa parametra të progresionit:

Cili do të jetë numri? n anëtari i fundit? Kushdo që mendon se 99 gabon fatalisht... Numrat shkojnë gjithmonë me radhë, por anëtarët tanë kalojnë mbi tre. Nuk përputhen.

Këtu ka dy zgjidhje. Një mënyrë është për super punëtorët. Mund të shkruani progresionin, të gjithë serinë e numrave dhe të numëroni me gisht numrin e anëtarëve.) Mënyra e dytë është për ata që mendojnë. Ju duhet të mbani mend formulën për termin e n-të. Nëse zbatojmë formulën për problemin tonë, gjejmë se 99 është termi i tridhjetë i progresionit. Ato. n = 30.

Le të shohim formulën për shumën e një progresion aritmetik:

Ne shikojmë dhe gëzohemi.) Ne nxorëm nga deklarata e problemit gjithçka që ishte e nevojshme për të llogaritur shumën:

a 1= 12.

një 30= 99.

S n = S 30.

Ajo që mbetet është aritmetika elementare. Ne i zëvendësojmë numrat në formulë dhe llogarisim:

Përgjigje: 1665

Një lloj tjetër i enigmës popullore:

4. Jepet një progresion aritmetik:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Gjeni shumën e termave nga e njëzeta deri në tridhjetë e katër.

Ne shikojmë formulën e shumës dhe... mërzitemi.) Formula, më lejoni t'ju kujtoj, llogarit shumën. nga e para anëtar. Dhe në problem ju duhet të llogaritni shumën që nga viti i njëzetë... Formula nuk do të funksionojë.

Sigurisht, mund të shkruani të gjithë përparimin në një seri dhe të shtoni terma nga 20 në 34. Por... është disi budallaqe dhe kërkon shumë kohë, apo jo?)

Ekziston një zgjidhje më elegante. Le ta ndajmë serinë tonë në dy pjesë. Pjesa e parë do të jetë nga mandati i parë deri në të nëntëmbëdhjetë. Pjesa e dytë - nga njëzet në tridhjetë e katër.Është e qartë se nëse llogarisim shumën e termave të pjesës së parë S 1-19, ta shtojmë me shumën e termave të pjesës së dytë S 20-34, marrim shumën e progresionit nga termi i parë në të tridhjetë e katërt S 1-34. Si kjo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Nga kjo mund të shohim se gjeni shumën S 20-34 mund të bëhet me zbritje të thjeshtë

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Të dyja shumat në anën e djathtë merren parasysh nga e para anëtar, d.m.th. formula standarde e shumës është mjaft e zbatueshme për ta. Le të fillojmë?

Ne nxjerrim parametrat e progresionit nga deklarata e problemit:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Për të llogaritur shumat e 19 termave të parë dhe 34 termave të parë, do të na duhen termat e 19-të dhe të 34-të. Ne i numërojmë ato duke përdorur formulën për termin e n-të, si në problemin 2:

një 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nuk ka mbetur asgjë. Nga shuma e 34 termave zbritni shumën e 19 termave:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Përgjigje: 262.5

Një shënim i rëndësishëm! Ekziston një truk shumë i dobishëm për zgjidhjen e këtij problemi. Në vend të llogaritjes së drejtpërdrejtë çfarë ju nevojitet (S 20-34), kemi numëruar diçka që duket se nuk është e nevojshme - S 1-19. Dhe pastaj ata vendosën S 20-34, duke hedhur poshtë të panevojshmen nga rezultati i plotë. Kjo lloj "mashtrimi me veshët tuaj" shpesh ju shpëton nga problemet e liga.)

Në këtë mësim ne shikuam problemet për të cilat mjafton të kuptojmë kuptimin e shumës së një progresion aritmetik. Epo, ju duhet të dini disa formula.)

Këshilla praktike:

Kur zgjidhni ndonjë problem që përfshin shumën e një progresion aritmetik, unë rekomandoj që menjëherë të shkruani dy formulat kryesore nga kjo temë.

Formula për mandatin e nëntë:

Këto formula do t'ju tregojnë menjëherë se çfarë të kërkoni dhe në cilin drejtim të mendoni për të zgjidhur problemin. Ndihmon.

Dhe tani detyrat për zgjidhje të pavarur.

5. Gjeni shumën e të gjithë numrave dyshifrorë që nuk pjesëtohen me tre.

E bukur?) Këshilla është e fshehur në shënimin e problemit 4. Epo, problemi 3 do të ndihmojë.

6. Progresioni aritmetik jepet me kushtin: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni shumën e 24 termave të tij të parë.

E pazakontë?) Kjo është një formulë e përsëritur. Ju mund të lexoni për të në mësimin e mëparshëm. Mos e injoroni lidhjen, probleme të tilla gjenden shpesh në Akademinë Shtetërore të Shkencave.

7. Vasya kurseu para për festën. Deri në 4550 rubla! Dhe vendosa t'i dhuroj personit tim të preferuar (vetes) disa ditë lumturi). Jetoni bukur pa i mohuar asgjë vetes. Shpenzoni 500 rubla ditën e parë, dhe në çdo ditë pasuese shpenzoni 50 rubla më shumë se ajo e mëparshme! Derisa të mbarojnë paratë. Sa ditë lumturie kishte Vasya?

A është e vështirë?) A do të ndihmojë? formulë shtesë nga detyra 2.

Përgjigjet (në rrëmujë): 7, 3240, 6.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.