1. Numri më i vogël Tetraedri ka 6 skaje.

2. Një prizëm ka n faqe. Cili shumëkëndësh ndodhet në bazën e tij?

(n - 2) - katror.

3. A është një prizëm i drejtë nëse dy faqet anësore të tij ngjitur janë pingul me rrafshin e bazës?

Po kjo është.

4. Në cilin prizëm skajet anësore janë paralele me lartësinë e tij?

Në një prizëm të drejtë.

5. A është një prizëm i rregullt nëse të gjitha skajet e tij janë të barabarta me njëra-tjetrën?

Jo, mund të mos jetë e drejtpërdrejtë.

6. A mundet që lartësia e njërës nga faqet anësore të një prizmi të pjerrët të jetë edhe lartësia e prizmit?

Po, nëse kjo faqe është pingul me bazën.

7. A ka prizëm në të cilin: a) buza anësore është pingul me vetëm njërën skaj të bazës; b) vetëm njëra faqe anësore është pingul me bazën?

a) po. b) nr.

8. Një prizëm i rregullt trekëndor ndahet në dy prizma nga një rrafsh që kalon nga mesi i bazave. Cili është raporti i sipërfaqeve anësore të këtyre prizmave?

Nga teorema 27 gjejmë se sipërfaqet anësore janë në raportin 5:3

9. A do të jetë piramida e rregullt nëse faqet anësore të saj janë trekëndësha të rregullt?

10. Sa faqe pingul me rrafshin e bazës mund të ketë një piramidë?

11. A ekziston një piramidë katërkëndore, faqet anësore të kundërta të së cilës janë pingul me bazën?

Jo, përndryshe do të kishte të paktën dy vija të drejta që kalonin nga maja e piramidës, pingul me bazat.

12. A mund të jenë trekëndësha kënddrejtë të gjitha faqet e një piramide trekëndore?

Po (Figura 183).

Kursi i videos "Merrni një A" përfshin të gjitha temat që ju nevojiten përfundim me sukses Provim i Unifikuar Shtetëror në matematikë për 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse dëshironi të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student 100 pikësh dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Mënyra të shpejta zgjidhjet, kurthet dhe sekretet e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Të kuptuarit në vend të grumbullimit. Shpjegimi vizual koncepte komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Informacione të përgjithshme rreth prizmit të drejtë

Sipërfaqja anësore e një prizmi (më saktë, sipërfaqja anësore) quhet shuma zonat e faqeve anësore. Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit është e barabartë me shumën e sipërfaqes anësore dhe sipërfaqeve të bazave.

Teorema 19.1. Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësinë e prizmit, d.m.th., gjatësinë e skajit anësor.

Dëshmi. Faqet anësore të një prizmi të drejtë janë drejtkëndësha. Bazat e këtyre drejtkëndëshave janë anët e shumëkëndëshit që shtrihen në bazën e prizmit, dhe lartësitë janë të barabarta me gjatësinë e skajeve anësore. Nga kjo rrjedh se sipërfaqja anësore e prizmit është e barabartë me

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ku a 1 dhe n janë gjatësitë e skajeve të bazës, p është perimetri i bazës së prizmit dhe I është gjatësia e skajeve anësore. Teorema është vërtetuar.

Detyrë praktike

Problemi (22) . Në një prizëm të prirur kryhet seksioni, pingul me brinjët anësore dhe duke i prerë të gjitha brinjët anësore. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit nëse perimetri i seksionit është i barabartë me p dhe skajet anësore janë të barabarta me l.

Zgjidhje. Rrafshi i seksionit të vizatuar e ndan prizmin në dy pjesë (Fig. 411). Le t'i nënshtrojmë një prej tyre përkthimit paralel, duke kombinuar bazat e prizmit. Në këtë rast, marrim një prizëm të drejtë, baza e të cilit është seksioni kryq i prizmit origjinal dhe skajet anësore janë të barabarta me l. Ky prizëm ka të njëjtën sipërfaqe anësore si ajo origjinale. Kështu, sipërfaqja anësore e prizmit origjinal është e barabartë me pl.

Përmbledhje e temës së trajtuar

Tani le të përpiqemi të përmbledhim temën që trajtuam rreth prizmave dhe të kujtojmë se çfarë vetish ka një prizëm.

Vetitë e prizmit

Së pari, një prizëm i ka të gjitha bazat e tij si shumëkëndësha të barabartë;
Së dyti, prizmi i ka të gjitha fytyrat anësore janë paralelogramë;
Së treti, në një figurë kaq të shumëanshme si prizmi, të gjitha skajet anësore janë të barabarta;

Gjithashtu, duhet mbajtur mend se poliedrat si prizmat mund të jenë të drejta ose të prirura.

Cili prizëm quhet prizëm i drejtë?

Nëse skaji anësor i një prizmi ndodhet pingul me rrafshin e bazës së tij, atëherë një prizëm i tillë quhet i drejtë.

Nuk do të ishte e tepërt të kujtojmë se faqet anësore të një prizmi të drejtë janë drejtkëndësha.

Cili lloj prizmi quhet i zhdrejtë?

Por nëse skaji anësor i një prizmi nuk ndodhet pingul me rrafshin e bazës së tij, atëherë mund të themi me siguri se ai është një prizëm i prirur.

Cili prizëm quhet i saktë?

Nëse një shumëkëndësh i rregullt shtrihet në bazën e një prizmi të drejtë, atëherë një prizëm i tillë është i rregullt.

Tani le të kujtojmë vetitë që ka një prizëm i rregullt.

Vetitë e një prizmi të rregullt

Së pari, shumëkëndëshat e rregullt shërbejnë gjithmonë si baza e një prizmi të rregullt;
Së dyti, nëse marrim parasysh faqet anësore të një prizmi të rregullt, ato do të jenë gjithmonë drejtkëndësha të barabartë;
Së treti, nëse krahasoni madhësitë e brinjëve anësore, atëherë në një prizëm të rregullt ato janë gjithmonë të barabarta.
Së katërti, një prizëm i saktë është gjithmonë i drejtë;
Së pesti, nëse në një prizëm të rregullt faqet anësore kanë formën e katrorëve, atëherë një figurë e tillë zakonisht quhet shumëkëndësh gjysmë i rregullt.

Prerje tërthore të prizmit

Tani le të shohim seksionin kryq të prizmit:

Detyre shtepie

Tani le të përpiqemi të konsolidojmë temën që kemi mësuar duke zgjidhur probleme.

Le të vizatojmë një prizëm trekëndor të prirur, distanca midis skajeve të tij do të jetë e barabartë me: 3 cm, 4 cm dhe 5 cm, dhe sipërfaqja anësore e këtij prizmi do të jetë e barabartë me 60 cm2. Duke pasur këto parametra, gjeni skajin anësor të këtij prizmi.

A e dini se figurat gjeometrike na rrethojnë vazhdimisht jo vetëm në mësimet e gjeometrisë, por edhe në Jeta e përditshme Ka objekte që i ngjajnë një ose një tjetër figure gjeometrike.

Të gjithë në shtëpi, në shkollë ose në punë kanë një kompjuter, njësia e sistemit të të cilit ka formën e një prizmi të drejtë.

Nëse merrni një laps të thjeshtë, do të shihni se pjesa kryesore e lapsit është një prizëm.

Duke ecur përgjatë rrugës qendrore të qytetit, shohim se nën këmbët tona shtrihet një pllakë që ka formën e një prizmi gjashtëkëndor.

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Polyedra

Objekti kryesor i studimit të stereometrisë janë trupat hapësinorë. Trupi përfaqëson një pjesë të hapësirës së kufizuar nga një sipërfaqe e caktuar.

Polyedronështë një trup, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga një numër i kufizuar shumëkëndëshash të sheshtë. Një shumëkëndësh quhet konveks nëse ndodhet në njërën anë të rrafshit të çdo shumëkëndëshi të rrafshët në sipërfaqen e tij. Pjesa e përbashkët e një rrafshi të tillë dhe sipërfaqja e një poliedri quhet buzë. Fytyrat e një shumëkëndëshi konveks janë shumëkëndësha të sheshtë konveks. Anët e fytyrave quhen skajet e poliedrit, dhe kulmet janë kulmet e poliedrit.

Për shembull, një kub përbëhet nga gjashtë katrorë, të cilët janë fytyrat e tij. Ai përmban 12 skaje (anët e katrorëve) dhe 8 kulme (majat e katrorëve).

Polyedrat më të thjeshta janë prizmat dhe piramidat, të cilat do t'i studiojmë më tej.

Prizma

Përkufizimi dhe vetitë e një prizmi

Prizmaështë një poliedron i përbërë nga dy shumëkëndësha të sheshtë të shtrirë brenda plane paralele të kombinuara nga përkthimi paralel dhe të gjithë segmentet që lidhin pikat përkatëse të këtyre shumëkëndëshave. Quhen shumëkëndësha bazat e prizmit, dhe segmentet që lidhin kulmet përkatëse të shumëkëndëshave janë skajet anësore të prizmit.

Lartësia e prizmit quhet distanca ndërmjet rrafsheve të bazave të saj (). Një segment që lidh dy kulme të një prizmi që nuk i përkasin të njëjtës faqe quhet diagonale të prizmit(). Prizma quhet n-karbon, nëse baza e tij është një n-gon.

Çdo prizëm ka vetitë e mëposhtme, që rrjedhin nga fakti se bazat e prizmit kombinohen me përkthim paralel:

1. Bazat e prizmit janë të barabarta.

2. Skajet anësore të prizmit janë paralele dhe të barabarta.

Sipërfaqja e prizmit përbëhet nga baza dhe sipërfaqe anësore. Sipërfaqja anësore e prizmit përbëhet nga paralelograme (kjo rrjedh nga vetitë e prizmit). Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një prizmi është shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore.

Prizma e drejtë

Prizma quhet drejt, nëse skajet anësore të saj janë pingul me bazat. Ndryshe quhet prizmi të prirur.

Fytyrat e prizmit të drejtë janë drejtkëndësha. Lartësia e një prizmi të drejtë është e barabartë me faqet anësore të tij.

Sipërfaqja e plotë e prizmit quhet shuma e sipërfaqes anësore dhe e sipërfaqeve të bazave.

Me prizmin e duhur quhet prizëm i drejtë me një shumëkëndësh të rregullt në bazën e tij.

Teorema 13.1. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë është e barabartë me produktin e perimetrit dhe lartësinë e prizmit (ose, e cila është e njëjtë, nga skaji anësor).

Dëshmi. Faqet anësore të një prizmi të drejtë janë drejtkëndësha, bazat e të cilave janë anët e shumëkëndëshave në bazat e prizmit, dhe lartësitë janë skajet anësore të prizmit. Atëherë, sipas përkufizimit, sipërfaqja anësore është:

,

ku është perimetri i bazës së një prizmi të drejtë.

Paralelepiped

Nëse paralelogramet shtrihen në bazat e një prizmi, atëherë ai quhet paralelipiped. Të gjitha faqet e një paralelipipedi janë paralelograme. Në këtë rast, faqet e kundërta të paralelepipedit janë paralele dhe të barabarta.

Teorema 13.2. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

Dëshmi. Konsideroni dy diagonale arbitrare, për shembull, dhe . Sepse faqet e një paralelopipedi janë paralelograme, atëherë dhe , që do të thotë sipas To ka dy drejtëza paralele me të tretën. Përveç kësaj, kjo do të thotë se linjat e drejta dhe shtrihen në të njëjtin plan (aeroplan). Ky rrafsh kryqëzon plane paralele dhe përgjatë vijave paralele dhe . Kështu, një katërkëndësh është një paralelogram, dhe nga vetia e një paralelogrami, diagonalet e tij kryqëzohen dhe ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit, e cila ishte ajo që duhej vërtetuar.

Një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh quhet paralelipiped drejtkëndëshe. Të gjitha faqet e një paralelepipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha. Gjatësitë e skajeve joparalele të një paralelipipedi drejtkëndor quhen dimensione (dimensione) lineare të tij. Ekzistojnë tre madhësi të tilla (gjerësia, lartësia, gjatësia).

Teorema 13.3. Në një paralelipiped drejtkëndor, katrori i çdo diagonaleje e barabartë me shumën katrorët e tre dimensioneve të tij (vërtetuar duke aplikuar dy herë T Pitagorës).

Quhet një paralelipiped drejtkëndor me të gjitha skajet të barabarta kubik.

Detyrat

13.1 Sa diagonale ka? n-prizmi i karbonit

13.2 Në një prizëm trekëndor të pjerrët, distancat midis skajeve anësore janë 37, 13 dhe 40. Gjeni distancën midis skajit anësor më të madh dhe buzës anësore të kundërt.

13.3 Një rrafsh tërhiqet përmes anës së bazës së poshtme të një prizmi të rregullt trekëndor, duke kryqëzuar faqet anësore përgjatë segmenteve me një kënd midis tyre. Gjeni këndin e prirjes së këtij rrafshi me bazën e prizmit.

Përkufizimi. Prizmaështë një shumëfaqësh, të gjitha kulmet e të cilit janë të vendosura në dy rrafshe paralele, dhe në të njëjtat dy rrafshe shtrihen dy faqe të prizmit, të cilat janë shumëkëndësha të barabartë me brinjë përkatësisht paralele, dhe të gjitha skajet që nuk shtrihen në këto rrafshe janë paralele.

Quhen dy fytyra të barabarta bazat e prizmit(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Të gjitha faqet e tjera të prizmit quhen fytyrat anësore(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Të gjitha fytyrat anësore formohen sipërfaqja anësore e prizmit .

Të gjitha faqet anësore të prizmit janë paralelograme .

Skajet që nuk shtrihen në bazat quhen skajet anësore të prizmit ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonalja e prizmit është një segment, skajet e të cilit janë dy kulme të një prizmi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe (AD 1).

Gjatësia e segmentit që lidh bazat e prizmit dhe pingul me të dyja bazat në të njëjtën kohë quhet lartësia e prizmit .

Përcaktimi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Së pari, në rend kalim, kulmet e njërës bazë tregohen, dhe më pas, në të njëjtin rend, kulmet e tjetrës; skajet e secilës skaj anësor përcaktohen me të njëjtat shkronja, caktohen vetëm kulmet që shtrihen në një bazë me shkronja pa një indeks, dhe në tjetrën - me një indeks)

Emri i prizmit lidhet me numrin e këndeve në figurë që shtrihen në bazën e tij, për shembull, në figurën 1 ka një pesëkëndësh në bazë, kështu që prizmi quhet prizëm pesëkëndësh. Por sepse një prizëm i tillë ka 7 fytyra, atëherë ai heptaedron(2 faqe - bazat e prizmit, 5 fytyra - paralelograme, - faqet anësore të tij)

Ndër prizmat e drejtë, veçohet një lloj i veçantë: prizmat e rregullt.

Një prizëm i drejtë quhet saktë, nëse bazat e tij janë shumëkëndësha të rregullt.

Një prizëm i rregullt i ka të gjitha faqet anësore drejtkëndësha të barabartë. Një rast i veçantë i një prizmi është një paralelipiped.

Paralelepiped

Paralelepipedështë një prizëm katërkëndor, në bazën e të cilit shtrihet një paralelogram (një paralelopiped i prirur). Paralelepiped djathtas- një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me rrafshet e bazës.

Paralelepiped drejtkëndëshe- një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh.

Vetitë dhe teoremat:

Disa veti të një paralelepipedi janë të ngjashme me vetitë e njohura të një paralelogrami kubik .Të gjitha faqet e një kubi janë katrorë të barabartë Katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij

,

ku d është diagonalja e katrorit;
a është ana e katrorit.

Një ide e një prizmi jepet nga:

• të ndryshme strukturat arkitekturore;
• lodra per femije;
• kuti paketimi;
• artikuj dizajner etj.

Sipërfaqja e sipërfaqes totale dhe anësore të prizmit

Sipërfaqja totale e prizmitështë shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të saj Sipërfaqja anësore quhet shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore të saj. Bazat e prizmit janë shumëkëndësha të barabarta, atëherë zonat e tyre janë të barabarta. Kjo është arsyeja pse

S e plotë = ana S + 2S kryesore,

Ku S plot- sipërfaqja totale, Ana S- sipërfaqja anësore, Baza S- zona e bazës

Sipërfaqja anësore e një prizmi të drejtë është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.

Ana S= P bazë * h,

Ku Ana S- zona e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë,

P kryesore - perimetri i bazës së një prizmi të drejtë,

h është lartësia e prizmit të drejtë, e barabartë me brinjë anësore.

Vëllimi i prizmit

Vëllimi i prizmit është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.