Gjatësia e segmentit në boshtin koordinativ përcaktohet nga formula:
Gjatësia e një segmenti në planin koordinativ gjendet duke përdorur formulën:
Për të gjetur gjatësinë e një segmenti në një sistem koordinativ tredimensional, përdorni formulën e mëposhtme:
Koordinatat e mesit të segmentit (për boshtin e koordinatave përdoret vetëm formula e parë, për planin koordinativ - dy formulat e para, për një sistem koordinativ tredimensional - të tre formula) llogariten duke përdorur formulat:
Funksioni- kjo është një korrespondencë e formularit y= f(x) ndërmjet sasive të ndryshueshme, për shkak të të cilave secila vlerëson vlerën e një sasie të ndryshueshme x(argument ose ndryshore e pavarur) korrespondon me një vlerë të caktuar të një ndryshoreje tjetër, y(ndryshore e varur, ndonjëherë kjo vlerë quhet thjesht vlera e funksionit). Vini re se funksioni supozon vlerën e një argumenti X mund të korrespondojë vetëm një vlerë e ndryshores së varur në. Megjithatë, e njëjta vlerë në mund të merret me të ndryshme X.
Funksioni Domain- këto janë të gjitha vlerat e ndryshores së pavarur (argumenti i funksionit, zakonisht ky X), për të cilin është përcaktuar funksioni, d.m.th. kuptimi i tij ekziston. Tregohet zona e përkufizimit D(y). Në përgjithësi, ju tashmë jeni njohur me këtë koncept. Domeni i një funksioni quhet gjithashtu domen vlerat e pranueshme, ose ODZ, të cilin keni kohë që mund ta gjeni.
Gama e funksionit janë të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së varur të një funksioni të caktuar. I caktuar E(në).
Funksioni rritet në intervalin ku vlerë më të lartë argumenti korrespondon me vlerën më të madhe të funksionit. Funksioni është në rënie në intervalin në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.
Intervalet e shenjës konstante të një funksioni- këto janë intervalet e ndryshores së pavarur mbi të cilat ndryshorja e varur ruan shenjën e saj pozitive ose negative.
Funksioni zero- këto janë vlerat e argumentit në të cilin vlera e funksionit është e barabartë me zero. Në këto pika, grafiku i funksionit pret boshtin e abshisave (boshti OX). Shumë shpesh, nevoja për të gjetur zerot e një funksioni nënkupton nevojën për të zgjidhur thjesht ekuacionin. Gjithashtu, shpesh nevoja për të gjetur intervale të qëndrueshmërisë së shenjës nënkupton nevojën për të zgjidhur thjesht pabarazinë.
Funksioni y = f(x) quhen madje X
Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit çift janë të barabarta. Orari madje funksion gjithmonë simetrike në lidhje me boshtin e ordinatave të op-amp.
Funksioni y = f(x) quhen i çuditshëm, nëse është përcaktuar në një grup simetrik dhe për ndonjë X nga fusha e përkufizimit barazia vlen:
Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit tek janë gjithashtu të kundërta. Grafiku i një funksioni tek është gjithmonë simetrik në lidhje me origjinën.
Shuma e rrënjëve të çiftit dhe funksionet tek(pikat e prerjes së boshtit të abshisave OX) është gjithmonë e barabartë me zero, sepse për çdo rrënjë pozitive X ka një rrënjë negative - X.
Është e rëndësishme të theksohet: disa funksione nuk duhet të jenë çift ose tek. Ka shumë funksione që nuk janë as çift e as tek. Funksione të tilla quhen funksione pamje e përgjithshme , dhe për ta asnjë nga barazitë ose vetitë e dhëna më sipër nuk plotësohet.
Funksioni linearështë një funksion që mund të jepet me formulën:
Orari funksion linearështë një vijë e drejtë dhe në rastin e përgjithshëm duket kështu (është dhënë një shembull për rastin kur k> 0, në këtë rast funksioni është në rritje; për rastin k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafiku i një funksioni kuadratik (Parabola)
Grafiku i një parabole jepet nga një funksion kuadratik:
Një funksion kuadratik, si çdo funksion tjetër, pret boshtin OX në pikat që janë rrënjët e tij: ( x 1 ; 0) dhe ( x 2 ; 0). Nëse nuk ka rrënjë, atëherë funksioni kuadratik nuk e pret boshtin OX nëse ka vetëm një rrënjë, atëherë në këtë pikë (; x 0 ; 0) funksioni kuadratik prek vetëm boshtin OX, por nuk e pret atë. Funksioni kuadratik gjithmonë e pret boshtin OY në pikën me koordinatat: (0; c). Orari funksion kuadratik(parabola) mund të duket kështu (figura tregon shembuj që janë larg të qenit shterues llojet e mundshme parabola):
ku:
- nëse koeficienti a> 0, në funksion y = sëpatë 2 + bx + c, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart;
- nëse a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinatat e kulmit të një parabole mund të llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme. X majat (fq- në fotot e mësipërme) parabolat (ose pika në të cilën trinomi kuadratik arrin vlerën e tij më të madhe ose më të vogël):
Igrek majat (q- në figurat e mësipërme) parabolat ose maksimumi nëse degët e parabolës janë të drejtuara poshtë ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vlera e trinomit kuadratik:
Grafikët e funksioneve të tjera
Funksioni i fuqisë
Këtu janë disa shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë:
Në përpjesëtim të zhdrejtëështë një funksion i dhënë nga formula:
Në varësi të shenjës së numrit k orari i kthimit varësia proporcionale mund të ketë dy opsione themelore:
Asimptotëështë një vijë me të cilën grafiku i një funksioni i afrohet pafundësisht, por nuk e kryqëzon. Asimptota për grafikë proporcionaliteti i anasjelltë të paraqitura në figurën e mësipërme janë boshtet e koordinatave të cilave grafiku i funksionit afrohet pafundësisht afër, por nuk i pret ato.
Funksioni eksponencial me bazë Aështë një funksion i dhënë nga formula:
a Grafiku i një funksioni eksponencial mund të ketë dy opsione themelore (ne japim edhe shembuj, shih më poshtë):
Funksioni logaritmikështë një funksion i dhënë nga formula:
Varësisht nëse numri është më i madh apo më i vogël se një a Grafiku i një funksioni logaritmik mund të ketë dy opsione themelore:
Grafiku i një funksioni y = |x| si në vazhdim:
Grafikët e funksioneve periodike (trigonometrike).
Funksioni në = f(x) quhet periodike, nëse ekziston një numër i tillë jozero T, Çfarë f(x + T) = f(x), për këdo X nga domeni i funksionit f(x). Nëse funksioni f(x) është periodike me periudhë T, pastaj funksioni:
Ku: A, k, b janë numra konstante, dhe k jo e barabartë me zero, gjithashtu periodike me periodë T 1, e cila përcaktohet nga formula:
Shumica e shembujve të funksioneve periodike janë funksione trigonometrike. Këtu janë grafikët e kryesore funksionet trigonometrike. Figura e mëposhtme tregon një pjesë të grafikut të funksionit y= mëkat x(i gjithë grafiku vazhdon pafundësisht majtas dhe djathtas), grafiku i funksionit y= mëkat x thirrur sinusoid:
Grafiku i një funksioni y=cos x thirrur kosinusi. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Meqenëse grafiku i sinusit vazhdon pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas:
Grafiku i një funksioni y= tg x thirrur tangentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike, këtë orar përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.
Dhe së fundi, grafiku i funksionit y=ctg x thirrur kotangjentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike dhe trigonometrike, ky grafik përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.
Zbatimi i suksesshëm, i zellshëm dhe i përgjegjshëm i këtyre tre pikave do t'ju lejojë të tregoni një rezultat të shkëlqyer në CT, maksimumin e asaj që jeni në gjendje.
Gjete një gabim?
Nëse mendoni se keni gjetur një gabim në materiale edukative, atëherë ju lutemi shkruani në lidhje me të me email. Ju gjithashtu mund të raportoni një gabim tek rrjet social(). Në letër, tregoni lëndën (fizikë ose matematikë), emrin ose numrin e temës ose testit, numrin e problemit ose vendin në tekst (faqe) ku, sipas mendimit tuaj, ka një gabim. Gjithashtu përshkruani se cili është gabimi i dyshuar. Letra juaj nuk do të kalojë pa u vënë re, gabimi ose do të korrigjohet, ose do t'ju shpjegohet pse nuk është gabim.
Punëtori
Sipas analizave matematikore
Për studentët e mbrëmjes
Wow sigurisht
(Pjesa I)
Manual edukativo-metodologjik
Moskë, 2006
UDC 512.8:516
BBK S42
Rishikuesit:
Kandidati i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor i Asociuar Karolinskaya S.N. (Instituti i Aviacionit të Moskës me emrin S. Ordzhonikidze);
Ph.D., Profesor i asociuar Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT me emrin M.V. Lomonosov).
Skvortsova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Workshop mbi analizën matematikore për studentët e vitit të 1-rë në mbrëmje (Pjesa I), Manual edukativo-metodologjik - M.: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 f.: i sëmurë. 29 .
Miratuar nga Komisioni i Bibliotekës dhe Botimeve të MITHT. M.V. Lomonosov si një mjet mësimor. Poz. ___/2006.
Manuali përbëhet nga shënimet 6 klasa praktike në kursin e analizës matematikore për studentët e departamentit të mbrëmjes të MITHT. M.V. Lomonosov. Pjesa I përfshin seksionet e mëposhtme: "Funksioni dhe vetitë e tij themelore", "Kufiri i një funksioni", "Vazhdimësia dhe pikat e ndërprerjes së një funksioni".
Çdo mësim i kushtohet një teme të veçantë. Shënimet për 5 mësime përmbajnë përmbledhje teori përkatëse, shembuj tipikë dhe problema për zgjidhje të pavarur (me përgjigje). Shënimet e mësimit nr. 6 ofrojnë një opsion shembull punë testuese(me zgjidhje) të realizuara në këtë orë mësimi.
Manuali është i destinuar për studentët në mbrëmje të universiteteve kimike.
© MITHT im. M.V. Lomonosova, 2006
Mesimi 1.
| |
Mësimi 2. Sistemi i koordinatave polar. Hartimi i grafikëve të funksioneve duke përdorur metodën e zhvendosjes dhe shtrirjes përgjatë boshteve koordinative…………………………………………………….
Mësimi 3. Kufiri i funksionit. Vazhdimësia e funksionit. Llogaritja e kufijve të funksioneve të vazhdueshme, racionale dhe disa irracionale……………
Mësimi 4. E para dhe e dyta janë kufij të mrekullueshëm. Llogaritja e kufijve të një funksioni fuqi-eksponencial. Pafundësisht i vogël dhe pafundësisht i madh
vlerat…………………………………………………….
Mësimi 5. Pikat e vazhdimësisë dhe pikat e ndërprerjes së një funksioni. Klasifikimi i pikave të thyerjes. Hetimi i një funksioni për vazhdimësinë…………………………………
Mësimi 6. Testi nr. 1 me temën "Llogaritja e kufijve të funksioneve. Studimi i funksioneve për vazhdimësinë"…………………………………………………………………………
Letërsia……………………………………………….
Mesimi 1.
Koncepti i funksionit. Funksionet themelore elementare, vetitë dhe grafikët e tyre.
Përkufizimi 1. Varësia e një ndryshoreje nga një ndryshore quhet funksionin, nëse secila vlerë korrespondon me një vlerë të vetme.
Ne shkruajmë: Dhe ne flasim, e cila është një funksion i . Në këtë rast quhet ndryshore e pavarur(ose argument), dhe - ndryshore e varur.
Përkufizimi 2. Funksioni Domain(të shënuara me ) janë të gjitha vlerat që . Vlerat e shumë funksioneve(të shënuara me ) janë të gjitha vlerat që .
Përkufizimi 3. Funksioni thirret në rritje (në rënie) në intervalin numerik nëse për ndonjë nga , në mënyrë që, pabarazia të jetë:
.
Përkufizimi 4. Funksioni thirret monotone në intervalin nëse vetëm zvogëlohet ose rritet vetëm me .
Përkufizimi 5. Funksioni thirret madje (i çuditshëm), nëse është simetrik rreth zeros dhe për ndonjë nga:
.
Universiteti Kombëtar i Kërkimeve
Departamenti i Gjeologjisë së Aplikuar
Abstrakt për matematikën e lartë
Me temën: "Funksionet themelore elementare,
vetitë dhe grafikët e tyre"
E përfunduar:
Kontrolluar:
mësuesi
Përkufizimi. Funksioni i përcaktuar me formulën y=a x (ku a>0, a≠1) thirret funksioni eksponencial me bazë a.
Le të formulojmë vetitë kryesore të funksionit eksponencial:
1. Fusha e përkufizimit është bashkësia (R) e të gjithë numrave realë.
2. Gama - bashkësia (R+) e të gjithë numrave realë pozitivë.
3. Për a > 1, funksioni rritet përgjatë gjithë vijës numerike; në 0<а<1 функция убывает.
4. Është funksion i formës së përgjithshme.
, në intervalin xО [-3;3]
, në intervalin xО [-3;3] Një funksion i formës y(x)=x n, ku n është numri ОR, quhet funksion fuqie. Numri n mund të marrë vlera të ndryshme: si numër i plotë ashtu edhe thyesor, çift dhe tek. Në varësi të kësaj, funksioni i fuqisë do të ketë një formë të ndryshme. Le të shqyrtojmë raste të veçanta që janë funksione të fuqisë dhe të pasqyrojmë vetitë themelore të këtij lloji të kurbës në rendin e mëposhtëm: funksioni i fuqisë y=x² (funksioni me një eksponent çift - një parabolë), funksioni i fuqisë y=x³ (funksioni me një eksponent tek - parabola kubike) dhe funksioni y=√x (x në fuqinë e ½) (funksion me një eksponent thyesor), funksion me një eksponent negativ të numrit të plotë (hiperbola).
Funksioni i fuqisë y=x²
1. D(x)=R – funksioni është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik;
2. E(y)= dhe rritet në interval
Funksioni i fuqisë y=x³
1. Grafiku i funksionit y=x³ quhet parabolë kubike. Funksioni i fuqisë y=x³ ka këto veti:
2. D(x)=R – funksioni është përcaktuar në të gjithë boshtin numerik;
3. E(y)=(-∞;∞) – funksioni merr të gjitha vlerat në domenin e tij të përkufizimit;
4. Kur x=0 y=0 – funksioni kalon nga origjina e koordinatave O(0;0).
5. Funksioni rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.
6. Funksioni është tek (simetrik në lidhje me origjinën).
, në intervalin xО [-3;3] Në varësi të faktorit numerik përpara x³, funksioni mund të jetë i pjerrët/i sheshtë dhe në rritje/zvogëlim.
Funksioni i fuqisë me eksponent negativ të numrit të plotë:
Nëse eksponenti n është tek, atëherë grafiku i një funksioni të tillë fuqie quhet hiperbolë. Një funksion fuqie me një eksponent negativ numër të plotë ka vetitë e mëposhtme:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) për çdo n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), nëse n është një numër tek; E(y)=(0;∞), nëse n është numër çift;
3. Funksioni zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit nëse n është një numër tek; funksioni rritet në intervalin (-∞;0) dhe zvogëlohet në intervalin (0;∞) nëse n është numër çift.
4. Funksioni është tek (simetrik në lidhje me origjinën) nëse n është një numër tek; një funksion është çift nëse n është një numër çift.
5. Funksioni kalon nëpër pikat (1;1) dhe (-1;-1) nëse n është numër tek dhe nëpër pikat (1;1) dhe (-1;1) nëse n është numër çift.
, në intervalin xО [-3;3] Funksioni i fuqisë me eksponent thyesor
Një funksion fuqie me një eksponent thyesor (foto) ka një grafik të funksionit të paraqitur në figurë. Një funksion fuqie me një eksponent thyesor ka këto veti: (foto)
1. D(x) ОR, nëse n është numër tek dhe D(x)= 
, në intervalin xО 
, në intervalin xО [-3;3]
Funksioni logaritmik y = log a x ka këto veti:
1. Domeni i përkufizimit D(x)О (0; + ∞).
2. Gama e vlerave E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funksioni nuk është as çift, as tek (i formës së përgjithshme).
4. Funksioni rritet në intervalin (0; + ∞) për një > 1, zvogëlohet në (0; + ∞) për 0< а < 1.
Grafiku i funksionit y = log a x mund të merret nga grafiku i funksionit y = a x duke përdorur një transformim simetrie rreth drejtëzës y = x. Figura 9 tregon një grafik të funksionit logaritmik për një > 1, dhe Figura 10 për 0< a < 1.
; në intervalin xО 
; në intervalin xО Funksionet y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x quhen funksione trigonometrike.
Funksionet y = sin x, y = tan x, y = ctg x janë tek, dhe funksioni y = cos x është çift.
Funksioni y = sin(x).
1. Domeni i përkufizimit D(x) ОR.
2. Gama e vlerave E(y) О [ - 1; 1].
3. Funksioni është periodik; periudha kryesore është 2π.
4. Funksioni është tek.
5. Funksioni rritet në intervale [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] dhe zvogëlohet në intervalet [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Grafiku i funksionit y = sin (x) është paraqitur në figurën 11.
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
