Mësim dhe prezantim me temën: "Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyra ndërvepruese për ndërtimin në hapësirë
Mjedisi i softuerit "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Çfarë do të studiojmë:
1. Çfarë janë ekuacionet trigonometrike?

3. Dy metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Ekuacionet trigonometrike homogjene.
5. Shembuj.

Cilat janë ekuacionet trigonometrike?

Djema, ne kemi studiuar tashmë arksine, arccosine, arctangent dhe arcotangent. Tani le të shohim ekuacionet trigonometrike në përgjithësi.

Ekuacionet trigonometrike– një ekuacion në të cilin një ndryshore gjendet nën shenjën e një funksioni trigonometrik.

Le të përsërisim formën e zgjidhjes së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike:

1) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni cos(x) = a ka një zgjidhje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Nëse |a|≤ 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a ka një zgjidhje:

3) Nëse |a| > 1, atëherë ekuacioni sin(x) = a dhe cos(x) = a nuk kanë zgjidhje 4) Ekuacioni tg(x)=a ka një zgjidhje: x=arctg(a)+ πk

5) Ekuacioni ctg(x)=a ka zgjidhje: x=arcctg(a)+ πk

Për të gjitha formulat k është një numër i plotë

Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike kanë formën: T(kx+m)=a, T është një funksion trigonometrik.

Shembull.

Zgjidh barazimet: a) sin(3x)= √3/2

Zgjidhja:

A) Le të shënojmë 3x=t, atëherë do ta rishkruajmë ekuacionin tonë në formën:

Zgjidhja e këtij ekuacioni do të jetë: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Nga tabela e vlerave marrim: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Le të kthehemi te ndryshorja jonë: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atëherë x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Përgjigje: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, ku n është një numër i plotë. (-1)^n – minus një në fuqinë e n.

Më shumë shembuj të ekuacioneve trigonometrike.

Zgjidh ekuacionet: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Zgjidhja:

A) Këtë herë le të kalojmë drejtpërdrejt në llogaritjen e rrënjëve të ekuacionit menjëherë:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atëherë x/5= πk => x=5πk

Përgjigje: x=5πk, ku k është një numër i plotë.

B) E shkruajmë në formën: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne e dimë se: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Përgjigje: x=2π/9 + πk/3, ku k është një numër i plotë.

Zgjidh ekuacionet: cos(4x)= √2/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segment.

Zgjidhja:

Ne do të vendosim në pamje e përgjithshme ekuacioni ynë: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tani le të shohim se cilat rrënjë bien në segmentin tonë. Në k Në k=0, x= π/16, jemi në segmentin e dhënë.
Me k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, goditemi sërish.
Për k=2, x= π/16+ π=17π/16, por këtu nuk goditëm, që do të thotë se edhe për k të madh, padyshim që nuk do të godasim.

Përgjigje: x= π/16, x= 9π/16

Dy metoda kryesore të zgjidhjes.

Ne shikuam ekuacionet trigonometrike më të thjeshta, por ka edhe më komplekse. Për zgjidhjen e tyre përdoret metoda e futjes së një ndryshoreje të re dhe metoda e faktorizimit. Le të shohim shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

Zgjidhja:
Për të zgjidhur ekuacionin tonë, ne do të përdorim metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re, që tregon: t=tg(x).

Si rezultat i zëvendësimit marrim: t 2 + 2t -1 = 0

Të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-1 dhe t=1/3

Pastaj tg(x)=-1 dhe tg(x)=1/3, marrim ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë, le të gjejmë rrënjët e tij.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Përgjigje: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Zgjidh ekuacionet: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të përdorim identitetin: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ekuacioni ynë do të marrë formën: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Le të prezantojmë zëvendësimin t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik janë rrënjët: t=2 dhe t=-1/2

Pastaj cos(x)=2 dhe cos(x)=-1/2.

Sepse kosinusi nuk mund të marrë vlera më të mëdha se një, atëherë cos(x)=2 nuk ka rrënjë.

Për cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Përgjigje: x= ±2π/3 + 2πk

Ekuacionet trigonometrike homogjene.

Përkufizim: Ekuacionet e formës a sin(x)+b cos(x) quhen ekuacione trigonometrike homogjene të shkallës së parë.

Ekuacionet e formës

ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë.

Për të zgjidhur një ekuacion homogjen trigonometrik të shkallës së parë, pjesëtojeni atë me cos(x): Ju nuk mund të pjesëtoni me kosinusin nëse është i barabartë me zero, le të sigurohemi që nuk është kështu:
Le të cos(x)=0, pastaj asin(x)+0=0 => sin(x)=0, por sinusi dhe kosinusi nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë, marrim një kontradiktë, kështu që mund të ndajmë me siguri me zero.

Zgjidhe ekuacionin:
Shembull: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Zgjidhja:

Le të nxjerrim faktorin e përbashkët: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atëherë duhet të zgjidhim dy ekuacione:

Cos(x)=0 dhe cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 në x= π/2 + πk;

Konsideroni ekuacionin cos(x)+sin(x)=0 Pjesëtojmë ekuacionin tonë me cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Përgjigje: x= π/2 + πk dhe x= -π/4+πk

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene trigonometrike të shkallës së dytë?
Djema, ndiqni gjithmonë këto rregulla!

1. Shihni çfarë koeficienti është i barabartë dhe, nëse a=0, atëherë ekuacioni ynë do të marrë formën cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), një shembull i një zgjidhjeje të së cilës është në rrëshqitjen e mëparshme

2. Nëse a≠0, atëherë duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me kosinusin në katror, ​​marrim:

Ndryshojmë variablin t=tg(x) dhe marrim ekuacionin:

Zgjidh shembullin nr.:3

Zgjidhe ekuacionin:
Zgjidhja:

Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me katrorin kosinus:

Ndryshojmë variablin t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Të gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik: t=-3 dhe t=1

Atëherë: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Përgjigje: x=-arctg(3) + πk dhe x= π/4+ πk

Zgjidh shembullin nr.:4

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Ne mund të zgjidhim ekuacione të tilla: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Përgjigje: x= - π/4 + 2πk dhe x=5π/4 + 2πk

Zgjidh shembullin nr.:5

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja:
Le të transformojmë shprehjen tonë:

Le të prezantojmë zëvendësimin tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Zgjidhja e ekuacionit tonë kuadratik do të jenë rrënjët: t=-2 dhe t=1/2

Pastaj marrim: tg(2x)=-2 dhe tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Përgjigje: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dhe x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemet për zgjidhje të pavarur.

1) Zgjidhe ekuacionin

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Zgjidh barazimet: sin(3x)= √3/2. Dhe gjeni të gjitha rrënjët në segmentin [π/2; π].

3) Zgjidhe ekuacionin: ahur 2 (x) + 2 ahur (x) + 1 =0

4) Zgjidhe ekuacionin: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Zgjidhe ekuacionin: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Zgjidheni ekuacionin: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Kur zgjidhni shumë problemet matematikore, sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është e përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë te qëllimi. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, lineare dhe ekuacionet kuadratike, lineare dhe pabarazitë kuadratike, ekuacionet thyesore dhe ekuacionet që reduktohen në ato kuadratike. Parimi i zgjidhjes me sukses të secilit prej problemeve të përmendura është si më poshtë: duhet të vendosni se çfarë lloj problemi po zgjidhni, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.

Është e qartë se suksesi ose dështimi në zgjidhjen e një problemi të caktuar varet kryesisht nga sa saktë përcaktohet lloji i ekuacionit që zgjidhet, sa saktë riprodhohet sekuenca e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Sigurisht, në këtë rast është e nevojshme të keni aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.

Situata është e ndryshme me ekuacionet trigonometrike. Nuk është aspak e vështirë të vërtetohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin gjatë përcaktimit të sekuencës së veprimeve që do të çonin në përgjigjen e saktë.

Nga pamjen ekuacioni ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.

Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, duhet të provoni:

1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sjell ekuacionin në “funksione identike”;
3. shpalos ana e majte ekuacionet e faktorizimit etj.

Le të shqyrtojmë metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike

Diagrami i zgjidhjes

Hapi 1. Shprehni një funksion trigonometrik në lidhje me komponentët e njohur.

Hapi 2. Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n harksin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hapi 3. Gjeni variablin e panjohur.

Shembull.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Zgjidhje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zëvendësimi i ndryshueshëm

Diagrami i zgjidhjes

Hapi 1. Reduktoni ekuacionin në formë algjebrike në lidhje me një nga funksionet trigonometrike.

Hapi 2. Shënoni funksionin që rezulton me ndryshoren t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).

Hapi 3. Shkruani dhe zgjidhni rezultatin ekuacioni algjebrik.

Hapi 4. Bëni një zëvendësim të kundërt.

Hapi 5. Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.

Shembull.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Zgjidhje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ose e = -3/2, nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit

Diagrami i zgjidhjes

Hapi 1. Zëvendësoni këtë ekuacion me një linear, duke përdorur formulën për zvogëlimin e shkallës:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hapi 2. Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.

Shembull.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Zgjidhje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ekuacionet homogjene

Diagrami i zgjidhjes

Hapi 1. Reduktojeni këtë ekuacion në formë

a) një mëkat x + b cos x = 0 ( ekuacioni homogjen shkalla e parë)

ose te pamja

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Hapi 2. Ndani të dyja anët e ekuacionit me

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dhe merrni ekuacionin për tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Hapi 3. Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Zgjidhje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Le të tg x = t, atëherë

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ose t = -4, që do të thotë

tg x = 1 ose tg x = -4.

Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda e transformimit të një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike

Diagrami i zgjidhjes

Hapi 1. Duke përdorur të gjitha formulat e mundshme trigonometrike, reduktojeni këtë ekuacion në një ekuacion të zgjidhur me metodat I, II, III, IV.

Hapi 2. Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.

Shembull.

mëkat x + mëkat 2x + mëkat 3x = 0.

Zgjidhje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;

Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.

Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Si rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Përgjigje: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Aftësia dhe aftësia për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike është shumë e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga ana e nxënësit ashtu edhe nga ana e mësuesit.

Shumë probleme të stereometrisë, fizikës etj., lidhen me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike Procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla mishëron shumë nga njohuritë dhe aftësitë që përftohen duke studiuar elementët e trigonometrisë.

Ekuacionet trigonometrike marrin vend i rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Një mësim në zbatimin e integruar të njohurive.

Objektivat e mësimit.

1. Merrni parasysh metoda të ndryshme zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike.
2. Zhvillimi Kreativiteti nxënësit duke zgjidhur ekuacione.
3. Inkurajimi i nxënësve për vetëkontroll, kontroll të ndërsjellë dhe vetë-analizë të aktiviteteve të tyre arsimore.

Pajisjet: ekran, projektor, material referues.

Gjatë orëve të mësimit

Bisedë hyrëse.

Metoda kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike është reduktimi i tyre në formën e tyre më të thjeshtë. Në këtë rast, përdoren metodat e zakonshme, për shembull, faktorizimi, si dhe teknikat e përdorura vetëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Ka mjaft nga këto teknika, për shembull, zëvendësime të ndryshme trigonometrike, transformime të këndeve, transformime të funksioneve trigonometrike. Zbatimi pa dallim i çdo transformimi trigonometrik zakonisht nuk e thjeshton ekuacionin, por e ndërlikon atë në mënyrë katastrofike. Për të ushtruar në skicë e përgjithshme plani për zgjidhjen e ekuacionit, përshkruani një mënyrë për të reduktuar ekuacionin në më të thjeshtën, së pari duhet të analizoni këndet - argumentet e funksioneve trigonometrike të përfshira në ekuacion.

Sot do të flasim për metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Metoda e zgjedhur në mënyrë korrekte shpesh mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen, kështu që të gjitha metodat që kemi studiuar duhet të kemi gjithmonë parasysh në mënyrë që të zgjidhim ekuacionet trigonometrike duke përdorur metodën më të përshtatshme.

II. (Duke përdorur një projektor, ne përsërisim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve.)

1. Metoda e reduktimit të një ekuacioni trigonometrik në atë algjebrik.

Gjithçka duhet të shprehet funksionet trigonometrike përmes një, me të njëjtin argument. Kjo mund të bëhet duke përdorur identitetin bazë trigonometrik dhe pasojat e tij. Marrim një ekuacion me një funksion trigonometrik. Duke e marrë atë si një të panjohur të re, marrim një ekuacion algjebrik. Gjejmë rrënjët e tij dhe kthehemi në të panjohurën e vjetër, duke zgjidhur ekuacionet më të thjeshta trigonometrike.

2. Metoda e faktorizimit.

Për të ndryshuar këndet, shpesh janë të dobishme formulat për reduktimin, shumën dhe ndryshimin e argumenteve, si dhe formulat për shndërrimin e shumës (ndryshimit) të funksioneve trigonometrike në një produkt dhe anasjelltas.

mëkat x + mëkat 3x = mëkat 2x + mëkat4x

3. Metoda e prezantimit të një këndi shtesë.

4. Metoda e përdorimit të zëvendësimit universal.

Ekuacionet e formës F(sinx, cosx, tanx) = 0 reduktohen në algjebrik duke përdorur një zëvendësim universal trigonometrik

Shprehja e sinusit, kosinusit dhe tangjentes në terma të tangjentës së një gjysmëkëndi. Kjo teknikë mund të çojë në një ekuacion të rendit më të lartë. Zgjidhja për të cilën është e vështirë.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Nuk është sekret që suksesi ose dështimi në procesin e zgjidhjes së pothuajse çdo problemi varet kryesisht nga përcaktimi i saktë i llojit të një ekuacioni të caktuar, si dhe nga riprodhimi i saktë i sekuencës së të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Megjithatë, në rastin e ekuacioneve trigonometrike, përcaktimi i faktit që ekuacioni është trigonometrik nuk është aspak i vështirë. Por në procesin e përcaktimit të sekuencës së veprimeve që duhet të na çojnë në përgjigjen e saktë, mund të hasim vështirësi të caktuara. Le të kuptojmë se si të zgjidhim saktë ekuacionet trigonometrike që në fillim.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike

Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, duhet të provoni pikat e mëposhtme:

• Ne reduktojmë të gjitha funksionet që përfshihen në ekuacionin tonë në "kënde identike";
• Është e nevojshme të sjellim ekuacionin e dhënë në "funksione identike";
• Ne e zbërthejmë anën e majtë të ekuacionit të dhënë në faktorë ose përbërës të tjerë të nevojshëm.

Metodat

Metoda 1. Ekuacione të tilla duhet të zgjidhen në dy faza. Së pari, ne e transformojmë ekuacionin në mënyrë që të marrim formën e tij më të thjeshtë (të thjeshtuar). Ekuacioni: Cosx = a, Sinx = a dhe të ngjashme quhen ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Faza e dytë është zgjidhja e ekuacionit më të thjeshtë të marrë. Duhet të theksohet se ekuacioni më i thjeshtë mund të zgjidhet metodë algjebrike, e cila është e njohur për ne nga kursi i algjebrës shkollore. Quhet gjithashtu metoda e zëvendësimit dhe zëvendësimit të ndryshoreve. Duke përdorur formulat e reduktimit, së pari duhet të transformoni, më pas të bëni një zëvendësim dhe më pas të gjeni rrënjët.

Më pas, ne duhet të zbërthejmë ekuacionin tonë në faktorë të mundshëm për ta bërë këtë, ne duhet të lëvizim të gjithë termat në të majtë dhe më pas mund ta faktorizojmë atë. Tani duhet ta sjellim këtë ekuacion në një ekuacion homogjen, në të cilin të gjithë termat janë të barabartë me të njëjtën fuqi, dhe kosinusi dhe sinusi kanë të njëjtin kënd.

Para se të zgjidhni ekuacionet trigonometrike, duhet t'i zhvendosni termat e tij në anën e majtë, duke i marrë ato nga ana e djathtë, dhe më pas të vendosni të gjithë emëruesit e përbashkët jashtë kllapave. Ne barazojmë kllapat dhe faktorët tanë me zero. Kllapat tona të barazuara përfaqësojnë një ekuacion homogjen me një shkallë të reduktuar, e cila duhet të ndahet me sin (cos) në shkallën më të lartë. Tani zgjidhim ekuacionin algjebrik që u përftua në lidhje me tan.

Metoda 2. Një metodë tjetër me të cilën mund të zgjidhni një ekuacion trigonometrik është të shkoni te këndi gjysmë. Për shembull, zgjidhim ekuacionin: 3sinx-5cosx=7.

Duhet të shkojmë në gjysmëkëndin, në rastin tonë është: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). Dhe pas kësaj, ne zvogëlojmë të gjithë termat në një pjesë (për lehtësi, është më mirë të zgjidhni atë të duhurin) dhe vazhdojmë të zgjidhim ekuacionin.

Nëse është e nevojshme, mund të futni një kënd ndihmës. Kjo bëhet në rastin kur ju duhet të zëvendësoni vlerën e plotë sin (a) ose cos (a) dhe shenja "a" vepron vetëm si një kënd ndihmës.

Produkt për të përmbledhur

Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike duke përdorur produktin për të mbledhur? Një metodë e njohur si konvertimi produkt në shumë mund të përdoret gjithashtu për të zgjidhur ekuacione të tilla. Në këtë rast, është e nevojshme të përdoren formulat që korrespondojnë me ekuacionin.

Për shembull, kemi ekuacionin: 2sinx * sin3x= сos4x

Ne duhet ta zgjidhim këtë problem duke e kthyer anën e majtë në një shumë, domethënë:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Nëse metodat e mësipërme nuk janë të përshtatshme, dhe ende nuk dini si të zgjidhni ekuacionet më të thjeshta trigonometrike, mund të përdorni një metodë tjetër - zëvendësimin universal. Mund të përdoret për të transformuar një shprehje dhe për të bërë një zëvendësim. Për shembull: Cos(x/2)=u. Tani mund ta zgjidhni ekuacionin me parametrin ekzistues u. Dhe pasi të keni marrë rezultatin e dëshiruar, mos harroni ta konvertoni këtë vlerë në të kundërtën.

Shumë studentë "me përvojë" këshillojnë t'u kërkojnë njerëzve të zgjidhin ekuacionet në internet. Si të zgjidhni një ekuacion trigonometrik në internet, ju pyesni. Për zgjidhje online detyrave, mund të shkoni në forume për tema përkatëse, ku mund t'ju ndihmojnë me këshilla ose në zgjidhjen e problemit. Por është më mirë të përpiqeni ta bëni vetë.

Aftësitë dhe aftësitë në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike janë shumë të rëndësishme dhe të dobishme. Zhvillimi i tyre do të kërkojë përpjekje të konsiderueshme nga ju. Me zgjidhjen e ekuacioneve të tilla shoqërohen shumë probleme në fizikë, stereometri etj. Dhe vetë procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla presupozon praninë e aftësive dhe njohurive që mund të fitohen gjatë studimit të elementeve të trigonometrisë.

Mësimi i formulave trigonometrike

Në procesin e zgjidhjes së një ekuacioni, mund të hasni nevojën për të përdorur ndonjë formulë nga trigonometria. Sigurisht, mund të filloni ta kërkoni në tekstet tuaja shkollore dhe në fletët e mashtrimit. Dhe nëse këto formula ruhen në kokën tuaj, jo vetëm që do të kurseni nervat tuaja, por edhe do ta bëni detyrën tuaj shumë më të lehtë, pa humbur kohë duke kërkuar. informacionin e nevojshëm. Kështu, do të keni mundësinë të mendoni për mënyrën më racionale për të zgjidhur problemin.