Ky artikull është një koleksion informacioni të detajuar që lidhet me temën e vetive të rrënjëve. Duke marrë parasysh temën, do të fillojmë me vetitë, do të studiojmë të gjitha formulimet dhe do të japim prova. Për të konsoliduar temën, do të shqyrtojmë vetitë e shkallës së n-të.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vetitë e rrënjëve

Do të flasim për pronat.

1. Prona numra të shumëzuar a Dhe b, e cila paraqitet si barazi a · b = a · b. Mund të përfaqësohet në formën e faktorëve, pozitivë ose të barabartë me zero a 1, a 2, …, a k si a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. nga herësi a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, mund të shkruhet edhe në këtë formë a b = a b;
3. Veti nga fuqia e një numri a me eksponent çift a 2 m = a m për çdo numër a, për shembull, vetia nga katrori i një numri a 2 = a.

Në cilindo nga ekuacionet e paraqitura, ju mund të ndërroni pjesët para dhe pas shenjës së vizës, për shembull, barazia a · b = a · b shndërrohet në a · b = a · b. Vetitë e barazisë përdoren shpesh për të thjeshtuar ekuacionet komplekse.

Vërtetimi i vetive të para bazohet në përcaktimin e rrënjës katrore dhe vetitë e fuqive me një eksponent natyror. Për të justifikuar vetinë e tretë, është e nevojshme t'i referohemi përkufizimit të modulit të një numri.

Para së gjithash, është e nevojshme të vërtetohen vetitë e rrënjës katrore a · b = a · b. Sipas përkufizimit, është e nevojshme të konsiderohet se a b është një numër, pozitiv ose i barabartë me zero, i cili do të jetë i barabartë me a b gjatë ndërtimit në një shesh. Vlera e shprehjes a · b është pozitive ose e barabartë me zero si prodhim i numrave jonegativë. Vetia e fuqive të numrave të shumëzuar na lejon të paraqesim barazinë në formën (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Sipas përcaktimit të rrënjës katrore, a 2 = a dhe b 2 = b, pastaj a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Në një mënyrë të ngjashme mund të vërtetohet se nga produkti k shumëzuesit a 1, a 2, …, a k do të jetë i barabartë me prodhimin e rrënjëve katrore të këtyre faktorëve. Në të vërtetë, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Nga kjo barazi rrjedh se a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Le të shohim disa shembuj për të përforcuar temën.

Shembulli 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 dhe 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Është e nevojshme të vërtetohet vetia e rrënjës katrore aritmetike të herësit: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Vetia na lejon të shkruajmë barazinë a: b 2 = a 2: b 2, dhe a 2: b 2 = a: b, ndërsa a: b është një numër pozitiv ose i barabartë me zero. Kjo shprehje do të bëhet provë.

Për shembull, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 dhe 30.121 = 30.121.

Le të shqyrtojmë vetinë e rrënjës katrore të katrorit të një numri. Mund të shkruhet si barazi si 2 = a Për të vërtetuar këtë veti, është e nevojshme të merren në konsideratë në detaje disa barazi për a ≥ 0 dhe në a< 0 .

Natyrisht, për a ≥ 0 barazia a 2 = a është e vërtetë. Në a< 0 barazia a 2 = - a do të jetë e vërtetë. Në fakt, në këtë rast − a > 0 dhe (− a) 2 = a 2 . Mund të konkludojmë, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 2

5 2 = 5 = 5 dhe - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Vetia e provuar do të ndihmojë për të justifikuar një 2 m = a m, ku a- reale, dhe m –numri natyror. Në të vërtetë, vetia e ngritjes së një fuqie na lejon të zëvendësojmë fuqinë një 2 m shprehje (a m) 2, pastaj a 2 m = (a m) 2 = a m.

Shembulli 3

3 8 = 3 4 = 3 4 dhe (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Vetitë e rrënjës së n-të

Së pari, duhet të marrim parasysh vetitë themelore të rrënjëve të n-të:

1. Veti nga prodhimi i numrave a Dhe b, të cilat janë pozitive ose të barabarta me zero, mund të shprehen si barazi a · b n = a n · b n , kjo veti është e vlefshme për produktin k numrat a 1, a 2, …, a k si a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. nga numër thyesor ka vetinë a b n = a n b n , ku aështë çdo numër real që është pozitiv ose i barabartë me zero, dhe b– numër real pozitiv;
3. Për çdo a madje edhe tregues n = 2 m a 2 · m 2 · m = a është e vërtetë, dhe për tek n = 2 m − 1 vlen barazia a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Veti e nxjerrjes nga a m n = a n m , ku a- çdo numër, pozitiv ose i barabartë me zero, n Dhe m janë numra natyrorë, kjo veti mund të paraqitet edhe në formë. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Për çdo a jo negative dhe arbitrare n Dhe m, të cilat janë të natyrshme, mund të përcaktojmë edhe barazinë e drejtë a m n · m = a n ;
6. Vetia e gradës n nga fuqia e një numri a, e cila është pozitive ose e barabartë me zero, me fuqinë natyrore m, e përcaktuar nga barazia a m n = a n m ;
7. Krahasoni vetitë që kanë eksponentë të njëjtë: për çdo numër pozitiv a Dhe b sikurse a< b , pabarazia a n< b n ;
8. Veti krahasuese, që kanë numra të njëjtë nën rrënjë: nëse m Dhe n - numrat natyrorë që m > n, pastaj në 0 < a < 1 pabarazia a m > a n është e vërtetë, dhe kur a > 1 ekzekutuar një m< a n .

Barazitë e dhëna më sipër janë të vlefshme nëse pjesët para dhe pas shenjës së barazimit ndërrohen. Ato mund të përdoren edhe në këtë formë. Kjo përdoret shpesh kur thjeshtohen ose transformohen shprehjet.

Vërtetimi i vetive të mësipërme të rrënjës bazohet në përkufizimin, vetitë e shkallës dhe përcaktimin e modulit të një numri. Këto veti duhet të vërtetohen. Por gjithçka është në rregull.

1. Para së gjithash, le të vërtetojmë vetitë e rrënjës së n-të të produktit a · b n = a n · b n . Për a Dhe b , e cila janë pozitive ose e barabartë me zero , vlera a n · b n është gjithashtu pozitive ose e barabartë me zero, pasi është pasojë e shumëzimit të numrave jonegativë. Vetia e një produkti ndaj fuqisë natyrore na lejon të shkruajmë barazinë a n · b n n = a n n · b n n . Sipas përkufizimit të një rrënjë n-shkalla e -të a n n = a dhe b n n = b , pra, a n · b n n = a · b . Barazia që rezulton është pikërisht ajo që duhet vërtetuar.

Kjo veti mund të vërtetohet në mënyrë të ngjashme për produktin k shumëzuesit: për numrat jonegativ a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Këtu janë shembuj të përdorimit të pronës rrënjë n-fuqia nga produkti: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 dhe 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Le të vërtetojmë vetinë e rrënjës së herësit a b n = a n b n . Në a ≥ 0 Dhe b > 0 kushti a n b n ≥ 0 plotësohet dhe a n b n n = a n n b n n = a b .

Le të tregojmë shembuj:

Shembulli 4

8 27 3 = 8 3 27 3 dhe 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Për hapin tjetër është e nevojshme të vërtetohen vetitë e shkallës së n-të nga numri në shkallë n. Le ta imagjinojmë këtë si barazi a 2 m 2 m = a dhe a 2 m - 1 2 m - 1 = a për çdo real a dhe natyrale m. Në a ≥ 0 marrim a = a dhe a 2 m = a 2 m, që vërteton barazinë a 2 m 2 m = a, dhe barazia a 2 m - 1 2 m - 1 = a është e dukshme. Në a< 0 marrim, përkatësisht, a = - a dhe a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Transformimi i fundit i një numri është i vlefshëm sipas vetive të fuqisë. Kjo është pikërisht ajo që vërteton barazinë a 2 m 2 m = a, dhe një 2 m - 1 2 m - 1 = a do të jetë e vërtetë, pasi shkalla tek konsiderohet - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 për çdo numër c , pozitive ose e barabartë me zero.

Për të konsoliduar informacionin e marrë, le të shqyrtojmë disa shembuj duke përdorur pronën:

Shembulli 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 dhe (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Le të vërtetojmë barazinë e mëposhtme a m n = a n m . Për ta bërë këtë, ju duhet të ndërroni numrat para dhe pas shenjës së barazimit a n · m = a m n . Kjo do të thotë se hyrja është e saktë. Për a, e cila është pozitive ose e barabartë me zero , i formës a m n është një numër pozitiv ose i barabartë me zero. Le të kthehemi te vetia e ngritjes së një pushteti në një pushtet dhe përkufizimi i tij. Me ndihmën e tyre, ju mund të transformoni barazitë në formën a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Kjo vërteton vetinë e rrënjës së rrënjës në shqyrtim.

Prona të tjera vërtetohen në mënyrë të ngjashme. Vërtet,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Për shembull, 7 3 5 = 7 5 3 dhe 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Le të vërtetojmë vetinë e mëposhtme a m n · m = a n . Për ta bërë këtë, është e nevojshme të tregohet se një n është një numër, pozitiv ose i barabartë me zero. Kur ngrihet në fuqinë n m është e barabartë me jam. Nëse numri aështë pozitive ose e barabartë me zero, atëherë n-shkalla e nga mesi aështë një numër pozitiv ose i barabartë me zero Në këtë rast, a n · m n = a n n m , që është ajo që duhet të vërtetohet.

Për të konsoliduar njohuritë e marra, le të shohim disa shembuj.

1. Le të vërtetojmë vetinë e mëposhtme – vetinë e rrënjës së një fuqie të formës a m n = a n m . Është e qartë se kur a ≥ 0 shkalla a n m është një numër jo negativ. Për më tepër, ajo n fuqia e th është e barabartë me jam, në të vërtetë, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Kjo vërteton vetinë e diplomës në shqyrtim.

Për shembull, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Është e nevojshme të vërtetohet se për çdo numër pozitiv a dhe b kushti është i plotësuar a< b . Konsideroni pabarazinë a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Prandaj, një n< b n при a< b .

Për shembull, le të japim 12 4< 15 2 3 4 .

1. Merrni parasysh pronën e rrënjës n-shkalla e saj. Është e nevojshme që së pari të merret parasysh pjesa e parë e pabarazisë. Në m > n Dhe 0 < a < 1 e vërtetë a m > a n . Le të supozojmë se a m ≤ a n. Vetitë do t'ju lejojnë të thjeshtoni shprehjen në një n m · n ≤ a m m · n. Pastaj, sipas vetive të një shkalle me një eksponent natyror, vlen pabarazia a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, d.m.th. a n ≤ a m. Vlera e fituar në m > n Dhe 0 < a < 1 nuk korrespondon me vetitë e dhëna më sipër.

Në të njëjtën mënyrë mund të vërtetohet se kur m > n Dhe a > 1 kushti a m është i vërtetë< a n .

Për të konsoliduar pronat e mësipërme, le të shqyrtojmë disa shembuj specifikë. Le të shohim pabarazitë duke përdorur numra specifikë.

Shembulli 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Video tutorial 2: Vetitë e rrënjëve të shkallës n > 1

Ligjërata: Rrënja e shkallës n > 1 dhe vetitë e saj

Rrënja

Supozoni se keni një ekuacion të formës:

Zgjidhja e këtij ekuacioni është x 1 = 2 dhe x 2 = (-2). Të dyja zgjidhjet janë të përshtatshme si përgjigje, pasi numrat me modul të barabartë kur ngrihen në një fuqi çift japin të njëjtin rezultat.

Ky ishte një shembull i thjeshtë, megjithatë, çfarë mund të bëjmë nëse, për shembull,

Le të përpiqemi të grafikojmë funksionin y=x 2 . Grafiku i tij është një parabolë:

Në grafik ju duhet të gjeni pika që korrespondojnë me vlerën y = 3. Këto pika janë:

Kjo do të thotë se kjo vlerë nuk mund të quhet një numër i plotë, por mund të përfaqësohet si një rrënjë katrore.

Çdo rrënjë është numër irracional. Numrat irracionalë përfshijnë rrënjët dhe thyesat e pafundme jo periodike.

Rrenja katrore- ky është një numër jo negativ "a", shprehja radikale e të cilit është e barabartë me numrin e dhënë "a" në katror.

Për shembull,

Kjo do të thotë, si rezultat do të marrim vetëm një vlerë pozitive. Megjithatë, si zgjidhje ekuacioni kuadratik lloj

Zgjidhja është x 1 = 4, x 2 = (-4).

Vetitë e rrënjës katrore

1. Cilado qoftë vlera që merr x, kjo shprehje është e vërtetë në çdo rast:

2. Krahasimi i numrave që përmbajnë Rrenja katrore. Për të krahasuar këta numra, duhet të futni si njërin ashtu edhe numrin e dytë nën shenjën e rrënjës. Numri do të jetë më i madh, shprehja radikale e të cilëve është më e madhe.

Futni numrin 2 nën shenjën e rrënjës

Tani le të vendosim numrin 4 nën shenjën e rrënjës. Si rezultat i kësaj marrim

Dhe vetëm tani dy shprehjet që rezultojnë mund të krahasohen:

3. Heqja e shumëzuesit nga poshtë rrënjës.

Nëse një shprehje radikale mund të zbërthehet në dy faktorë, njëri prej të cilëve mund të hiqet nën shenjën e rrënjës, atëherë është e nevojshme të përdoret ky rregull.

4. Ekziston një pronë që është e kundërta e kësaj - futja e një shumëzuesi nën rrënjë. Padyshim që ne e kemi përdorur këtë pronë në pronën e dytë.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Janë dhënë vetitë themelore të funksionit të fuqisë, duke përfshirë formulat dhe vetitë e rrënjëve. Prezantohet derivati, integrali, zgjerimi i serisë së fuqisë dhe paraqitja e numrit kompleks të një funksioni fuqie.

Përkufizimi

Përkufizimi
Funksioni i fuqisë me eksponent pështë funksioni f (x) = x p, vlera e të cilit në pikën x është e barabartë me vlerën e funksionit eksponencial me bazën x në pikën p.
Përveç kësaj, f (0) = 0 p = 0 për p > 0 .

Për vlerat natyrore të eksponentit, funksioni i fuqisë është prodhimi i n numrave të barabartë me x:
.
Është përcaktuar për të gjitha të vlefshme.

Për vlerat pozitive racionale të eksponentit, funksioni i fuqisë është prodhimi i n rrënjëve të shkallës m të numrit x:
.
Për m tek, është përcaktuar për të gjitha x reale. Edhe për m, funksioni i fuqisë përcaktohet për ato jo negative.

Për negative, funksioni i fuqisë përcaktohet nga formula:
.
Prandaj, nuk është përcaktuar në pikë.

Për vlerat irracionale të eksponentit p, funksioni i fuqisë përcaktohet me formulën:
,
ku a është një numër pozitiv arbitrar jo i barabartë me një: .
Kur , është përcaktuar për .
Kur , funksioni i fuqisë është përcaktuar për .

Vazhdimësia. Një funksion i fuqisë është i vazhdueshëm në domenin e tij të përkufizimit.

Vetitë dhe formulat e funksioneve të fuqisë për x ≥ 0

Këtu do të shqyrtojmë vetitë e funksionit të fuqisë për vlerat jo negative të argumentit x. Siç u tha më lart, për vlera të caktuara të eksponentit p, funksioni i fuqisë përcaktohet edhe për vlerat negative të x. Në këtë rast, vetitë e tij mund të merren nga vetitë e , duke përdorur çift ose tek. Këto raste janë diskutuar dhe ilustruar në detaje në faqen "".

Një funksion fuqie, y = x p, me eksponent p ka këto veti:
(1.1) të përcaktuara dhe të vazhdueshme në set
në,
në ;
(1.2) ka shumë kuptime
në,
në ;
(1.3) rritet rreptësisht me,
zvogëlohet rreptësisht si;
(1.4) në ;
në ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Vërtetimi i vetive jepet në faqen "Funksioni i energjisë (prova e vazhdimësisë dhe vetive)"

Rrënjët - përkufizimi, formula, veti

Përkufizimi
Rrënja e një numri x të shkallës nështë numri që kur rritet në fuqinë n jep x:
.
Këtu n = 2, 3, 4, ... - një numër natyror më i madh se një.

Mund të thuash gjithashtu se rrënja e një numri x të shkallës n është rrënja (d.m.th. zgjidhja) e ekuacionit
.
Vini re se funksioni është inversi i funksionit.

Rrënja katrore e xështë një rrënjë e shkallës 2: .

Rrënja kubike e xështë një rrënjë e shkallës 3: .

Edhe diplomë

Për fuqitë çift n = 2 m, rrënja përcaktohet për x ≥ 0 . Një formulë që përdoret shpesh është e vlefshme për x pozitive dhe negative:
.
Për rrënjën katrore:
.

Rendi në të cilin kryhen veprimet është i rëndësishëm këtu - domethënë, së pari kryhet katrori, duke rezultuar në një numër jo negativ, dhe më pas rrënja merret prej tij (rrënja katrore mund të merret nga një numër jo negativ ). Nëse e ndryshonim rendin: , atëherë për x negativ rrënja do të ishte e padefinuar, dhe bashkë me të e gjithë shprehja do të ishte e padefinuar.

Shkallë e çuditshme

Për fuqitë tek, rrënja përcaktohet për të gjitha x:
;
.

Vetitë dhe formulat e rrënjëve

Rrënja e x është një funksion fuqie:
.
Kur x ≥ 0 zbatohen formulat e mëposhtme:
;
;
, ;
.

Këto formula mund të aplikohen edhe për vlerat negative të variablave. Thjesht duhet të siguroheni që shprehja radikale edhe e pushteteve të mos jetë negative.

Vlerat private

Rrënja e 0 është 0:.
Rrënja 1 është e barabartë me 1: .
Rrënja katrore e 0 është 0: .
Rrënja katrore e 1 është 1: .

Shembull. Rrënja e rrënjëve

Le të shohim një shembull të rrënjës katrore të rrënjëve:
.
Le të transformojmë rrënjën e brendshme katrore duke përdorur formulat e mësipërme:
.
Tani le të transformojmë rrënjën origjinale:
.
Kështu që,
.

y = x p për vlera të ndryshme të eksponentit p.

Këtu janë grafikët e funksionit për vlerat jo negative të argumentit x. Grafikët e një funksioni fuqie të përcaktuar për vlerat negative të x jepen në faqen "Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafikët e tij"

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një funksioni fuqie me eksponent p është një funksion fuqie me eksponent 1/p.

Nese atehere.

Derivat i një funksioni fuqie

Derivat i rendit të n-të:
;

Nxjerrja e formulave > > >

Integral i një funksioni fuqie

P ≠ - 1 ;
.

Zgjerimi i serisë së energjisë

në - 1 < x < 1 ndodh dekompozimi i mëposhtëm:

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e ndryshores komplekse z:
f (z) = z t.
Le të shprehim ndryshoren komplekse z në terma të modulit r dhe argumentit φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Ne paraqesim numrin kompleks t në formën e pjesëve reale dhe imagjinare:
t = p + i q .
Ne kemi:

Më pas, marrim parasysh që argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike:
,

Le të shqyrtojmë rastin kur q = 0 , domethënë, eksponenti është një numër real, t = p. Pastaj
.

Nëse p është një numër i plotë, atëherë kp është një numër i plotë. Pastaj, për shkak të periodicitetit të funksioneve trigonometrike:
.
Kjo eshte funksioni eksponencial për një eksponent numër të plotë, për një z të dhënë, ka vetëm një vlerë dhe për këtë arsye është i paqartë.

Nëse p është irracionale, atëherë prodhimet kp për çdo k nuk prodhojnë një numër të plotë. Meqenëse k kalon nëpër një seri të pafundme vlerash k = 0, 1, 2, 3, ..., atëherë funksioni z p ka pafundësisht shumë vlera. Sa herë që argumenti z shtohet 2π(një kthesë), kalojmë në një degë të re të funksionit.

Nëse p është racionale, atëherë mund të përfaqësohet si:
, Ku m, n- e tërë, që nuk përmban pjesëtuesit e përbashkët. Pastaj
.
Vlerat e para n, me k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, jep n kuptime të ndryshme kp:
.
Sidoqoftë, vlerat pasuese japin vlera që ndryshojnë nga ato të mëparshme me një numër të plotë. Për shembull, kur k = k 0+n ne kemi:
.
Funksionet trigonometrike, argumentet e të cilit ndryshojnë nga vlerat që janë shumëfish të 2π, kanë vlera të barabarta. Prandaj, me një rritje të mëtejshme në k, marrim të njëjtat vlera të z p si për k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Kështu, një funksion eksponencial me një eksponent racional është me shumë vlera dhe ka n vlera (degë). Sa herë që argumenti z shtohet 2π(një kthesë), kalojmë në një degë të re të funksionit. Pas n rrotullimesh të tilla kthehemi në degën e parë nga e cila filloi numërimi mbrapsht.

Në veçanti, një rrënjë e shkallës n ka n vlera. Si shembull, merrni parasysh rrënjën e n-të të një numri real pozitiv z = x. Në këtë rast φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Pra, për një rrënjë katrore, n = 2 ,
.
Edhe për k, (- 1 ) k = 1. Për k tek, (- 1 ) k = - 1.
Kjo do të thotë, rrënja katrore ka dy kuptime: + dhe -.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Mësim dhe prezantim me temën: "Vetitë e rrënjës së n-të. Teorema"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 11
Manual interaktiv për klasat 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktiv për klasat 10-11 "Logaritmet"

Vetitë e rrënjës së n-të. Teorema

Djema, ne vazhdojmë të studiojmë rrënjët e n-të të një numri real. Ashtu si pothuajse të gjitha objektet matematikore, rrënjët e shkallës së n-të kanë veti të caktuara, sot do t'i studiojmë ato.
Të gjitha vetitë që do të shqyrtojmë janë formuluar dhe vërtetuar vetëm për vlerat jo negative të variablave të përmbajtura nën shenjën e rrënjës.
Në rastin e një eksponenti të rrënjës tek, ato kryhen edhe për ndryshoret negative.

Teorema 1. Rrënja e n-të e prodhimit të dy numrave jonegativë është e barabartë me prodhimin e rrënjëve të n-të të këtyre numrave: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b)$ .

Le të vërtetojmë teoremën.
Dëshmi. Djema, për të vërtetuar teoremën, le të prezantojmë ndryshore të reja, i shënojmë ato:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Duhet të vërtetojmë se $x=y*z$.
Vini re se identitetet e mëposhtme kanë gjithashtu:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Atëherë vlen identiteti i mëposhtëm: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Fuqitë e dy numrave jonegativë dhe eksponentëve të tyre janë të barabartë, atëherë bazat e vetë fuqive janë të barabarta. Kjo do të thotë $x=y*z$, që është ajo që duhet të vërtetohet.

Teorema 2. Nëse $a≥0$, $b>0$ dhe n është një numër natyror më i madh se 1, atëherë vlen barazia e mëposhtme: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Domethënë, rrënja e n-të e herësit është e barabartë me herësin e rrënjëve të n-të.

Dëshmi.
Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim një diagram të thjeshtuar në formën e një tabele:

Shembuj të llogaritjes së rrënjës së n-të

Shembull.
Llogaritni: $\sqrt(16*81*256)$.
Zgjidhje. Le të përdorim Teoremën 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Shembull.
Llogaritni: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Zgjidhje. Le ta imagjinojmë shprehjen radikale si një fraksion të papërshtatshëm: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Le të përdorim Teoremën 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Shembull.
Llogaritni:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Zgjidhja:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Nëse $a≥0$, k dhe n janë numra natyrorë më të mëdhenj se 1, atëherë barazia vlen: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Për të ndërtuar një rrënjë në shkallë natyrore, mjafton të ngrihet shprehja radikale në këtë pushtet.

Dëshmi.
le të shqyrtojmë rast i veçantë për $k=3$. Le të përdorim teoremën 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
E njëjta gjë mund të vërtetohet edhe për çdo rast tjetër. Djema, provojeni vetë për rastin kur $k=4$ dhe $k=6$.

Teorema 4. Nëse $a≥0$ b n,k janë numra natyrorë më të mëdhenj se 1, atëherë barazia vlen: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Për të nxjerrë një rrënjë nga një rrënjë, mjafton të shumëzoni treguesit e rrënjëve.

Dëshmi.
Le ta vërtetojmë shkurtimisht përsëri duke përdorur një tabelë. Për ta vërtetuar këtë, ne do të përdorim një diagram të thjeshtuar në formën e një tabele:

Shembull.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Nëse eksponentët e rrënjës dhe shprehjes radikale shumëzohen me të njëjtin numër natyror, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Dëshmi.
Parimi i vërtetimit të teoremës sonë është i njëjtë si në shembujt e tjerë. Le të prezantojmë variabla të rinj:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (sipas përkufizimit).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (sipas përkufizimit).
Le ta ngremë barazinë e fundit në fuqinë p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Mora:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Domethënë, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembuj:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (i ndau treguesit me 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (i ndau treguesit me 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (treguesit shumëzuar me 3).

Shembull.
Kryeni veprimet: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Zgjidhje.
Treguesit rrënjë janë numra të ndryshëm, pra nuk mund të përdorim teoremën 1, por duke zbatuar teoremën 5, mund të marrim tregues të barabartë.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (treguesit shumëzuar me 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (treguesit shumëzuar me 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. Llogaritni: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Llogaritni: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Llogaritni:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Thjeshtoni:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Kryeni veprimet: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.