Siç tregon praktika, detyrat mbi vetitë dhe grafikët e një funksioni kuadratik shkaktojnë vështirësi serioze. Kjo është mjaft e çuditshme, sepse ata studiojnë funksionin kuadratik në klasën e 8-të, dhe më pas gjatë gjithë tremujorit të parë të klasës së 9-të ata "torturojnë" vetitë e parabolës dhe ndërtojnë grafikët e saj për parametra të ndryshëm.

Kjo për faktin se kur i detyrojnë studentët të ndërtojnë parabola, ata praktikisht nuk i kushtojnë kohë "leximit" të grafikëve, domethënë nuk praktikojnë të kuptuarit e informacionit të marrë nga fotografia. Me sa duket, supozohet se, pasi të ndërtojë një duzinë ose dy grafikë, vetë një student i zgjuar do të zbulojë dhe formulojë marrëdhënien midis koeficientëve në formulë dhe pamjen artet grafike. Në praktikë kjo nuk funksionon. Për një përgjithësim të tillë, kërkohet përvojë serioze në minikërkime matematikore, të cilën shumica e nxënësve të klasës së nëntë, natyrisht, nuk e posedojnë. Ndërkohë, Inspektorati Shtetëror propozon përcaktimin e shenjave të koeficientëve duke përdorur grafikun.

Ne nuk do të kërkojmë të pamundurën nga nxënësit e shkollës dhe thjesht do të ofrojmë një nga algoritmet për zgjidhjen e problemeve të tilla.

Pra, një funksion i formës y = sëpatë 2 + bx + c i quajtur kuadratik, grafiku i tij është një parabolë. Siç sugjeron emri, termi kryesor është sëpatë 2. Kjo eshte A nuk duhet të jetë i barabartë me zero, koeficientët e mbetur ( b Dhe Me) mund të jetë i barabartë me zero.

Le të shohim se si shenjat e koeficientëve të saj ndikojnë në shfaqjen e një parabole.

Varësia më e thjeshtë për koeficientin A. Shumica e nxënësve të shkollës përgjigjen me besim: “nëse A> 0, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Në këtë rast A = 0,5

Dhe tani për A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Në këtë rast A = - 0,5

Ndikimi i koeficientit MeËshtë gjithashtu mjaft e lehtë për t'u ndjekur. Le të imagjinojmë se duam të gjejmë vlerën e një funksioni në një pikë X= 0. Zëvendësoni zeron në formulën:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Rezulton se y = c. Kjo eshte Meështë ordinata e pikës së prerjes së parabolës me boshtin y. Në mënyrë tipike, kjo pikë është e lehtë për t'u gjetur në grafik. Dhe përcaktoni nëse qëndron mbi zero apo më poshtë. Kjo eshte Me> 0 ose Me < 0.

Me > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Me < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prandaj, nëse Me= 0, atëherë parabola do të kalojë domosdoshmërisht përmes origjinës:

y = x 2 + 4x

Më e vështirë me parametrin b. Pika në të cilën do ta gjejmë varet jo vetëm nga b por edhe nga A. Kjo është maja e parabolës. Abshisa e saj (koordinata e boshtit X) gjendet me formulë x në = - b/(2a). Kështu, b = - 2 ax in. Kjo do të thotë, ne vazhdojmë si më poshtë: gjejmë kulmin e parabolës në grafik, përcaktojmë shenjën e abscisës së saj, domethënë shikojmë në të djathtë të zeros ( x in> 0) ose majtas ( x in < 0) она лежит.

Megjithatë, kjo nuk është e gjitha. Duhet t'i kushtojmë vëmendje edhe shenjës së koeficientit A. Kjo do të thotë, shikoni se ku janë drejtuar degët e parabolës. Dhe vetëm pas kësaj, sipas formulës b = - 2 ax in përcaktoni shenjën b.

Le të shohim një shembull:

Degët janë të drejtuara lart, që do të thotë A> 0, parabola e pret boshtin në nën zero, domethënë Me < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Pra b = - 2 ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Me < 0.

Mësoni të merrni derivatet e funksioneve. Derivati ​​karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar që shtrihet në grafikun e këtij funksioni. Në këtë rast, grafiku mund të jetë ose një vijë e drejtë ose e lakuar. Kjo do të thotë, derivati ​​karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një moment të caktuar kohor. Mbani mend Rregulla të përgjithshme, me të cilin merren derivatet, dhe vetëm atëherë vazhdoni në hapin tjetër.

• Lexo artikullin.
• Si të marrim derivatet më të thjeshta, për shembull, derivatin ekuacioni eksponencial, përshkruar. Llogaritjet e paraqitura në hapat e mëposhtëm do të bazohen në metodat e përshkruara aty.

Mësoni të bëni dallimin midis problemeve në të cilat pjerrësia duhet të llogaritet përmes derivatit të një funksioni. Problemet jo gjithmonë ju kërkojnë të gjeni pjerrësinë ose derivatin e një funksioni. Për shembull, mund t'ju kërkohet të gjeni shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në pikën A(x,y). Gjithashtu mund t'ju kërkohet të gjeni pjerrësinë e tangjentes në pikën A(x,y). Në të dyja rastet është e nevojshme të merret derivati ​​i funksionit.

>> Matematikë: Funksioni linear dhe orarin e saj

Funksioni linear dhe grafiku i tij

Algoritmi për ndërtimin e një grafiku të ekuacionit ax + nga + c = 0, të cilin e formuluam në § 28, me gjithë qartësinë dhe sigurinë e tij, matematikanët nuk e pëlqejnë vërtet. Ata zakonisht bëjnë pretendime për dy hapat e parë të algoritmit. Pse, thonë ata, zgjidhim dy herë ekuacionin për ndryshoren y: së pari ax1 + nga + c = O, pastaj ax1 + nga + c = O? A nuk është më mirë të shprehni menjëherë y nga ekuacioni ax + me + c = 0, atëherë do të jetë më e lehtë të kryhen llogaritjet (dhe, më e rëndësishmja, më shpejt)? Le të kontrollojmë. Le të shqyrtojmë së pari ekuacionin 3x - 2y + 6 = 0 (shih shembullin 2 nga § 28).

Duke dhënë x vlera specifike, është e lehtë të llogariten vlerat përkatëse y. Për shembull, kur x = 0 marrim y = 3; në x = -2 kemi y = 0; për x = 2 kemi y = 6; për x = 4 marrim: y = 9.

E shihni sa lehtë dhe shpejt u gjetën pikat (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) dhe (4; 9), të cilat u theksuan në shembullin 2 nga § 28.

Në të njëjtën mënyrë, ekuacioni bx - 2y = 0 (shih shembullin 4 nga § 28) mund të transformohet në formën 2y = 16 -3x. më tej y = 2,5x; nuk është e vështirë të gjesh pikat (0; 0) dhe (2; 5) që plotësojnë këtë ekuacion.

Së fundi, ekuacioni 3x + 2y - 16 = 0 nga i njëjti shembull mund të shndërrohet në formën 2y = 16 -3x dhe më pas nuk është e vështirë të gjenden pikat (0; 0) dhe (2; 5) që e plotësojnë atë.

Tani le t'i shqyrtojmë këto transformime në formë të përgjithshme.

Kështu, ekuacioni linear (1) me dy ndryshore x dhe y gjithmonë mund të shndërrohet në formë
y = kx + m,(2) ku k,m janë numra (koeficientë) dhe .

Këtë lloj të veçantë ekuacioni linear do ta quajmë funksion linear.

Duke përdorur barazinë (2), është e lehtë të specifikoni një vlerë specifike x dhe të llogaritni vlerën përkatëse y. Le të, për shembull,

y = 2x + 3. Pastaj:
nëse x = 0, atëherë y = 3;
nëse x = 1, atëherë y = 5;
nëse x = -1, atëherë y = 1;
nëse x = 3, atëherë y = 9, etj.

Zakonisht këto rezultate paraqiten në formë tabelat:

Vlerat e y nga rreshti i dytë i tabelës quhen vlerat e funksionit linear y = 2x + 3, përkatësisht, në pikat x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

Në ekuacionin (1) variablat hnu janë të barabarta, por në ekuacionin (2) nuk janë: ne i caktojmë vlera specifike njërës prej tyre - ndryshores x, ndërsa vlera e ndryshores y varet nga vlera e zgjedhur e ndryshores x. Prandaj, zakonisht themi se x është ndryshorja (ose argumenti) e pavarur, y është ndryshorja e varur.

Ju lutemi vini re: një funksion linear është lloj i veçantë ekuacion linear me dy ndryshore. Grafiku i ekuacionit y - kx + m, si çdo ekuacion linear me dy ndryshore, është një vijë e drejtë - quhet edhe grafiku i funksionit linear y = kx + m. Pra, teorema e mëposhtme është e vlefshme.

Shembulli 1. Ndërtoni një grafik të funksionit linear y = 2x + 3.

Zgjidhje. Le të bëjmë një tabelë:

Në situatën e dytë, ndryshorja e pavarur x, e cila, si në situatën e parë, tregon numrin e ditëve, mund të marrë vetëm vlerat 1, 2, 3, ..., 16. Në të vërtetë, nëse x = 16, më pas duke përdorur formulën y = 500 - 30x gjejmë : y = 500 - 30 16 = 20. Kjo do të thotë se tashmë në ditën e 17-të nuk do të jetë e mundur të hiqen 30 tonë qymyr nga magazina, pasi deri në këtë ditë vetëm 20 tonë do të mbeten në magazinë dhe procesi i heqjes së qymyrit do të duhet të ndalet. Prandaj, modeli i rafinuar matematikor i situatës së dytë duket kështu:

y = 500 - ZOD:, ku x = 1, 2, 3, .... 16.

Në situatën e tretë, i pavarur e ndryshueshme x teorikisht mund të marrë çdo vlerë jo negative (për shembull, vlera x = 0, vlera x = 2, vlera x = 3,5, etj.), por praktikisht një turist nuk mund të ecë me një shpejtësi konstante pa gjumë dhe pushim për çdo sasi. të kohës. Pra, na duhej të bënim kufizime të arsyeshme për x, le të themi 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Kujtojmë se modeli gjeometrik i pabarazisë së dyfishtë jo të rreptë 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Le të pranojmë të shkruajmë në vend të shprehjes "x i përket grupit X" (lexo: "elementi x i përket grupit X", e është shenja e anëtarësimit). Siç mund ta shihni, njohja jonë me gjuhën matematikore është vazhdimisht e vazhdueshme.

Nëse funksioni linear y = kx + m duhet të konsiderohet jo për të gjitha vlerat e x, por vetëm për vlerat e x nga një interval i caktuar numerik X, atëherë ata shkruajnë:

Shembulli 2. Grafikoni një funksion linear:

Zgjidhje, a) Të bëjmë një tabelë për funksionin linear y = 2x + 1

Le të ndërtojmë pikat (-3; 7) dhe (2; -3) në planin koordinativ xOy dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre. Ky është një grafik i ekuacionit y = -2x: + 1. Më pas, zgjidhni një segment që lidh pikat e ndërtuara (Fig. 38). Ky segment është grafiku i funksionit linear y = -2x+1, ku [-3, 2].

Ata zakonisht thonë këtë: ne kemi vizatuar një funksion linear y = - 2x + 1 në segmentin [- 3, 2].

b) Si ndryshon ky shembull nga ai i mëparshmi? Funksioni linear është i njëjtë (y = -2x + 1), që do të thotë se e njëjta drejtëz shërben si grafik i saj. Por - ki kujdes! - këtë herë x e (-3, 2), d.m.th., vlerat x = -3 dhe x = 2 nuk merren parasysh, ato nuk i përkasin intervalit (- 3, 2). Si i shënuam skajet e një intervali në një vijë koordinative? Rrathët e dritës (Fig. 39), folëm për këtë në § 26. Në mënyrë të ngjashme, pikat (- 3; 7) dhe B; - 3) do të duhet të shënohet në vizatim me rrathë të lehtë. Kjo do të na kujtojë se janë marrë vetëm ato pika të drejtëzës y = - 2x + 1 që shtrihen ndërmjet pikave të shënuara me rrathë (Fig. 40). Megjithatë, ndonjëherë në raste të tilla ata përdorin shigjeta dhe jo rrathë të lehtë (Fig. 41). Kjo nuk është thelbësore, gjëja kryesore është të kuptosh atë që thuhet.

Shembulli 3. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni linear në segment.
Zgjidhje. Le të bëjmë një tabelë për një funksion linear

Le të ndërtojmë pikat (0; 4) dhe (6; 7) në planin koordinativ xOy dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre - një grafik të funksionit linear x (Fig. 42).

Ne duhet ta konsiderojmë këtë funksion linear jo si një e tërë, por në një segment, d.m.th. për x e.

Segmenti përkatës i grafikut është theksuar në vizatim. Vëmë re se ordinata më e madhe e pikave që i përkasin pjesës së zgjedhur është e barabartë me 7 - kjo është vlera më e lartë funksion linear në segment. Zakonisht përdoret shënimi i mëposhtëm: y max =7.

Vëmë re se ordinata më e vogël e pikave që i përkasin pjesës së vijës së theksuar në figurën 42 është e barabartë me 4 - kjo është vlera më e vogël e funksionit linear në segment.
Zakonisht përdoret shënimi i mëposhtëm: y emri. = 4.

Shembulli 4. Gjeni y naib dhe y naim. për një funksion linear y = -1,5x + 3,5

a) në segment; b) në intervalin (1.5);
c) në një gjysmë interval.

Zgjidhje. Le të bëjmë një tabelë për funksionin linear y = -l.5x + 3.5:

Le të ndërtojmë pikat (1; 2) dhe (5; - 4) në planin koordinativ xOy dhe të vizatojmë një vijë të drejtë përmes tyre (Fig. 43-47). Le të zgjedhim në vijën e drejtë të ndërtuar pjesën që korrespondon me vlerat x nga segmenti (Fig. 43), nga intervali A, 5) (Fig. 44), nga gjysmë-intervali (Fig. 47).

a) Duke përdorur figurën 43, është e lehtë të konkludohet se y max = 2 (funksioni linear e arrin këtë vlerë në x = 1), dhe y min. = - 4 (funksioni linear e arrin këtë vlerë në x = 5).

b) Duke përdorur figurën 44, konkludojmë: ky funksion linear nuk ka as vlerat më të mëdha dhe as më të vogla në një interval të caktuar. Pse? Fakti është se, ndryshe nga rasti i mëparshëm, të dy skajet e segmentit, në të cilin u arritën vlerat më të mëdha dhe më të vogla, përjashtohen nga shqyrtimi.

c) Duke përdorur figurën 45, arrijmë në përfundimin se y max. = 2 (si në rastin e parë), dhe vlera më e ulët funksioni linear nuk ka (si në rastin e dytë).

d) Duke përdorur figurën 46, konkludojmë: y max = 3.5 (funksioni linear e arrin këtë vlerë në x = 0), dhe y max. nuk ekziston.

e) Duke përdorur figurën 47, konkludojmë: y max = -1 (funksioni linear e arrin këtë vlerë në x = 3), dhe y max.

Shembulli 5. Grafikoni një funksion linear

y = 2x - 6. Përdorni grafikun për t'iu përgjigjur pyetjeve të mëposhtme:

a) në cilën vlerë të x do të jetë y = 0?
b) për cilat vlera të x do të jetë y > 0?
c) në cilat vlera të x do të jetë y< 0?

Zgjidhje Le të bëjmë një tabelë për funksionin linear y = 2x-6:

Nëpër pikat (0; - 6) dhe (3; 0) vizatojmë një vijë të drejtë - grafikun e funksionit y = 2x - 6 (Fig. 48).

a) y = 0 në x = 3. Grafiku pret boshtin x në pikën x = 3, kjo është pika me ordinatë y = 0.
b) y > 0 për x > 3. Në fakt, nëse x > 3, atëherë drejtëza ndodhet mbi boshtin x, që do të thotë se ordinatat e pikave përkatëse të drejtëzës janë pozitive.

Mace< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Ju lutemi vini re se në këtë shembull kemi përdorur grafikun për të zgjidhur:

a) ekuacioni 2x - 6 = 0 (morëm x = 3);
b) pabarazia 2x - 6 > 0 (morëm x > 3);
c) pabarazia 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentoni. Në rusisht, i njëjti objekt shpesh quhet ndryshe, për shembull: "shtëpi", "ndërtesë", "strukturë", "vilë", "rezidencë", "barakë", "kasolle", "kasolle". Në gjuhën matematikore situata është afërsisht e njëjtë. Le të themi, barazia me dy ndryshore y = kx + m, ku k, m janë numra specifikë, mund të quhet funksion linear, mund të quhet ekuacioni linear me dy ndryshore x dhe y (ose me dy të panjohura x dhe y), mund të quhet formulë, mund të quhet relacion që lidh x dhe y, më në fund mund të quhet varësi midis x dhe y. Nuk ka rëndësi, gjëja kryesore është ta kuptojmë këtë në të gjitha rastet po flasim për O modeli matematik y = kx + m

.

Merrni parasysh grafikun e funksionit linear të paraqitur në figurën 49, a. Nëse lëvizim përgjatë këtij grafiku nga e majta në të djathtë, atëherë ordinatat e pikave në grafik po rriten gjatë gjithë kohës, sikur ne "po ngjitemi në një kodër". Në raste të tilla, matematikanët përdorin termin rritje dhe thonë këtë: nëse k>0, atëherë funksioni linear y = kx + m rritet.

Merrni parasysh grafikun e funksionit linear të paraqitur në figurën 49, b. Nëse lëvizim përgjatë këtij grafiku nga e majta në të djathtë, atëherë ordinatat e pikave në grafik po zvogëlohen gjatë gjithë kohës, sikur ne "po zbresim një kodër". Në raste të tilla, matematikanët përdorin termin zvogëlim dhe thonë këtë: nëse k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Funksioni linear në jetë

Tani le ta përmbledhim këtë temë. Ne jemi njohur tashmë me një koncept të tillë si një funksion linear, ne i dimë vetitë e tij dhe kemi mësuar se si të ndërtojmë grafikë. Gjithashtu, ju shikoni raste të veçanta të një funksioni linear dhe zbuluat se nga çfarë varet marrëveshje reciproke grafikët e funksioneve lineare. Por rezulton se në tonë Jeta e përditshme ne gjithashtu ndërpritemi vazhdimisht me këtë model matematikor.

Le të mendojmë se cilat situata të jetës reale lidhen me një koncept të tillë si funksionet lineare? Dhe gjithashtu, midis çfarë sasish ose situatash jetësore është e mundur të vendoset një marrëdhënie lineare?

Shumë prej jush ndoshta nuk e kuptojnë fare mirë pse duhet të studiojnë funksionet lineare, sepse nuk ka gjasa të jetë e dobishme në jetën e mëvonshme. Por këtu gaboheni thellë, sepse funksionet i hasim gjatë gjithë kohës dhe kudo. Sepse edhe një qira e rregullt mujore është gjithashtu një funksion që varet nga shumë variabla. Dhe këto variabla përfshijnë sipërfaqen katrore, numrin e banorëve, tarifat, përdorimin e energjisë elektrike, etj.

Natyrisht, shembujt më të zakonshëm të funksioneve të varësisë lineare që kemi hasur janë në mësimet e matematikës.

Unë dhe ti zgjidhëm problemet ku gjetëm distancat e përshkuara me makina, trena ose këmbësorë me një shpejtësi të caktuar. Këto janë funksione lineare të kohës së lëvizjes. Por këta shembuj janë të zbatueshëm jo vetëm në matematikë, por janë të pranishëm në jetën tonë të përditshme.

Përmbajtja kalorike e produkteve të qumështit varet nga përmbajtja e yndyrës, dhe një varësi e tillë zakonisht është një funksion linear. Për shembull, kur rritet përqindja e yndyrës në salcë kosi, rritet edhe përmbajtja kalorike e produktit.

Tani le të bëjmë llogaritjet dhe të gjejmë vlerat e k dhe b duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Tani le të nxjerrim formulën e varësisë:

Si rezultat, kemi marrë një marrëdhënie lineare.

Për të ditur shpejtësinë e përhapjes së zërit në varësi të temperaturës, mund të zbulohet duke përdorur formulën: v = 331 +0,6t, ku v është shpejtësia (në m/s), t është temperatura. Nëse vizatojmë një grafik të kësaj marrëdhënieje, do të shohim se ai do të jetë linear, domethënë do të përfaqësojë një vijë të drejtë.

Dhe të tilla përdorime praktike njohuritë në zbatimin e varësisë funksionale lineare mund të renditen për një kohë të gjatë. Duke filluar nga tarifat e telefonit, gjatësia dhe rritja e flokëve, madje edhe fjalët e urta në letërsi. Dhe kjo listë vazhdon dhe vazhdon.

Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë shkarko

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Përkufizimi i një funksioni linear

Le të prezantojmë përkufizimin e një funksioni linear

Përkufizimi

Një funksion i formës $y=kx+b$, ku $k$ është jozero, quhet funksion linear.

Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë. Numri $k$ quhet shpat drejt.

Kur $b=0$ funksioni linear quhet funksion i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë $y=kx$.

Merrni parasysh figurën 1.

Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i pjerrësisë së një vije

Konsideroni trekëndëshin ABC. Ne shohim se $ВС=kx_0+b$. Le të gjejmë pikën e prerjes së drejtëzës $y=kx+b$ me boshtin $Ox$:

\ \

Pra, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Le të gjejmë raportin e këtyre anëve:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))(kx)_0+b)=k \]

Nga ana tjetër, $\frac(BC)(AC)=tg\kënd A$.

Kështu, ne mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm:

konkluzioni

Kuptimi gjeometrik koeficienti $k$. Koeficienti këndor i drejtëzës $k$ është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së kësaj drejtëze në boshtin $Ox$.

Studimi i funksionit linear $f\left(x\right)=kx+b$ dhe grafikut të tij

Së pari, merrni parasysh funksionin $f\left(x\right)=kx+b$, ku $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\djathtas))"=k>0$. Rrjedhimisht, ky funksion rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nuk ka pika ekstreme.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) kx\ )=+\infty $
3. Grafiku (Fig. 2).

Oriz. 2. Grafikët e funksionit $y=kx+b$, për $k > 0$.

Tani merrni parasysh funksionin $f\left(x\right)=kx$, ku $k

1. Fusha e përkufizimit janë të gjithë numrat.
2. Gama e vlerave është të gjithë numrat.
3. $f\left(-x\djathtas)=-kx+b$. Funksioni nuk është as çift dhe as tek.
4. Për $x=0,f\majtas(0\djathtas)=b$. Kur $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Pikat e kryqëzimit me boshtet e koordinatave: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ dhe $\left(0,\ b\djathtas)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\djathtas))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prandaj, funksioni nuk ka pika lakimi.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) kx\ )=-\infty $
4. Grafiku (Fig. 3).