Pas marrjes së informacionit fillestar për pabarazitë me variabla, kalojmë në çështjen e zgjidhjes së tyre. Do të analizojmë zgjidhjen e pabarazive lineare me një variabël dhe të gjitha metodat për zgjidhjen e tyre me algoritme dhe shembuj. Do të merren parasysh vetëm ekuacionet lineare me një ndryshore.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Çfarë është pabarazia lineare?

Së pari, ju duhet të përcaktoni një ekuacion linear dhe të zbuloni formën e tij standarde dhe si do të ndryshojë nga të tjerët. Nga kursi i shkollës kemi se nuk ka dallim thelbësor midis pabarazive, ndaj është e nevojshme të përdoren disa përkufizime.

Përkufizimi 1

Pabarazi lineare me një ndryshore x është një pabarazi e formës a · x + b > 0, kur çdo shenjë pabarazie përdoret në vend të >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Përkufizimi 2

Pabarazitë a x< c или a · x >c, ku x është një ndryshore dhe a dhe c janë disa numra, quhet pabarazitë lineare me një ndryshore.

Meqenëse asgjë nuk thuhet nëse koeficienti mund të jetë i barabartë me 0, atëherë një pabarazi strikte e formës 0 x > c dhe 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Dallimet e tyre janë:

• formë shënimi a · x + b > 0 në të parën, dhe a · x > c - në të dytën;
• pranueshmëria e koeficientit a është e barabartë me zero, a ≠ 0 - në të parën dhe a = 0 - në të dytën.

Besohet se pabarazitë a · x + b > 0 dhe a · x > c janë ekuivalente, sepse ato fitohen duke transferuar një term nga një pjesë në tjetrën. Zgjidhja e pabarazisë 0 x + 5 > 0 do të çojë në faktin se do të duhet të zgjidhet, dhe rasti a = 0 nuk do të funksionojë.

Përkufizimi 3

Besohet se pabarazitë lineare në një ndryshore x janë pabarazi të formës a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Dhe a x + b ≥ 0, ku a dhe b janë numra realë. Në vend të x mund të ketë një numër të rregullt.

Në bazë të rregullit kemi që 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 quhen të reduktueshme në lineare.

Si të zgjidhet pabarazia lineare

Mënyra kryesore për të zgjidhur pabarazitë e tilla është përdorimi i transformimeve ekuivalente për të gjetur pabarazitë elementare x< p (≤ , >, ≥) , p i cili është një numër i caktuar, për një ≠ 0, dhe nga forma a< p (≤ , >, ≥) për a = 0.

Për të zgjidhur pabarazitë në një variabël, mund të përdorni metodën e intervalit ose ta paraqisni atë grafikisht. Secili prej tyre mund të përdoret veçmas.

Përdorimi i transformimeve ekuivalente

Për të zgjidhur një pabarazi lineare të formës a x + b< 0 (≤ , >, ≥), është e nevojshme të zbatohen transformimet ekuivalente të pabarazisë. Koeficienti mund të jetë ose jo zero. Le të shqyrtojmë të dyja rastet. Për ta zbuluar, duhet t'i përmbaheni një skeme të përbërë nga 3 pika: thelbi i procesit, algoritmi dhe vetë zgjidhja.

Përkufizimi 4

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazisë lineare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) për një ≠ 0

• numri b do të zhvendoset në anën e djathtë pabarazitë me shenjën e kundërt, të cilat do të lejojnë që dikush të arrijë në ekuivalentin a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Të dyja anët e pabarazisë do të pjesëtohen me një numër jo të barabartë me 0. Për më tepër, kur a është pozitive, shenja mbetet kur a është negative, ajo ndryshon në të kundërtën;

Le të shqyrtojmë aplikacionin të këtij algoritmi në zgjidhjen e shembujve.

Shembulli 1

Të zgjidhet pabarazia e formës 3 x + 12 ≤ 0.

Zgjidhje

Kjo pabarazi lineare ka a = 3 dhe b = 12. Kjo do të thotë se koeficienti a i x nuk është i barabartë me zero. Le të zbatojmë algoritmet e mësipërme dhe ta zgjidhim atë.

Është e nevojshme të zhvendosni termin 12 në një pjesë tjetër të pabarazisë dhe të ndryshoni shenjën përpara tij. Pastaj marrim një pabarazi të formës 3 x ≤ − 12. Është e nevojshme të ndahen të dy pjesët me 3. Shenja nuk do të ndryshojë pasi 3 është një numër pozitiv. Marrim se (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, që jep rezultatin x ≤ − 4.

Një pabarazi e formës x ≤ − 4 është ekuivalente. Kjo do të thotë, zgjidhja për 3 x + 12 ≤ 0 është çdo numër real që është më i vogël ose i barabartë me 4. Përgjigja shkruhet si një pabarazi x ≤ − 4, ose një interval numerik i formës (− ∞, − 4].

I gjithë algoritmi i përshkruar më sipër është shkruar kështu:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

Përgjigje: x ≤ − 4 ose (− ∞ , − 4 ] .

Shembulli 2

Tregoni të gjitha zgjidhjet e disponueshme për pabarazinë − 2, 7 · z > 0.

Zgjidhje

Nga kushti shohim se koeficienti a për z është i barabartë me - 2,7, dhe b mungon në mënyrë eksplicite ose i barabartë me zero. Ju nuk mund të përdorni hapin e parë të algoritmit, por menjëherë kaloni në të dytin.

Ne i ndajmë të dy anët e ekuacionit me numrin - 2, 7. Meqenëse numri është negativ, është e nevojshme të ndryshohet shenja e pabarazisë. Kjo do të thotë, marrim se (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Ne do të shkruajmë të gjithë algoritmin në formë e shkurtër:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Përgjigje: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Shembulli 3

Zgjidhe pabarazinë - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Zgjidhje

Sipas kushtit, shohim se është e nevojshme të zgjidhet pabarazia me koeficientin a për ndryshoren x, e cila është e barabartë me - 5, me koeficientin b, që i përgjigjet thyesës - 15 22. Është e nevojshme të zgjidhet pabarazia duke ndjekur algoritmin, domethënë: zhvendoseni - 15 22 në një pjesë tjetër me shenjën e kundërt, ndani të dy pjesët me - 5, ndryshoni shenjën e pabarazisë:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Gjatë kalimit të fundit për anën e djathtë, përdoret rregulli i pjesëtimit të numrit me shenja të ndryshme 15 22: - 5 = - 15 22: 5, pas së cilës kryejmë pjesëtimin. thyesë e zakonshme te numri natyror - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Përgjigje: x ≥ - 3 22 dhe [ - 3 22 + ∞) .

Le të shqyrtojmë rastin kur a = 0. Shprehje lineare e formës a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Gjithçka bazohet në përcaktimin e zgjidhjes së pabarazisë. Për çdo vlerë të x-së marrim një pabarazi numerike të formës b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Ne do t'i shqyrtojmë të gjitha gjykimet në formën e një algoritmi për zgjidhjen e pabarazive lineare 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Përkufizimi 5

Mosbarazimi numerik i formës b< 0 (≤ , >, ≥) është e vërtetë, atëherë pabarazia origjinale ka një zgjidhje për çdo vlerë, dhe është e gabuar kur pabarazia origjinale nuk ka zgjidhje.

Shembulli 4

Zgjidheni pabarazinë 0 x + 7 > 0.

Zgjidhje

Kjo pabarazi lineare 0 x + 7 > 0 mund të marrë çdo vlerë x. Pastaj marrim një pabarazi të formës 7 > 0. Pabarazia e fundit konsiderohet e vërtetë, që do të thotë se çdo numër mund të jetë zgjidhja e tij.

Përgjigju: intervali (− ∞ , + ∞) .

Shembulli 5

Gjeni një zgjidhje për pabarazinë 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Zgjidhje

Kur zëvendësojmë ndryshoren x të çdo numri, marrim se pabarazia merr formën − 12, 7 ≥ 0. Është e pasaktë. Domethënë, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive lineare ku të dy koeficientët janë të barabartë me zero.

Shembulli 6

Përcaktoni pabarazinë e pazgjidhshme nga 0 x + 0 > 0 dhe 0 x + 0 ≥ 0.

Zgjidhje

Kur zëvendësojmë ndonjë numër në vend të x, marrim dy pabarazi të formës 0 > 0 dhe 0 ≥ 0. E para është e pasaktë. Kjo do të thotë që 0 x + 0 > 0 nuk ka zgjidhje, dhe 0 x + 0 ≥ 0 ka një numër të pafund zgjidhjesh, domethënë çdo numër.

Përgjigju: pabarazia 0 x + 0 > 0 nuk ka zgjidhje, por 0 x + 0 ≥ 0 ka zgjidhje.

Kjo metodë konsiderohen në një kurs të matematikës shkollore. Metoda e intervalit është e aftë të zgjidhet lloje te ndryshme pabarazitë, gjithashtu lineare.

Metoda e intervalit përdoret për pabarazitë lineare kur vlera e koeficientit x nuk është e barabartë me 0. Përndryshe, do të duhet të llogaritni duke përdorur një metodë tjetër.

Përkufizimi 6

Metoda e intervalit është:

• duke prezantuar funksionin y = a · x + b ;
• kërkimi i zerave për të ndarë domenin e përkufizimit në intervale;
• përcaktimi i shenjave për konceptet e tyre në intervale.

Le të mbledhim një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve lineare a x + b< 0 (≤ , >, ≥) për një ≠ 0 duke përdorur metodën e intervalit:

• gjetja e zerave të funksionit y = a · x + b për të zgjidhur një ekuacion të formës a · x + b = 0 . Nëse a ≠ 0, atëherë zgjidhja do të jetë një rrënjë e vetme, e cila do të marrë emërtimin x 0;
• ndërtimi i një vije koordinative me një imazh të një pike me koordinatë x 0, me një mosbarazim të rreptë pika shënohet me një të shpuar, me një pabarazi jo të rreptë - me një hije;
• përcaktimi i shenjave të funksionit y = a · x + b në intervale për këtë është e nevojshme të gjenden vlerat e funksionit në pikat e intervalit;
• zgjidhja e një pabarazie me shenja > ose ≥ në vijën e koordinatave, duke shtuar hije mbi intervalin pozitiv,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së pabarazive lineare duke përdorur metodën e intervalit.

Shembulli 6

Zgjidheni pabarazinë − 3 x + 12 > 0.

Zgjidhje

Nga algoritmi rrjedh se së pari ju duhet të gjeni rrënjën e ekuacionit - 3 x + 12 = 0. Marrim se − 3 · x = − 12 , x = 4 . Është e nevojshme të vizatoni një vijë koordinative ku shënojmë pikën 4. Do të shpohet sepse pabarazia është e rreptë. Konsideroni vizatimin më poshtë.

Është e nevojshme të përcaktohen shenjat në intervale. Për ta përcaktuar atë në intervalin (− ∞, 4), është e nevojshme të llogaritet funksioni y = − 3 x + 12 në x = 3. Nga këtu marrim se − 3 3 + 12 = 3 > 0. Shenja në interval është pozitive.

Ne përcaktojmë shenjën nga intervali (4, + ∞), pastaj zëvendësojmë vlerën x = 5. Kemi që − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Ne e zgjidhim pabarazinë me shenjën > dhe hijezimi kryhet mbi intervalin pozitiv. Konsideroni vizatimin më poshtë.

Nga vizatimi shihet qartë se zgjidhja e dëshiruar ka formën (− ∞ , 4) ose x< 4 .

Përgjigju: (− ∞ , 4) ose x< 4 .

Për të kuptuar se si të përshkruani grafikisht, duhet të merrni parasysh shembullin 4 pabarazitë lineare: 0,5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dhe 0, 5 x − 1 ≥ 0. Zgjidhjet e tyre do të jenë vlerat e x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dhe x ≥ 2. Për ta bërë këtë, le të vizatojmë funksionin linear y = 0, 5 x − 1 të paraqitur më poshtë.

Është e qartë se

Përkufizimi 7

• zgjidhja e pabarazisë 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• zgjidhja 0, 5 x − 1 ≤ 0 konsiderohet të jetë intervali ku funksioni y = 0, 5 x − 1 është më i ulët se O x ose përkon;
• zgjidhja 0, 5 · x − 1 > 0 konsiderohet të jetë një interval, funksioni ndodhet mbi O x;
• zgjidhja 0, 5 · x − 1 ≥ 0 konsiderohet të jetë intervali ku grafiku sipër O x ose përkon.

Qëllimi i zgjidhjes grafike të pabarazive është gjetja e intervaleve që duhet të përshkruhen në grafik. Në këtë rast marrim atë ana e majte ka y = a · x + b, dhe e djathta ka y = 0, dhe përkon me O x.

Grafiku i funksionit y = a x + b paraqitet:

• gjatë zgjidhjes së mosbarazimit a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• kur zgjidhet pabarazia a · x + b ≤ 0, përcaktohet intervali ku grafiku është paraqitur nën boshtin O x ose përkon;
• kur zgjidhet pabarazia a · x + b > 0, përcaktohet intervali ku grafiku është paraqitur sipër O x;
• Kur zgjidhet pabarazia a · x + b ≥ 0, përcaktohet intervali ku grafiku është mbi O x ose përkon.

Shembulli 7

Zgjidheni pabarazinë - 5 · x - 3 > 0 duke përdorur një grafik.

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndërtohet një grafik i funksionit linear - 5 · x - 3 > 0. Kjo linjë është në rënie sepse koeficienti i x është negativ. Për të përcaktuar koordinatat e pikës së kryqëzimit të saj me O x - 5 · x - 3 > 0, marrim vlerën - 3 5. Le ta përshkruajmë grafikisht.

Duke zgjidhur pabarazinë me shenjën >, atëherë duhet t'i kushtoni vëmendje intervalit mbi O x. Le të theksojmë me të kuqe pjesën e kërkuar të aeroplanit dhe ta marrim atë

Hendeku i kërkuar është pjesa O x e kuqe. Kjo do të thotë se rrezja e numrit të hapur - ∞ , - 3 5 do të jetë një zgjidhje për pabarazinë. Nëse, sipas kushtit, do të kishim një pabarazi jo të rreptë, atëherë edhe vlera e pikës - 3 5 do të ishte zgjidhje e pabarazisë. Dhe do të përkonte me O x.

Përgjigju: - ∞ , - 3 5 ose x< - 3 5 .

Zgjidhja grafike përdoret kur ana e majtë i përgjigjet funksionit y = 0 x + b, pra y = b. Atëherë vija e drejtë do të jetë paralele me O x ose do të përkojë në b = 0. Këto raste tregojnë se pabarazia mund të mos ketë zgjidhje, ose zgjidhja mund të jetë ndonjë numër.

Shembulli 8

Përcaktoni nga mosbarazimet 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Zgjidhje

Paraqitja e y = 0 x + 7 është y = 7, atëherë do të jepet një plan koordinativ me një drejtëz paralele me O x dhe e vendosur mbi O x. Pra 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Grafiku i funksionit y = 0 x + 0 konsiderohet të jetë y = 0, domethënë, drejtëza përkon me O x. Kjo do të thotë se pabarazia 0 x + 0 ≥ 0 ka shumë zgjidhje.

Përgjigju: Pabarazia e dytë ka zgjidhje për çdo vlerë të x.

Pabarazitë që reduktohen në lineare

Zgjidhja e pabarazive mund të reduktohet në zgjidhje ekuacioni linear, të cilat quhen pabarazi që reduktohen në lineare.

Këto pabarazi u morën parasysh në kursin e shkollës, duke qenë se ishin një rast i veçantë i zgjidhjes së pabarazive, gjë që çoi në hapjen e kllapave dhe uljen e termave të ngjashëm. Për shembull, merrni parasysh se 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Pabarazitë e dhëna më sipër reduktohen gjithmonë në formën e një ekuacioni linear. Pastaj hapen kllapat dhe jepen terma të ngjashëm dhe transferohen nga pjesë të ndryshme, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën.

Kur e zvogëlojmë pabarazinë 5 − 2 x > 0 në lineare, e paraqesim atë në atë mënyrë që të ketë formën − 2 x + 5 > 0, dhe për të reduktuar të dytën fitojmë se 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Është e nevojshme të hapni kllapat, të sillni terma të ngjashëm, të zhvendosni të gjithë termat në anën e majtë dhe të sillni terma të ngjashëm. Duket kështu:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Kjo çon zgjidhjen në një pabarazi lineare.

Këto pabarazi konsiderohen lineare, pasi ato kanë të njëjtin parim zgjidhjeje, pas së cilës është e mundur të reduktohen në pabarazi elementare.

Për të zgjidhur këtë lloj pabarazie, është e nevojshme ta reduktoni atë në një linjë lineare. Duhet të bëhet në këtë mënyrë:

Përkufizimi 9

• kllapa të hapura;
• mbledhni variabla në të majtë dhe numra në të djathtë;
• jepni terma të ngjashëm;
• pjesëtoni të dyja anët me koeficientin x.

Shembulli 9

Zgjidheni pabarazinë 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Zgjidhje

Hapim kllapat, pastaj marrim një pabarazi të formës 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pas reduktimit të termave të ngjashëm, kemi se 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pas lëvizjes së termave nga e majta në të djathtë, gjejmë se 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Prandaj ekziston një pabarazi e formës 32 ≤ 0 nga ajo e fituar duke llogaritur 0 x + 32 ≤ 0. Mund të shihet se pabarazia është e rreme, që do të thotë se pabarazia e dhënë me kusht nuk ka zgjidhje.

Përgjigju: nuk ka zgjidhje.

Vlen të përmendet se ka shumë lloje të tjera të pabarazive që mund të reduktohen në lineare ose pabarazi të tipit të treguar më sipër. Për shembull, 5 2 x − 1 ≥ 1 është ekuacioni eksponencial, e cila reduktohet në një zgjidhje lineare 2 x − 1 ≥ 0 . Këto raste do të merren parasysh gjatë zgjidhjes së pabarazive të këtij lloji.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Një nga temat që kërkon vëmendje dhe këmbëngulje maksimale nga studentët është zgjidhja e pabarazive. Pra të ngjashme me ekuacionet dhe në të njëjtën kohë shumë të ndryshme nga ato. Sepse zgjidhja e tyre kërkon një qasje të veçantë.

Vetitë që do të nevojiten për të gjetur përgjigjen

Të gjitha ato përdoren për të zëvendësuar një hyrje ekzistuese me një ekuivalente. Shumica e tyre janë të ngjashme me atë që ishte në ekuacione. Por ka edhe dallime.

• Një funksion që është përcaktuar në ODZ, ose çdo numër, mund të shtohet në të dy anët e pabarazisë origjinale.
• Po kështu, shumëzimi është i mundur, por vetëm me një funksion ose numër pozitiv.
• Nëse ky veprim kryhet me një funksion ose numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë duhet të zëvendësohet me të kundërtën.
• Funksionet që janë jonegative mund të ngrihen në një fuqi pozitive.

Ndonjëherë zgjidhja e pabarazive shoqërohet me veprime që japin përgjigje të jashtme. Ata duhet të përjashtohen duke krahasuar Zona ODZ dhe shumë zgjidhje.

Duke përdorur metodën e intervalit

Thelbi i tij është të zvogëlojë pabarazinë në një ekuacion në të cilin ka një zero në anën e djathtë.

1. Përcaktoni zonën ku qëndrojnë vlerat e lejuara të variablave, domethënë ODZ.
2. Shndërroni pabarazinë duke përdorur veprime matematikore në mënyrë që ana e djathtë të ketë një zero.
3. Zëvendësoni shenjën e pabarazisë me "=" dhe zgjidhni ekuacionin përkatës.
4. Në boshtin numerik shënoni të gjitha përgjigjet që janë marrë gjatë zgjidhjes, si dhe intervalet OD. Në rast të pabarazisë strikte, pikat duhet të vizatohen si të shpuara. Nëse ka një shenjë të barabartë, atëherë ato duhet të pikturohen.
5. Përcaktoni shenjën e funksionit origjinal në çdo interval të marrë nga pikat e ODZ dhe përgjigjet që e ndajnë atë. Nëse shenja e funksionit nuk ndryshon gjatë kalimit në një pikë, atëherë ai përfshihet në përgjigje. Përndryshe, është e përjashtuar.
6. Pikat kufitare për ODZ duhet të kontrollohen më tej dhe vetëm atëherë të përfshihen ose jo në përgjigje.
7. Përgjigja që rezulton duhet të shkruhet në formën e grupeve të kombinuara.

Pak për pabarazitë e dyfishta

Ata përdorin dy shenja pabarazie në të njëjtën kohë. Kjo do të thotë, disa funksione kufizohen nga kushtet dy herë në të njëjtën kohë. Pabarazi të tilla zgjidhen si një sistem me dy, kur origjinali ndahet në pjesë. Dhe në metodën e intervalit, tregohen përgjigjet nga zgjidhja e të dy ekuacioneve.

Për t'i zgjidhur ato, lejohet gjithashtu përdorimi i vetive të treguara më sipër. Me ndihmën e tyre, është e përshtatshme për të reduktuar pabarazinë në zero.

Po pabarazitë që kanë një modul?

Në këtë rast, zgjidhja e pabarazive përdor vetitë e mëposhtme, dhe ato janë të vlefshme për një vlerë pozitive të "a".

Nëse "x" merr shprehje algjebrike, atëherë zëvendësimet e mëposhtme janë të vlefshme:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a në x< -a или х >a.

Nëse pabarazitë nuk janë strikte, atëherë edhe formulat janë të sakta, vetëm se në to, përveç shenjës më të madhe ose më të vogël, shfaqet "=".

Si zgjidhet një sistem pabarazish?

Kjo njohuri do të kërkohet në rastet kur një detyrë e tillë jepet ose ka një regjistrim të pabarazisë së dyfishtë ose një modul shfaqet në procesverbal. Në një situatë të tillë, zgjidhja do të jenë vlerat e variablave që do të plotësonin të gjitha pabarazitë në rekord. Nëse nuk ka numra të tillë, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje.

Plani sipas të cilit kryhet zgjidhja e sistemit të pabarazive:

• zgjidhni secilën prej tyre veç e veç;
• përshkruani të gjitha intervalet në boshtin e numrave dhe përcaktoni kryqëzimet e tyre;
• shkruani përgjigjen e sistemit, e cila do të jetë një kombinim i asaj që ndodhi në paragrafin e dytë.

Çfarë duhet bërë me pabarazitë thyesore?

Duke qenë se zgjidhja e tyre mund të kërkojë ndryshimin e shenjës së pabarazisë, duhet të ndiqni me shumë kujdes dhe me kujdes të gjitha pikat e planit. Përndryshe, ju mund të merrni përgjigjen e kundërt.

Zgjidhja e pabarazive thyesore përdor gjithashtu metodën e intervalit. Dhe plani i veprimit do të jetë si ky:

• Duke përdorur vetitë e përshkruara, jepini fraksionit një formë të tillë që vetëm zero të mbetet në të djathtë të shenjës.
• Zëvendësoni pabarazinë me “=” dhe përcaktoni pikat në të cilat funksioni do të jetë i barabartë me zero.
• Shënojini ato në boshtin koordinativ. Në këtë rast, numrat e marrë si rezultat i llogaritjeve në emërues do të fshihen gjithmonë. Të gjitha të tjerat bazohen në kushtin e pabarazisë.
• Përcaktoni intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës.
• Si përgjigje, shkruani bashkimin e atyre intervaleve, shenja e të cilave korrespondon me atë në pabarazinë origjinale.

Situatat kur irracionaliteti shfaqet në pabarazi

Me fjalë të tjera, ka një rrënjë matematikore në shënim. Që në kursin e algjebrës shkollore shumica detyrat janë për rrënjën katrore, atëherë kjo është ajo që do të merret parasysh.

Zgjidhja e pabarazive irracionale zbret në marrjen e një sistemi prej dy ose tresh që do të jetë ekuivalent me atë origjinal.

Shembuj të zgjidhjes së llojeve të ndryshme të pabarazive

Për t'i shtuar qartësi teorisë për zgjidhjen e pabarazive, shembujt janë dhënë më poshtë.

Shembulli i parë. 2x - 4 > 1 + x

Zgjidhja: Për të përcaktuar ADI, gjithçka që duhet të bëni është të shikoni nga afër pabarazinë. Ajo është formuar nga funksionet lineare, prandaj përcaktohet për të gjitha vlerat e ndryshores.

Tani ju duhet të zbrisni (1 + x) nga të dy anët e pabarazisë. Rezulton: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Pasi të hapen kllapat dhe të jepen terma të ngjashëm, pabarazia do të marrë formën e mëposhtme: x - 5 > 0.

Duke e barazuar atë me zero, është e lehtë të gjesh zgjidhjen e tij: x = 5.

Tani kjo pikë me numrin 5 duhet të shënohet në rreze koordinative. Pastaj kontrolloni shenjat e funksionit origjinal. Në intervalin e parë nga minus pafundësia në 5, mund të merrni numrin 0 dhe ta zëvendësoni atë në pabarazinë e marrë pas transformimeve. Pas llogaritjeve rezulton -7 >0. nën harkun e intervalit ju duhet të nënshkruani një shenjë minus.

Në intervalin tjetër nga 5 deri në pafundësi, ju mund të zgjidhni numrin 6. Pastaj rezulton se 1 > 0. Ekziston një shenjë "+" nën hark. Ky interval i dytë do të jetë përgjigja e pabarazisë.

Përgjigje: x qëndron në intervalin (5; ∞).

Shembulli i dytë. Kërkohet të zgjidhet një sistem me dy ekuacione: 3x + 3 ≤ 2x + 1 dhe 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Zgjidhje. VA e këtyre pabarazive qëndron gjithashtu në rajonin e çdo numri, pasi janë dhënë funksionet lineare.

Mosbarazimi i dytë do të marrë formën e ekuacionit të mëposhtëm: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Pas transformimit: -x - 4 =0. Kjo prodhon një vlerë për variablin e barabartë me -4.

Këta dy numra duhet të shënohen në bosht, duke përshkruar intervalet. Meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, të gjitha pikat duhet të hijezohen. Intervali i parë është nga minus pafundësi në -4. Le të zgjidhet numri -5. Pabarazia e parë do të japë vlerën -3, dhe e dyta 1. Kjo do të thotë se ky interval nuk përfshihet në përgjigje.

Intervali i dytë është nga -4 në -2. Ju mund të zgjidhni numrin -3 dhe ta zëvendësoni me të dy pabarazitë. Në të parën dhe të dytën, vlera është -1. Kjo do të thotë se nën harkun "-".

Në intervalin e fundit nga -2 deri në pafundësi, numri më i mirë është zero. Ju duhet ta zëvendësoni atë dhe të gjeni vlerat e pabarazive. E para prej tyre prodhon një numër pozitiv, dhe e dyta një zero. Ky boshllëk gjithashtu duhet të përjashtohet nga përgjigja.

Nga tre intervalet, vetëm një është zgjidhje për pabarazinë.

Përgjigje: x i përket [-4; -2].

Shembulli i tretë. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Zgjidhje. Hapi i parë është përcaktimi i pikave në të cilat funksionet zhduken. Për të majtën ky numër do të jetë 2, për të djathtën - 1. Ato duhet të shënohen në rreze dhe duhet të përcaktohen intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës.

Në intervalin e parë, nga minus pafundësia në 1, funksioni në anën e majtë të pabarazisë merr vlera pozitive, dhe funksioni në anën e djathtë merr vlera negative. Nën hark duhet të shkruani dy shenja "+" dhe "-" krah për krah.

Intervali tjetër është nga 1 në 2. Në të, të dy funksionet marrin vlera pozitive. Kjo do të thotë se ka dy pluse nën hark.

Intervali i tretë nga 2 në pafundësi do të japë rezultatin e mëposhtëm: funksioni i majtë- negative, e drejtë - pozitive.

Duke marrë parasysh shenjat që rezultojnë, duhet të llogaritni vlerat e pabarazisë për të gjitha intervalet.

E para prodhon pabarazinë e mëposhtme: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusi para dy në pabarazinë e dytë është për faktin se ky funksion është negativ.

Pas transformimit, pabarazia duket kështu: x > 0. Ai jep menjëherë vlerat e ndryshores. Kjo do të thotë, nga ky interval do të përgjigjet vetëm intervali nga 0 në 1.

Në të dytën: 2 - x > 2 (x - 1). Transformimet do të japin pabarazinë e mëposhtme: -3x + 4 është më e madhe se zero. Zero e tij do të jetë x = 4/3. Duke marrë parasysh shenjën e pabarazisë, rezulton se x duhet të jetë më i vogël se ky numër. Kjo do të thotë që ky interval reduktohet në një interval nga 1 në 4/3.

Kjo e fundit jep pabarazinë e mëposhtme: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformimi i tij çon në sa vijon: -x > 0. Domethënë, ekuacioni është i vërtetë kur x është më i vogël se zero. Kjo do të thotë se në intervalin e kërkuar pabarazia nuk jep zgjidhje.

Në dy intervalet e para, numri i kufirit doli të jetë 1. Duhet të kontrollohet veçmas. Kjo do të thotë, zëvendësojeni atë në pabarazinë origjinale. Rezulton: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Llogaritja tregon se 1 është më e madhe se 0. Ky është një pohim i vërtetë, kështu që një përfshihet në përgjigje.

Përgjigje: x qëndron në intervalin (0; 4/3).

Çdo pabarazi që përfshin një funksion nën rrënjë quhet irracionale. Ekzistojnë dy lloje të pabarazive të tilla:

Në rastin e parë, rrënja më pak funksion g (x), në të dytën - më shumë. Nëse g(x) - konstante, pabarazia është thjeshtuar shumë. Ju lutemi vini re: nga jashtë këto pabarazi janë shumë të ngjashme, por skemat e tyre të zgjidhjes janë thelbësisht të ndryshme.

Sot do të mësojmë se si të zgjidhim pabarazitë irracionale të llojit të parë - ato janë më të thjeshtat dhe më të kuptueshmet. Shenja e pabarazisë mund të jetë e rreptë ose jo e rreptë. Deklarata e mëposhtme është e vërtetë për ta:

Teorema. Çdo pabarazi iracionale e formës

Ekuivalente me sistemin e pabarazive:

Jo i dobët? Le të shohim se nga vjen ky sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - gjithçka është e qartë këtu. Kjo është pabarazia origjinale në katror;
2. f (x) ≥ 0 është ODZ e rrënjës. Më lejoni t'ju kujtoj: aritmetikë Rrenja katrore ekziston vetëm nga jo negative numrat;
3. g(x) ≥ 0 është diapazoni i rrënjës. Duke kuadruar pabarazinë, ne djegim negativët. Si rezultat, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Pabarazia g(x) ≥ 0 i prenë ato.

Shumë studentë "e mbyllin telefonin" në pabarazinë e parë të sistemit: f (x) ≤ g 2 (x) - dhe harrojnë plotësisht dy të tjerët. Rezultati është i parashikueshëm: vendim i gabuar, pikë të humbura.

Meqenëse pabarazitë irracionale janë një temë mjaft komplekse, le të shohim 4 shembuj njëherësh. Nga bazike te vërtet komplekse. Të gjitha problemet janë marrë nga provimet pranuese të Universitetit Shtetëror të Moskës. M. V. Lomonosov.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Para nesh është një klasik pabarazia irracionale: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 është një konstante. Ne kemi:

Nga tre pabarazitë, vetëm dy mbetën në fund të zgjidhjes. Sepse pabarazia 2 ≥ 0 vlen gjithmonë. Le të kalojmë pabarazitë e mbetura:

Pra, x ∈ [−1,5; 0.5]. Të gjitha pikat janë të hijezuara sepse pabarazitë nuk janë strikte.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Ne zbatojmë teoremën:

Le të zgjidhim pabarazinë e parë. Për ta bërë këtë, ne do të zbulojmë katrorin e diferencës. Ne kemi:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Tani le të zgjidhim pabarazinë e dytë. Atje gjithashtu trinom kuadratik:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)