Paraqiten llojet kryesore të pabarazive, duke përfshirë pabarazitë Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Janë marrë parasysh vetitë e pabarazive dhe veprimet mbi to. Janë dhënë metodat bazë për zgjidhjen e pabarazive.

Formulat për pabarazitë bazë

Formulat për pabarazitë universale

Pabarazitë universale plotësohen për çdo vlerë të sasive të përfshira në to. Llojet kryesore të pabarazive universale janë renditur më poshtë.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Barazia ndodh vetëm kur a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Pabarazia Cauchy-Bunyakovsky

Barazia vlen nëse dhe vetëm nëse α a k = β b k për të gjitha k = 1, 2, ..., n dhe disa α, β, |α| + |β| > 0.

5) Pabarazia e Minkowskit, për p ≥ 1

Formulat e pabarazive të kënaqshme

Pabarazitë e kënaqshme plotësohen kur vlera të caktuara sasitë e përfshira në to.

1) Pabarazia e Bernulit:
.
Në më shumë pamje e përgjithshme:
,
ku , numra të së njëjtës shenjë dhe më të mëdhenj se -1 : .
Lema e Bernoulli:
.
Shihni "Provat e pabarazive dhe lema e Bernulit".

2)
për një i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Pabarazia e Chebyshev
në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Pabarazitë e përgjithësuara të Chebyshev
në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n dhe k natyrore
.
Në 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Dhe b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Vetitë e pabarazive

Vetitë e pabarazive janë një grup rregullash që plotësohen gjatë transformimit të tyre. Më poshtë janë vetitë e pabarazive. Kuptohet që pabarazitë origjinale plotësohen për vlerat e x i (i = 1, 2, 3, 4) që i përkasin një intervali të paracaktuar.

1) Kur rendi i anëve ndryshon, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën.
Nëse x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Nëse x 1 ≤ x 2, atëherë x 2 ≥ x 1.
Nëse x 1 ≥ x 2, atëherë x 2 ≤ x 1.
Nëse x 1 > x 2, atëherë x 2< x 1 .

2) Një barazi është e barabartë me dy pabarazi të dobëta shenjë të ndryshme.
Nëse x 1 = x 2, atëherë x 1 ≤ x 2 dhe x 1 ≥ x 2.
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 1 ≥ x 2, atëherë x 1 = x 2.

3) Vetia kalimtare
Nëse x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe x 2 ≤ x 3, atëherë x 1 ≤ x 3.

4) I njëjti numër mund të shtohet (zbritet) në të dy anët e pabarazisë.
Nëse x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Nëse x 1 ≤ x 2, atëherë x 1 + A ≤ x 2 + A.
Nëse x 1 ≥ x 2, atëherë x 1 + A ≥ x 2 + A.
Nëse x 1 > x 2, atëherë x 1 + A > x 2 + A.

5) Nëse ka dy ose më shumë pabarazi me shenjën e të njëjtit drejtim, atëherë mund të shtohen anët e majta dhe të djathta të tyre.
Nëse x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, atëherë x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Shprehje të ngjashme vlejnë për shenjat ≥, >.
Nëse pabarazitë origjinale përmbajnë shenja të pabarazive jo të rrepta dhe të paktën një pabarazi strikte (por të gjitha shenjat kanë të njëjtin drejtim), atëherë mbledhja rezulton në një pabarazi strikte.

6) Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me një numër pozitiv.
Nëse x 1< x 2 и A >0, pastaj A x 1< A · x 2 .
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe A > 0, atëherë A x 1 ≤ A x 2.
Nëse x 1 ≥ x 2 dhe A > 0, atëherë A x 1 ≥ A x 2.
Nëse x 1 > x 2 dhe A > 0, atëherë A · x 1 > A · x 2.

7) Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me një numër negativ. Në këtë rast, shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.
Nëse x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Nëse x 1 ≤ x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Nëse x 1 ≥ x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Nëse x 1 > x 2 dhe A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Nëse ka dy ose më shumë pabarazi me terma pozitivë, me shenjën e të njëjtit drejtim, atëherë anët e majta dhe të djathta të tyre mund të shumëzohen me njëra-tjetrën.
Nëse x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 pastaj x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nëse x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, atëherë x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Shprehje të ngjashme vlejnë për shenjat ≥, >.
Nëse pabarazitë origjinale përmbajnë shenja të pabarazive jo të rrepta dhe të paktën një pabarazi strikte (por të gjitha shenjat kanë të njëjtin drejtim), atëherë shumëzimi rezulton në një pabarazi strikte.

9) Le të jetë f(x) një funksion në rritje monotonike. Kjo do të thotë, për çdo x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Atëherë ky funksion mund të zbatohet në të dy anët e pabarazisë, gjë që nuk do të ndryshojë shenjën e pabarazisë.
Nëse x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Nëse x 1 ≤ x 2 atëherë f(x 1) ≤ f(x 2) .
Nëse x 1 ≥ x 2 atëherë f(x 1) ≥ f(x 2) .
Nëse x 1 > x 2, atëherë f(x 1) > f(x 2).

10) Le të jetë f(x) një funksion në rënie monotonike, domethënë për çdo x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Nëse x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Nëse x 1 ≤ x 2 atëherë f(x 1) ≥ f(x 2) .
Nëse x 1 ≥ x 2 atëherë f(x 1) ≤ f(x 2) .
Nëse x 1 > x 2, atëherë f(x 1)< f(x 2) .

Metodat për zgjidhjen e pabarazive

Zgjidhja e pabarazive duke përdorur metodën e intervalit

Metoda e intervalit është e zbatueshme nëse pabarazia përfshin një ndryshore, të cilën e shënojmë si x dhe ka formën:
f(x) > 0
ku f(x) - funksion të vazhdueshëm, duke pasur një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje. Shenja e pabarazisë mund të jetë çdo gjë: >, ≥,<, ≤ .

Metoda e intervalit është si më poshtë.

1) Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit f(x) dhe shënoni atë me intervale në boshtin numerik.

2) Gjeni pikat e ndërprerjes së funksionit f(x). Për shembull, nëse kjo është një thyesë, atëherë gjejmë pikat në të cilat emëruesi bëhet zero. Këto pika i shënojmë në boshtin e numrave.

3) Zgjidhe ekuacionin
f(x) = 0 .
Ne shënojmë rrënjët e këtij ekuacioni në boshtin e numrave.

4) Si rezultat, boshti i numrave do të ndahet në intervale (segmente) sipas pikave. Brenda çdo intervali të përfshirë në domenin e përkufizimit, ne zgjedhim çdo pikë dhe në këtë pikë llogarisim vlerën e funksionit. Nëse kjo vlerë është më e madhe se zero, atëherë vendosim një shenjë "+" mbi segmentin (intervalin). Nëse kjo vlerë është më e vogël se zero, atëherë vendosim një shenjë "-" mbi segmentin (intervalin).

5) Nëse pabarazia ka formën: f(x) > 0, atëherë zgjidhni intervalet me shenjën “+”. Zgjidhja e pabarazisë është kombinimi i këtyre intervaleve, të cilat nuk përfshijnë kufijtë e tyre.
Nëse pabarazia ka formën: f(x) ≥ 0, atëherë zgjidhjes i shtojmë pikat në të cilat f(x) = 0. Domethënë, disa intervale mund të kenë kufij të mbyllur (kufiri i përket intervalit). pjesa tjetër mund të ketë kufij të hapur (kufiri nuk i përket intervalit).
Në mënyrë të ngjashme, nëse pabarazia ka formën: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Nëse pabarazia ka formën: f(x) ≤ 0, atëherë zgjidhjes i shtojmë pikat në të cilat f(x) = 0.

Zgjidhja e pabarazive duke përdorur vetitë e tyre

Kjo metodë është e zbatueshme për pabarazitë e çdo kompleksiteti. Ai konsiston në aplikimin e vetive (të paraqitura më sipër) për të reduktuar pabarazitë në një formë më të thjeshtë dhe për të marrë një zgjidhje. Është shumë e mundur që kjo të rezultojë jo vetëm në një, por në një sistem pabarazish. Kjo është një metodë universale. Ai zbatohet për çdo pabarazi.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Një nga temat që kërkon vëmendje dhe këmbëngulje maksimale nga studentët është zgjidhja e pabarazive. Pra të ngjashme me ekuacionet dhe në të njëjtën kohë shumë të ndryshme nga ato. Sepse zgjidhja e tyre kërkon një qasje të veçantë.

Vetitë që do të nevojiten për të gjetur përgjigjen

Të gjitha ato përdoren për të zëvendësuar një hyrje ekzistuese me një ekuivalente. Shumica e tyre janë të ngjashme me atë që ishte në ekuacione. Por ka edhe dallime.

• Një funksion që është përcaktuar në ODZ, ose çdo numër, mund të shtohet në të dy anët e pabarazisë origjinale.
• Po kështu, shumëzimi është i mundur, por vetëm me një funksion ose numër pozitiv.
• Nëse ky veprim kryhet me një funksion ose numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë duhet të zëvendësohet me të kundërtën.
• Funksionet që janë jonegative mund të ngrihen në një fuqi pozitive.

Ndonjëherë zgjidhja e pabarazive shoqërohet me veprime që japin përgjigje të jashtme. Ata duhet të përjashtohen duke krahasuar Zona ODZ dhe shumë zgjidhje.

Duke përdorur metodën e intervalit

Thelbi i tij është të zvogëlojë pabarazinë në një ekuacion në të cilin ka një zero në anën e djathtë.

1. Përcaktoni zonën ku qëndrojnë vlerat e lejuara të variablave, domethënë ODZ.
2. Shndërroni pabarazinë duke përdorur veprime matematikore në mënyrë që ana e djathtë të ketë një zero.
3. Zëvendësoni shenjën e pabarazisë me "=" dhe zgjidhni ekuacionin përkatës.
4. Në boshtin numerik shënoni të gjitha përgjigjet që janë marrë gjatë zgjidhjes, si dhe intervalet OD. Në rast të pabarazisë strikte, pikat duhet të vizatohen si të shpuara. Nëse ka një shenjë të barabartë, atëherë ato duhet të pikturohen.
5. Përcaktoni shenjën e funksionit origjinal në çdo interval të marrë nga pikat e ODZ dhe përgjigjet që e ndajnë atë. Nëse shenja e funksionit nuk ndryshon gjatë kalimit në një pikë, atëherë ai përfshihet në përgjigje. Përndryshe, është e përjashtuar.
6. Pikat kufitare për ODZ duhet të kontrollohen më tej dhe vetëm atëherë të përfshihen ose jo në përgjigje.
7. Përgjigja që rezulton duhet të shkruhet në formën e grupeve të kombinuara.

Pak për pabarazitë e dyfishta

Ata përdorin dy shenja pabarazie në të njëjtën kohë. Kjo do të thotë, disa funksione kufizohen nga kushtet dy herë në të njëjtën kohë. Pabarazi të tilla zgjidhen si një sistem me dy, kur origjinali ndahet në pjesë. Dhe në metodën e intervalit, tregohen përgjigjet nga zgjidhja e të dy ekuacioneve.

Për t'i zgjidhur ato, lejohet gjithashtu përdorimi i vetive të treguara më lart. Me ndihmën e tyre, është e përshtatshme për të reduktuar pabarazinë në zero.

Po pabarazitë që kanë një modul?

Në këtë rast, zgjidhja e pabarazive përdor vetitë e mëposhtme, dhe ato janë të vlefshme për një vlerë pozitive të "a".

Nëse "x" merr shprehje algjebrike, atëherë zëvendësimet e mëposhtme janë të vlefshme:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a në x< -a или х >a.

Nëse pabarazitë nuk janë strikte, atëherë edhe formulat janë të sakta, vetëm se në to, përveç shenjës më të madhe ose më të vogël, shfaqet "=".

Si zgjidhet një sistem pabarazish?

Kjo njohuri do të kërkohet në rastet kur jepet një detyrë e tillë ose ka një regjistrim të pabarazisë së dyfishtë ose një modul shfaqet në procesverbal. Në një situatë të tillë, zgjidhja do të jenë vlerat e variablave që do të plotësonin të gjitha pabarazitë në rekord. Nëse nuk ka numra të tillë, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje.

Plani sipas të cilit kryhet zgjidhja e sistemit të pabarazive:

• zgjidhni secilën prej tyre veç e veç;
• përshkruani të gjitha intervalet në boshtin e numrave dhe përcaktoni kryqëzimet e tyre;
• shkruani përgjigjen e sistemit, e cila do të jetë një kombinim i asaj që ndodhi në paragrafin e dytë.

Çfarë duhet bërë me pabarazitë thyesore?

Duke qenë se zgjidhja e tyre mund të kërkojë ndryshimin e shenjës së pabarazisë, duhet të ndiqni me shumë kujdes dhe me kujdes të gjitha pikat e planit. Përndryshe, ju mund të merrni përgjigjen e kundërt.

Zgjidhja e pabarazive thyesore përdor gjithashtu metodën e intervalit. Dhe plani i veprimit do të jetë si ky:

• Duke përdorur vetitë e përshkruara, jepini fraksionit një formë të tillë që vetëm zero të mbetet në të djathtë të shenjës.
• Zëvendësoni pabarazinë me “=” dhe përcaktoni pikat në të cilat funksioni do të jetë i barabartë me zero.
• Shënojini ato në boshtin koordinativ. Në këtë rast, numrat e marrë si rezultat i llogaritjeve në emërues do të fshihen gjithmonë. Të gjitha të tjerat bazohen në kushtin e pabarazisë.
• Përcaktoni intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës.
• Si përgjigje, shkruani bashkimin e atyre intervaleve, shenja e të cilave korrespondon me atë në pabarazinë origjinale.

Situatat kur irracionaliteti shfaqet në pabarazi

Me fjalë të tjera, ka një rrënjë matematikore në shënim. Që në kursin e algjebrës shkollore shumica detyrat janë për rrënjën katrore, atëherë kjo është ajo që do të merret parasysh.

Zgjidhje pabarazitë irracionale zbret në marrjen e një sistemi prej dy ose tre që do të jetë i barabartë me atë origjinal.

Pabarazi origjinale	gjendje	sistem ekuivalent
√ n(x)< m(х)	m(x) më pak ose e barabartë me 0	asnjë zgjidhje
	m(x) më i madh se 0	n(x) është më i madh ose i barabartë me 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) është më i madh ose i barabartë me 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) është më i madh ose i barabartë me 0 m(x) më pak se 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) më pak se 0	asnjë zgjidhje
	m(x) është më i madh ose i barabartë me 0	n(x) është më i madh ose i barabartë me 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) është më i madh ose i barabartë me 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) është më i madh ose i barabartë me 0 m(x) më pak se 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) është më i madh ose i barabartë me 0 n(x) më pak se m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) më i madh se 0 m(x) më pak se 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) më i madh se 0 m(x) më i madh se 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) më i madh se 0
		n(x) është e barabartë me 0 m(x) - çdo
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) më i madh se 0
		n(x) është e barabartë me 0 m(x) - çdo

Shembuj të zgjidhjes së llojeve të ndryshme të pabarazive

Për t'i shtuar qartësi teorisë për zgjidhjen e pabarazive, shembujt janë dhënë më poshtë.

Shembulli i parë. 2x - 4 > 1 + x

Zgjidhja: Për të përcaktuar ADI, gjithçka që duhet të bëni është të shikoni nga afër pabarazinë. Ajo është formuar nga funksionet lineare, prandaj përcaktohet për të gjitha vlerat e ndryshores.

Tani ju duhet të zbrisni (1 + x) nga të dy anët e pabarazisë. Rezulton: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Pasi të hapen kllapat dhe të jepen terma të ngjashëm, pabarazia do të marrë formën e mëposhtme: x - 5 > 0.

Duke e barazuar atë me zero, është e lehtë të gjesh zgjidhjen e tij: x = 5.

Tani kjo pikë me numrin 5 duhet të shënohet në rreze koordinative. Pastaj kontrolloni shenjat e funksionit origjinal. Në intervalin e parë nga minus pafundësia në 5, mund të merrni numrin 0 dhe ta zëvendësoni atë në pabarazinë e marrë pas transformimeve. Pas llogaritjeve rezulton -7 >0. nën harkun e intervalit ju duhet të nënshkruani një shenjë minus.

Në intervalin tjetër nga 5 deri në pafundësi, ju mund të zgjidhni numrin 6. Pastaj rezulton se 1 > 0. Ekziston një shenjë "+" nën hark. Ky interval i dytë do të jetë përgjigja e pabarazisë.

Përgjigje: x qëndron në intervalin (5; ∞).

Shembulli i dytë. Kërkohet të zgjidhet një sistem me dy ekuacione: 3x + 3 ≤ 2x + 1 dhe 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Zgjidhje. VA e këtyre pabarazive qëndron gjithashtu në rajonin e çdo numri, pasi janë dhënë funksionet lineare.

Mosbarazimi i dytë do të marrë formën e ekuacionit të mëposhtëm: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Pas transformimit: -x - 4 =0. Kjo prodhon një vlerë për variablin e barabartë me -4.

Këta dy numra duhet të shënohen në bosht, duke përshkruar intervalet. Meqenëse pabarazia nuk është e rreptë, të gjitha pikat duhet të hijezohen. Intervali i parë është nga minus pafundësi në -4. Le të zgjidhet numri -5. Pabarazia e parë do të japë vlerën -3, dhe e dyta 1. Kjo do të thotë se ky interval nuk përfshihet në përgjigje.

Intervali i dytë është nga -4 në -2. Mund të zgjidhni numrin -3 dhe ta zëvendësoni me të dyja pabarazitë. Në të parën dhe të dytën, vlera është -1. Kjo do të thotë se nën harkun "-".

Në intervalin e fundit nga -2 deri në pafundësi, numri më i mirë është zero. Ju duhet ta zëvendësoni atë dhe të gjeni vlerat e pabarazive. E para prej tyre prodhon një numër pozitiv, dhe e dyta një zero. Ky boshllëk gjithashtu duhet të përjashtohet nga përgjigja.

Nga tre intervalet, vetëm një është zgjidhje për pabarazinë.

Përgjigje: x i përket [-4; -2].

Shembulli i tretë. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Zgjidhje. Hapi i parë është përcaktimi i pikave në të cilat funksionet zhduken. Për të majtën ky numër do të jetë 2, për të djathtën - 1. Ato duhet të shënohen në rreze dhe të përcaktohen intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës.

Në intervalin e parë, nga minus pafundësia në 1, funksioni në anën e majtë të pabarazisë merr vlera pozitive, dhe funksioni në anën e djathtë merr vlera negative. Nën hark duhet të shkruani dy shenja "+" dhe "-" krah për krah.

Intervali tjetër është nga 1 në 2. Në të, të dy funksionet marrin vlera pozitive. Kjo do të thotë se ka dy pluse nën hark.

Intervali i tretë nga 2 në pafundësi do të japë rezultatin e mëposhtëm: funksioni i majtë- negative, e drejtë - pozitive.

Duke marrë parasysh shenjat që rezultojnë, duhet të llogaritni vlerat e pabarazisë për të gjitha intervalet.

E para prodhon pabarazinë e mëposhtme: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusi para dy në pabarazinë e dytë është për faktin se ky funksion është negativ.

Pas transformimit, pabarazia duket kështu: x > 0. Ai jep menjëherë vlerat e ndryshores. Kjo do të thotë, nga ky interval do të përgjigjet vetëm intervali nga 0 në 1.

Në të dytën: 2 - x > 2 (x - 1). Transformimet do të japin pabarazinë e mëposhtme: -3x + 4 është më e madhe se zero. Zero e tij do të jetë x = 4/3. Duke marrë parasysh shenjën e pabarazisë, rezulton se x duhet të jetë më i vogël se ky numër. Kjo do të thotë që ky interval reduktohet në një interval nga 1 në 4/3.

Kjo e fundit jep pabarazinë e mëposhtme: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformimi i tij çon në sa vijon: -x > 0. Domethënë, ekuacioni është i vërtetë kur x është më i vogël se zero. Kjo do të thotë se në intervalin e kërkuar pabarazia nuk jep zgjidhje.

Në dy intervalet e para, numri i kufirit doli të jetë 1. Duhet të kontrollohet veçmas. Kjo do të thotë, zëvendësojeni atë në pabarazinë origjinale. Rezulton: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Numërimi tregon se 1 është më e madhe se 0. Ky është një pohim i vërtetë, kështu që një përfshihet në përgjigje.

Përgjigje: x qëndron në intervalin (0; 4/3).

Krahasimi i sasive dhe sasive gjatë zgjidhjes së problemeve praktike ka qenë i nevojshëm që nga kohërat e lashta. Në të njëjtën kohë, u shfaqën fjalë të tilla si më shumë e më pak, më i lartë dhe më i ulët, më i lehtë dhe më i rëndë, më i qetë dhe më i zhurmshëm, më i lirë dhe më i shtrenjtë etj., duke treguar rezultatet e krahasimit të sasive homogjene.

Konceptet e shumë e më pak u ngritën në lidhje me numërimin e objekteve, matjen dhe krahasimin e sasive. Për shembull, matematikanët e Greqisë së Lashtë e dinin se brinja e çdo trekëndëshi është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera dhe se ana më e madhe e një trekëndëshi shtrihet përballë këndit më të madh. Arkimedi, duke llogaritur perimetrin, konstatoi se perimetri i çdo rrethi është i barabartë me trefishin e diametrit me një tepricë që është më pak se një e shtata e diametrit, por më shumë se dhjetë herë shtatëdhjetë herë diametri.

Shkruani në mënyrë simbolike marrëdhëniet ndërmjet numrave dhe sasive duke përdorur shenjat > dhe b. Regjistrime në të cilat dy numra janë të lidhur me njërën nga shenjat: > (më e madhe se), Ju keni hasur edhe pabarazi numerike në klasat e vogla. Ju e dini se pabarazitë mund të jenë të vërteta, ose mund të jenë të rreme. Për shembull, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) është një pabarazi numerike e saktë, 0.23 > 0.235 është një pabarazi numerike e pasaktë.

Pabarazitë që përfshijnë të panjohurat mund të jenë të vërteta për disa vlera të të panjohurave dhe të rreme për të tjerat. Për shembull, pabarazia 2x+1>5 është e vërtetë për x = 3, por e gabuar për x = -3. Për një pabarazi me një të panjohur, mund të vendosni detyrën: zgjidhni pabarazinë. Problemet e zgjidhjes së pabarazive në praktikë shtrohen dhe zgjidhen jo më rrallë se problemet e zgjidhjes së ekuacioneve. Për shembull, shumë probleme ekonomike vijnë në studimin dhe zgjidhjen e sistemeve pabarazitë lineare. Në shumë degë të matematikës, pabarazitë janë më të zakonshme se ekuacionet.

Disa pabarazi shërbejnë si të vetmet ndihmëse, duke ju lejuar të provoni ose kundërshtoni ekzistencën e një objekti të caktuar, për shembull, rrënjën e një ekuacioni.

Pabarazitë numerike

A mund të krahasoni numrat e plotë? dhjetore. A i dini rregullat e krahasimit? thyesat e zakonshme me emërues të njëjtë por numërues të ndryshëm; me numërues të njëjtë, por emërues të ndryshëm. Këtu do të mësoni se si të krahasoni çdo dy numra duke gjetur shenjën e ndryshimit të tyre.

Krahasimi i numrave përdoret gjerësisht në praktikë. Për shembull, një ekonomist krahason treguesit e planifikuar me ata aktualë, një mjek krahason temperaturën e pacientit me normalen, një rrotullues krahason dimensionet e një pjese të përpunuar me një standard. Në të gjitha këto raste, disa numra krahasohen. Si rezultat i krahasimit të numrave, lindin pabarazi numerike.

Përkufizimi. Numri a më shumë numër b, nëse dallimi a-b pozitive. Numri a më pak numër b, nëse diferenca a-b është negative.

Nëse a është më e madhe se b, atëherë shkruajnë: a > b; nëse a është më e vogël se b, atëherë shkruajnë: a Kështu, mosbarazimi a > b do të thotë se ndryshimi a - b është pozitiv, d.m.th. a - b > 0. Mosbarazimi a Për çdo dy numra a dhe b nga tre relacionet e mëposhtme a > b, a = b, a Të krahasosh numrat a dhe b do të thotë të gjesh se cila nga shenjat >, = ose Teorema. Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c.

Teorema. Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e pabarazisë, shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë.
Pasoja.Çdo term mund të zhvendoset nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Teorema. Nëse të dy anët e pabarazisë shumëzohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë shenja e pabarazisë nuk ndryshon. Nëse të dy anët e pabarazisë shumëzohen me të njëjtin numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.
Pasoja. Nëse të dy anët e pabarazisë pjesëtohen me të njëjtin numër pozitiv, atëherë shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë. Nëse të dy anët e pabarazisë pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, atëherë shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën.

Ju e dini që barazitë numerike mund të shtohen dhe të shumëzohen term pas termi. Më pas, do të mësoni se si të kryeni veprime të ngjashme me pabarazi. Aftësia për të shtuar dhe shumëzuar pabarazitë term pas termi përdoret shpesh në praktikë. Këto veprime ndihmojnë në zgjidhjen e problemeve të vlerësimit dhe krahasimit të kuptimeve të shprehjeve.

Kur zgjidhen probleme të ndryshme, shpesh është e nevojshme të shtohen ose të shumëzohen anët e majta dhe të djathta të pabarazive term pas termi. Në të njëjtën kohë, nganjëherë thuhet se pabarazitë mblidhen ose shumohen. Për shembull, nëse një turist ka ecur më shumë se 20 km ditën e parë, dhe më shumë se 25 km në të dytën, atëherë mund të themi se në dy ditë ai ka ecur më shumë se 45 km. Në mënyrë të ngjashme, nëse gjatësia e një drejtkëndëshi është më e vogël se 13 cm dhe gjerësia është më e vogël se 5 cm, atëherë mund të themi se sipërfaqja e këtij drejtkëndëshi është më e vogël se 65 cm2.

Gjatë shqyrtimit të këtyre shembujve, u përdorën sa vijon: teorema mbi mbledhjen dhe shumëzimin e pabarazive:

Teorema. Kur mblidhen pabarazitë e së njëjtës shenjë, fitohet një pabarazi e së njëjtës shenjë: nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d.

Teorema. Gjatë shumëzimit të inekuacioneve të së njëjtës shenjë, anët e majta dhe të djathta të të cilave janë pozitive, fitohet një pabarazi e së njëjtës shenjë: nëse a > b, c > d dhe a, b, c, d janë numra pozitivë, atëherë ac > bd.

Pabarazitë me shenjën > (më e madhe se) dhe 1/2, 3/4 b, c Së bashku me shenjat e pabarazive strikte > dhe Në të njëjtën mënyrë, pabarazia \(a \geq b \) do të thotë se numri a është më e madhe ose e barabartë me b, pra .dhe jo më pak b.

Pabarazitë që përmbajnë shenjën \(\geq \) ose shenjën \(\leq \) quhen jo të rrepta. Për shembull, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nuk janë pabarazi strikte.

Të gjitha vetitë e pabarazive strikte janë gjithashtu të vlefshme për pabarazitë jo të rrepta. Për më tepër, nëse për pabarazitë strikte, shenjat > konsideroheshin të kundërta dhe ju e dini se për të zgjidhur një numër problemesh të aplikuara duhet të krijoni një model matematikor në formën e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Më pas do ta zbuloni këtë modele matematikore Për zgjidhjen e shumë problemeve ka pabarazi me të panjohurat. Do të prezantohet koncepti i zgjidhjes së një pabarazie dhe do të tregohet se si të testohet nëse një numër i caktuar është zgjidhje për një pabarazi të caktuar.

Pabarazitë e formës
\(ax > b, \katër sëpatë në të cilën a dhe b janë dhënë numra, dhe x është një i panjohur, quhen pabarazitë lineare me një të panjohur.

Përkufizimi. Zgjidhja e një pabarazie me një të panjohur është vlera e të panjohurës në të cilën kjo pabarazi bëhet një pabarazi numerike e vërtetë. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e saj ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Ju i zgjidhni ekuacionet duke i reduktuar në ekuacionet më të thjeshta. Në mënyrë të ngjashme, kur zgjidhen pabarazitë, njeriu përpiqet t'i reduktojë ato, duke përdorur vetitë, në formën e pabarazive të thjeshta.

Zgjidhja e pabarazive të shkallës së dytë me një ndryshore

Pabarazitë e formës
\(ax^2+bx+c >0 \) dhe \(ax^2+bx+c ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \(a \neq 0 \), të quajtur pabarazitë e shkallës së dytë me një ndryshore.

Zgjidhja e pabarazisë
\(ax^2+bx+c >0 \) ose \(ax^2+bx+c mund të konsiderohen si gjetje të intervaleve në të cilat funksioni \(y= ax^2+bx+c \) merr pozitiv ose negativ vlerat Për ta bërë këtë, mjafton të analizohet se si grafiku i funksionit \(y= ax^2+bx+c\) ndodhet në planin koordinativ: ku janë të drejtuara degët e parabolës - lart ose poshtë, nëse parabola e pret boshtin x dhe nëse e pret, atëherë në cilat pika.

Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive të shkallës së dytë me një ndryshore:
1) Gjeni diskriminuesin e trinomit katror \(ax^2+bx+c\) dhe gjeni nëse trinomi ka rrënjë;
2) nëse trinomi ka rrënjë, atëherë shënojini ato në boshtin x dhe nëpër pikat e shënuara vizatoni një parabolë skematike, degët e së cilës janë të drejtuara lart për një > 0 ose poshtë për një 0 ose në fund për një 3) gjeni intervalet në boshtin x për të cilin parabolat e pikave ndodhen mbi boshtin x (nëse zgjidhin pabarazinë \(ax^2+bx+c >0\)) ose nën boshtin x (nëse zgjidhin pabarazia
\(ax^2+bx+c Zgjidhja e inekuacioneve duke përdorur metodën e intervalit

Merrni parasysh funksionin
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeni i këtij funksioni është bashkësia e të gjithë numrave. Zerot e funksionit janë numrat -2, 3, 5. Ata e ndajnë domenin e përcaktimit të funksionit në intervalet \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) dhe \( (5; +\infty)\)

Le të zbulojmë se cilat janë shenjat e këtij funksioni në secilin nga intervalet e treguara.

Shprehja (x + 2) (x - 3) (x - 5) është produkt i tre faktorëve. Shenja e secilit prej këtyre faktorëve në intervalet në shqyrtim tregohet në tabelë:

Në përgjithësi, le të jepet funksioni nga formula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
ku x është një ndryshore, dhe x 1, x 2, ..., x n janë numra që nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Numrat x 1 , x 2 , ..., x n janë zero të funksionit. Në secilin nga intervalet në të cilat domeni i përkufizimit ndahet me zero të funksionit, shenja e funksionit ruhet dhe kur kalon në zero, shenja e tij ndryshon.

Kjo veti përdoret për të zgjidhur pabarazitë e formës
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ku x 1, x 2, ..., x n janë numra jo të barabartë me njëri-tjetrin

Metoda e konsideruar zgjidhja e inekuacioneve quhet metoda e intervalit.

Le të japim shembuj të zgjidhjes së pabarazive duke përdorur metodën e intervalit.

Zgjidhja e pabarazisë:

\(x(0.5-x)(x+4) Natyrisht, zerot e funksionit f(x) = x(0.5-x)(x+4) janë pikat \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \;

Ne vizatojmë zerot e funksionit në boshtin e numrave dhe llogarisim shenjën në çdo interval:

Ne zgjedhim ato intervale në të cilat funksioni është më i vogël ose i barabartë me zero dhe shkruajmë përgjigjen.

Përgjigje:
\(x \në \majtas(-\infty; \; 1 \djathtas) \kupë \majtas[ 4; \; +\infty \djathtas) \)

Çfarë duhet të dini për ikonat e pabarazisë? Pabarazitë me ikonën më shumë (> ), ose më pak (< ) quhen i rreptë. Me ikona më shumë ose të barabartë (≥ ), më pak ose të barabartë (≤ ) quhen jo strikte. Ikona jo të barabartë (≠ ) qëndron veçmas, por ju gjithashtu duhet të zgjidhni shembuj me këtë ikonë gjatë gjithë kohës. Dhe ne do të vendosim.)

Vetë ikona nuk ka shumë ndikim në procesin e zgjidhjes. Por në fund të vendimit, kur zgjidhni përgjigjen përfundimtare, kuptimi i ikonës shfaqet me forcë të plotë! Kjo është ajo që do të shohim më poshtë në shembuj. Ka disa shaka atje ...

Pabarazitë, si barazitë, ekzistojnë besnik dhe i pabesë. Gjithçka është e thjeshtë këtu, pa truke. Le të themi 5 > 2 është një pabarazi e vërtetë. 5 < 2 - e pasaktë.

Kjo përgatitje funksionon për pabarazitë ndonjë lloj dhe e thjeshtë deri në pikën e tmerrit.) Ju vetëm duhet të kryeni saktë dy (vetëm dy!) veprime elementare. Këto veprime janë të njohura për të gjithë. Por, karakteristike, gabimet në këto veprime janë gabimi kryesor në zgjidhjen e pabarazive, po... Prandaj këto veprime duhet të përsëriten. Këto veprime quhen si më poshtë:

Shndërrime identike të pabarazive.

Shndërrimet identike të pabarazive janë shumë të ngjashme me transformimet identike të ekuacioneve. Në fakt, ky është problemi kryesor. Dallimet kalojnë mbi kokën tuaj dhe... ja ku jeni.) Prandaj, unë do t'i nënvizoj veçanërisht këto dallime. Pra, transformimi i parë identik i pabarazive:

1. I njëjti numër ose shprehje mund të shtohet (zbritet) në të dy anët e mosbarazimit. Çdo. Kjo nuk do të ndryshojë shenjën e pabarazisë.

Në praktikë, ky rregull zbatohet si transferim i termave nga ana e majtë e pabarazisë në të djathtë (dhe anasjelltas) me një ndryshim të shenjës. Me ndryshim të shenjës së termit, jo pabarazi! Rregulli një me një është i njëjtë me rregullin për ekuacionet. Por transformimet e mëposhtme identike në pabarazi ndryshojnë ndjeshëm nga ato në ekuacione. Kështu që unë i veçoj ato me të kuqe:

2. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtën gjëpozitivenumri. Për çdopozitive Nuk do të ndryshojë.

3. Të dyja anët e pabarazisë mund të shumëzohen (pjestohen) me të njëjtën gjënegativ numri. Për çdonegativnumri. Shenja e pabarazisë nga kjodo të ndryshojë në të kundërtën.

Ju kujtohet (shpresoj...) që ekuacioni mund të shumëzohet/pjestohet me çdo gjë. Dhe për çdo numër, dhe për një shprehje me një X. Sikur të mos ishte zero. Kjo e bën atë, ekuacionin, as të nxehtë as të ftohtë.) Nuk ndryshon. Por pabarazitë janë më të ndjeshme ndaj shumëzimit/pjestimit.

Një shembull i qartë për një kujtesë të gjatë. Le të shkruajmë pabarazinë e diskutueshme:

5 > 2

Shumëzojini të dyja anët me +3, marrim:

15 > 6

Ndonjë kundërshtim? Nuk ka kundërshtime.) Dhe nëse i shumëzojmë me të dyja anët e pabarazisë fillestare -3, marrim:

15 > -6

Dhe kjo është një gënjeshtër e plotë.) Një gënjeshtër e plotë! Mashtrimi i popullit! Por sapo ndryshoni shenjën e pabarazisë në të kundërtën, gjithçka bie në vend:

15 < -6

Unë nuk po betohem vetëm për gënjeshtra dhe mashtrime.) "Kam harruar të ndryshoj shenjën e barazimit..."- Kjo shtëpi gabim në zgjidhjen e pabarazive. Ky rregull i parëndësishëm dhe i thjeshtë ka lënduar shumë njerëz! Të cilën e harruan...) Pra, po betohem. Ndoshta do ta kujtoj...)

Veçanërisht njerëzit e vëmendshëm do të vërejnë se pabarazia nuk mund të shumëzohet me një shprehje me një X. Respekt për ata që janë të vëmendshëm!) Pse jo? Përgjigja është e thjeshtë. Ne nuk e dimë shenjën e kësaj shprehjeje me një X. Mund të jetë pozitive, negative... Prandaj, nuk dimë se cilën shenjë mosbarazie të vendosim pas shumëzimit. A duhet ta ndryshoj apo jo? E panjohur. Sigurisht, ky kufizim (ndalimi i shumëzimit/pjestimit të një pabarazie me një shprehje me një x) mund të anashkalohet. Nëse keni vërtet nevojë për të. Por kjo është një temë për mësime të tjera.

Janë të gjitha transformimet identike të pabarazive. Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se ata punojnë për të ndonjë pabarazitë Tani mund të kaloni në lloje specifike.

Pabarazitë lineare. Zgjidhje, shembuj.

Pabarazitë lineare janë pabarazi në të cilat x është në fuqinë e parë dhe nuk ka pjesëtim me x. Lloji:

x+3 > 5x-5

Si zgjidhen pabarazi të tilla? Ato janë shumë të lehta për t'u zgjidhur! Domethënë: me ndihmën e zvogëlojmë pabarazinë lineare më konfuze drejt në përgjigje. Kjo është zgjidhja. Do të nënvizoj pikat kryesore të vendimit. Për të shmangur gabimet budallaqe.)

Le të zgjidhim këtë pabarazi:

x+3 > 5x-5

Ne e zgjidhim atë saktësisht në të njëjtën mënyrë si një ekuacion linear. Me ndryshimin e vetëm:

Ne monitorojmë me kujdes shenjën e pabarazisë!

Hapi i parë është më i zakonshmi. Me X - në të majtë, pa X - në të djathtë... Ky është transformimi i parë identik, i thjeshtë dhe pa probleme.) Vetëm mos harroni të ndryshoni shenjat e termave të transferuar.

Shenja e pabarazisë mbetet:

x-5x > -5-3

Këtu janë të ngjashme.

Shenja e pabarazisë mbetet:

4x > -8

Mbetet të zbatohet transformimi i fundit identik: ndani të dyja anët me -4.

Ndani sipas negativ numri.

Shenja e pabarazisë do të ndryshojë në të kundërtën:

X < 2

Kjo është përgjigja.

Kështu zgjidhen të gjitha pabarazitë lineare.

Kujdes! Pika 2 vizatohet e bardhë, d.m.th. e pa lyer. Bosh brenda. Kjo do të thotë se ajo nuk përfshihet në përgjigje! E kam vizatuar me qëllim kaq të shëndetshëm. Një pikë e tillë (bosh, jo e shëndetshme!)) në matematikë quhet pikë e shpuar.

Numrat e mbetur në bosht mund të shënohen, por jo të nevojshme. Numrat e jashtëm që nuk lidhen me pabarazinë tonë mund të jenë konfuze, po... Duhet vetëm të mbani mend se numrat rriten në drejtim të shigjetës, d.m.th. numrat 3, 4, 5, etj. janë në të djathtë janë dyshe, dhe numrat janë 1, 0, -1, etj. - në të majtë.

Pabarazi x < 2 - i rreptë. X është rreptësisht më pak se dy. Nëse keni dyshime, kontrolli është i thjeshtë. Ne e zëvendësojmë numrin e dyshimtë në pabarazi dhe mendojmë: "Dy është më pak se dy, sigurisht!" Pikërisht. Pabarazia 2 < 2 e pasaktë. Një dy në këmbim nuk është e përshtatshme.

A është një në rregull? Sigurisht. Më pak... Dhe zero është e mirë, dhe -17, dhe 0,34... Po, të gjithë numrat që janë më pak se dy janë të mirë! Dhe madje 1,9999 .... Të paktën pak, por më pak!

Pra, le t'i shënojmë të gjithë këta numra në boshtin e numrave. Si? Këtu ka opsione. Opsioni i parë është hijezimi. Lëvizim miun mbi figurë (ose prekim figurën në tablet) dhe shohim që zona e të gjitha x-ve që plotësojnë kushtin x është e hijezuar < 2 . Kjo eshte e gjitha.

Le të shohim opsionin e dytë duke përdorur shembullin e dytë:

X ≥ -0,5

Vizatoni një bosht dhe shënoni numrin -0.5. Si kjo:

Vini re ndryshimin?) Epo, po, është e vështirë të mos e vini re... Kjo pikë është e zezë! E lyer sipër. Kjo do të thotë -0.5 përfshihet në përgjigje. Këtu, meqë ra fjala, verifikimi mund të ngatërrojë dikë. Le të zëvendësojmë:

-0,5 ≥ -0,5

Si keshtu? -0,5 nuk është më shumë se -0,5! Dhe ka më shumë ikonë ...

Është në rregull. Në një pabarazi jo të rreptë, gjithçka që i përshtatet ikonës është e përshtatshme. DHE barazohet mire dhe më shumë mirë. Prandaj, -0.5 është përfshirë në përgjigje.

Pra, shënuam -0,5 në bosht, mbetet të shënojmë të gjithë numrat që janë më të mëdhenj se -0,5. Këtë herë shënoj zonën e vlerave të përshtatshme x hark(nga fjala hark), në vend të hijes. Ne e vendosim kursorin mbi vizatim dhe e shohim këtë hark.

Nuk ka ndonjë ndryshim të veçantë midis hijes dhe krahëve. Bëni siç thotë mësuesi. Nëse nuk ka mësues, vizatoni harqe. Në detyrat më komplekse, hijezimi është më pak i dukshëm. Mund të hutoheni.

Kështu vizatohen pabarazitë lineare në një bosht. Le të kalojmë në tiparin tjetër të pabarazive.

Shkrimi i përgjigjes për pabarazitë.

Ekuacionet ishin të mira.) Gjetëm x dhe shënuam përgjigjen, për shembull: x=3. Ekzistojnë dy forma të shkrimit të përgjigjeve në pabarazi. Njëra është në formën e pabarazisë përfundimtare. E mirë për raste të thjeshta. Për shembull:

X< 2.

Kjo është një përgjigje e plotë.

Ndonjëherë ju duhet të shkruani të njëjtën gjë, por në një formë të ndryshme, në intervale numerike. Pastaj regjistrimi fillon të duket shumë shkencor):

x ∈ (-∞; 2)

Nën ikonën ∈ fjala është e fshehur "përkasin".

Hyrja lexohet kështu: x i përket intervalit nga minus pafundësia në dy duke mos përfshirë. Mjaft logjike. X mund të jetë çdo numër nga të gjithë numrat e mundshëm nga minus pafundësia në dy. Nuk mund të ketë një X të dyfishtë, gjë që na thotë fjala "duke mos përfshirë".

Dhe ku në përgjigje është e qartë se "pa përfshirë"? Ky fakt shënohet në përgjigje rrumbullakët kllapa menjëherë pas të dyjave. Nëse do të përfshiheshin të dyja, kllapa do të ishte katrore. Ja ku eshte:]. Shembulli i mëposhtëm përdor një kllapa të tillë.

Le të shkruajmë përgjigjen: x ≥ -0,5 në intervale:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lexohet: x i përket intervalit nga minus 0.5, duke përfshirë, në plus pafundësi.

Pafundësia nuk mund të ndizet kurrë. Nuk është një numër, është një simbol. Prandaj, në shënime të tilla, pafundësia është gjithmonë ngjitur me një kllapa.

Kjo formë regjistrimi është e përshtatshme për përgjigje komplekse që përbëhen nga disa hapësira. Por - vetëm për përgjigjet përfundimtare. Në rezultatet e ndërmjetme, ku pritet një zgjidhje e mëtejshme, është më mirë të përdoret forma e zakonshme, në formën e një pabarazie të thjeshtë. Me këtë do të merremi në temat përkatëse.

Detyrat popullore me pabarazi.

Vetë pabarazitë lineare janë të thjeshta. Prandaj, detyrat shpesh bëhen më të vështira. Kështu që ishte e nevojshme të mendohej. Kjo, nëse nuk jeni mësuar me të, nuk është shumë e këndshme.) Por është e dobishme. Unë do të tregoj shembuj të detyrave të tilla. Jo që ju t'i mësoni ato, është e panevojshme. Dhe për të mos pasur frikë kur takoni shembuj të tillë. Thjesht mendoni pak - dhe është e thjeshtë!)

1. Gjeni çdo dy zgjidhje të pabarazisë 3x - 3< 0

Nëse nuk është shumë e qartë se çfarë të bëni, mbani mend rregullin kryesor të matematikës:

Nëse nuk e dini se çfarë keni nevojë, bëni atë që mundeni!)

X < 1

Dhe ç'farë? Asgje speciale. Çfarë po na pyesin? Na kërkohet të gjejmë dy numra specifikë që janë zgjidhja e një pabarazie. Ato. përshtatet me përgjigjen. Dy ndonjë numrat. Në fakt, kjo është konfuze.) Disa 0 dhe 0.5 janë të përshtatshme. Një çift -3 dhe -8. Ka një numër të pafund të këtyre çifteve! Cila përgjigje është e saktë?!

Unë përgjigjem: gjithçka! Çdo çift numrash, secili prej të cilëve është më i vogël se një, do të jetë përgjigja e saktë. Shkruani cilin dëshironi. Le të vazhdojmë.

2. Zgjidh pabarazinë:

4x - 3 ≠ 0

Detyrat në këtë formë janë të rralla. Por, si pabarazi ndihmëse, kur gjejmë ODZ, për shembull, ose kur gjejmë domenin e përkufizimit të një funksioni, ato ndodhin gjatë gjithë kohës. Një pabarazi e tillë lineare mund të zgjidhet si një ekuacion i zakonshëm linear. Vetëm kudo përveç shenjës "=" ( barazohet) vendosni një shenjë " ≠ " (jo të barabartë). Ja si i qaseni përgjigjes, me një shenjë pabarazie:

X ≠ 0,75

Në më shumë shembuj kompleks, është më mirë t'i bëni gjërat ndryshe. Bëni pabarazi nga barazia. Si kjo:

4x - 3 = 0

Zgjidheni me qetësi siç mësohet dhe merrni përgjigjen:

x = 0,75

Gjëja kryesore është, në fund të fundit, kur shkruani përgjigjen përfundimtare, mos harroni se gjetëm x, i cili jep barazisë. Dhe ne kemi nevojë - pabarazia. Prandaj, ne nuk kemi vërtet nevojë për këtë X.) Dhe duhet ta shkruajmë me simbolin e duhur:

X ≠ 0,75

Kjo qasje rezulton në më pak gabime. Ata që zgjidhin ekuacione automatikisht. Dhe për ata që nuk zgjidhin ekuacione, pabarazitë, në fakt, nuk janë të dobishme...) Një shembull tjetër i një detyre popullore:

3. Gjeni zgjidhjen më të vogël të numrit të plotë të pabarazisë:

3 (x - 1) < 5x + 9

Së pari ne thjesht zgjidhim pabarazinë. Hapim kllapat, i lëvizim, sjellim të ngjashme... Marrim:

X > - 6

A nuk shkoi kështu!? A i keni ndjekur shenjat!? Dhe pas shenjave të anëtarëve, dhe pas shenjës së pabarazisë...

Le të mendojmë përsëri. Duhet të gjejmë një numër specifik që përputhet me përgjigjen dhe kushtin "numri i plotë më i vogël". Nëse nuk ju vjen menjëherë, mund të merrni çdo numër dhe ta kuptoni. Dy mbi minus gjashtë? Sigurisht! A ka një numër më të vogël të përshtatshëm? Sigurisht. Për shembull, zeroja është më e madhe se -6. Dhe akoma më pak? Na duhet gjëja më e vogël e mundshme! Minus tre është më shumë se minus gjashtë! Tashmë mund ta kapni modelin dhe të ndaloni të kaloni marrëzi nëpër numra, apo jo?)

Le të marrim një numër më afër -6. Për shembull, -5. Përgjigja është përmbushur, -5 > - 6. A është e mundur të gjendet një numër tjetër më i vogël se -5 por më i madh se -6? Mund, për shembull, -5.5... Ndal! Na thuhet e tërë zgjidhje! Nuk rrotullohet -5.5! Po në minus gjashtë? Uh-uh! Pabarazia është e rreptë, minus 6 nuk është aspak më pak se minus 6!

Prandaj, përgjigja e saktë është -5.

Shpresojmë me një përzgjedhje vlerash nga zgjidhje e përgjithshme gjithçka e qartë. Një shembull tjetër:

4. Zgjidh pabarazinë:

7 < 3x+1 < 13

Uau! Kjo shprehje quhet pabarazi e trefishtë. Në mënyrë të rreptë, kjo është një formë e shkurtuar e një sistemi pabarazish. Por pabarazi të tilla të trefishta ende duhet të zgjidhen në disa detyra... Mund të zgjidhet pa asnjë sistem. Sipas të njëjtave shndërrime identike.

Ne duhet të thjeshtojmë, ta sjellim këtë pabarazi në X të pastër. Por... Çfarë duhet zhvendosur ku?! Këtu është koha për të kujtuar se lëvizja majtas dhe djathtas është formë e shkurtër transformimi i parë i identitetit.

A formë e plotë tingëllon si kjo: Çdo numër ose shprehje mund të shtohet/zbritet në të dyja anët e ekuacionit (pabarazi).

Këtu janë tre pjesë. Pra, ne do të aplikojmë transformime identike në të tre pjesët!

Pra, le të heqim qafe atë në pjesën e mesme të pabarazisë. Le të zbresim një nga e gjithë pjesa e mesme. Në mënyrë që pabarazia të mos ndryshojë, ne zbresim një nga dy pjesët e mbetura. Si kjo:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Kjo është më mirë, apo jo?) Gjithçka që mbetet është të ndajmë të tre pjesët në tre:

2 < X < 4

Kjo eshte e gjitha. Kjo është përgjigja. X mund të jetë çdo numër nga dy (pa përfshirë) në katër (pa përfshirë). Kjo përgjigje është gjithashtu e shkruar në intervale të tilla hyrje do të jenë në pabarazitë kuadratike. Aty janë gjëja më e zakonshme.

Në fund të mësimit do të përsëris gjënë më të rëndësishme. Suksesi në zgjidhjen e pabarazive lineare varet nga aftësia për të transformuar dhe thjeshtuar ekuacionet lineare. Nëse në të njëjtën kohë shikoni për shenjën e pabarazisë, nuk do ketë asnjë problem. Kjo është ajo që unë uroj për ju. Nuk ka probleme.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Koncepti i pabarazisë matematikore u ngrit në kohët e lashta. Kjo ndodhi kur njeriu primitiv filloi të kishte nevojë të krahasonte sasinë dhe madhësinë e tyre kur numëronte dhe trajtonte objekte të ndryshme. Që nga kohërat e lashta, Arkimedi, Euklidi dhe shkencëtarë të tjerë të famshëm: matematikanët, astronomët, projektuesit dhe filozofët përdorën pabarazi në arsyetimin e tyre.

Por ata, si rregull, përdornin terminologji verbale në veprat e tyre. Për herë të parë, shenjat moderne për të treguar konceptet e "më shumë" dhe "më pak" në formën në të cilën çdo nxënës i njeh sot, u shpikën dhe u vunë në praktikë në Angli. Matematikani Thomas Harriot u ofroi një shërbim të tillë pasardhësve të tij. Dhe kjo ndodhi rreth katër shekuj më parë.

Ka shumë lloje të pabarazive të njohura. Midis tyre janë të thjeshta, që përmbajnë një, dy ose më shumë ndryshore, raporte kuadratike, thyesore, komplekse, madje edhe ato të përfaqësuara nga një sistem shprehjesh. Mënyra më e mirë për të kuptuar se si të zgjidhni pabarazitë është përdorimi i shembujve të ndryshëm.

Mos e humbisni trenin

Për të filluar, le të imagjinojmë se një banor rural po nxiton për në stacionin hekurudhor, i cili ndodhet 20 km larg fshatit të tij. Për të mos humbur trenin që niset në orën 11, duhet të dalë nga shtëpia në kohë. Në çfarë kohe duhet bërë kjo nëse shpejtësia e tij është 5 km/h? Zgjidhja për këtë problem praktik vjen deri te plotësimi i kushteve të shprehjes: 5 (11 - X) ≥ 20, ku X është koha e nisjes.

Kjo është e kuptueshme, sepse distanca që duhet të kalojë një fshatar deri në stacion është e barabartë me shpejtësinë e lëvizjes shumëzuar me numrin e orëve në rrugë. Një person mund të arrijë herët, por ai nuk mund të jetë vonë. Duke ditur se si të zgjidhni pabarazitë dhe duke zbatuar aftësitë tuaja në praktikë, do të përfundoni me X ≤ 7, që është përgjigja. Kjo do të thotë që fshatari duhet të shkojë në stacionin hekurudhor në orën shtatë të mëngjesit ose pak më herët.

Intervalet numerike në një vijë koordinative

Tani le të zbulojmë se si t'i hartojmë marrëdhëniet e përshkruara në pabarazinë e marrë më sipër nuk është e rreptë. Do të thotë që ndryshorja mund të marrë vlera më të vogla se 7, ose mund të jetë e barabartë me këtë numër. Le të japim shembuj të tjerë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh me kujdes katër figurat e paraqitura më poshtë.

Në të parën mund të shihni imazh grafik boshllëk [-7; 7]. Ai përbëhet nga një grup numrash të vendosur në një vijë koordinative dhe të vendosura midis -7 dhe 7, duke përfshirë kufijtë. Në këtë rast, pikat në grafik përshkruhen si rrathë të mbushur, dhe intervali regjistrohet duke përdorur

Figura e dytë është një paraqitje grafike e pabarazisë strikte. Në këtë rast, numrat e vijës kufitare -7 dhe 7, të treguar me pika të shpuara (të paplotësuara), nuk përfshihen në grupin e specifikuar. Dhe vetë intervali shkruhet në kllapa si më poshtë: (-7; 7).

Kjo do të thotë, pasi kemi kuptuar se si të zgjidhim pabarazitë e këtij lloji dhe kemi marrë një përgjigje të ngjashme, mund të konkludojmë se ai përbëhet nga numra që janë midis kufijve në fjalë, përveç -7 dhe 7. Dy rastet e ardhshme duhet të vlerësohen në një mënyrë të ngjashme. Figura e tretë tregon imazhet e intervaleve (-∞; -7] U)