Në shekullin e pestë para Krishtit filozof i lashtë grek Zeno nga Elea formuloi aporiat e tij të famshme, më e famshmja prej të cilave është aporia "Akili dhe Breshka". Ja si tingëllon:

Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës që i duhet Akilit për të vrapuar këtë distancë, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili vrapon njëqind hapa, breshka zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë deri në pafundësi, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.

Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Hilberti... Të gjithë e konsideronin aporinë e Zenonit në një mënyrë apo në një tjetër. Goditja ishte aq e fortë sa " ... diskutimet vazhdojnë edhe sot e kësaj dite komuniteti shkencor nuk ka arritur ende në një mendim të përbashkët mbi thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, qasjet e reja fizike dhe filozofike u përfshinë në studimin e çështjes; ; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar përgjithësisht e problemit..."[Wikipedia, "Aporia e Zenos". Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se në çfarë konsiston mashtrimi.

Nga pikëpamja matematikore, Zeno në aporinë e tij tregoi qartë kalimin nga sasia në . Ky kalim nënkupton aplikim në vend të atyre të përhershëm. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për përdorimin e njësive të ndryshueshme të matjes ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenos. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, për shkak të inercisë së të menduarit, aplikojmë njësi konstante të kohës në vlerën reciproke. Nga pikëpamja fizike, kjo duket sikur koha po ngadalësohet derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kalojë më breshkën.

Nëse e kthejmë logjikën tonë të zakonshme, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me një shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thuhet "Akili do ta arrijë breshkën pafundësisht shpejt".

Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni brenda njësi konstante matjet e kohës dhe mos shkoni në reciproke. Në gjuhën e Zenonit duket kështu:

Në kohën që i duhen Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.

Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por nuk është kështu zgjidhje e plotë Problemet. Deklarata e Ajnshtajnit për papërmbajtshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe Breshka". Ne ende duhet të studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.

Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:

Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në prehje, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.

Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës një shigjetë fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, ​​që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar nëse një makinë po lëviz, ju nevojiten dy fotografi të bëra nga e njëjta pikë në pika të ndryshme kohore, por nuk mund të përcaktoni distancën prej tyre. Për të përcaktuar distancën nga një makinë, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme të hapësirës në një moment në kohë, por prej tyre nuk mund të përcaktoni faktin e lëvizjes (natyrisht, ju duhen ende të dhëna shtesë për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë ). Ajo që dua të theksoj Vëmendje e veçantë, është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë ​​janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për kërkime.

E mërkurë, 4 korrik 2018

Dallimet midis setit dhe multisetit përshkruhen shumë mirë në Wikipedia. Le të shohim.

Siç mund ta shihni, "nuk mund të ketë dy elementë identikë në një grup", por nëse ka elementë identikë në një grup, një grup i tillë quhet "shumë grup". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurde. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, të cilët nuk kanë inteligjencë nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.

Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë ndërsa testonin urën. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.

Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë, "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh ato në mënyrë të pandashme me realitetin. Ky kordon kërthizor është para. Le të zbatojmë teorinë e grupeve matematikore për vetë matematikanët.

Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke dhënë rroga. Pra, një matematikan vjen tek ne për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës emërtim. Pastaj marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Le t'i shpjegojmë matematikanit se ai do të marrë faturat e mbetura vetëm kur të provojë se një grup pa elementë identikë nuk është i barabartë me një grup me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.

Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: "Kjo mund të zbatohet për të tjerët, por jo për mua!" Më pas ata do të fillojnë të na sigurojnë se faturat e të njëjtit emërtim kanë numra të ndryshëm faturash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen të njëjtat elementë. Mirë, le t'i numërojmë pagat në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë furishëm fizikën: monedha të ndryshme kanë sasi të ndryshme papastërtie, struktura kristalore dhe renditja e atomeve është unike për secilën monedhë...

Dhe tani kam më shumë interes Pyet: ku është vija përtej së cilës elementet e një shumëbashkësie kthehen në elemente të një bashkësie dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca nuk është as afër të gënjejë këtu.

Shikoni këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Zonat e fushave janë të njëjta - që do të thotë se ne kemi një shumë grup. Por po të shikojmë emrat e po këtyre stadiumeve, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është një grup dhe një grup shumëfish. Cila është e saktë? Dhe këtu matematikani-shaman-sharpist nxjerr nga mëngët një ace atuesh dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.

Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".

e diel, 18 mars 2018

Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka të bëjë fare me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por kjo është arsyeja pse ata janë shamanë, për t'u mësuar pasardhësve të tyre aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.

Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë që mund të përdoret për të gjetur shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat ne shkruajmë numra, dhe në gjuhën e matematikës detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë lehtësisht.

Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.

1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi kthyer numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.

2. Ne e premë një fotografi që rezulton në disa fotografi që përmbajnë numra individualë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.

3. Shndërroni simbolet individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.

4. Shtoni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.

Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" të mësuara nga shamanët që përdorin matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.

Nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash shkruajmë një numër. Pra, në sisteme të ndryshme Në llogaritje, shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. ME një numër i madh 12345 Nuk dua të mashtroj kokën, le të shohim numrin 26 nga artikulli rreth . Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shikojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.

Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është njësoj sikur të përcaktoni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra, do të merrnit rezultate krejtësisht të ndryshme.

Zero duket e njëjtë në të gjitha sistemet e numrave dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se. Pyetje për matematikanët: si përcaktohet diçka që nuk është numër në matematikë? Çfarë, për matematikanët nuk ekziston asgjë përveç numrave? Unë mund ta lejoj këtë për shamanët, por jo për shkencëtarët. Realiteti nuk janë vetëm numra.

Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse për numrat. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matjet. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.

Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo është kur rezultati operacion matematik nuk varet nga madhësia e numrit, njësia matëse e përdorur dhe kush e kryen veprimin.

Nënshkrimi në derë Ai hap derën dhe thotë:

Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë indefilike të shpirtrave gjatë ngjitjes së tyre në qiell! Halo në krye dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?

Femër... Halo sipër dhe shigjeta poshtë janë mashkull.

Nëse një vepër e tillë e artit të dizajnit shkëlqen para syve tuaj disa herë në ditë,

Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:

Personalisht, unë përpiqem të shoh minus katër gradë në një person që po dergjet (një foto) (një përbërje prej disa fotografish: një shenjë minus, numri katër, një përcaktim shkallësh). Dhe nuk mendoj se kjo vajzë është një budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip të fortë të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Ja një shembull.

1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu që poon" ose numri "njëzet e gjashtë" in sistemi heksadecimal Duke llogaritur Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht një numër dhe një shkronjë si një simbol grafik.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an = an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Në përgjithësi, fuqizimi përdoret shpesh në formula të ndryshme në matematikë dhe fizikë. Ky funksion ka një qëllim më shkencor se katër kryesoret: Mbledhja, Zbritja, Shumëzimi, Pjesëtimi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Ngritja e një numri në një fuqi nuk është një operacion i komplikuar. Ajo lidhet me shumëzimin në një mënyrë të ngjashme me marrëdhënien midis shumëzimit dhe mbledhjes. Shënimi an është një shënim i shkurtër i numrit të n-të të numrave "a" të shumëzuar me njëri-tjetrin.

Konsideroni më së shumti fuqizimin shembuj të thjeshtë, duke kaluar në ato komplekse.

Për shembull, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Katër katror (në fuqinë e dytë) është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë. Nëse nuk e kuptoni shumëzimin 4 * 4, atëherë lexoni artikullin tonë rreth shumëzimit.

Le të shohim një shembull tjetër: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pesë kube (në fuqinë e tretë) është e barabartë me njëqind e njëzet e pesë.

Një shembull tjetër: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nëntë kubik është i barabartë me shtatëqind e njëzet e nëntë.

Formulat e fuqizimit

Për të ngritur saktë një fuqi, duhet të mbani mend dhe të njihni formulat e dhëna më poshtë. Nuk ka asgjë shtesë të natyrshme në këtë, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe atëherë ato jo vetëm që do të mbahen mend, por edhe do të duken të lehta.

Ngritja e një monomi në një fuqi

Çfarë është një monom? Ky është një produkt i numrave dhe variablave në çdo sasi. Për shembull, dy është një monom. Dhe ky artikull ka të bëjë pikërisht me ngritjen e monomeve të tilla në pushtet.

Duke përdorur formulat për fuqizim, nuk do të jetë e vështirë të llogaritet fuqia e një monomi.

Për shembull, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Nëse e ngrini një monom në një fuqi, atëherë çdo përbërës i monomit ngrihet në një fuqi.

Duke ngritur një ndryshore që tashmë ka një fuqi në një fuqi, fuqitë shumëzohen. Për shembull, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ngritja në një fuqi negative

Një fuqi negative është reciprociteti i një numri. Cili është numri reciprok? Reciproku i çdo numri X është 1/X. Domethënë X-1=1/X. Ky është thelbi i shkallës negative.

Shqyrtoni shembullin (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pse eshte ajo? Meqenëse ka një minus në shkallë, ne thjesht e transferojmë këtë shprehje në emërues, dhe më pas e ngremë atë në fuqinë e tretë. E thjeshtë apo jo?

Ngritja në një fuqi të pjesshme

Le të fillojmë ta shqyrtojmë çështjen në shembull specifik. 43/2. Çfarë do të thotë shkalla 3/2? 3 - numërues, nënkupton ngritjen e një numri (në këtë rast 4) në një kub. Numri 2 është emëruesi është nxjerrja e rrënjës së dytë të një numri (në këtë rast, 4).

Pastaj marrim rrënjën katrore 43 = 2^3 = 8. Përgjigje: 8.

Pra, emëruesi i një shkalle thyesore mund të jetë ose 3 ose 4 ose çdo numër deri në pafundësi, dhe ky numër përcakton shkallën rrenja katrore, i nxjerrë nga një numër i caktuar. Natyrisht, emëruesi nuk mund të jetë zero.

Ngritja e një rrënjë në një fuqi

Nëse rrënja është ngritur në një shkallë të barabartë me shkallën e vetë rrënjës, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje radikale. Për shembull, (√x)2 = x. Dhe kështu në çdo rast, shkalla e rrënjës dhe shkalla e ngritjes së rrënjës janë të barabarta.

Nëse (√x)^4. Pastaj (√x)^4=x^2. Për të kontrolluar zgjidhjen, ne e shndërrojmë shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Meqenëse rrënja është katrore, emëruesi është 2. Dhe nëse rrënja është ngritur në fuqinë e katërt, atëherë numëruesi është 4. Marrim 4/2=2. Përgjigje: x = 2.

Gjithsesi opsioni më i mirë thjesht shndërroni shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Nëse thyesa nuk anulohet, atëherë kjo është përgjigja, me kusht që rrënja e numrit të dhënë të mos jetë e izoluar.

Ngritja e një numri kompleks në fuqi

Çfarë është një numër kompleks? Një numër kompleks është një shprehje që ka formulën a + b * i; a, b janë numra realë. i është një numër që, kur vihet në katror, ​​jep numrin -1.

Le të shohim një shembull. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Eksponimi në internet

Duke përdorur kalkulatorin tonë, mund të llogarisni ngritjen e një numri në një fuqi:

Shpallja e klasës së 7-të

Nxënësit fillojnë të ngrihen në fuqi vetëm në klasën e shtatë.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an=an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Shembuj për zgjidhje:

Prezantimi eksponencial

Prezantim mbi ngritjen e fuqive, i krijuar për nxënësit e klasës së shtatë. Prezantimi mund të sqarojë disa pika të paqarta, por këto pika ndoshta nuk do të pastrohen falë artikullit tonë.

Fundi

Ne shikuam vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore - JO aritmetika mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika për të thjeshtuar dhe shumëzim i shpejtë, mbledhje, shumëzim, pjesëtim, llogaritje e përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Një nga karakteristikat kryesore në algjebër, dhe në të gjithë matematikën, është shkalla. Sigurisht, në shekullin e 21-të, të gjitha llogaritjet mund të bëhen në një kalkulator në internet, por është më mirë që zhvillimi i trurit të mësojë se si ta bëjë vetë.

Në këtë artikull do të shohim më së shumti pyetje të rëndësishme lidhur me këtë përkufizim. Domethënë, le të kuptojmë se çfarë është në përgjithësi dhe cilat janë funksionet e tij kryesore, cilat veti ka në matematikë.

Le të shohim shembuj se si duket llogaritja dhe cilat janë formulat bazë. Le të shohim llojet kryesore të sasive dhe si ndryshojnë ato nga funksionet e tjera.

Le të kuptojmë se si të zgjidhim probleme të ndryshme duke përdorur këtë sasi. Ne do të tregojmë me shembuj se si të ngrihet në fuqinë zero, irracionale, negative, etj.

Llogaritësi i fuqisë në internet

Cila është fuqia e një numri

Çfarë nënkuptohet me shprehjen "ngre një numër në një fuqi"?

Fuqia n e një numri është prodhimi i faktorëve me madhësi a n herë me radhë.

Matematikisht duket kështu:

a n = a * a * a * …a n .

Për shembull:

• 2 3 = 2 në shkallën e tretë. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 në hap. dy = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 në hap. katër = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 në 5 hapa. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 në 4 hapa. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Më poshtë është një tabelë me katrorë dhe kube nga 1 në 10.

Tabela e shkallëve nga 1 në 10

Më poshtë janë rezultatet e ndërtimit numrat natyrorë te fuqitë pozitive - "nga 1 në 100".

Ch-lo	rr. 2.	Faza e 3-të
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Vetitë e gradave

Çfarë është karakteristikë e një funksioni të tillë matematikor? Le të shohim vetitë themelore.

Shkencëtarët kanë vërtetuar sa vijon Shenjat karakteristike për të gjitha shkallët:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Le të kontrollojmë me shembuj:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Nga ana tjetër, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Në mënyrë të ngjashme: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Përndryshe 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Po sikur të jetë ndryshe? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Siç mund ta shihni, rregullat funksionojnë.

Por çfarë lidhje me me mbledhje dhe zbritje? Është e thjeshtë. Fillimisht kryhet fuqizimi dhe më pas mbledhja dhe zbritja.

Le të shohim shembuj:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Ju lutemi vini re: rregulli nuk do të zbatohet nëse zbritni fillimisht: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Por në këtë rast, së pari duhet të llogarisni mbledhjen, pasi ka veprime në kllapa: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Si të prodhohet llogaritjet në raste më komplekse? Rendi është i njëjtë:

• nëse ka kllapa, duhet të filloni me to;
• pastaj fuqizimi;
• pastaj kryejnë veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit;
• pas mbledhjes, zbritjes.

Ka veti specifike që nuk janë karakteristike për të gjitha shkallët:

1. Rrënja e n-të e një numri a në shkallën m do të shkruhet si: a m / n.
2. Kur ngrihet një thyesë në një fuqi: si numëruesi ashtu edhe emëruesi i tij i nënshtrohen kësaj procedure.
3. Gjatë ndërtimit të një vepre numra të ndryshëm për një fuqi, shprehja do të korrespondojë me produktin e këtyre numrave me fuqinë e dhënë. Kjo është: (a * b) n = a n * b n .
4. Kur ngrini një numër në një fuqi negative, duhet të ndani 1 me një numër në të njëjtin shekull, por me një shenjë "+".
5. Nëse emëruesi i një thyese është me një fuqi negative, atëherë kjo shprehje do të jetë e barabartë me prodhimin e numëruesit dhe emëruesi me një fuqi pozitive.
6. Çdo numër në fuqinë 0 = 1, dhe në fuqi. 1 = për veten.

Këto rregulla janë të rëndësishme në disa raste, ne do t'i shqyrtojmë më në detaje më poshtë.

Shkallë me një eksponent negativ

Çfarë duhet bërë kur minus shkallë, pra kur treguesi është negativ?

Bazuar në vetitë 4 dhe 5(shih pikën më lart), doli qe:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Dhe anasjelltas:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Po sikur të jetë një thyesë?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Shkallë me tregues natyror

Kuptohet si një shkallë me eksponentë të barabartë me numra të plotë.

Gjërat për të mbajtur mend:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etj.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...etj.

Përveç kësaj, nëse (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...atëherë rezultati do të jetë me shenjën “+”. Nëse një numër negativ ngrihet në një fuqi tek, atëherë anasjelltas.

Vetitë e përgjithshme, dhe të gjitha tiparet specifike të përshkruara më sipër, janë gjithashtu karakteristike për to.

Shkalla thyesore

Ky lloj mund të shkruhet si një skemë: A m / n. Lexohet si: rrënja e n-të e numrit A me fuqinë m.

Ju mund të bëni gjithçka që dëshironi me një tregues të pjesshëm: zvogëloni atë, ndani në pjesë, ngrini atë në një fuqi tjetër, etj.

Shkallë me eksponent irracional

Le të jetë α një numër irracional dhe A ˃ 0.

Për të kuptuar thelbin e një diplome me një tregues të tillë, Le të shohim raste të ndryshme të mundshme:

• A = 1. Rezultati do të jetë i barabartë me 1. Meqenëse ekziston një aksiomë - 1 në të gjitha fuqitë është e barabartë me një;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – numra racional;

• 0˂А˂1.

Në këtë rast, është e kundërta: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 në të njëjtat kushte si në paragrafin e dytë.

Për shembull, eksponenti është numri π.Është racionale.

r 1 - në këtë rast është e barabartë me 3;

r 2 - do të jetë e barabartë me 4.

Pastaj, për A = 1, 1 π = 1.

A = 2, pastaj 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, pastaj (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Grada të tilla karakterizohen nga të gjitha operacionet matematikore dhe vetitë specifike të përshkruara më sipër.

konkluzioni

Le të përmbledhim - për çfarë nevojiten këto sasi, cilat janë avantazhet e funksioneve të tilla? Sigurisht, para së gjithash, ata thjeshtojnë jetën e matematikanëve dhe programuesve kur zgjidhin shembuj, pasi u lejojnë atyre të minimizojnë llogaritjet, të shkurtojnë algoritmet, të sistemojnë të dhënat dhe shumë më tepër.

Ku tjetër mund të jetë e dobishme kjo njohuri? Në çdo specialitet pune: mjekësi, farmakologji, stomatologji, ndërtim, teknologji, inxhinieri, dizajn, etj.

mund të gjendet duke përdorur shumëzimin. Për shembull: 5+5+5+5+5+5=5x6. Një shprehje e tillë thuhet se është që shuma e termave të barabartë paloset në një produkt. Dhe anasjelltas, nëse e lexojmë këtë barazi nga e djathta në të majtë, gjejmë se kemi zgjeruar shumën e termave të barabartë. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të rrëzoni produktin e disa faktorëve të barabartë 5x5x5x5x5x5=5 6.

Kjo do të thotë, në vend që të shumëzojnë gjashtë faktorë identikë 5x5x5x5x5x5, ata shkruajnë 5 6 dhe thonë "pesë në fuqinë e gjashtë".

Shprehja 5 6 është fuqia e një numri, ku:

5 - baza e shkallës;

6 - eksponent.

Veprimet me të cilat produkti i faktorëve të barabartë reduktohet në një fuqi quhen duke u ngritur në një pushtet.

NË pamje e përgjithshme shkalla me bazë "a" dhe eksponent "n" shkruhet kështu

Ngritja e numrit a në fuqinë n nënkupton gjetjen e prodhimit të n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me një

Nëse baza e shkallës “a” është e barabartë me 1, atëherë vlera e shkallës për çdo numër natyror n do të jetë e barabartë me 1. Për shembull, 1 5 =1, 1 256 =1

Nëse e ngrini numrin "a" në shkalla e parë, atëherë marrim vetë numrin a: a 1 = a

Nëse ngrini ndonjë numër në shkallë zero, pastaj si rezultat i llogaritjeve marrim një. a 0 = 1

Fuqitë e dyta dhe të treta të një numri konsiderohen të veçanta. Ata dolën me emra për ta: shkalla e dytë quhet katrore numrin, e treta - kubik këtë numër.

Çdo numër mund të rritet në një fuqi - pozitive, negative ose zero. Në këtë rast, rregullat e mëposhtme nuk zbatohen:

Kur gjen fuqinë e një numri pozitiv, rezultati është një numër pozitiv.

Kur llogaritim zero ndaj fuqisë natyrore, marrim zero.

x m · x n = x m + n

për shembull: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

për të ndajnë gradat me në të njëjtat arsye Ne nuk e ndryshojmë bazën, por zbresim eksponentët:

x m / x n = x m - n , Ku, m > n,

për shembull: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Gjatë llogaritjes ngritja e një pushteti në një pushtet Ne nuk e ndryshojmë bazën, por shumëzojmë eksponentët me njëri-tjetrin.

(në m ) n = y m n

për shembull: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

për shembull:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Gjatë kryerjes së llogaritjeve sipas duke ngritur një fraksion në një fuqi ngremë numëruesin dhe emëruesin e thyesës në një fuqi të caktuar

(x/y)n = x n / y n

për shembull: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Sekuenca e llogaritjeve kur punoni me shprehje që përmbajnë një shkallë.

Kur kryejnë llogaritjet e shprehjeve pa kllapa, por që përmbajnë fuqi, para së gjithash, ata kryejnë fuqizim, pastaj shumëzim dhe pjesëtim, dhe vetëm më pas veprime mbledhje dhe zbritje.

Nëse keni nevojë të llogaritni një shprehje që përmban kllapa, atëherë së pari bëni llogaritjet në kllapa në rendin e treguar më sipër, dhe më pas veprimet e mbetura në të njëjtin rend nga e majta në të djathtë.

Shumë gjerësisht në llogaritjet praktike, tabelat e gatshme të fuqive përdoren për të thjeshtuar llogaritjet.

Siç e dini, në matematikë nuk ka vetëm numra pozitivë, por edhe negativë. Nëse njohja me fuqitë pozitive fillon me përcaktimin e sipërfaqes së një katrori, atëherë me fuqitë negative gjithçka është disi më e ndërlikuar.

Këtë duhet ta dini:

1. Duke e ngritur numrin në shkallë natyrore quhet shumëzimi i një numri (në artikull do të shqyrtojmë konceptet e numrit dhe ekuivalentit të shifrave) në vetvete në një sasi të tillë si eksponenti (në të ardhmen do të përdorim paralelisht dhe thjesht fjalën eksponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Në përgjithësi, duket kështu: m^n = m*m*m*…*m (n herë).
2. Duhet të merret parasysh se kur një numër negativ ngrihet në një fuqi natyrore, ai do të bëhet pozitiv nëse eksponenti është çift.
3. Ngritja e një numri në një eksponent 0 jep një, me kusht që të mos jetë i barabartë me zero. Zero në fuqinë zero konsiderohet e papërcaktuar. 17^0 = 1.
4. Nxjerrja e rrënjës së një fuqie të caktuar nga një numër është gjetja e një numri që, kur të rritet në eksponentin e duhur, do të japë vlerën e dëshiruar. Pra, rrënja e kubit e 125 është 5, pasi 5^3 = 125.
5. Nëse dëshironi të ngrini një numër në një fuqi thyesore pozitive, atëherë duhet ta ngrini numrin në eksponentin e emëruesit dhe të nxirrni rrënjën e eksponentit të numëruesit prej tij. 6^5/7 = rrënja e shtatë e produktit 6*6*6*6*6.
6. Nëse dëshironi të ngrini një numër në një eksponent negativ, atëherë duhet të gjeni inversin e numrit të dhënë. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Ngritja e një numri moduli zero në një në një fuqi negative

Së pari duhet të kujtojmë çfarë është një modul. Kjo është distanca në vijën koordinative nga vlera që kemi zgjedhur deri në origjinën (zero e vijës së koordinatave). Sipas përkufizimit, ai nuk mund të jetë kurrë negativ.

Vlera më e madhe se zero

Kur vlera e një shifre është midis zeros dhe një, një tregues negativ jep një rritje në vetë shifrën. Kjo ndodh sepse emëruesi zvogëlohet ndërsa mbetet pozitiv.

Le të shohim shembuj:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Për më tepër, sa më i madh të jetë moduli i treguesit, aq më aktivisht rritet shifra. Ndërsa emëruesi priret në zero, vetë thyesa tenton në plus pafundësinë.

Vlera më e vogël se zero

Tani le të shohim se si ta ngremë atë në një fuqi negative nëse numri më pak se zero. Parimi është i njëjtë si në pjesën e mëparshme, por këtu ka rëndësi shenja e treguesit.

Le të shohim përsëri shembujt:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Në këtë rast, ne e shohim atë moduli vazhdon të rritet, por shenja varet nëse treguesi është çift apo tek.

Duhet të theksohet se nëse ndërtojmë një njësi, ajo do të mbetet gjithmonë e vetme. Nëse keni nevojë të ngrini një numër minus një, atëherë me një eksponent çift ai do të kthehet në një, dhe me një eksponent tek do të mbetet minus një.

Ngritja në një fuqi numër të plotë negativ nëse moduli është më i madh se një

Për numrat moduli i të cilëve është më i madh se një, ka veçoritë e veta të veprimeve. Para së gjithash, ju duhet të shndërroni të gjithë pjesën e thyesës në numërues, domethënë ta shndërroni atë në një fraksion të papërshtatshëm. Nëse kemi dhjetore, atëherë duhet të konvertohet në normale. Kjo bëhet si më poshtë:

• 6 numra të plotë 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Tani le të shohim se si të ngremë një numër në një fuqi negative në këto kushte. Tashmë nga sa më sipër, mund të supozojmë se çfarë mund të presim nga rezultati i llogaritjeve. Meqenëse një fraksion i dyfishtë përmbyset gjatë thjeshtimeve, moduli i figurës do të ulet sa më shpejt, aq më i madh është moduli i eksponentit.

Së pari, le të shqyrtojmë situatën kur numri i dhënë në detyrë është pozitiv.

Para së gjithash, bëhet e qartë se rezultati përfundimtar do të jetë më i madh se zero, sepse pjesëtimi i dy pozitivëve jep gjithmonë një pozitiv. Le të shohim përsëri shembuj se si bëhet kjo:

• 6 numra të plotë 1/20 në minus fuqinë e pestë = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Siç mund ta shihni, veprimet nuk paraqesin ndonjë vështirësi të veçantë dhe të gjitha supozimet tona fillestare rezultuan të vërteta.

Tani le të kthehemi te rasti i një shifre negative.

Për të filluar, mund të supozojmë se nëse treguesi është çift, atëherë rezultati do të jetë pozitiv, nëse treguesi është tek, atëherë rezultati do të jetë negativ. Të gjitha llogaritjet tona të mëparshme në këtë pjesë do të konsiderohen të vlefshme tani. Le të shohim përsëri shembujt:

• -3 të plota 1/2 deri në fuqinë e gjashtë minus = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Kështu, i gjithë arsyetimi ynë doli të ishte i saktë.

Ndërtimi në rastin e një eksponenti thyesor negativ

Këtu duhet të mbani mend se një ndërtim i tillë ekziston nxjerrja e rrënjës së fuqisë së emëruesit nga një numër në fuqinë e numëruesit. I gjithë arsyetimi ynë i mëparshëm mbetet i vërtetë këtë herë. Le të shpjegojmë veprimet tona me një shembull:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Në këtë rast, duhet të keni parasysh se nxjerrja e rrënjëve nivel të lartëështë e mundur vetëm në një formë të zgjedhur posaçërisht dhe, ka shumë të ngjarë, nuk do të mund të heqësh qafe shenjën e radikalit (rrënja katrore, rrënjë kub, etj.) me llogaritje të sakta.

Sidoqoftë, pasi të keni studiuar në detaje kapitujt e mëparshëm, nuk duhet të prisni vështirësi në llogaritjet e shkollës.

Duhet theksuar se përshkrimi i këtij kapitulli përfshin gjithashtu ndërtim me një tregues qëllimisht irracional, për shembull, nëse treguesi është i barabartë me minus PI. Ju duhet të veproni sipas parimeve të përshkruara më sipër. Megjithatë, llogaritjet në raste të tilla bëhen aq komplekse sa që vetëm kompjuterët elektronikë të fuqishëm mund ta bëjnë këtë.

konkluzioni

Veprimi që kemi studiuar është një nga problemet më të vështira në matematikë(sidomos në rastin e kuptimit thyesor-racional ose irracional). Megjithatë, duke studiuar në detaje dhe hap pas hapi këto udhëzime, mund të mësoni ta bëni këtë plotësisht automatikisht pa asnjë problem.