Ekzistojnë tre rregulla themelore për gjetjen e funksioneve antiderivative. Ato janë shumë të ngjashme me rregullat përkatëse të diferencimit.

Rregulli 1

Nëse F është një antiderivativ për disa funksione f, dhe G është një antiderivativ për një funksion g, atëherë F + G do të jetë një antiderivativ për f + g.

Sipas përkufizimit të një antiderivati, F' = f. G' = g. Dhe meqenëse këto kushte janë plotësuar, atëherë sipas rregullit për llogaritjen e derivatit për shumën e funksioneve do të kemi:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Rregulli 2

Nëse F është një antiderivativ për disa funksione f, dhe k është një konstante. Atëherë k*F është antiderivati ​​i funksionit k*f. Ky rregull rrjedh nga rregulli për llogaritjen e derivatit të një funksioni kompleks.

Kemi: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Rregulli 3

Nëse F(x) është një antiderivativ për funksionin f(x), dhe k dhe b janë disa konstante, dhe k nuk është e barabartë me zero, atëherë (1/k)*F*(k*x+b) do të jetë një antiderivativ për funksionin f (k*x+b).

Ky rregull rrjedh nga rregulli për llogaritjen e derivatit të një funksioni kompleks:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Le të shohim disa shembuj se si zbatohen këto rregulla:

Shembulli 1. Gjej formë e përgjithshme antiderivativë për funksionin f(x) = x^3 +1/x^2. Për funksionin x^3 një nga antiderivativët do të jetë funksioni (x^4)/4, dhe për funksionin 1/x^2 një nga antiderivativët do të jetë funksioni -1/x. Duke përdorur rregullin e parë, kemi:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Shembulli 2. Le të gjejmë formën e përgjithshme të antiderivativëve për funksionin f(x) = 5*cos(x). Për funksionin cos(x), një nga antiderivativët do të jetë funksioni sin(x). Nëse tani përdorim rregullin e dytë, do të kemi:

F(x) = 5*sin(x).

Shembulli 3. Gjeni një nga antiderivativët për funksionin y = sin(3*x-2). Për funksionin sin(x) një nga antiderivativët do të jetë funksioni -cos(x). Nëse tani përdorim rregullin e tretë, marrim një shprehje për antiderivativin:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Shembulli 4. Gjeni antiderivativin për funksionin f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivativi për funksionin 1/x^5 do të jetë funksioni (-1/(4*x^4)). Tani, duke përdorur rregullin e tretë, marrim.

Kemi parë se derivati ​​ka përdorime të shumta: derivati ​​është shpejtësia e lëvizjes (ose, në përgjithësi, shpejtësia e çdo procesi); derivat është shpat tangjente me grafikun e një funksioni; duke përdorur derivatin, mund të ekzaminoni një funksion për monotoni dhe ekstreme; derivati ​​ndihmon në zgjidhjen e problemeve të optimizimit.

Por në jeta reale Problemet e anasjellta gjithashtu duhet të zgjidhen: për shembull, së bashku me problemin e gjetjes së shpejtësisë sipas një ligji të njohur të lëvizjes, ekziston edhe problemi i rivendosjes së ligjit të lëvizjes sipas një shpejtësie të njohur. Le të shqyrtojmë një nga këto probleme.

Shembulli 1. Lëviz në vijë të drejtë pika materiale, shpejtësia e lëvizjes së tij në kohën t jepet me formulën u = tg. Gjeni ligjin e lëvizjes.

Zgjidhje. Le të jetë s = s(t) ligji i dëshiruar i lëvizjes. Dihet se s"(t) = u"(t). Kjo do të thotë që për të zgjidhur problemin duhet të zgjidhni funksionin s = s(t), derivati ​​i të cilit është i barabartë me tg. Nuk është e vështirë të merret me mend

Le të vërejmë menjëherë se shembulli është zgjidhur saktë, por jo i plotë. Ne zbuluam se, në fakt, problemi ka pafundësisht shumë zgjidhje: çdo funksion të formës një konstante arbitrare mund të shërbejë si ligj lëvizjeje, pasi

Për ta bërë detyrën më specifike, na duhej të rregullonim situatën fillestare: tregoni koordinatat e një pike lëvizëse në një moment në kohë, për shembull, në t=0. Nëse, le të themi, s(0) = s 0, atëherë nga barazia marrim s(0) = 0 + C, d.m.th. S 0 = C. Tani ligji i lëvizjes është përcaktuar në mënyrë unike:
Në matematikë, operacioneve reciproke të anasjellta u jepen emra të ndryshëm dhe shpiken shënime të veçanta: për shembull, kuadrimi (x 2) dhe nxjerrja rrenja katrore sine(sinх) dhe arksine(arcsin x), etj. Procesi i gjetjes së derivatit në lidhje me funksioni i dhënë quhet diferencim, dhe operacioni invers, d.m.th. procesi i gjetjes së një funksioni nga një derivat i caktuar - integrimi.
Vetë termi “derivativ” mund të justifikohet “në jetën e përditshme”: funksioni y - f(x) “lind” një funksion të ri y"= f"(x). një "prind" , por matematikanët, natyrisht, nuk e quajnë "prind" ose "prodhues" ata thonë se ky, në lidhje me funksionin y"=f"(x), është imazhi kryesor, ose, në shkurt, antiderivativi.

Përkufizimi 1. Funksioni y = F(x) quhet antiderivativ për funksionin y = f(x) në një interval të caktuar X nëse për të gjitha x nga X vlen barazia F"(x)=f(x).

Në praktikë, intervali X zakonisht nuk specifikohet, por nënkuptohet (si domeni natyror i përkufizimit të funksionit).

Ketu jane disa shembuj:

1) Funksioni y = x 2 është antiderivativ për funksionin y = 2x, pasi për të gjithë x barazia (x 2)" = 2x është e vërtetë.
2) funksioni y - x 3 është antiderivativ për funksionin y-3x 2, pasi për të gjithë x barazia (x 3)" = 3x 2 është e vërtetë.
3) Funksioni y-sinх është antiderivativ për funksionin y = cosx, pasi për të gjithë x barazia (sinx)" = cosx është e vërtetë.
4) Funksioni është antiderivativ për një funksion në interval pasi për të gjitha x > 0 barazia është e vërtetë
Në përgjithësi, duke ditur formulat për gjetjen e derivateve, nuk është e vështirë të përpilohet një tabelë formulash për gjetjen e antiderivativëve.

Shpresojmë ta kuptoni se si është përpiluar kjo tabelë: derivati ​​i funksionit, i cili shkruhet në kolonën e dytë, është i barabartë me funksionin që është shkruar në rreshtin përkatës të kolonës së parë (kontrollojeni, mos u bëni dembel, është shumë e dobishme). Për shembull, për funksionin y = x 5, antiderivati, siç do të vendosni, është funksioni (shih rreshtin e katërt të tabelës).

Shënime: 1. Më poshtë do të vërtetojmë teoremën se nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë funksioni y = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë dhe të gjithë kanë formën y = F(x) + C. Prandaj, do të ishte më e saktë të shtoni termin C kudo në kolonën e dytë të tabelës, ku C është një numër real arbitrar.
2. Për hir të shkurtësisë, ndonjëherë në vend të frazës “funksioni y = F(x) është një antiderivativ i funksionit y = f(x),” ata thonë se F(x) është një antiderivativ i f(x) .”

2. Rregullat për gjetjen e antiderivativëve

Gjatë gjetjes së antiderivativëve, si dhe gjatë gjetjes së derivateve, përdoren jo vetëm formula (ato janë të renditura në tabelën në f. 196), por edhe disa rregulla. Ato lidhen drejtpërdrejt me rregullat përkatëse për llogaritjen e derivateve.

Ne e dimë se derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve të saj. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 1. Antiderivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e antiderivativëve.

Ne tërheqim vëmendjen tuaj për disi "lehtësia" e këtij formulimi. Në fakt, duhet formuluar teorema: nëse funksionet y = f(x) dhe y = g(x) kanë antiderivat në intervalin X, përkatësisht y-F(x) dhe y-G(x), atëherë shuma e funksioneve y = f(x)+g(x) ka një antiderivativ në intervalin X, dhe ky antiderivativ është funksioni y = F(x)+G(x). Por zakonisht, kur formuloni rregulla (jo teorema), mbeten vetëm fjalë kyçe - kjo është më e përshtatshme për zbatimin e rregullave në praktikë

Shembulli 2. Gjeni antiderivativin për funksionin y = 2x + cos x.

Zgjidhje. Antiderivati ​​për 2x është x"; antiderivati ​​për cox është sin x. Kjo do të thotë se antiderivati ​​për funksionin y = 2x + cos x do të jetë funksioni y = x 2 + sin x (dhe në përgjithësi çdo funksion i formës Y = x 1 + sinx + C) .
Dimë se faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit. Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.

Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e antiderivativit.

Shembulli 3.

Zgjidhje. a) Antiderivati ​​për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = 5 sin x funksioni antiderivativ do të jetë funksioni y = -5 cos x.

b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati ​​i një funksioni është funksioni
c) Antiderivati ​​për x 3 është antiderivati ​​për x, antiderivati ​​për funksionin y = 1 është funksioni y = x. Duke përdorur rregullat e parë dhe të dytë për gjetjen e antiderivativëve, gjejmë se antiderivati ​​për funksionin y = 12x 3 + 8x-1 është funksioni
Komentoni. Siç dihet, derivati ​​i një produkti nuk është i barabartë me produktin e derivateve (rregulli për diferencimin e një produkti është më kompleks) dhe derivati ​​i një herësi nuk është i barabartë me herësin e derivateve. Prandaj, nuk ka rregulla për gjetjen e antiderivativit të produktit ose antiderivativit të herësit të dy funksioneve. Bej kujdes!
Le të marrim një rregull tjetër për gjetjen e antiderivativëve. Dimë se derivati ​​i funksionit y = f(kx+m) llogaritet me formulë

Ky rregull gjeneron rregullin përkatës për gjetjen e antiderivativëve.
Rregulli 3. Nëse y = F(x) është një antiderivativ për funksionin y = f(x), atëherë antiderivati ​​për funksionin y=f(kx+m) është funksioni

Me të vërtetë,

Kjo do të thotë se është një antiderivativ për funksionin y = f(kx+m).
Kuptimi i rregullit të tretë është si më poshtë. Nëse e dini se antiderivati ​​i funksionit y = f(x) është funksioni y = F(x), dhe ju duhet të gjeni antiderivativin e funksionit y = f(kx+m), atëherë veproni kështu: merrni i njëjti funksion F, por në vend të argumentit x, zëvendësohet shprehja kx+m; përveç kësaj, mos harroni të shkruani "faktori korrigjues" përpara shenjës së funksionit
Shembulli 4. Gjeni antiderivativë për funksionet e dhëna:

Zgjidhje, a) Antiderivati ​​për sin x është -soz x; Kjo do të thotë se për funksionin y = sin2x antiderivati ​​do të jetë funksioni
b) Antiderivativi për cos x është sin x; Kjo do të thotë se antiderivati ​​i një funksioni është funksioni

c) Antiderivati ​​për x 7 do të thotë që për funksionin y = (4-5x) 7 antiderivati ​​do të jetë funksioni

3. Integrali i pacaktuar

Ne kemi vërejtur tashmë më lart se problemi i gjetjes së një antiderivati ​​për një funksion të caktuar y = f(x) ka më shumë se një zgjidhje. Le të diskutojmë këtë çështje në më shumë detaje.

Dëshmi. 1. Le të jetë y = F(x) antiderivativ për funksionin y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga X vlen barazia x"(x) = f(x). gjeni derivatin e çdo funksioni të formës y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Pra, (F(x)+C) = f(x). Kjo do të thotë se y = F(x) + C është një antiderivativ për funksionin y = f(x).
Kështu, ne kemi vërtetuar se nëse funksioni y = f(x) ka një antiderivativ y=F(x), atëherë funksioni (f = f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, për shembull, çdo funksion i formës y = F(x) +C është një antiderivativ.
2. Le të provojmë tani se lloji i treguar i funksioneve shteron të gjithë grupin e antiderivativëve.

Le të jenë y=F 1 (x) dhe y=F(x) dy antiderivativë për funksionin Y = f(x) në intervalin X. Kjo do të thotë se për të gjitha x nga intervali X vlejnë marrëdhëniet e mëposhtme: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Le të shqyrtojmë funksionin y = F 1 (x) -.F(x) dhe të gjejmë derivatin e tij: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Dihet se nëse derivati ​​i një funksioni në një interval X është identikisht i barabartë me zero, atëherë funksioni është konstant në intervalin X (shih Teoremën 3 nga § 35). Kjo do të thotë se F 1 (x) - F (x) = C, d.m.th. Fx) = F(x)+C.

Teorema është vërtetuar.

Shembulli 5.Është dhënë ligji i ndryshimit të shpejtësisë me kohën: v = -5sin2t. Gjeni ligjin e lëvizjes s = s(t), nëse dihet se në kohën t=0 koordinata e pikës ishte e barabartë me numrin 1.5 (d.m.th. s(t) = 1.5).

Zgjidhje. Meqenëse shpejtësia është një derivat i koordinatës në funksion të kohës, së pari duhet të gjejmë antiderivativin e shpejtësisë, d.m.th. antiderivativ për funksionin v = -5sin2t. Një nga antiderivativët e tillë është funksioni , dhe grupi i të gjithë antiderivativëve ka formën:

Për të gjetur vlerën specifike të konstantës C, përdorim kushtet fillestare, sipas të cilave s(0) = 1.5. Duke zëvendësuar vlerat t=0, S = 1.5 në formulën (1), marrim:

Duke zëvendësuar vlerën e gjetur të C në formulën (1), marrim ligjin e lëvizjes që na intereson:

Përkufizimi 2. Nëse një funksion y = f(x) ka një antiderivativ y = F(x) në një interval X, atëherë bashkësia e të gjithë antiderivativëve, d.m.th. bashkësia e funksioneve të formës y = F(x) + C quhet integrali i pacaktuar i funksionit y = f(x) dhe shënohet me:

(lexo: “ef integral i pacaktuar nga x de x”).
Në paragrafin tjetër do të zbulojmë se cili është kuptimi i fshehur i këtij përcaktimi.
Bazuar në tabelën e antiderivativëve të disponueshëm në këtë seksion, ne do të përpilojmë një tabelë të integraleve kryesore të pacaktuara:

Bazuar në tre rregullat e mësipërme për gjetjen e antiderivativëve, ne mund të formulojmë rregullat përkatëse të integrimit.

Rregulli 1. Integral i shumës së funksioneve e barabartë me shumën integrale të këtyre funksioneve:

Rregulli 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:

Rregulli 3. Nëse

Shembulli 6. Gjeni integrale të pacaktuara:

Zgjidhje, a) Duke përdorur rregullat e parë dhe të dytë të integrimit, marrim:

Tani le të përdorim formulat e 3-të dhe të 4-të të integrimit:

Si rezultat marrim:

b) Duke përdorur rregullin e tretë të integrimit dhe formulën 8, marrim:

c) Për të gjetur drejtpërdrejt një integral të dhënë, nuk kemi as formulën përkatëse dhe as rregullin përkatës. Në raste të tilla, ndonjëherë ndihmojnë transformimet identike të kryera më parë të shprehjes që përmbahet nën shenjën integrale.

Le të përfitojmë formula trigonometrike Ulja e shkallës:

Pastaj gjejmë në mënyrë sekuenciale:

A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të

Planifikimi kalendar-tematik në matematikë, video në matematikë online, Matematika në shkollë

Dokumenti

Njëfarë intervali X. Nëse Përçdo xХ F"(x) = f(x), atëherë funksionin F thirrurantiderivativPërfunksione f në intervalin X. AntiderivativPërfunksione mund të provoni të gjeni...

Antiderivativ për funksionin

Dokumenti

... . Funksioni F(x) thirrurantiderivativPërfunksione f(x) në intervalin (a;b), nëse Për të gjitha x(a;b) vlen barazia F(x) = f(x). Për shembull, Përfunksione x2 antiderivativ do funksionin x3...

Bazat e Studimit të Kalkulusit Integral

Tutorial

... ; 5. Gjeni integralin. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funksionithirrurantiderivativ te funksione në një set nëse: Për të gjithë; në disa pika; Për të gjithë; në një... interval. Përkufizimi 1. FunksionithirrurantiderivativPërfunksione në shumë...

Integral i pacaktuar antiderivativ

Dokumenti

Integrimi. Antiderivativ. E vazhdueshme funksionin F(x) thirrurantiderivativPërfunksione f (x) në intervalin X nëse Përçdo F’ (x) = f (x). SHEMBULL Funksioni F(x) = x 3 është antiderivativPërfunksione f(x) = 3x...

EDUKIMI SPECIALE I BRSS Miratuar nga Drejtoria Arsimore dhe Metodologjike e Arsimit të Lartë MATEMATIKA E LARTË UDHËZIME METODIKE DHE DETYRA KONTROLLORE (ME PROGRAMIN) për studentët me kohë të pjesshme të specialiteteve inxhinierike dhe teknike

Udhëzimet

Pyetje Për vetë-test Përcaktoni antiderivativfunksione. Specifikoni kuptimi gjeometrik tërësia primitivefunksione. Çfarë thirrur e pasigurt...

Integrali i pacaktuar

Detyra kryesore e llogaritjes diferenciale ishte llogaritja e derivatit ose diferencialit të një funksioni të caktuar. Llogaritja integrale, në studimin e së cilës po kalojmë, zgjidh problemin e anasjelltë, domethënë gjetjen e vetë funksionit nga derivati ​​ose diferenciali i tij. Kjo është, të kesh dF(x)= f(x)d (7.1) ose F ′(x)= f(x),

Ku f(x)- funksion i njohur, nevoja për të gjetur funksionin F(x).

Përkufizimi:Funksioni F(x) thirret antiderivativ funksioni f(x) në segment nëse barazia vlen në të gjitha pikat e këtij segmenti: F′(x) = f(x) ose dF(x)= f(x)d.

Për shembull, një nga funksionet antiderivative për funksionin f(x)=3x 2 do F(x)= x 3, sepse ( x 3)′=3x 2. Por një prototip për funksionin f(x)=3x 2 do të ketë edhe funksione dhe , pasi .

Pra ky funksion f(x)=3x 2 ka një numër të pafund primitivesh, secila prej të cilave ndryshon vetëm nga një term konstant. Le të tregojmë se ky rezultat vlen edhe në rastin e përgjithshëm.

Teorema Dy antiderivativë të ndryshëm të të njëjtit funksion të përcaktuar në një interval të caktuar ndryshojnë nga njëri-tjetri në këtë interval me një term konstant.

Dëshmi

Lëreni funksionin f(x) të përcaktuara në interval (a¸b) Dhe F 1 (x) Dhe F 2 (x) - antiderivatet, d.m.th. F 1 ′(x)= f(x) dhe F 2 ′(x)= f(x).

Pastaj F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

Nga këtu, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Ku ME - konstante (këtu përdoret një përfundim nga teorema e Lagranzhit).

Kështu vërtetohet teorema.

Ilustrim gjeometrik. Nëse në = F 1 (x) Dhe në = F 2 (x) – antiderivat të të njëjtit funksion f(x), pastaj tangjenten me grafikët e tyre në pikat me një abshisë të përbashkët X paralel me njëri-tjetrin (Fig. 7.1).

Në këtë rast, distanca midis këtyre kthesave përgjatë boshtit OU mbetet konstante F 2 (x) - F 1 (x) = C , pra këto kthesa në disa mirëkuptim"paralele" me njëra-tjetrën.

Pasoja .

Shtimi i disa antiderivativëve F(x) për këtë funksion f(x), të përcaktuara në interval X, të gjitha konstantet e mundshme ME, marrim të gjithë antiderivativët e mundshëm për funksionin f(x).

Pra shprehja F(x)+C , ku , dhe F(x) – disa antiderivativë të një funksioni f(x) përfshin të gjithë antiderivativët e mundshëm për f(x).

Shembulli 1. Kontrolloni nëse funksionet janë antiderivatet e funksionit

Zgjidhja:

Përgjigju: antiderivat për një funksion do të ketë funksione Dhe

Përkufizimi: Nëse funksioni F(x) është ndonjë antiderivativ i funksionit f(x), atëherë grupi i të gjithë antiderivativëve F(x)+ C quhet integral i pacaktuar i f(x) dhe shënoni:

∫f(х)dх.

A-parësore:

f(x) - funksioni integrues,

f(х)dх - integrand

Nga kjo rrjedh se integrali i pacaktuar është funksion i formës së përgjithshme, diferenciali i të cilit është i barabartë me integranin dhe derivati ​​i të cilit në lidhje me ndryshoren Xështë e barabartë me integrandin në të gjitha pikat.

Nga pikëpamja gjeometrike një integral i pacaktuar është një familje kurbash, secila prej të cilave përftohet duke zhvendosur njërën nga kthesat paralelisht me veten lart ose poshtë, domethënë përgjatë boshtit OU(Fig. 7.2).

Quhet veprimi i njehsimit të integralit të pacaktuar të një funksioni të caktuar integrimin këtë funksion.

Vini re se nëse derivati ​​i funksioni elementarështë gjithmonë një funksion elementar, atëherë antiderivati ​​i një funksioni elementar mund të mos përfaqësohet nga një numër i kufizuar funksionesh elementare.

Le të shqyrtojmë tani vetitë e integralit të pacaktuar.

Nga përkufizimi 2 vijon:

1. Derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me integranin, pra nëse F′(x) = f(x) , Kjo

2. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin

. (7.4)

Nga përkufizimi i diferencialit dhe vetive (7.3)

3. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni të caktuar është i barabartë me këtë funksion deri në një term konstant, d.m.th. (7.5)

Le të shqyrtojmë lëvizjen e një pike përgjatë një vije të drejtë. Le të marrë kohë t që nga fillimi i lëvizjes pika ka përshkuar një distancë s(t). Pastaj shpejtësia e menjëhershme v(t) e barabartë me derivatin e funksionit s(t), kjo eshte v(t) = s"(t).

Në praktikë ndodh problem i anasjelltë: me një shpejtësi të caktuar të lëvizjes së pikës v(t) gjeni rrugën që ajo mori s(t), domethënë, gjeni një funksion të tillë s(t), derivati ​​i të cilit është i barabartë me v(t). Funksioni s(t), sikurse s"(t) = v(t), quhet antiderivativ i funksionit v(t).

Për shembull, nëse v(t) = аt, Ku Aështë një numër i dhënë, pastaj funksioni
s(t) = (në 2) / 2v(t), sepse
s"(t) = ((at 2) / 2) " = аt = v(t).

Funksioni F(x) quhet antiderivativ i funksionit f(x) në një interval, nëse për të gjithë X nga ky boshllëk F"(x) = f(x).

Për shembull, funksioni F(x) = mëkat xështë antiderivativ i funksionit f(x) = cos x, sepse (sin x)" = cos x; funksionin F(x) = x 4 /4është antiderivativ i funksionit f(x) = x 3, sepse (x 4/4)" = x 3.

Le të shqyrtojmë problemin.

Detyrë.

Vërtetoni se funksionet x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 janë antiderivativë të të njëjtit funksion f(x) = x 2.

Zgjidhje.

1) Le të shënojmë F 1 (x) = x 3 /3, pastaj F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 - 4)" = x 2 = f (x).

Në përgjithësi, çdo funksion x 3 / 3 + C, ku C është një konstante, është një antiderivativ i funksionit x 2. Kjo rrjedh nga fakti se derivati ​​i konstantës është zero. Ky shembull tregon se për një funksion të caktuar, antiderivati ​​i tij përcaktohet në mënyrë të paqartë.

Le të jenë F 1 (x) dhe F 2 (x) dy antiderivativë të të njëjtit funksion f(x).

Pastaj F 1 "(x) = f(x) dhe F" 2 (x) = f(x).

Derivati ​​i ndryshimit të tyre g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) është i barabartë me zero, pasi g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Nëse g"(x) = 0 në një interval të caktuar, atëherë tangjentja me grafikun e funksionit y = g(x) në secilën pikë të këtij intervali është paralel me boshtin Ox. Prandaj, grafiku i funksionit y = g(x) është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox, d.m.th. – F 2 (x) rrjedh se F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Pra, nëse funksioni F(x) është një antiderivativ i funksionit f(x) në një interval të caktuar, atëherë të gjithë antiderivativët e funksionit f(x) shkruhen në formën F(x) + C, ku C është një konstante arbitrare.

Le të shqyrtojmë grafikët e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x). Nëse F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x), atëherë çdo antideriv i këtij funksioni fitohet duke i shtuar F(x) disa konstante: F(x) + C. Grafikët e funksioneve y = F( x) + C përftohen nga grafiku y = F(x) me zhvendosje përgjatë boshtit Oy. Duke zgjedhur C, mund të siguroheni që grafiku i antiderivativit të kalojë nëpër një pikë të caktuar.

Le t'i kushtojmë vëmendje rregullave për gjetjen e antiderivativëve.

Kujtojmë se veprimi i gjetjes së derivatit për një funksion të caktuar quhet diferencimi. Operacioni i kundërt i gjetjes së antiderivativit për një funksion të caktuar quhet integrimin(nga fjala latine "rivendos").

Tabela e antiderivativëve për disa funksione mund të përpilohet duke përdorur një tabelë derivatesh. Për shembull, duke e ditur atë (cos x)" = -sin x, marrim (-cos x)" = mëkat x, nga ku del se të gjitha funksionet antiderivative mëkat x shkruhen në formë -cos x + C, Ku ME– konstante.

Le të shohim disa nga kuptimet e antiderivativëve.

1) Funksioni: x p, p ≠ -1. Antiderivativ: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funksioni: 1/x, x > 0. Antiderivativ: ln x + C.

3) Funksioni: x p, p ≠ -1. Antiderivativ: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funksioni: e x. Antiderivativ: e x + C.

5) Funksioni: mëkat x. Antiderivativ: -cos x + C.

6) Funksioni: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivativ: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funksioni: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funksioni: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) e kx + b + C.

9) Funksioni: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funksioni: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) mëkat (kx + b).

Rregullat e integrimit mund të merret duke përdorur rregullat e diferencimit. Le të shohim disa rregulla.

Le F(x) Dhe G(x)– përkatësisht antiderivatet e funksioneve f(x) Dhe g(x) në një farë intervali. Pastaj:

1) funksionin F(x) ± G(x)është antiderivati ​​i funksionit f(x) ± g(x);

2) funksionin аF(x)është antiderivativ i funksionit аf(x).

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.