Derivat funksion kompleks. Shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivat i një funksioni kompleks. Mësimi është një vazhdim logjik i mësimit Si të gjeni derivatin?, në të cilin shqyrtuam derivatet më të thjeshta, si dhe u njohëm me rregullat e diferencimit dhe disa teknika teknike për gjetjen e derivateve. Kështu, nëse nuk jeni shumë të mirë me derivatet e funksioneve ose disa pika në këtë artikull nuk janë plotësisht të qarta, atëherë së pari lexoni mësimin e mësipërm. Ju lutemi merrni një humor serioz - materiali nuk është i thjeshtë, por unë do të përpiqem ta paraqes atë thjesht dhe qartë.

Në praktikë, duhet të merreni me derivatin e një funksioni kompleks shumë shpesh, madje do të thosha, pothuajse gjithmonë, kur ju jepen detyra për të gjetur derivate.

Ne shikojmë tabelën në rregullin (nr. 5) për diferencimin e një funksioni kompleks:

Le ta kuptojmë. Para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje hyrjes. Këtu kemi dy funksione - dhe , dhe funksioni, në mënyrë figurative, është i vendosur brenda funksionit. Një funksion i këtij lloji (kur një funksion është i vendosur brenda një tjetri) quhet funksion kompleks.

Unë do të thërras funksionin funksioni i jashtëm, dhe funksionin – funksion i brendshëm (ose i mbivendosur)..

! Këto përkufizime nuk janë teorike dhe nuk duhet të shfaqen në hartimin përfundimtar të detyrave. Unë përdor shprehje joformale " funksioni i jashtëm", funksion "i brendshëm" vetëm për ta bërë më të lehtë kuptimin e materialit.

Për të sqaruar situatën, merrni parasysh:

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni

Nën sinus nuk kemi vetëm shkronjën "X", por një shprehje të tërë, kështu që gjetja e derivatit menjëherë nga tabela nuk do të funksionojë. Vëmë re gjithashtu se është e pamundur të zbatohen katër rregullat e para këtu, duket se ka një ndryshim, por fakti është se sinusi nuk mund të "bëhet në copa":

Në këtë shembull, është tashmë intuitivisht e qartë nga shpjegimet e mia se një funksion është një funksion kompleks, dhe polinomi është një funksion i brendshëm (ngulitje) dhe një funksion i jashtëm.

Hapi i parë ajo që duhet të bëni kur gjeni derivatin e një funksioni kompleks është që kuptojnë se cili funksion është i brendshëm dhe cili është i jashtëm.

Kur shembuj të thjeshtë Duket qartë se një polinom është i ngulitur nën sinus. Por çfarë nëse gjithçka nuk është e qartë? Si të përcaktohet me saktësi se cili funksion është i jashtëm dhe cili është i brendshëm? Për ta bërë këtë, unë sugjeroj të përdorni teknikën e mëposhtme, e cila mund të bëhet mendërisht ose në një draft.

Le të imagjinojmë se duhet të llogarisim vlerën e shprehjes at në një kalkulator (në vend të një mund të ketë çdo numër).

Çfarë do të llogarisim së pari? Para së gjithash do t'ju duhet të kryeni veprimin e mëposhtëm: , prandaj polinomi do të jetë një funksion i brendshëm:

Së dyti do të duhet të gjendet, kështu që sinus - do të jetë një funksion i jashtëm:

Pasi ne E SHITUR Me funksionet e brendshme dhe të jashtme, është koha për të zbatuar rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse.

Le të fillojmë të vendosim. Nga klasa Si të gjeni derivatin? kujtojmë se dizajni i një zgjidhjeje për çdo derivat gjithmonë fillon kështu - ne e mbyllim shprehjen në kllapa dhe vendosim një goditje në krye të djathtë:

Ne fillim gjeni derivatin e funksionit të jashtëm (sinus), shikoni tabelën e derivateve funksionet elementare dhe vërejmë se. Të gjitha formulat e tabelës janë gjithashtu të zbatueshme nëse "x" zëvendësohet me një shprehje komplekse, në këtë rast:

vini re se funksioni i brendshëm nuk ka ndryshuar, nuk e prekim.

Epo, është mjaft e qartë se

Rezultati përfundimtar i aplikimit të formulës duket si ky:

Faktori konstant zakonisht vendoset në fillim të shprehjes:

Nëse ka ndonjë keqkuptim, shkruajeni zgjidhjen në letër dhe lexoni përsëri shpjegimet.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Si gjithmonë, ne shkruajmë:

Le të kuptojmë se ku kemi një funksion të jashtëm dhe ku kemi një funksion të brendshëm. Për ta bërë këtë, ne përpiqemi (mendërisht ose në një draft) të llogarisim vlerën e shprehjes në . Çfarë duhet të bëni së pari? Para së gjithash, duhet të llogaritni se me çfarë është e barabartë baza: prandaj, polinomi është funksioni i brendshëm:

Dhe, vetëm atëherë kryhet fuqizimi, pra, funksioni i fuqisëështë një funksion i jashtëm:

Sipas formulës, së pari duhet të gjeni derivatin e funksionit të jashtëm, në këtë rast, shkallën. Ne kërkojmë formulën e kërkuar në tabelë: . E përsërisim përsëri: çdo formulë tabelare është e vlefshme jo vetëm për "X", por edhe për një shprehje komplekse. Kështu, rezultati i zbatimit të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks është si më poshtë:

E theksoj përsëri se kur marrim derivatin e funksionit të jashtëm, funksioni ynë i brendshëm nuk ndryshon:

Tani mbetet vetëm të gjejmë një derivat shumë të thjeshtë të funksionit të brendshëm dhe të rregullojmë pak rezultatin:

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Për të konsoliduar kuptimin tuaj për derivatin e një funksioni kompleks, unë do të jap një shembull pa komente, do të përpiqeni ta kuptoni vetë, arsyetoni se ku është funksioni i jashtëm dhe ku është i brendshëm, pse detyrat zgjidhen në këtë mënyrë?

Shembulli 5

a) Gjeni derivatin e funksionit

b) Gjeni derivatin e funksionit

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu kemi një rrënjë, dhe për të dalluar rrënjën, ajo duhet të përfaqësohet si një fuqi. Kështu, së pari e sjellim funksionin në formën e duhur për diferencim:

Duke analizuar funksionin, arrijmë në përfundimin se shuma e tre termave është një funksion i brendshëm, dhe ngritja në fuqi është një funksion i jashtëm. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse:

Ne përsëri përfaqësojmë shkallën si një radikal (rrënjë), dhe për derivatin e funksionit të brendshëm zbatojmë një rregull të thjeshtë për diferencimin e shumës:

Gati. Ju gjithashtu mund ta zvogëloni shprehjen në një emërues të përbashkët në kllapa dhe të shkruani gjithçka si një thyesë. Është e bukur, sigurisht, por kur merrni derivate të rënda të gjata, është më mirë të mos e bëni këtë (është e lehtë të ngatërrohesh, të bësh një gabim të panevojshëm dhe do të jetë e papërshtatshme për mësuesin të kontrollojë).

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Është interesante të theksohet se ndonjëherë në vend të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks, mund të përdorni rregullin për diferencimin e një koeficienti , por një zgjidhje e tillë do të duket si një perversion qesharak. Këtu është një shembull tipik:

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të përdorni rregullin e diferencimit të herësit , por është shumë më e dobishme të gjesh derivatin përmes rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:

Ne përgatisim funksionin për diferencim - e zhvendosim minusin nga shenja e derivatit dhe e ngremë kosinusin në numërues:

Kosinusi është një funksion i brendshëm, fuqizimi është një funksion i jashtëm.
Le të përdorim rregullin tonë:

Ne gjejmë derivatin e funksionit të brendshëm dhe rivendosim kosinusin poshtë:

Gati. Në shembullin e marrë, është e rëndësishme të mos ngatërroheni në shenja. Nga rruga, përpiquni ta zgjidhni atë duke përdorur rregullin , përgjigjet duhet të përputhen.

Shembulli 9

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë (përgjigjuni në fund të mësimit).

Deri më tani kemi parë raste kur kemi pasur vetëm një fole në një funksion kompleks. Në detyrat praktike, shpesh mund të gjesh derivate, ku, si kukulla fole, njëra brenda tjetrës, 3 ose edhe 4-5 funksione janë futur në të njëjtën kohë.

Shembulli 10

Gjeni derivatin e një funksioni

Le të kuptojmë bashkëngjitjet e këtij funksioni. Le të përpiqemi të llogarisim shprehjen duke përdorur vlerën eksperimentale. Si do të llogarisim në një kalkulator?

Së pari ju duhet të gjeni, që do të thotë se arksina është ngulitja më e thellë:

Ky hark i një duhet më pas të katrorohet:

Dhe së fundi, ne ngremë shtatë në një fuqi:

Kjo do të thotë, në këtë shembull kemi tre funksione të ndryshme dhe dy ngulitje, ndërsa funksioni më i brendshëm është arksina, dhe funksioni më i jashtëm është funksioni eksponencial.

Le të fillojmë të vendosim

Sipas rregullit, së pari duhet të merrni derivatin e funksionit të jashtëm. Shikojmë tabelën e derivateve dhe gjejmë derivatin e funksionit eksponencial: I vetmi ndryshim është se në vend të "x" kemi shprehje komplekse, e cila nuk e mohon vlefshmërinë e kësaj formule. Pra, rezultati i zbatimit të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks është si më poshtë:

Nën goditje kemi përsëri një funksion kompleks! Por tashmë është më e thjeshtë. Është e lehtë të verifikohet se funksioni i brendshëm është arksina, funksioni i jashtëm është shkalla. Sipas rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks, së pari duhet të merrni derivatin e fuqisë.

Është dhënë një vërtetim i formulës për derivatin e një funksioni kompleks. Shqyrtohen në detaje rastet kur një funksion kompleks varet nga një ose dy ndryshore. Bëhet një përgjithësim për rastin e një numri arbitrar të variablave.

Këtu ofrojmë derivimin e formulave të mëposhtme për derivatin e një funksioni kompleks.
Nese atehere
.
Nese atehere
.
Nese atehere
.

Derivat i një funksioni kompleks nga një ndryshore

Le të paraqitet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks në formën e mëposhtme:
,
ku ka disa funksione. Funksioni është i diferencueshëm për disa vlera të ndryshores x. Funksioni është i diferencueshëm në vlerën e ndryshores.
Atëherë funksioni kompleks (i përbërë) është i diferencueshëm në pikën x dhe derivati ​​i tij përcaktohet nga formula:
(1) .

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:
;
.

Dëshmi

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm.
;
.
Këtu ekziston një funksion i variablave dhe , ekziston një funksion i variablave dhe . Por ne do të heqim argumentet e këtyre funksioneve në mënyrë që të mos rrëmbejmë llogaritjet.

Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikat x dhe , përkatësisht, atëherë në këto pika ka derivate të këtyre funksioneve, të cilat janë kufijtë e mëposhtëm:
;
.

Merrni parasysh funksionin e mëposhtëm:
.
Për një vlerë fikse të ndryshores u, është një funksion i . Është e qartë se
.
Pastaj
.

Meqenëse funksioni është një funksion i diferencueshëm në atë pikë, ai është i vazhdueshëm në atë pikë. Kjo është arsyeja pse
.
Pastaj
.

Tani gjejmë derivatin.

.

Formula është e vërtetuar.

Pasoja

Nëse një funksion i një ndryshoreje x mund të përfaqësohet si një funksion kompleks i një funksioni kompleks
,
atëherë derivati ​​i tij përcaktohet me formulë
.
Këtu , dhe ka disa funksione të diferencueshme.

Për të vërtetuar këtë formulë, ne llogarisim në mënyrë sekuenciale derivatin duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks.
Merrni parasysh funksionin kompleks
.
Derivati ​​i tij
.
Konsideroni funksionin origjinal
.
Derivati ​​i tij
.

Derivat i një funksioni kompleks nga dy ndryshore

Tani le të varet funksioni kompleks nga disa ndryshore. Së pari le të shohim rasti i një funksioni kompleks të dy ndryshoreve.

Le të paraqitet një funksion në varësi të ndryshores x si një funksion kompleks i dy variablave në formën e mëposhtme:
,
Ku
dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- një funksion i dy variablave, të diferencueshëm në pikën , . Atëherë funksioni kompleks përcaktohet në një lagje të caktuar të pikës dhe ka një derivat, i cili përcaktohet nga formula:
(2) .

Dëshmi

Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikë, ato përcaktohen në një fqinjësi të caktuar të kësaj pike, janë të vazhdueshme në pikë dhe derivatet e tyre ekzistojnë në pikë, që janë kufijtë e mëposhtëm:
;
.
Këtu
;
.
Për shkak të vazhdimësisë së këtyre funksioneve në një pikë, kemi:
;
.

Meqenëse funksioni është i diferencueshëm në pikë, ai përcaktohet në një lagje të caktuar të kësaj pike, është i vazhdueshëm në këtë pikë dhe rritja e tij mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
(3) .
Këtu

- rritja e një funksioni kur argumentet e tij rriten me vlera dhe ;
;

- derivatet e pjesshme të funksionit në lidhje me variablat dhe .
Për vlerat fikse të dhe, dhe janë funksione të variablave dhe . Ata priren në zero në dhe:
;
.
Që dhe atëherë
;
.

Rritja e funksionit:

. :
.
Le të zëvendësojmë (3):



.

Formula është e vërtetuar.

Derivat i një funksioni kompleks nga disa ndryshore

Përfundimi i mësipërm mund të përgjithësohet lehtësisht në rastin kur numri i ndryshoreve të një funksioni kompleks është më shumë se dy.

Për shembull, nëse f është funksioni i tre variablave, Kjo
,
Ku
, dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- funksioni i diferencueshëm i tre variablave në pikën , , .
Pastaj, nga përkufizimi i diferencibilitetit të funksionit, kemi:
(4)
.
Sepse, për shkak të vazhdimësisë,
; ; ,
Se
;
;
.

Duke e ndarë (4) me dhe duke kaluar në kufi, marrim:
.

Dhe së fundi, le të shqyrtojmë rasti më i përgjithshëm.
Le të përfaqësohet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks i n variablave në formën e mëposhtme:
,
Ku
ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- funksioni i diferencueshëm i n variablave në një pikë
, , ... , .
Pastaj
.

Në këtë artikull do të flasim për një koncept kaq të rëndësishëm matematikor si një funksion kompleks dhe do të mësojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni kompleks.

Para se të mësojmë të gjejmë derivatin e një funksioni kompleks, le të kuptojmë konceptin e një funksioni kompleks, çfarë është, "me çfarë hahet" dhe "si ta gatuajmë saktë".

Konsideroni një funksion arbitrar, për shembull, këtë:

Vini re se argumenti në anën e djathtë dhe të majtë të ekuacionit të funksionit është i njëjti numër ose shprehje.

Në vend të një ndryshoreje, mund të vendosim, për shembull, shprehjen e mëposhtme: . Dhe pastaj marrim funksionin

Le ta quajmë shprehjen një argument të ndërmjetëm, dhe funksionin një funksion të jashtëm. Këto nuk janë koncepte të rrepta matematikore, por ato ndihmojnë për të kuptuar kuptimin e konceptit të një funksioni kompleks.

Një përkufizim i rreptë i konceptit të një funksioni kompleks tingëllon si ky:

Le të përcaktohet një funksion në një grup dhe të jetë bashkësia e vlerave të këtij funksioni. Le të jetë bashkësia (ose nëngrupi i saj) domeni i përcaktimit të funksionit. Le t'i caktojmë një numër secilit prej tyre. Kështu, funksioni do të përcaktohet në grup. Quhet përbërje funksioni ose funksion kompleks.

Në këtë përkufizim, nëse përdorim terminologjinë tonë, një funksion i jashtëm është një argument i ndërmjetëm.

Derivati ​​i një funksioni kompleks gjendet sipas rregullit të mëposhtëm:

Për ta bërë më të qartë, më pëlqen ta shkruaj këtë rregull si më poshtë:

Në këtë shprehje, përdorimi tregon një funksion të ndërmjetëm.

Kështu që. Për të gjetur derivatin e një funksioni kompleks, ju duhet

1. Përcaktoni cili funksion është i jashtëm dhe gjeni derivatin përkatës nga tabela e derivateve.

2. Përcaktoni një argument të ndërmjetëm.

Në këtë procedurë, vështirësia më e madhe është gjetja e funksionit të jashtëm. Për këtë përdoret një algoritëm i thjeshtë:

A. Shkruani ekuacionin e funksionit.

b. Imagjinoni që ju duhet të llogaritni vlerën e një funksioni për një vlerë të x. Për ta bërë këtë, ju zëvendësoni këtë vlerë x në ekuacionin e funksionit dhe kryeni aritmetikën. Veprimi i fundit që bëni është funksioni i jashtëm.

Për shembull, në funksion

Veprimi i fundit është fuqizimi.

Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë një argument të ndërmjetëm

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është fizik i tij dhe kuptimi gjeometrik Si të llogarisim derivatin e një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik derivat: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Mbrapa afatshkurtër Ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testet më të vështira dhe të zgjidhni problemet, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Që kur keni ardhur këtu, me siguri e keni parë tashmë këtë formulë në tekstin shkollor

dhe bëni një fytyrë si kjo:

Mik, mos u shqetëso! Në fakt, gjithçka është thjesht e egër. Ju patjetër do të kuptoni gjithçka. Vetëm një kërkesë - lexoni artikullin ngadalë, përpiquni të kuptoni çdo hap. Unë shkrova sa më thjeshtë dhe qartë, por ju ende duhet ta kuptoni idenë. Dhe sigurohuni që të zgjidhni detyrat nga artikulli.

Çfarë është një funksion kompleks?

Imagjinoni që po zhvendoseni në një apartament tjetër dhe për këtë arsye po i paketoni gjërat në kuti të mëdha. Supozoni se ju duhet të grumbulloni disa sende të vogla, për shembull, materiale shkrimi shkollore. Nëse thjesht i hidhni në një kuti të madhe, ato do të humbasin ndër të tjera. Për të shmangur këtë, fillimisht i vendosni, për shembull, në një qese, të cilën më pas e vendosni në një kuti të madhe dhe më pas e mbyllni. Ky proces "kompleks" është paraqitur në diagramin e mëposhtëm:

Do të duket, çfarë lidhje ka matematika me të? Po, përkundër faktit se një funksion kompleks është formuar në të njëjtën mënyrë! Vetëm ne “paketojmë” jo fletoret dhe stilolapsat, por \(x\), ndërsa “paketat” dhe “kutitë” janë të ndryshme.

Për shembull, le të marrim x dhe ta "paketojmë" atë në një funksion:

Si rezultat, ne marrim, natyrisht, \(\cos⁡x\). Kjo është "çanta jonë e gjërave". Tani le ta vendosim në një "kuti" - paketojmë, për shembull, në një funksion kub.

Çfarë do të ndodhë në fund? Po, është e drejtë, do të ketë një "çantë me gjëra në një kuti", domethënë "kosinus me kub X".

Dizajni që rezulton është një funksion kompleks. Ai ndryshon nga i thjeshti në këtë DISA "influenca" (pako) aplikohen për një X me radhë dhe rezulton sikur "funksioni nga funksioni" - "paketimi brenda paketimit".

Në kursin shkollor ka shumë pak lloje të këtyre "paketave", vetëm katër:

Le të "paketë" X së pari në funksioni eksponencial me bazën 7, dhe më pas në një funksion trigonometrik. Ne marrim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Tani le të "paketojmë" X dy herë në të funksionet trigonometrike, fillimisht në , dhe më pas në:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

E thjeshtë, apo jo?

Tani shkruani vetë funksionet, ku x:
- së pari "paketohet" në një kosinus, dhe më pas në një funksion eksponencial me bazën \(3\);
- së pari në fuqinë e pestë, dhe më pas në tangjente;
- së pari te logaritmi në bazë \(4\) , pastaj në fuqinë \(-2\).

Gjeni përgjigjet për këtë detyrë në fund të artikullit.

A mund ta "paketojmë" X jo dy, por tre herë? Nuk ka problem! Dhe katër, pesë dhe njëzet e pesë herë. Këtu, për shembull, është një funksion në të cilin x është "paketuar" \(4\) herë:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Por formula të tilla nuk do të gjenden në praktikën shkollore (nxënësit janë më me fat - e tyre mund të jetë më e ndërlikuar☺).

"Shpaketimi" i një funksioni kompleks

Shikoni sërish funksionin e mëparshëm. A mund ta kuptoni sekuencën e "paketimit"? Në çfarë X u fut fillimisht, çfarë pastaj, e kështu me radhë deri në fund. Domethënë, cili funksion ndodhet brenda cilit? Merrni një copë letër dhe shkruani atë që mendoni. Ju mund ta bëni këtë me një zinxhir me shigjeta siç kemi shkruar më lart ose në ndonjë mënyrë tjetër.

Tani përgjigjja e saktë është: së pari, x ishte "paketuar" në fuqinë \(4\)-të, më pas rezultati u paketua në një sinus, ai, nga ana tjetër, u vendos në logaritëm në bazën \(2\) , dhe në fund i gjithë ky konstruksion u fut në një pesëshe me fuqi.

Kjo do të thotë, ju duhet të zbërtheni sekuencën në REND TË KUNDËRT. Dhe këtu është një sugjerim se si ta bëni më lehtë: shikoni menjëherë X - duhet të kërceni prej tij. Le të shohim disa shembuj.

Për shembull, këtu është funksioni i mëposhtëm: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne shikojmë X - çfarë ndodh së pari me të? Marrë prej tij. Dhe pastaj? Merret tangjentja e rezultatit. Sekuenca do të jetë e njëjtë:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Një shembull tjetër: \(y=\cos⁡((x^3))\). Le të analizojmë - së pari ne kubuam X, dhe më pas morëm kosinusin e rezultatit. Kjo do të thotë se sekuenca do të jetë: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Kushtojini vëmendje, funksioni duket se është i ngjashëm me atë të parën (ku ka fotografi). Por ky është një funksion krejtësisht i ndryshëm: këtu në kub është x (d.m.th., \(\cos⁡((x·x·x)))\), dhe atje në kub është kosinusi \(x\) ( që është, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ky ndryshim lind nga sekuenca të ndryshme "paketimi".

Shembulli i fundit (me informacion i rendesishem në të): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Është e qartë se këtu ata fillimisht bënë veprime aritmetike me x, më pas morën sinusin e rezultatit: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dhe kjo pikë e rëndësishme: pavarësisht se veprimet aritmetike nuk janë funksione në vetvete, këtu ato veprojnë edhe si një mënyrë "paketimi". Le të thellohemi pak më thellë në këtë hollësi.

Siç thashë më lart, në funksione të thjeshta x "paketohet" një herë, dhe në funksione komplekse - dy ose më shumë. Për më tepër, çdo kombinim i funksioneve të thjeshta (d.m.th., shuma, diferenca, shumëzimi ose pjesëtimi i tyre) është gjithashtu funksion i thjeshtë. Për shembull, \(x^7\) është një funksion i thjeshtë dhe po kështu është \(ctg x\). Kjo do të thotë që të gjitha kombinimet e tyre janë funksione të thjeshta:

\(x^7+ ctg x\) - e thjeshtë,
\(x^7· ahur x\) – e thjeshtë,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – e thjeshtë, etj.

Sidoqoftë, nëse një funksion më shumë zbatohet për një kombinim të tillë, ai do të bëhet një funksion kompleks, pasi do të ketë dy "pako". Shih diagramin:

Mirë, vazhdo tani. Shkruani sekuencën e funksioneve të "mbështjelljes":
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Përgjigjet janë përsëri në fund të artikullit.

Funksionet e brendshme dhe të jashtme

Pse duhet të kuptojmë folenë e funksionit? Çfarë na jep kjo? Fakti është se pa një analizë të tillë nuk do të jemi në gjendje të gjejmë me besueshmëri derivate të funksioneve të diskutuara më sipër.

Dhe për të ecur përpara, do të na duhen dy koncepte të tjera: funksionet e brendshme dhe të jashtme. Kjo është një gjë shumë e thjeshtë, për më tepër, në fakt, ne i kemi analizuar tashmë ato më lart: nëse kujtojmë analogjinë tonë që në fillim, atëherë funksioni i brendshëm është një "paketë", dhe funksioni i jashtëm është një "kuti". Ato. ajo që X është "mbështjellë" në fillim është një funksion i brendshëm, dhe ajo që funksioni i brendshëm është "mbështjellë" është tashmë i jashtëm. Epo, është e qartë pse - ajo është jashtë, kjo do të thotë e jashtme.

Në këtë shembull: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funksioni \(\log_2⁡x\) është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Dhe në këtë: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) është i brendshëm, dhe
- e jashtme.

Plotësoni praktikën e fundit të analizimit të funksioneve komplekse, dhe më në fund le të kalojmë tek ajo për të cilën filluam të gjithë - do të gjejmë derivate të funksioneve komplekse:

Plotësoni vendet bosh në tabelë:

Derivat i një funksioni kompleks

Bravo për ne, më në fund arritëm te "bosi" i kësaj teme - në fakt, derivati ​​i një funksioni kompleks, dhe konkretisht, tek ajo formulë shumë e tmerrshme që nga fillimi i artikullit.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Kjo formulë lexohet kështu:

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant dhe derivatin e funksionit të brendshëm.

Dhe menjëherë shikoni diagramin e analizës, sipas fjalëve, në mënyrë që të kuptoni se çfarë të bëni me çfarë:

Shpresoj që termat "derivativ" dhe "produkt" të mos shkaktojnë ndonjë vështirësi. "Funksioni kompleks" - ne e kemi zgjidhur tashmë atë. Kapja është në "derivatin e një funksioni të jashtëm në lidhje me një funksion të brendshëm konstant". Cfare eshte?

Përgjigje: Ky është derivati ​​i zakonshëm i një funksioni të jashtëm, në të cilin ndryshon vetëm funksioni i jashtëm, dhe ai i brendshëm mbetet i njëjtë. Ende nuk është e qartë? Mirë, le të përdorim një shembull.

Le të kemi një funksion \(y=\sin⁡(x^3)\). Është e qartë se funksioni i brendshëm këtu është \(x^3\), dhe i jashtëm
. Le të gjejmë tani derivatin e jashtme në lidhje me brendësinë konstante.