Në këtë video do të analizojmë të gjithë kompletin ekuacionet lineare, të cilat zgjidhen duke përdorur të njëjtin algoritëm - kjo është arsyeja pse ato quhen më të thjeshtat.

Së pari, le të përcaktojmë: çfarë është një ekuacion linear dhe cili quhet më i thjeshtë?

Një ekuacion linear është ai në të cilin ka vetëm një ndryshore dhe vetëm në shkallën e parë.

Ekuacioni më i thjeshtë nënkupton ndërtimin:

Të gjitha ekuacionet e tjera lineare reduktohen në më të thjeshtat duke përdorur algoritmin:

1. Zgjeroni kllapat, nëse ka;
2. Zhvendosni termat që përmbajnë një ndryshore në njërën anë të shenjës së barazimit dhe termat pa ndryshore në anën tjetër;
3. Jepni terma të ngjashëm majtas dhe djathtas të shenjës së barabartë;
4. Ndajeni ekuacionin që rezulton me koeficientin e ndryshores $x$.

Sigurisht, ky algoritëm nuk ndihmon gjithmonë. Fakti është se ndonjëherë pas gjithë këtyre makinacioneve koeficienti i ndryshores $x$ rezulton të jetë i barabartë me zero. Në këtë rast, dy opsione janë të mundshme:

1. Ekuacioni nuk ka fare zgjidhje. Për shembull, kur del diçka si $0\cdot x=8$, d.m.th. në të majtë është zero, dhe në të djathtë është një numër i ndryshëm nga zero. Në videon e mëposhtme do të shohim disa arsye pse kjo situatë është e mundur.
2. Zgjidhja janë të gjithë numrat. I vetmi rast kur kjo është e mundur është kur ekuacioni është reduktuar në konstruksionin $0\cdot x=0$. Është mjaft logjike që pavarësisht se çfarë $x$ zëvendësojmë, prapë do të rezultojë "zero është e barabartë me zero", d.m.th. barazia numerike e saktë.

Tani le të shohim se si funksionon e gjithë kjo duke përdorur shembuj të jetës reale.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve

Sot kemi të bëjmë me ekuacione lineare, dhe vetëm me ato më të thjeshtat. Në përgjithësi, një ekuacion linear nënkupton çdo barazi që përmban saktësisht një ndryshore dhe shkon vetëm në shkallën e parë.

Ndërtime të tilla zgjidhen afërsisht në të njëjtën mënyrë:

1. Para së gjithash, ju duhet të zgjeroni kllapat, nëse ka (si në shembullin tonë të fundit);
2. Pastaj sillni të ngjashme
3. Së fundi, izoloni variablin, d.m.th. zhvendosni çdo gjë që lidhet me variablin - termat në të cilët përmbahet - në njërën anë dhe zhvendosni gjithçka që mbetet pa të në anën tjetër.

Pastaj, si rregull, duhet të jepni të ngjashme në secilën anë të barazisë që rezulton, dhe pas kësaj gjithçka që mbetet është të ndani me koeficientin "x" dhe do të marrim përgjigjen përfundimtare.

Në teori, kjo duket e bukur dhe e thjeshtë, por në praktikë, edhe nxënësit e shkollave të mesme me përvojë mund të bëjnë gabime fyese në ekuacione lineare mjaft të thjeshta. Në mënyrë tipike, gabimet bëhen ose kur hapen kllapat ose kur llogariten "pluset" dhe "minuset".

Përveç kësaj, ndodh që një ekuacion linear të mos ketë fare zgjidhje, ose që zgjidhja të jetë e gjithë boshti numerik, d.m.th. çdo numër. Ne do t'i shikojmë këto hollësi në mësimin e sotëm. Por ne do të fillojmë, siç e keni kuptuar tashmë, me vetë detyra të thjeshta.

Skema për zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta lineare

Së pari, më lejoni të shkruaj edhe një herë të gjithë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare:

1. Zgjeroni kllapat, nëse ka.
2. I izolojmë variablat, d.m.th. Ne zhvendosim gjithçka që përmban "X" në njërën anë dhe gjithçka pa "X" në anën tjetër.
3. Ne paraqesim terma të ngjashëm.
4. Ne pjesëtojmë gjithçka me koeficientin "x".

Natyrisht, kjo skemë nuk funksionon gjithmonë, ka disa hollësi dhe truket në të, dhe tani do t'i njohim ato.

Zgjidhja e shembujve realë të ekuacioneve të thjeshta lineare

Detyra nr. 1

Hapi i parë kërkon që ne të hapim kllapat. Por ata nuk janë në këtë shembull, kështu që ne e kalojmë këtë hap. Në hapin e dytë duhet të izolojmë variablat. Shënim: ne po flasim për vetëm për terma individualë. Le ta shkruajmë:

Ne paraqesim terma të ngjashëm majtas dhe djathtas, por kjo tashmë është bërë këtu. Prandaj, kalojmë në hapin e katërt: pjesëtojeni me koeficientin:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kështu që e morëm përgjigjen.

Detyra nr. 2

Ne mund të shohim kllapat në këtë problem, kështu që le t'i zgjerojmë ato:

Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë shohim afërsisht të njëjtin dizajn, por le të veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. duke ndarë variablat:

Këtu janë disa të ngjashme:

Në cilat rrënjë funksionon kjo? Përgjigje: për çdo. Prandaj, mund të shkruajmë se $x$ është çdo numër.

Detyra nr. 3

Ekuacioni i tretë linear është më interesant:

\[\majtas(6-x \djathtas)+\majtas(12+x \djathtas)-\majtas(3-2x \djathtas)=15\]

Këtu ka disa kllapa, por ato nuk shumëzohen me asgjë, thjesht paraprihen nga shenja të ndryshme. Le t'i zbërthejmë ato:

Ne kryejmë hapin e dytë të njohur tashmë për ne:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Le të bëjmë matematikën:

Ne kryejmë hapi i fundit- pjesëtoni gjithçka me koeficientin "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Gjërat që duhen mbajtur mend gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare

Nëse i shpërfillim detyrat shumë të thjeshta, do të doja të them sa vijon:

• Siç thashë më lart, jo çdo ekuacion linear ka një zgjidhje - ndonjëherë thjesht nuk ka rrënjë;
• Edhe nëse ka rrënjë, mund të ketë zero mes tyre - nuk ka asgjë të keqe me këtë.

Zero është i njëjti numër si të tjerët, nuk duhet ta diskriminoni në asnjë mënyrë ose të supozoni se nëse merrni zero, atëherë keni bërë diçka të gabuar.

Një veçori tjetër lidhet me hapjen e kllapave. Ju lutemi vini re: kur ka një "minus" para tyre, ne e heqim atë, por në kllapa i ndryshojmë shenjat në e kundërt. Dhe pastaj mund ta hapim duke përdorur algoritme standarde: do të marrim atë që pamë në llogaritjet e mësipërme.

Kuptimi i këtij fakti të thjeshtë do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet e trashë dhe lënduese në shkollën e mesme, kur bërja e gjërave të tilla merret si e mirëqenë.

Zgjidhja e ekuacioneve komplekse lineare

Le të kalojmë në më shumë ekuacionet komplekse. Tani ndërtimet do të bëhen më komplekse dhe gjatë kryerjes së transformimeve të ndryshme do të shfaqet një funksion kuadratik. Sidoqoftë, nuk duhet të kemi frikë nga kjo, sepse nëse, sipas planit të autorit, po zgjidhim një ekuacion linear, atëherë gjatë procesit të transformimit të gjithë monomët që përmbajnë një funksion kuadratik me siguri do të anulohen.

Shembulli nr. 1

Natyrisht, hapi i parë është hapja e kllapave. Le ta bëjmë këtë me shumë kujdes:

Tani le t'i hedhim një sy privatësisë:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Këtu janë disa të ngjashme:

Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë këtë në përgjigje:

\[\varnogjë\]

ose nuk ka rrënjë.

Shembulli nr. 2

Ne kryejmë të njëjtat veprime. Hapi i parë:

Le të lëvizim gjithçka me një ndryshore në të majtë, dhe pa të - në të djathtë:

Këtu janë disa të ngjashme:

Natyrisht, ky ekuacion linear nuk ka zgjidhje, kështu që ne do ta shkruajmë në këtë mënyrë:

\[\varnogjë\],

ose nuk ka rrënjë.

Nuancat e zgjidhjes

Të dy ekuacionet janë zgjidhur plotësisht. Duke përdorur këto dy shprehje si shembull, ne u bindëm edhe një herë se edhe në ekuacionet më të thjeshta lineare, gjithçka mund të mos jetë aq e thjeshtë: mund të ketë ose një, ose asnjë, ose pafundësisht shumë rrënjë. Në rastin tonë, ne konsideruam dy ekuacione, të dyja thjesht nuk kanë rrënjë.

Por unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për një fakt tjetër: si të punoni me kllapa dhe si t'i hapni ato nëse ka një shenjë minus përpara tyre. Merrni parasysh këtë shprehje:

Para hapjes, duhet të shumëzoni gjithçka me "X". Ju lutemi vini re: shumëzohet çdo term individual. Brenda ka dy terma - respektivisht, dy terma dhe të shumëzuar.

Dhe vetëm pasi të kenë përfunduar këto transformime në dukje elementare, por shumë të rëndësishme dhe të rrezikshme, mund të hapni kllapa nga pikëpamja e faktit se pas saj ka një shenjë minus. Po, po: vetëm tani, kur përfundojnë transformimet, kujtojmë se ka një shenjë minus përpara kllapave, që do të thotë se gjithçka më poshtë thjesht ndryshon shenja. Në të njëjtën kohë, vetë kllapat zhduken dhe, më e rëndësishmja, "minus" i përparmë gjithashtu zhduket.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë:

Jo rastësisht u kushtoj vëmendje këtyre fakteve të vogla, në dukje të parëndësishme. Sepse zgjidhja e ekuacioneve është gjithmonë një sekuencë transformimesh elementare, ku pamundësia për të kryer qartë dhe me kompetencë hapa të thjeshtëçon në faktin që nxënësit e shkollave të mesme vijnë tek unë dhe përsëri mësojnë të zgjidhin ekuacione kaq të thjeshta.

Sigurisht, do të vijë dita kur do t'i përpunoni këto aftësi deri në automatik. Nuk do t'ju duhet më të kryeni kaq shumë transformime çdo herë, do të shkruani gjithçka në një rresht. Por ndërsa jeni vetëm duke mësuar, ju duhet të shkruani çdo veprim veç e veç.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare edhe më komplekse

Ajo që do të zgjidhim tani vështirë se mund të quhet detyra më e thjeshtë, por kuptimi mbetet i njëjtë.

Detyra nr. 1

\[\majtas(7x+1 \djathtas)\majtas(3x-1 \djathtas)-21((x)^(2))=3\]

Le të shumëzojmë të gjithë elementët në pjesën e parë:

Le të bëjmë pak privatësi:

Këtu janë disa të ngjashme:

Le të përfundojmë hapin e fundit:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Këtu është përgjigja jonë përfundimtare. Dhe, pavarësisht se në procesin e zgjidhjes kishim koeficientë me funksion kuadratik, ata anulonin njëri-tjetrin, gjë që e bën ekuacionin linear dhe jo kuadratik.

Detyra nr. 2

\[\majtas(1-4x \djathtas)\majtas(1-3x \djathtas)=6x\majtas(2x-1 \djathtas)\]

Le të kryejmë me kujdes hapin e parë: shumëzojmë çdo element nga kllapa e parë me çdo element nga i dyti. Duhet të ketë gjithsej katër terma të rinj pas transformimeve:

Tani le të kryejmë me kujdes shumëzimin në secilin term:

Le t'i zhvendosim termat me "X" në të majtë, dhe ato pa - në të djathtë:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Këtu janë terma të ngjashëm:

Edhe një herë kemi marrë përgjigjen përfundimtare.

Nuancat e zgjidhjes

Shënimi më i rëndësishëm për këto dy ekuacione është si vijon: sapo fillojmë të shumëzojmë kllapat që përmbajnë më shumë se një term, kjo bëhet sipas rregullit të mëposhtëm: marrim termin e parë nga i pari dhe shumëzojmë me secilin element nga i dyti; atëherë marrim elementin e dytë nga i pari dhe në mënyrë të ngjashme shumëzojmë me secilin element nga i dyti. Si rezultat do të kemi katër mandate.

Rreth shumës algjebrike

Me këtë shembull të fundit, do të doja t'u kujtoja studentëve se çfarë shuma algjebrike. Në matematikën klasike, me 1-7$ nënkuptojmë një ndërtim të thjeshtë: zbresim shtatë nga një. Në algjebër, nënkuptojmë si vijon me këtë: numrit "një" i shtojmë një numër tjetër, përkatësisht "minus shtatë". Kështu ndryshon një shumë algjebrike nga një shumë e zakonshme aritmetike.

Sapo, kur kryeni të gjitha transformimet, çdo mbledhje dhe shumëzim, filloni të shihni ndërtime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, thjesht nuk do të keni asnjë problem në algjebër kur punoni me polinome dhe ekuacione.

Së fundi, le të shohim disa shembuj të tjerë që do të jenë edhe më të ndërlikuar se ata që sapo pamë, dhe për t'i zgjidhur ata do të duhet të zgjerojmë pak algoritmin tonë standard.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa

Për të zgjidhur detyra të tilla, do të duhet të shtojmë një hap më shumë në algoritmin tonë. Por së pari, më lejoni t'ju kujtoj algoritmin tonë:

1. Hapni kllapat.
2. Variabla të ndara.
3. Sillni të ngjashme.
4. Pjestojeni me raportin.

Mjerisht, ky algoritëm i mrekullueshëm, me gjithë efektivitetin e tij, rezulton të jetë jo plotësisht i përshtatshëm kur kemi fraksione para nesh. Dhe në atë që do të shohim më poshtë, kemi një fraksion në të majtë dhe në të djathtë në të dy ekuacionet.

Si të punoni në këtë rast? Po, është shumë e thjeshtë! Për ta bërë këtë, ju duhet të shtoni një hap tjetër në algoritëm, i cili mund të bëhet si para ashtu edhe pas veprimit të parë, domethënë, duke hequr qafe fraksionet. Pra, algoritmi do të jetë si më poshtë:

1. Hiqni qafe thyesat.
2. Hapni kllapat.
3. Variabla të ndara.
4. Sillni të ngjashme.
5. Pjestojeni me raportin.

Çfarë do të thotë "të heqësh qafe thyesat"? Dhe pse mund të bëhet kjo si pas dhe para hapit të parë standard? Në fakt, në rastin tonë, të gjitha thyesat janë numerike në emëruesin e tyre, d.m.th. Kudo emëruesi është vetëm një numër. Prandaj, nëse i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me këtë numër, do të shpëtojmë nga thyesat.

Shembulli nr. 1

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas))(4)=((x)^(2))-1\]

Le të heqim qafe thyesat në këtë ekuacion:

\[\frac(\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)\cdot 4)(4)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Ju lutemi vini re: çdo gjë shumëzohet me "katër" një herë, d.m.th. vetëm për shkak se keni dy kllapa nuk do të thotë që ju duhet të shumëzoni secilën me "katër". Le të shkruajmë:

\[\majtas(2x+1 \djathtas)\majtas(2x-3 \djathtas)=\majtas(((x)^(2))-1 \djathtas)\cdot 4\]

Tani le të zgjerojmë:

Ne veçojmë variablin:

Ne kryejmë reduktimin e termave të ngjashëm:

\[-4x=-1\majtas| :\left(-4 \djathtas) \djathtas.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ne kemi marrë zgjidhjen përfundimtare, le të kalojmë në ekuacionin e dytë.

Shembulli nr. 2

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas))(5)+((x)^(2))=1\]

Këtu kryejmë të gjitha veprimet e njëjta:

\[\frac(\majtas(1-x \djathtas)\majtas(1+5x \djathtas)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemi është zgjidhur.

Kjo, në fakt, është gjithçka që doja t'ju them sot.

Pikat kryesore

Gjetjet kryesore janë:

• Të njohë algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
• Aftësia për të hapur kllapa.
• Mos u shqetësoni nëse keni funksione kuadratike diku, ato do të reduktohen në procesin e transformimeve të mëtejshme.
• Ekzistojnë tre lloje rrënjësh në ekuacionet lineare, madje edhe ato më të thjeshtat: një rrënjë e vetme, e gjithë boshti numerik është një rrënjë dhe nuk ka rrënjë fare.

Shpresoj se ky mësim do t'ju ndihmojë të zotëroni një temë të thjeshtë, por shumë të rëndësishme për të kuptuar më tej të gjithë matematikën. Nëse diçka nuk është e qartë, shkoni në sit dhe zgjidhni shembujt e paraqitur atje. Qëndroni të sintonizuar, shumë gjëra të tjera interesante ju presin!

Ajo pjesë e ekuacionit është shprehja në kllapa. Për të hapur kllapat, shikoni shenjën përpara kllapave. Nëse ka një shenjë plus, hapja e kllapave në shprehje nuk do të ndryshojë asgjë: thjesht hiqni kllapat. Nëse ka një shenjë minus, kur hapni kllapat, duhet të ndryshoni të gjitha shenjat që ishin fillimisht në kllapa në ato të kundërta. Për shembull, -(2x-3)=-2x+3.

Duke shumëzuar dy kllapa.
Nëse ekuacioni përmban produktin e dy kllapave, zgjeroni kllapat sipas rregullit standard. Çdo term në kllapa e parë shumëzohet me secilin term në kllapin e dytë. Numrat që rezultojnë janë përmbledhur. Në këtë rast, prodhimi i dy "plus" ose dy "minus" i jep termit një shenjë "plus", dhe nëse faktorët kanë shenja të ndryshme, ai merr një shenjë "minus".
Le të shqyrtojmë.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Duke hapur kllapa, ndonjëherë duke ngritur një shprehje në . Formulat për katrorë dhe kubikë duhet të njihen përmendësh dhe të mbahen mend.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulat për ndërtimin e një shprehjeje më të madhe se tre mund të bëhen duke përdorur trekëndëshin e Paskalit.

Burimet:

• formula e zgjerimit të kllapave

E mbyllur në kllapa operacionet matematikore mund të përmbajë variabla dhe shprehje shkallë të ndryshme vështirësitë. Për të shumëzuar shprehje të tilla, do të duhet të kërkoni një zgjidhje pamje e përgjithshme, duke hapur kllapat dhe duke thjeshtuar rezultatin. Nëse kllapat përmbajnë operacione pa variabla, vetëm me vlerat numerike, atëherë nuk është e nevojshme të hapni kllapat, pasi nëse keni një kompjuter, përdoruesi i tij ka qasje në burime kompjuterike shumë domethënëse - është më e lehtë t'i përdorësh ato sesa të thjeshtosh shprehjen.

Udhëzimet

Shumëzojeni në mënyrë sekuenciale secilën (ose minuend me ) të përmbajtur në një kllapa me përmbajtjen e të gjitha kllapave të tjera nëse dëshironi të merrni rezultatin në formë të përgjithshme. Për shembull, le të shkruhet shprehja origjinale si më poshtë: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Atëherë shumëzimi sekuencial (d.m.th., hapja e kllapave) do të japë rezultatin e mëposhtëm: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5*x+5*6*5*2) - (5*x*5*x+ 5* x*5*2) + (6*x*x*x+6*x*2*x) - (x*x*x*x+x*x*2*x) = 5*6*5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Thjeshtoni rezultatin duke shkurtuar shprehjet. Për shembull, shprehja e marrë në hapin e mëparshëm mund të thjeshtohet si më poshtë: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Përdorni një kalkulator nëse duhet të shumëzoni x është e barabartë me 4,75, domethënë (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Për të llogaritur këtë vlerë, shkoni në faqen e internetit të motorit të kërkimit Google ose Nigma dhe futni shprehjen në fushën e pyetjes në formën e saj origjinale (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google do të shfaqë 82.265625 menjëherë, pa shtypur një buton, por Nigma duhet të dërgojë të dhëna në server duke shtypur një buton.

Tani do të kalojmë në hapjen e kllapave në shprehjet në të cilat shprehja në kllapa shumëzohet me një numër ose shprehje. Le të formulojmë një rregull për hapjen e kllapave të paraprirë nga një shenjë minus: kllapat së bashku me shenjën minus janë hequr, dhe shenjat e të gjithë termave në kllapa zëvendësohen me ato të kundërta.

Një lloj i transformimit të shprehjes është zgjerimi i kllapave. numerike, shprehje fjalë për fjalë dhe shprehjet me variabla mund të kompozohen duke përdorur kllapa, të cilat mund të tregojnë rendin në të cilin kryhen veprimet, të përmbajnë një numër negativ, etj. Le të supozojmë se në shprehjet e përshkruara më sipër, në vend të numrave dhe ndryshoreve, mund të ketë çdo shprehje.

Dhe le t'i kushtojmë vëmendje një pike tjetër në lidhje me veçoritë e shkrimit të një zgjidhjeje kur hapim kllapa. Në paragrafin e mëparshëm, u trajtuam me atë që quhet kllapa hapëse. Për ta bërë këtë, ekzistojnë rregulla për hapjen e kllapave, të cilat tani do t'i shqyrtojmë. Ky rregull diktohet nga fakti se numrat pozitivë zakonisht shkruhen pa kllapa në këtë rast, kllapat janë të panevojshme. Shprehja (−3,7)−(−2)+4+(−9) mund të shkruhet pa kllapa si −3,7+2+4−9.

Së fundi, pjesa e tretë e rregullit është thjesht për shkak të veçorive të regjistrimit numrat negativë në të majtë të shprehjes (të cilën e përmendëm në pjesën në kllapa për shkrimin e numrave negativë). Mund të hasni shprehje të përbëra nga një numër, shenja minus dhe disa palë kllapa. Nëse hapni kllapat, duke lëvizur nga e brendshme në të jashtme, atëherë zgjidhja do të jetë si më poshtë: −(−((−(5)))=−(−((−5)))=− ))=−( 5)=−5.

Si të hapni kllapat?

Ja një shpjegim: −(−2 x) është +2 x, dhe meqenëse kjo shprehje vjen e para, +2 x mund të shkruhet si 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x dhe −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Pjesa e parë e rregullit të shkruar për hapjen e kllapave rrjedh drejtpërdrejt nga rregulli i shumëzimit të numrave negativë. Pjesa e dytë e saj është pasojë e rregullit për shumëzimin e numrave me shenja të ndryshme. Le të kalojmë te shembujt e hapjes së kllapave në prodhime dhe herës të dy numrave me shenja të ndryshme.

Kllapat hapëse: rregulla, shembuj, zgjidhje.

Rregulli i mësipërm merr parasysh të gjithë zinxhirin e këtyre veprimeve dhe shpejton ndjeshëm procesin e hapjes së kllapave. I njëjti rregull ju lejon të hapni kllapa në shprehjet që janë produkte dhe shprehje të pjesshme me një shenjë minus që nuk janë shuma dhe diferenca.

Le të shohim shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Le të japim rregullin përkatës. Më sipër kemi hasur tashmë shprehje të formës −(a) dhe −(−a), të cilat pa kllapa shkruhen përkatësisht si −a dhe a. Për shembull, −(3)=3, dhe. Këto janë raste të veçanta të rregullit të përmendur. Tani le të shohim shembuj të hapjes së kllapave kur ato përmbajnë shuma ose diferenca. Le të tregojmë shembuj të përdorimit të këtij rregulli. Shprehjen (b1+b2) le ta shënojmë si b, pas së cilës përdorim rregullën e shumëzimit të kllapave me shprehjen nga paragrafi i mëparshëm, kemi (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Me induksion, kjo deklaratë mund të zgjerohet në një numër arbitrar termash në çdo kllapë. Mbetet të hapim kllapat në shprehjen që rezulton, duke përdorur rregullat nga paragrafët e mëparshëm, në fund marrim 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Rregulli në matematikë është hapja e kllapave nëse ka (+) dhe (-) përpara kllapave.

Kjo shprehje është produkt i tre faktorëve (2+4), 3 dhe (5+7·8). Ju do të duhet të hapni kllapat në mënyrë sekuenciale. Tani përdorim rregullin për shumëzimin e një kllapa me një numër, kemi ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Shkallët, bazat e të cilave janë disa shprehje të shkruara në kllapa, me ne miresi mund të mendohet si produkt i disa kllapave.

Për shembull, le të transformojmë shprehjen (a+b+c)2. Së pari, e shkruajmë si prodhim të dy kllapave (a+b+c)·(a+b+c), tani shumëzojmë një kllapa me një kllapa, marrim a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Do të themi gjithashtu se për të rritur shumat dhe diferencat e dy numrave në një fuqi natyrore, këshillohet të përdoret formula binomiale e Njutonit. Për shembull, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nuk është më pak e përshtatshme që fillimisht të zëvendësohet ndarja me shumëzim, dhe më pas të përdoret rregulli përkatës për hapjen e kllapave në një produkt.

Mbetet për të kuptuar rendin e hapjes së kllapave duke përdorur shembuj. Le të marrim shprehjen (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Ne i zëvendësojmë këto rezultate në shprehjen origjinale: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Mbetet vetëm të përfundojmë hapjen e kllapave, si rezultat kemi −5+3·2:4+6·7. Kjo do të thotë se kur lëvizni nga ana e majtë e barazisë në të djathtë, ndodhi hapja e kllapave.

Vini re se në të tre shembujt thjesht i hoqëm kllapat. Së pari, shtoni 445 në 889. Ky veprim mund të kryhet mendërisht, por nuk është shumë i lehtë. Le të hapim kllapat dhe të shohim se procedura e ndryshuar do të thjeshtojë ndjeshëm llogaritjet.

Si të zgjerohen kllapat në një shkallë tjetër

Ilustrimi i shembullit dhe rregullit. Le të shohim një shembull: . Ju mund të gjeni vlerën e një shprehjeje duke shtuar 2 dhe 5, dhe më pas duke marrë numrin që rezulton me shenjën e kundërt. Rregulli nuk ndryshon nëse nuk ka dy, por tre ose më shumë terma në kllapa. Komentoni. Shenjat janë të kundërta vetëm përpara termave. Për të hapur kllapat, në këtë rast duhet të kujtojmë vetinë shpërndarëse.

Për numrat e vetëm në kllapa

Gabimi juaj nuk është në shenja, por në trajtimin e gabuar të thyesave? Në klasën e 6-të mësuam për numrat pozitivë dhe negativë. Si do t'i zgjidhim shembujt dhe ekuacionet?

Sa është në kllapa? Çfarë mund të thoni për këto shprehje? Natyrisht, rezultati i shembullit të parë dhe të dytë është i njëjtë, që do të thotë se mund të vendosim një shenjë të barabartë midis tyre: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Çfarë bëmë me kllapat?

Demonstrimi i rrëshqitjes 6 me rregullat për hapjen e kllapave. Kështu, rregullat për hapjen e kllapave do të na ndihmojnë të zgjidhim shembuj dhe të thjeshtojmë shprehjet. Më pas, nxënësve u kërkohet të punojnë në dyshe: duhet të përdorin shigjeta për të lidhur shprehjen që përmban kllapa me shprehjen përkatëse pa kllapa.

Slide 11 Pasi në qytetin e diellit, Znayka dhe Dunno debatuan se cili prej tyre e zgjidhi saktë ekuacionin. Më pas, nxënësit e zgjidhin vetë ekuacionin duke përdorur rregullat për hapjen e kllapave. Zgjidhja e ekuacioneve” Objektivat e mësimit: edukativ (përforcimi i njohurive me temën: “Kllapa hapëse.

Tema e mësimit: “Hapja e kllapave. Në këtë rast, duhet të shumëzoni çdo term nga kllapat e para me secilin term nga kllapat e dyta dhe më pas të shtoni rezultatet. Fillimisht merren dy faktorët e parë, të mbyllur në një kllapa më shumë dhe brenda këtyre kllapave hapen kllapat sipas një prej rregullave tashmë të njohura.

rawalan.freezeet.ru

Kllapat hapëse: rregulla dhe shembuj (klasa 7)

Funksioni kryesor i kllapave është ndryshimi i renditjes së veprimeve gjatë llogaritjes së vlerave shprehjet numerike . Për shembull, në shprehjen numerike \(5·3+7\) fillimisht do të llogaritet shumëzimi, e më pas mbledhja: \(5·3+7 =15+7=22\). Por në shprehjen \(5·(3+7)\) fillimisht do të llogaritet mbledhja në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Megjithatë, nëse kemi të bëjmë me shprehje algjebrike që përmban e ndryshueshme- për shembull, si kjo: \(2(x-3)\) - atëherë është e pamundur të llogaritet vlera në kllapa, ndryshorja është në rrugë. Prandaj, në këtë rast, kllapat "hapen" duke përdorur rregullat e duhura.

Rregullat për hapjen e kllapave

Nëse ka një shenjë plus përpara kllapës, atëherë kllapa thjesht hiqet, shprehja në të mbetet e pandryshuar. Me fjale te tjera:

Këtu është e nevojshme të sqarohet se në matematikë, për të shkurtuar shënimet, është zakon të mos shkruhet shenja plus nëse shfaqet e para në shprehje. Për shembull, nëse shtojmë dy numra pozitivë, për shembull, shtatë dhe tre, atëherë nuk shkruajmë \(+7+3\), por thjesht \(7+3\), pavarësisht se shtatë është gjithashtu një numër pozitiv. . Në mënyrë të ngjashme, nëse shihni, për shembull, shprehjen \((5+x)\) - dijeni këtë para kllapës ka një plus, i cili nuk shkruhet.

Shembull . Hapni kllapa dhe jepni terma të ngjashëm: \((x-11)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Nëse ka një shenjë minus përpara kllapës, atëherë kur kllapa hiqet, secili anëtar i shprehjes brenda tij ndryshon shenjën në të kundërtën:

Këtu është e nevojshme të sqarohet se ndërsa a ishte në kllapa, kishte një shenjë plus (ata thjesht nuk e shkruan), dhe pas heqjes së kllapës, ky plus ndryshoi në një minus.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen \(2x-(-7+x)\).
Zgjidhje : brenda kllapës ka dy terma: \(-7\) dhe \(x\), dhe para kllapës ka një minus. Kjo do të thotë që shenjat do të ndryshojnë - dhe shtatë tani do të jenë një plus, dhe x tani do të jetë një minus. Hapni kllapa dhe ne paraqesim terma të ngjashëm .

Shembull. Hapni kllapa dhe jepni terma të ngjashëm \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Nëse ka një faktor përpara kllapës, atëherë çdo anëtar i kllapës shumëzohet me të, domethënë:

Shembull. Zgjero kllapat \(5(3-x)\).
Zgjidhje : Në kllapa kemi \(3\) dhe \(-x\), dhe para kllapës është një pesë. Kjo do të thotë që çdo anëtar i kllapave shumëzohet me \(5\) - ju kujtoj këtë Shenja e shumëzimit midis një numri dhe një kllapa nuk shkruhet në matematikë për të zvogëluar madhësinë e hyrjeve.

Shembull. Zgjero kllapat \(-2(-3x+5)\).
Zgjidhje : Si në shembullin e mëparshëm, \(-3x\) dhe \(5\) në kllapa shumëzohen me \(-2\).

Mbetet për të shqyrtuar situatën e fundit.

Kur shumëzoni një kllapë me një kllapë, çdo term i kllapës së parë shumëzohet me çdo term të të dytës:

Shembull. Zgjeroni kllapat \((2-x)(3x-1)\).
Zgjidhje : Ne kemi një produkt me kllapa dhe ai mund të zgjerohet menjëherë duke përdorur formulën e mësipërme. Por për të mos u ngatërruar, le të bëjmë gjithçka hap pas hapi.
Hapi 1. Hiqni kllapin e parë dhe shumëzoni çdo anëtar me kllapin e dytë:

Hapi 2. Zgjeroni produktet e kllapave dhe faktorin siç përshkruhet më sipër:
- Gjërat e para në fillim...

Hapi 3. Tani shumëzojmë dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Nuk është e nevojshme të përshkruani të gjitha transformimet në mënyrë kaq të detajuar, ju mund t'i shumëzoni ato menjëherë. Por nëse sapo po mësoni se si të hapni kllapa, shkruani në detaje, do të ketë më pak mundësi për të bërë gabime.

Shënim për të gjithë seksionin. Në fakt, nuk keni nevojë t'i mbani mend të katër rregullat, duhet të mbani mend vetëm një, këtë: \(c(a-b)=ca-cb\) . Pse? Sepse nëse zëvendësoni një në vend të c, ju merrni rregullin \((a-b)=a-b\) . Dhe nëse zëvendësojmë minus një, marrim rregullin \(-(a-b)=-a+b\) . Epo, nëse zëvendësoni një kllapë tjetër në vend të c, mund të merrni rregullin e fundit.

Parantezë brenda një kllapa

Ndonjëherë në praktikë ka probleme me kllapat e vendosura brenda kllapave të tjera. Këtu është një shembull i një detyre të tillë: thjeshtoni shprehjen \(7x+2(5-(3x+y))\).

Për të zgjidhur me sukses detyra të tilla, ju duhet:
- të kuptojë me kujdes folenë e kllapave - cila në cilën është;
- hapni kllapat në mënyrë sekuenciale, duke filluar, për shembull, me atë më të brendshmen.

Është e rëndësishme kur hapni një nga kllapat mos e prekni pjesën tjetër të shprehjes, thjesht duke e rishkruar ashtu siç është.
Le të shohim detyrën e shkruar më sipër si shembull.

Shembull. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(7x+2(5-(3x+y))\).
Zgjidhja:

Le ta fillojmë detyrën duke hapur kllapin e brendshëm (atë brenda). Duke e zgjeruar atë, ne kemi të bëjmë vetëm me atë që lidhet drejtpërdrejt me të - kjo është vetë kllapa dhe minusi përpara tij (i theksuar me të gjelbër). Ne rishkruajmë gjithçka tjetër (jo të theksuar) në të njëjtën mënyrë që ishte.

Zgjidhja e problemeve matematikore në internet

Llogaritësi online.
Thjeshtimi i një polinomi.
Shumëzimi i polinomeve.

Me këtë program matematikor mund të thjeshtoni një polinom.
Ndërsa programi po funksionon:
- shumëzon polinomet
- përmbledh monomët (jep të ngjashëm)
- hap kllapa
- ngre një polinom në një fuqi

Programi i thjeshtimit polinom jo vetëm që i jep përgjigje problemit, ai jep një zgjidhje të detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes në mënyrë që të mund të kontrolloni njohuritë tuaja për matematikën dhe/ose algjebrën.

Ky program mund të jetë i dobishëm për studentët Shkolla të mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël ose motra, ndërkohë që rritet niveli arsimor në fushën e problemeve që zgjidhen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni një sekondë.

Pak teori.

Prodhimi i një monomi dhe një polinomi. Koncepti i një polinomi

Ndër shprehjet e ndryshme që konsiderohen në algjebër janë vend i rëndësishëm zënë shuma monomësh. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Le të përfaqësojmë të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:

Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Mbrapa shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, një binom ka shkallën e tretë, dhe një trinom ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve. Për shembull:

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse mbyllja e kllapave është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetinë shpërndarëse të shumëzimit, ju mund të transformoni (thjeshtoni) produktin e një monomi dhe një polinomi në një polinom. Për shembull:

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Katroret e shumës, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Ju duhet të merreni me disa shprehje në transformimet algjebrike më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë u, pra katrori i shumës, katrori i ndryshimit dhe diferenca e katrorëve. Ju vutë re se emrat e këtyre shprehjeve duken të paplota, për shembull, ky, natyrisht, nuk është vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet mund të shndërrohen lehtësisht (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, tashmë keni hasur në një detyrë të tillë kur shumëzoni polinomet:

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

- katrori i shumës e barabartë me shumën katrore dhe dyfishoni produktin.

- katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishtë.

- diferenca e katrorëve është e barabartë me prodhimin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë që njeriu të zëvendësojë pjesët e tij të majta me ato të djathta në transformime dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Libra (tekste) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe Testet OGE Lojra online, puzzles Ndërtimi i grafikëve të funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista e detyrave Gjetja e GCD dhe LCM Thjeshtimi i një polinomi (shumëzimi i polinomeve) Pjesëtimi i një një polinom me një kolonë Llogaritja thyesat numerike Zgjidhja e problemeve që përfshijnë përqindje Numrat kompleks: shuma, diferenca, prodhimi dhe herësi Sistemet e 2 ekuacioneve lineare me dy ndryshore Zgjidhja ekuacioni kuadratik Izolimi i katrorit të një binomi dhe faktorizimi i një trinomi katror Zgjidhja e inekuacioneve Zgjidhja e sistemeve të inekuacioneve Hartimi i një grafiku funksion kuadratik Hartimi i grafikut të një funksioni thyesor linear Zgjidhja e aritmetikës dhe progresionet gjeometrike Zgjidhja trigonometrike, eksponenciale, ekuacionet logaritmike Llogaritja e kufijve, derivatit, tangjentës Integrale, antiderivative Zgjidhja e trekëndëshave Llogaritja e veprimeve me vektorë Llogaritja e veprimeve me vija dhe rrafshe Sipërfaqja e figurave gjeometrike Perimetri i figurave gjeometrike Vëllimi i trupave gjeometrikë Sipërfaqja e trupave gjeometrikë
Konstruktor i situatës së trafikut
Moti - lajme - horoskopi

www.mathsolution.ru

Kllapat në zgjerim

Ne vazhdojmë të studiojmë bazat e algjebrës. Në këtë mësim do të mësojmë se si të zgjerojmë kllapat në shprehje. Zgjerimi i kllapave nënkupton heqjen e kllapave nga një shprehje.

Për të hapur kllapat, duhet të mësoni përmendësh vetëm dy rregulla. Me praktikë të rregullt, ju mund të hapni kllapat me sytë e mbyllur, dhe ato rregulla që kërkohej të mësoheshin përmendësh mund të harrohen me siguri.

Rregulli i parë për hapjen e kllapave

Merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:

Vlera e kësaj shprehjeje është 2 . Le të hapim kllapat në këtë shprehje. Zgjerimi i kllapave do të thotë t'i heqësh qafe ato pa ndikuar në kuptimin e shprehjes. Domethënë, pasi të hiqni qafe kllapat, vlera e shprehjes 8+(−9+3) duhet të jetë ende e barabartë me dy.

Rregulli i parë për hapjen e kllapave është si më poshtë:

Kur hapni kllapat, nëse ka një plus përpara kllapave, atëherë ky plus hiqet së bashku me kllapat.

Pra, ne e shohim atë në shprehje 8+(−9+3) Para kllapave ka një shenjë plus. Ky plus duhet të hiqet së bashku me kllapat. Me fjalë të tjera, kllapat do të zhduken së bashku me plusin që qëndronte para tyre. Dhe ajo që ishte në kllapa do të shkruhet pa ndryshime:

8−9+3 . Kjo shprehje është e barabartë me 2 , si shprehja e mëparshme me kllapa, ishte e barabartë me 2 .

8+(−9+3) Dhe 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Shembulli 2. Zgjeroni kllapat në shprehje 3 + (−1 − 4)

Ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të mbetet e pandryshuar:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 2 + (−1)

Në këtë shembull, hapja e kllapave u bë një lloj operacioni i kundërt i zëvendësimit të zbritjes me mbledhje. Çfarë do të thotë?

Në shprehje 2−1 zbritja ndodh, por mund të zëvendësohet me mbledhje. Pastaj marrim shprehjen 2+(−1) . Por nëse në shprehje 2+(−1) hapni kllapat, merrni origjinalin 2−1 .

Prandaj, rregulli i parë për hapjen e kllapave mund të përdoret për të thjeshtuar shprehjet pas disa transformimeve. Kjo do të thotë, hiqni atë nga kllapat dhe bëni më të thjeshtë.

Për shembull, le të thjeshtojmë shprehjen 2a+a−5b+b .

Për të thjeshtuar këtë shprehje, mund të jepen terma të ngjashëm. Le të kujtojmë se për të zvogëluar termat e ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e termave të ngjashëm dhe të shumëzoni rezultatin me pjesën e shkronjës së përbashkët:

Mori një shprehje 3a+(−4b). Le të heqim kllapat në këtë shprehje. Ka një plus përpara kllapave, kështu që ne përdorim rregullin e parë për hapjen e kllapave, domethënë, ne i heqim kllapat së bashku me plusin që vjen përpara këtyre kllapave:

Pra shprehja 2a+a−5b+b thjeshton të 3a−4b .

Pasi të keni hapur disa kllapa, mund të hasni të tjera gjatë rrugës. Për ta zbatojmë të njëjtat rregulla si për të parët. Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehjen e mëposhtme:

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në këtë rast, zbatohet rregulli i parë i hapjes së kllapave, përkatësisht, heqja e kllapave së bashku me shenjën plus që i paraprin këtyre kllapave:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 6+(−3)+(−2)

Në të dyja vendet ku ka kllapa, paraprihet nga një plus. Këtu përsëri zbatohet rregulli i parë i hapjes së kllapave:

Ndonjëherë termi i parë në kllapa shkruhet pa shenjë. Për shembull, në shprehje 1+(2+3−4) termi i parë në kllapa 2 shkruar pa shenjë. Shtrohet pyetja, çfarë shenje do të shfaqet para të dyve pasi të hiqen kllapat dhe plusi para kllapave? Përgjigja sugjeron vetë - do të ketë një plus para të dyve.

Në fakt, edhe duke qenë në kllapa ka një plus para të dyjave, por nuk e shohim sepse nuk është e shkruar. Ne kemi thënë tashmë se shënimi i plotë i numrave pozitivë duket si +1, +2, +3. Por sipas traditës, pluset nuk shënohen, kjo është arsyeja pse ne shohim numrat pozitivë që janë të njohur për ne 1, 2, 3 .

Prandaj, për të zgjeruar kllapat në shprehje 1+(2+3−4) , si zakonisht, ju duhet të hiqni kllapat së bashku me shenjën plus përpara këtyre kllapave, por shkruani termin e parë që ishte në kllapa me një shenjë plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Shembulli 4. Zgjeroni kllapat në shprehje −5 + (2 − 3)

Ka një plus përpara kllapave, kështu që ne zbatojmë rregullin e parë për hapjen e kllapave, domethënë, ne i lëmë kllapat së bashku me plusin që vjen përpara këtyre kllapave. Por termi i parë, të cilin e shkruajmë në kllapa me një shenjë plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Shembulli 5. Zgjeroni kllapat në shprehje (−5)

Para kllapave ka një plus, por nuk shkruhet sepse para tij nuk ka pasur numra apo shprehje të tjera. Detyra jonë është të heqim kllapat duke zbatuar rregullin e parë të hapjes së kllapave, domethënë, të heqim kllapat së bashku me këtë plus (edhe nëse është i padukshëm)

Shembulli 6. Zgjeroni kllapat në shprehje 2a + (−6a + b)

Ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të shkruhet e pandryshuar:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Shembulli 7. Zgjeroni kllapat në shprehje 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ka dy vende në këtë shprehje ku duhet të zgjeroni kllapat. Në të dy seksionet ka një plus përpara kllapave, që do të thotë se ky plus është hequr së bashku me kllapat. Ajo që ishte në kllapa do të shkruhet e pandryshuar:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Rregulli i dytë për hapjen e kllapave

Tani le të shohim rregullin e dytë për hapjen e kllapave. Përdoret kur ka një minus para kllapave.

Nëse ka një minus para kllapave, atëherë ky minus hiqet së bashku me kllapat, por termat që ishin në kllapa ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën.

Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehjen e mëposhtme

Shohim që ka një minus para kllapave. Kjo do të thotë që ju duhet të zbatoni rregullin e dytë të zgjerimit, domethënë të hiqni kllapat së bashku me shenjën minus përpara këtyre kllapave. Në këtë rast, termat që ishin në kllapa do të ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën:

Morëm një shprehje pa kllapa 5+2+3 . Kjo shprehje është e barabartë me 10, ashtu si shprehja e mëparshme me kllapa ishte e barabartë me 10.

Kështu, midis shprehjeve 5−(−2−3) Dhe 5+2+3 mund të vendosni një shenjë të barabartë, pasi ato janë të barabarta me të njëjtën vlerë:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Shembulli 2. Zgjeroni kllapat në shprehje 6 − (−2 − 5)

Para kllapave ka një minus, kështu që zbatojmë rregullin e dytë për hapjen e kllapave, përkatësisht, i heqim kllapat së bashku me minusin që vjen përpara këtyre kllapave. Në këtë rast, ne shkruajmë termat që ishin në kllapa me shenja të kundërta:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Shembulli 3. Zgjeroni kllapat në shprehje 2 − (7 + 3)

Ka një minus para kllapave, kështu që ne zbatojmë rregullin e dytë për hapjen e kllapave:

Shembulli 4. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−3 + 4)

Shembulli 5. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në rastin e parë, duhet të zbatoni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, dhe kur bëhet fjalë për shprehjen +(−9−2) ju duhet të zbatoni rregullin e parë:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Shembulli 6. Zgjeroni kllapat në shprehje −(−a − 1)

Shembulli 7. Zgjeroni kllapat në shprehje −(4a + 3)

Shembulli 8. Zgjeroni kllapat në shprehje a − (4b + 3) + 15

Shembulli 9. Zgjeroni kllapat në shprehje 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Ka dy vende ku duhet të hapni kllapat. Në rastin e parë, duhet të zbatoni rregullin e parë për hapjen e kllapave, dhe kur bëhet fjalë për shprehjen −(3c+5) ju duhet të zbatoni rregullin e dytë:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Shembulli 10. Zgjeroni kllapat në shprehje −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ka tre vende ku duhet të hapni kllapat. Së pari ju duhet të zbatoni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, pastaj të parën dhe pastaj përsëri të dytin:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mekanizmi i hapjes së kllapave

Rregullat për hapjen e kllapave që kemi shqyrtuar tani bazohen në ligjin shpërndarës të shumëzimit:

Në fakt hapjen e kllapaveështë procedura ku faktori i përbashkët shumëzohet me çdo term në kllapa. Si rezultat i këtij shumëzimi, kllapat zhduken. Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehje 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Prandaj, nëse duhet të shumëzoni një numër me një shprehje në kllapa (ose të shumëzoni një shprehje në kllapa me një numër), duhet të thoni le të hapim kllapat.

Por si lidhet ligji shpërndarës i shumëzimit me rregullat për hapjen e kllapave që shqyrtuam më parë?

Fakti është se para çdo kllapa ka një faktor të përbashkët. Në shembullin 3×(4+5) faktori i përbashkët është 3 . Dhe në shembull a(b+c) faktori i përbashkët është një variabël a.

Nëse nuk ka numra ose ndryshore përpara kllapave, atëherë faktori i përbashkët është 1 ose −1 , në varësi të asaj shenje që është përpara kllapave. Nëse ka një plus përpara kllapave, atëherë faktori i përbashkët është 1 . Nëse ka një minus para kllapave, atëherë faktori i përbashkët është −1 .

Për shembull, le të zgjerojmë kllapat në shprehje −(3b−1). Ka një shenjë minus përpara kllapave, kështu që duhet të përdorni rregullin e dytë për hapjen e kllapave, domethënë të hiqni kllapat së bashku me shenjën minus përpara kllapave. Dhe shkruani shprehjen që ishte në kllapa me shenja të kundërta:

Ne i zgjeruam kllapat duke përdorur rregullin për zgjerimin e kllapave. Por të njëjtat kllapa mund të hapen duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit. Për ta bërë këtë, së pari shkruani para kllapave faktorin e përbashkët 1, i cili nuk është shkruar:

Shenja minus që qëndronte më parë përpara kllapave i referohej kësaj njësie. Tani mund të hapni kllapat duke përdorur ligjin shpërndarës të shumëzimit. Për këtë qëllim faktori i përbashkët −1 ju duhet të shumëzoni me çdo term në kllapa dhe të shtoni rezultatet.

Për lehtësi, ne zëvendësojmë diferencën në kllapa me shumën:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Ashtu si herën e kaluar e morëm shprehjen −3b+1. Të gjithë do të pajtohen që këtë herë u harxhua më shumë kohë për të zgjidhur një shembull kaq të thjeshtë. Prandaj, është më e mençur të përdoren rregulla të gatshme për hapjen e kllapave, të cilat i diskutuam në këtë mësim:

Por nuk dëmton të dish se si funksionojnë këto rregulla.

Në këtë mësim mësuam një tjetër transformim identik. Së bashku me hapjen e kllapave, nxjerrjen e gjeneralit jashtë kllapave dhe sjelljen e termave të ngjashëm, mund të zgjeroni pak gamën e problemeve që do të zgjidhen. Për shembull:

Këtu ju duhet të kryeni dy veprime - së pari hapni kllapat dhe më pas sillni terma të ngjashëm. Pra, me radhë:

1) Hapni kllapat:

2) Ne paraqesim terma të ngjashëm:

Në shprehjen që rezulton −10b+(−1) ju mund të zgjeroni kllapat:

Shembulli 2. Hapni kllapat dhe shtoni terma të ngjashëm në shprehjen e mëposhtme:

1) Le të hapim kllapat:

2) Le të paraqesim terma të ngjashëm. Këtë herë, për të kursyer kohë dhe hapësirë, nuk do të shkruajmë se si shumëzohen koeficientët me pjesën e shkronjës së përbashkët

Shembulli 3. Thjeshtoni një shprehje 8m+3m dhe gjeni vlerën e saj në m=−4

1) Së pari, le të thjeshtojmë shprehjen. Për të thjeshtuar shprehjen 8m+3m, ju mund të hiqni faktorin e përbashkët në të m jashtë kllapave:

2) Gjeni vlerën e shprehjes m(8+3) në m=−4. Për ta bërë këtë, në shprehje m(8+3) në vend të një ndryshoreje m zëvendësoni numrin −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Funksioni kryesor i kllapave është ndryshimi i renditjes së veprimeve gjatë llogaritjes së vlerave. Për shembull, në shprehjen numerike \(5·3+7\) fillimisht do të llogaritet shumëzimi, e më pas mbledhja: \(5·3+7 =15+7=22\). Por në shprehjen \(5·(3+7)\) fillimisht do të llogaritet mbledhja në kllapa dhe vetëm më pas shumëzimi: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Shembull. Zgjero kllapa: \(-(4m+3)\).
Zgjidhje : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Shembull. Hapni kllapa dhe jepni terma të ngjashëm \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Zgjidhje : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Shembull. Zgjero kllapat \(5(3-x)\).
Zgjidhje : Në kllapa kemi \(3\) dhe \(-x\), dhe para kllapës është një pesë. Kjo do të thotë që çdo anëtar i kllapave shumëzohet me \(5\) - ju kujtoj këtë Shenja e shumëzimit midis një numri dhe një kllapa nuk shkruhet në matematikë për të zvogëluar madhësinë e hyrjeve.

Shembull. Zgjero kllapat \(-2(-3x+5)\).
Zgjidhje : Si në shembullin e mëparshëm, \(-3x\) dhe \(5\) në kllapa shumëzohen me \(-2\).

Shembull. Thjeshtoni shprehjen: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Zgjidhje : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Mbetet për të shqyrtuar situatën e fundit.

Kur shumëzoni një kllapë me një kllapë, çdo term i kllapës së parë shumëzohet me çdo term të të dytës:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Shembull. Zgjeroni kllapat \((2-x)(3x-1)\).
Zgjidhje : Ne kemi një produkt me kllapa dhe ai mund të zgjerohet menjëherë duke përdorur formulën e mësipërme. Por për të mos u ngatërruar, le të bëjmë gjithçka hap pas hapi.
Hapi 1. Hiqni kllapin e parë - shumëzoni secilin prej termave të tij me kllapin e dytë:

Hapi 2. Zgjeroni produktet e kllapave dhe faktorin siç përshkruhet më sipër:
- Gjërat e para në fillim...

Pastaj e dyta.

Hapi 3. Tani shumëzojmë dhe paraqesim terma të ngjashëm:

Nuk është e nevojshme të përshkruani të gjitha transformimet në mënyrë kaq të detajuar, ju mund t'i shumëzoni ato menjëherë. Por nëse sapo po mësoni se si të hapni kllapa, shkruani në detaje, do të ketë më pak mundësi për të bërë gabime.

Shënim për të gjithë seksionin. Në fakt, nuk keni nevojë t'i mbani mend të katër rregullat, duhet të mbani mend vetëm një, këtë: \(c(a-b)=ca-cb\) . Pse? Sepse nëse zëvendësoni një në vend të c, ju merrni rregullin \((a-b)=a-b\) . Dhe nëse zëvendësojmë minus një, marrim rregullin \(-(a-b)=-a+b\) . Epo, nëse zëvendësoni një kllapë tjetër në vend të c, mund të merrni rregullin e fundit.

Parantezë brenda një kllapa

Ndonjëherë në praktikë ka probleme me kllapat e vendosura brenda kllapave të tjera. Këtu është një shembull i një detyre të tillë: thjeshtoni shprehjen \(7x+2(5-(3x+y))\).

Për të zgjidhur me sukses detyra të tilla, ju duhet:
- të kuptojë me kujdes folenë e kllapave - cila në cilën është;
- hapni kllapat në mënyrë sekuenciale, duke filluar, për shembull, me atë më të brendshmen.

Është e rëndësishme kur hapni një nga kllapat mos e prekni pjesën tjetër të shprehjes, thjesht duke e rishkruar ashtu siç është.
Le të shohim detyrën e shkruar më sipër si shembull.

Shembull. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(7x+2(5-(3x+y))\).
Zgjidhja:

Shembull. Hapni kllapat dhe jepni terma të ngjashëm \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Zgjidhje :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Këtu ka folezim të trefishtë të kllapave. Le të fillojmë me atë më të brendshmen (e theksuar me të gjelbër). Ka një plus përpara kllapës, kështu që thjesht shkëputet.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Tani duhet të hapni kllapin e dytë, atë të ndërmjetëm. Por para kësaj, ne do të thjeshtojmë shprehjen e termave të ngjashëm me fantazmë në këtë kllapa të dytë.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Tani hapim kllapin e dytë (të theksuar në blu). Para kllapa është një faktor - kështu që çdo term në kllapa shumëzohet me të.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Dhe hapni kllapin e fundit. Ka një shenjë minus përpara kllapës, kështu që të gjitha shenjat janë të kundërta.

Zgjerimi i kllapave është një aftësi bazë në matematikë. Pa këtë aftësi, është e pamundur të kesh një notë mbi C në klasat 8 dhe 9. Prandaj, ju rekomandoj që ta kuptoni mirë këtë temë.

A+(b + c) mund të shkruhet pa kllapa: a+(b + c)=a + b + c. Ky operacion quhet hapja e kllapave.

Shembulli 1. Le të hapim kllapat në shprehjen a + (- b + c).

Zgjidhje. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Nëse ka një shenjë "+" përpara kllapave, atëherë mund të hiqni kllapat dhe këtë shenjë "+" duke ruajtur shenjat e termave në kllapa. Nëse termi i parë në kllapa shkruhet pa shenjë, atëherë ai duhet të shkruhet me shenjën "+".

Shembulli 2. Le të gjejmë vlerën e shprehjes -2,87+ (2,87-7,639).

Zgjidhje. Duke hapur kllapat, marrim - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Për të gjetur vlerën e shprehjes - (- 9 + 5), duhet të shtoni numrat-9 dhe 5 dhe gjeni numrin e kundërt me shumën që rezulton: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

E njëjta vlerë mund të merret në një mënyrë tjetër: fillimisht shkruani numrat përballë këtyre termave (d.m.th. ndryshoni shenjat e tyre) dhe pastaj shtoni: 9 + (- 5) = 4. Kështu, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Për të shkruar një shumë të kundërt me shumën e disa termave, duhet të ndryshoni shenjat e këtyre termave.

Kjo do të thotë - (a + b) = - a - b.

Shembulli 3. Le të gjejmë vlerën e shprehjes 16 - (10 -18 + 12).

Zgjidhje. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Për të hapur kllapat që paraprihen nga një shenjë "-", duhet ta zëvendësoni këtë shenjë me "+", duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave në kllapa në të kundërtën, dhe më pas hapni kllapat.

Shembulli 4. Le të gjejmë vlerën e shprehjes 9,36-(9,36 - 5,48).

Zgjidhje. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Zgjerimi i kllapave dhe zbatimi i vetive komutative dhe asociative shtesë ju lejon të thjeshtoni llogaritjet.

Shembulli 5. Le të gjejmë vlerën e shprehjes (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Zgjidhje. Së pari, le të hapim kllapat, dhe pastaj të gjejmë veçmas shumën e të gjithë numrave pozitivë dhe veçmas shumën e të gjithë numrave negativë dhe, në fund, të mbledhim rezultatet:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Shembulli 6. Le të gjejmë vlerën e shprehjes

Zgjidhje. Së pari, le të imagjinojmë çdo term si shumën e pjesëve të tyre të plota dhe thyesore, pastaj hapim kllapat, pastaj shtojmë numrat e plotë dhe veçmas thyesore pjesë dhe në fund shtoni rezultatet:

Si të hapni kllapat e paraprira nga një shenjë "+"? Si mund ta gjeni vlerën e një shprehjeje që është e kundërta e shumës së disa numrave? Si të zgjeroni kllapat e paraprira nga një shenjë "-"?

1218. Hapni kllapat:

a) 3.4+(2.6+ 8.3); c) m+(n-k);

b) 4,57+ (2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Gjeni kuptimin e shprehjes:

1220. Hapni kllapat:

a) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17)+7.5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Hapni kllapat dhe gjeni kuptimin e shprehjes:

1222. Thjeshtoni shprehjen:

1223. Shkruaj shuma dy shprehje dhe thjeshtoje atë:

a) - 4 - m dhe m + 6.4; d) a+b dhe p - b
b) 1.1+a dhe -26-a; e) - m + n dhe -k - n;
c) a + 13 dhe -13 + b; e)m - n dhe n - m.

1224. Shkruaj ndryshimin e dy shprehjeve dhe thjeshtoje:

1226. Përdor ekuacionin për të zgjidhur problemin:

a) Ka 42 libra në njërin raft, dhe 34 në raftin tjetër. Pas kësaj, në raftin e parë kishin mbetur 12 libra. Sa libra u hoqën nga rafti i dytë?

b) Në klasën e parë ka 42 nxënës, në të dytën 3 nxënës më pak se në të tretën. Sa nxënës ka në klasën e tretë nëse janë 125 nxënës në këto tri klasa?

1227. Gjeni kuptimin e shprehjes:

1228. Njehso me gojë:

1229. Gjeni vlera më e lartë shprehjet:

1230. Specifikoni 4 numra të plotë të njëpasnjëshëm nëse:

a) më i vogli prej tyre është -12; c) më i vogli prej tyre është n;
b) më i madhi prej tyre është -18; d) më i madhi prej tyre është i barabartë me k.

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për një vit udhëzime programet e diskutimit Mësime të integruara