ஒரு முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது: ஒரு வடிவியல் சிக்கல். யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் முக்கிய அடிப்படை சிக்கல்கள் பழங்காலத்திலிருந்தே நமக்கு வந்தன. அவை முதன்மை சாரத்தையும், இடஞ்சார்ந்த வடிவங்களைப் பற்றிய மனித உணர்வைப் பற்றிய தேவையான அடிப்படை அறிவையும் கொண்டிருக்கின்றன. ஒரு முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளியை கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் அத்தகைய ஒரு பிரச்சனையாகும். இன்று, இந்த சிக்கல் பள்ளி மாணவர்களின் அறிவுசார் திறன்களை வளர்ப்பதற்கான ஒரு கல்வி நுட்பமாக கருதப்படுகிறது. பண்டைய உலகில், ஒரு முக்கோணத்தின் நடுப்பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது பற்றிய அறிவு நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்பட்டது: நில மேலாண்மை, பல்வேறு வழிமுறைகளை தயாரிப்பதில், முதலியன. இந்த வடிவியல் மறுப்பின் சாராம்சம் என்ன?

இடைநிலை என்றால் என்ன? சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு முன், முக்கோணங்களைப் பற்றிய எளிய வடிவியல் சொற்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். முதலாவதாக, ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் மூன்று முனைகள், மூன்று பக்கங்கள் மற்றும் மூன்று கோணங்கள் உள்ளன, இந்த வடிவியல் உருவத்தின் பெயர் எங்கிருந்து வருகிறது. எதிர் பக்கங்களுக்கு செங்குத்துகளை இணைக்கும் கோடுகள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன என்பதை அறிவது முக்கியம்: உயரம், இருமுனை மற்றும் இடைநிலை.

உயரம் என்பது அது வரையப்பட்ட உச்சிக்கு எதிரே உள்ள பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு; இருமுனை - ஒரு கோணத்தை பாதியாகப் பிரிக்கிறது; இடைநிலையானது வெளிச்செல்லும் உச்சிக்கு எதிரே உள்ள பக்கத்தை பாதியாகப் பிரிக்கிறது. இந்த சிக்கலைத் தீர்க்க, ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், ஏனெனில் இது முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும்.

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியைக் கண்டறிவது ஒரு உன்னதமான வடிவியல் சிக்கலாகும், அதைத் தீர்க்க உங்களுக்கு ஒரு திசைகாட்டி மற்றும் பிளவுகள் இல்லாத ஆட்சியாளர் தேவைப்படும். திசைகாட்டியின் ஊசியை பிரிவின் இறுதிப் புள்ளியில் வைத்து, கடைசி பகுதியின் நடுவில் பாதியை விட பெரிய அரை வட்டத்தை வரைகிறோம். பிரிவின் மறுபுறத்திலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். இதன் விளைவாக வரும் அரைவட்டங்கள் அவசியமாக இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும், ஏனெனில் அவற்றின் ஆரங்கள் அசல் பிரிவில் பாதிக்கு மேல் இருக்கும்.

ஒரு ஆட்சியாளரைப் பயன்படுத்தி வட்டத்தின் இரண்டு வெட்டு புள்ளிகளை ஒரு நேர் கோட்டுடன் இணைக்கிறோம். இந்த கோடு அதன் நடுவில் அசல் பகுதியை வெட்டுகிறது. இப்போது, ​​ஒரு பிரிவின் நடுப்பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிந்து, முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் இதைச் செய்கிறோம். முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் அனைத்து நடுப்புள்ளிகளையும் கண்டறிந்த பிறகு, அதன் சொந்த நடுப்புள்ளியை உருவாக்க நீங்கள் தயாராக உள்ளீர்கள்.

நாங்கள் முக்கோணத்தின் நடுப்பகுதியை உருவாக்குகிறோம். முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளை நேர் கோடுகளுடன் எதிர் பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், நாம் மூன்று இடைநிலைகளைப் பெறுகிறோம். இது சிலருக்கு ஆச்சரியமாக இருக்கலாம், ஆனால் இந்த வடிவியல் உருவத்தின் இணக்க விதிகளில் ஒன்று, மூன்று இடைநிலைகளும் எப்போதும் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன. இந்த புள்ளிதான் முக்கோணத்தின் விரும்பிய நடுப்புள்ளியாக இருக்கும், இது பிரிவின் நடுப்புள்ளியை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்தால் கண்டுபிடிப்பது அவ்வளவு கடினம் அல்ல.

இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி வடிவியல் மட்டுமல்ல, முக்கோணத்தின் "உடல்" நடுப்பகுதியையும் குறிக்கிறது என்பதும் சுவாரஸ்யமானது. அதாவது, உதாரணமாக, நீங்கள் ஒட்டு பலகையில் இருந்து ஒரு முக்கோணத்தை வெட்டி, அதன் நடுப்பகுதியைக் கண்டுபிடித்து, இந்த புள்ளியை ஊசியின் நுனியில் வைத்தால், அத்தகைய உருவம் சமநிலையில் இருக்கும் மற்றும் வீழ்ச்சியடையாது. அடிப்படை வடிவவியலில் இதுபோன்ற பல கவர்ச்சிகரமான "ரகசியங்கள்" உள்ளன, இது சுற்றியுள்ள உலகின் நல்லிணக்கத்தையும் மிகவும் சிக்கலான விஷயங்களின் தன்மையையும் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோடு அதன் 2 பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும். அதன்படி, ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் மூன்று நடுக் கோடுகள் உள்ளன. நடுக்கோட்டின் தரம், அதே போல் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அதன் கோணங்களின் நீளம் ஆகியவற்றை அறிந்து, நீங்கள் நடுப்பகுதியின் நீளத்தை தீர்மானிக்க முடியும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள்

வழிமுறைகள்

1. முக்கோணத்தில் ABC MN என்பது AB (புள்ளி M) மற்றும் AC (புள்ளி N) ஆகிய பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் நடுக்கோடாக இருக்கட்டும், 2 பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் முக்கோணத்தின் நடுக்கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாகவும் பாதிக்கு சமமாகவும் இருக்கும். அது. இதன் பொருள், MN ஆனது BCக்கு இணையாகவும், BC/2 க்கு சமமாகவும் இருக்கும், இதன் விளைவாக, முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டின் நீளத்தை தீர்மானிக்க, இந்த குறிப்பிட்ட மூன்றாம் பக்கத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தை அறிந்து கொள்வது போதுமானது.

2. பக்கங்களை இப்போது அறியலாம், அதன் நடுப்புள்ளிகள் நடுத்தரக் கோடு MN, அதாவது AB மற்றும் AC ஆகியவற்றால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, அத்துடன் அவற்றுக்கிடையேயான BAC கோணமும். MN என்பது நடுக் கோடு என்பதால், AM = AB/2, மற்றும் AN = AC/2 பின்னர், கோசைன் தேற்றத்தின்படி, புறநிலையாக: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. எனவே, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. ஏபி மற்றும் ஏசி பக்கங்கள் தெரிந்தால், ஏபிசி அல்லது ஏசிபி என்ற கோணத்தை அறிந்து நடுத்தரக் கோடு MN ஐக் கண்டறியலாம். மூலை ஏபிசி பிரபலம்னு சொன்னாங்க. ஏனெனில் நடுக்கோடு MN இன் சொத்தின்படி BC க்கு இணையாக உள்ளது, பின்னர் ABC மற்றும் AMN கோணங்கள் தொடர்புடையவை, அதன் விளைவாக, ABC = AMN. பின்னர், கொசைன் தேற்றத்தின்படி: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). இதன் விளைவாக, இருபடிச் சமன்பாடு (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 என்பதிலிருந்து MN பக்கத்தைக் காணலாம்.

உதவிக்குறிப்பு 2: ஒரு சதுர முக்கோணத்தின் பக்கத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ஒரு சதுர முக்கோணம் மிகவும் சரியாக வலது முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வடிவியல் உருவத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகள் முக்கோணவியலின் கணிதத் துறையில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - காகிதம்;
• - பேனா;
• - பிராடிஸ் அட்டவணைகள்;
• - கால்குலேட்டர்.

வழிமுறைகள்

1. கண்டறியவும் பக்கம்செவ்வக முக்கோணம்பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் ஆதரவுடன். இந்த தேற்றத்தின்படி, ஹைப்போடென்யூஸின் சதுரம் கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: c2 = a2+b2, இதில் c என்பது ஹைப்போடென்யூஸ் முக்கோணம், a மற்றும் b ஆகியவை அதன் கால்கள். இந்த சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்த, செவ்வகத்தின் எந்த 2 பக்கங்களின் நீளத்தையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். முக்கோணம் .

2. நிபந்தனைகள் கால்களின் பரிமாணங்களைக் குறிப்பிட்டால், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, கால்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும், அவை ஒவ்வொன்றையும் முன்கூட்டியே சதுரப்படுத்தவும்.

3. ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் மற்ற காலின் பரிமாணங்கள் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், கால்களில் ஒன்றின் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள். கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, ஹைப்போடென்யூஸ் ஸ்கொயர் மற்றும் லீடிங் லெக் ஸ்கொயர்க்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும்.

4. சிக்கல் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அதை ஒட்டிய கடுமையான கோணங்களில் ஒன்றைக் குறிப்பிட்டால், பிராடிஸ் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும். அவை அதிக எண்ணிக்கையிலான கோணங்களுக்கு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை வழங்குகின்றன. சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும், அதே போல் ஒரு செவ்வகத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையிலான உறவுகளை விவரிக்கும் முக்கோணவியல் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தவும். முக்கோணம் .

5. அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கால்களைக் கண்டறியவும்: a = c*sin?, b = c*cos?, மூலைக்கு எதிரே உள்ள கால் எங்கே?, b என்பது மூலையை ஒட்டிய கால்?. அதே வழியில் பக்கங்களின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள் முக்கோணம், ஹைப்போடனூஸ் மற்றும் மற்றொரு தீவிர கோணம் கொடுக்கப்பட்டால்: b = c*sin?, a = c*cos?, b என்பது கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள கால் எங்கே?, மற்றும் கால் கோணத்திற்கு அருகில் உள்ளதா?.

6. நாம் லெக் a ஐயும் அதை ஒட்டிய தீவிர கோணத்தையும் எடுக்கும்போது, ​​ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90°க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்: ? + ? = 90°. கால் a: க்கு எதிரே உள்ள கோணத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் = 90° – ?. அல்லது முக்கோணவியல் குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும்: பாவமா? = பாவம் (90° – ?) = cos ?; டிஜி? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/டிஜி?.

7. பிராடிஸ் அட்டவணைகள், கால்குலேட்டர் மற்றும் டிரிகோனோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி, லெக் a மற்றும் அதற்கு எதிரே உள்ள தீவிரக் கோணம் இருந்தால், c=a*sin?, leg: b=a*tg?

தலைப்பில் வீடியோ

1 கூடுதல் கட்டுமானம் முக்கோண நடுக்கோட்டு தேற்றம், ட்ரேப்சாய்டு மற்றும் முக்கோணங்களின் ஒற்றுமை பண்புகள்.

அவள் பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்.
முடிவு 1.
முடிவு 2.

2 ஒரே கடுமையான கோணம் கொண்ட அனைத்து வலது முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியானவை. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒரு பார்வை.

3 ஒரு கூடுதல் கட்டுமானத்தின் உதாரணம் ஹைப்போடென்ஸுக்கு குறைக்கப்பட்ட உயரம். முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அடிப்படையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வழித்தோன்றல்.

இதிலிருந்து தெளிவாகிறது

1 ஒரே கூர்மையான கோணம் கொண்ட அனைத்து வலது முக்கோணங்களும் ஒரே மாதிரியானவை. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒரு பார்வை.

குஞ்சு பொரித்த மற்றும் குஞ்சு பொரிக்காத பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்கள் அவற்றின் இரண்டு கோணங்களும் சமமாக இருக்கும். எனவே எங்கே

இதன் பொருள், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட உறவுகள் வலது முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது மற்றும் அடிப்படையில் அதை தீர்மானிக்கிறது. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தோற்றத்திற்கான காரணங்களில் இதுவும் ஒன்றாகும்:

பெரும்பாலும் ஒரே மாதிரியான முக்கோணங்களில் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை எழுதுவது ஒற்றுமை உறவுகளை எழுதுவதை விட தெளிவாக இருக்கும்!

2 ஒரு கூடுதல் கட்டுமானத்தின் உதாரணம் ஹைப்போடென்ஸுக்கு குறைக்கப்பட்ட உயரம். முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையின் அடிப்படையில் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வழித்தோன்றல்.

உயரம் CH ஐ ஹைபோடென்யூஸ் AB க்கு குறைப்போம். எங்களிடம் ABC, AHC மற்றும் CHB ஆகிய மூன்று ஒத்த முக்கோணங்கள் உள்ளன. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான வெளிப்பாடுகளை எழுதுவோம்:

இதிலிருந்து தெளிவாகிறது . கூட்டி, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பெறுகிறோம், ஏனெனில்:

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் மற்றொரு ஆதாரத்திற்கு, சிக்கல் 4 க்கு வர்ணனையைப் பார்க்கவும்.
3 கூடுதல் கட்டுமானத்தின் ஒரு முக்கிய உதாரணம் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களில் ஒன்றிற்கு சமமான கோணத்தின் கட்டுமானமாகும்.

வலது கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து நாம் ஒரு நேர் கோடு பகுதியை வரைகிறோம், அது கொடுக்கப்பட்ட வலது முக்கோண ABC இன் CAB கோணத்திற்கு சமமான CA உடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது. இதன் விளைவாக, அடிப்படைக் கோணங்களுடன் சமபக்க முக்கோண ACM ஐப் பெறுகிறோம். ஆனால் இந்த கட்டுமானத்தின் விளைவாக வரும் மற்ற முக்கோணமும் ஐசோசெல்ஸாக இருக்கும், ஏனெனில் அதன் அடிவாரத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு கோணங்களும் சமமாக இருக்கும் (ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சொத்து மற்றும் கட்டுமானத்தின் மூலம் - கோணம் சரியான கோணத்தில் இருந்து "கழிக்கப்பட்டது"). முக்கோணங்கள் BMC மற்றும் AMC ஆகியவை பொதுவான பக்க MC உடன் ஐசோசெல்களாக இருப்பதால், எங்களிடம் MB=MA=MC சமத்துவம் உள்ளது, அதாவது. எம்.சி. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலை, மற்றும் அவள் பாதி ஹைப்போடென்ஸுக்கு சமம்.
முடிவு 1.ஹைபோடென்யூஸின் நடுப்புள்ளி இந்த முக்கோணத்தைச் சுற்றி வட்டத்தின் மையமாக உள்ளது, ஏனெனில் ஹைபோடென்யூஸின் நடுப்புள்ளி வலது முக்கோணத்தின் முனைகளிலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளது.
முடிவு 2.ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு, ஹைபோடென்யூஸின் நடுப்பகுதியையும் காலின் நடுப்பகுதியையும் இணைக்கிறது, இது எதிர் காலுக்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் அதன் பாதிக்கு சமமாக உள்ளது.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களான BMC மற்றும் AMC இல், எம்ஹெச் மற்றும் எம்ஜி உயரங்களை அடித்தளங்களுக்குக் குறைப்போம். ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில், அடிப்பகுதிக்கு தாழ்த்தப்பட்ட உயரமும் இடைநிலை (மற்றும் இருசமப்பிரிவு) என்பதால், MH மற்றும் MG ஆகியவை வலது முக்கோணத்தின் கோடுகள் ஆகும். கட்டுமானத்தின் மூலம், முக்கோணங்கள் சமமான MHC மற்றும் MGC (மற்றும் MHCG ஒரு செவ்வகம்) சமமாக இருப்பதால், அவை எதிர் கால்களுக்கு இணையாகவும் அவற்றின் பகுதிகளுக்கு சமமாகவும் மாறிவிடும். இந்த முடிவு ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டில் உள்ள தேற்றத்தின் ஆதாரத்திற்கான அடிப்படையாகும், மேலும், ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் நடுக்கோடு மற்றும் அவற்றை வெட்டும் இரண்டு நேர்கோடுகளில் இணையான கோடுகளால் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் விகிதாச்சாரத்தின் சொத்து.

பணிகள்
ஒற்றுமை பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் -1
அடிப்படை பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் - 2
கூடுதல் உருவாக்கம் 3-4 ஐப் பயன்படுத்துதல்

1 2 3 4

செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து இறக்கப்பட்ட உயரமானது, அது ஹைப்போடென்யூஸைப் பிரிக்கும் பிரிவுகளின் நீளங்களின் சதுர மூலத்திற்குச் சமம்.

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்குத் தெரிந்தால் தீர்வு தெளிவாகத் தெரிகிறது:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
எங்கிருந்து \(h^2=c_1c_2\).

ஹைபோடென்யூஸ் AB நிலையான அனைத்து சாத்தியமான வலது முக்கோணங்களின் இடைநிலைகளின் வெட்டும் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை (GMT) கண்டறியவும்.

எந்தவொரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியானது இடைநிலையிலிருந்து மூன்றில் ஒரு பகுதியைத் துண்டித்து, தொடர்புடைய பக்கத்துடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், வலது கோணத்தில் இருந்து வரையப்பட்ட இடைநிலையானது பாதி ஹைப்போடென்யூஸுக்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, விரும்பிய GMT என்பது ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தின் 1/6 க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும், இந்த (நிலையான) ஹைப்போடென்ஸின் நடுவில் ஒரு மையம் உள்ளது.

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகளுடன் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவர ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் முழுமையாக. கணிதத்தில் அடிப்படை ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெறவும் ஏற்றது. நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், நீங்கள் பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் 100-புள்ளி மாணவரோ அல்லது மனிதநேய மாணவரோ அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் விரைவான தீர்வுகள், ஆபத்துகள் மற்றும் ரகசியங்கள். FIPI பணி வங்கியின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தற்போதைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2018 இன் தேவைகளுடன் பாடநெறி முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகள். வார்த்தை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் எளிதாக நினைவில் கொள்ளக்கூடிய அல்காரிதம்கள். வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தந்திரமான தீர்வுகள், பயனுள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. முக்கோணவியல் முதல் பிரச்சனை வரை 13. சிக்கலுக்கு பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் தெளிவான விளக்கங்கள். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி 2 இன் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.

இரண்டு பக்கங்கள் மட்டுமே இணையாக இருக்கும் நாற்கரம் அழைக்கப்படுகிறது ட்ரேப்சாய்டு.

ட்ரேப்சாய்டின் இணையான பக்கங்கள் அதன் என்று அழைக்கப்படுகின்றன காரணங்கள், மற்றும் இணையாக இல்லாத அந்த பக்கங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன பக்கங்களிலும். பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால், அத்தகைய ட்ரெப்சாய்டு ஐசோசெல்ஸ் ஆகும். தளங்களுக்கு இடையிலான தூரம் ட்ரேப்சாய்டின் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நடுத்தர வரி ட்ரேப்சாய்டு

மிட்லைன் என்பது ட்ரேப்சாய்டின் பக்கவாட்டு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும். ட்ரேப்சாய்டின் நடுப்பகுதி அதன் தளங்களுக்கு இணையாக உள்ளது.

தேற்றம்:

ஒரு பக்கத்தின் நடுப்பகுதியைக் கடக்கும் நேர்கோடு ட்ரேப்சாய்டின் தளங்களுக்கு இணையாக இருந்தால், அது ட்ரேப்சாய்டின் இரண்டாவது பக்கத்தைப் பிரிக்கிறது.

தேற்றம்:

நடுத்தர கோட்டின் நீளம் அதன் தளங்களின் நீளங்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்

MN || ஏபி || DC
AM = MD; BN=NC

MN மிட்லைன், AB மற்றும் CD - பேஸ்கள், AD மற்றும் BC - பக்கவாட்டு பக்கங்கள்

MN = (AB + DC)/2

தேற்றம்:

ட்ரேப்சாய்டின் நடுக்கோட்டின் நீளம் அதன் தளங்களின் நீளங்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

முக்கிய பணி: ட்ரேப்சாய்டின் நடுக்கோடு, ட்ரேப்சாய்டின் அடிப்பகுதிகளுக்கு நடுவில் இருக்கும் ஒரு பகுதியைப் பிரிக்கிறது என்பதை நிரூபிக்கவும்.

முக்கோணத்தின் நடுக் கோடு

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு முக்கோணத்தின் நடுக்கோடு எனப்படும். இது மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் அதன் நீளம் மூன்றாவது பக்கத்தின் பாதி நீளத்திற்கு சமம்.
தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியை வெட்டும் ஒரு கோடு முக்கோணத்தின் மறுபக்கத்திற்கு இணையாக இருந்தால், அது மூன்றாவது பக்கத்தைப் பிரிக்கிறது.

AM = MC மற்றும் BN = NC =>

முக்கோணம் மற்றும் ட்ரேப்சாய்டின் நடுக்கோட்டு பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்

ஒரு பகுதியை ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சம பாகங்களாகப் பிரித்தல்.
பணி: AB பிரிவை 5 சம பாகங்களாக பிரிக்கவும்.
தீர்வு:
p என்பது ஒரு ரேண்டம் ரேயாக இருக்கட்டும், அதன் தோற்றம் புள்ளி A மற்றும் AB வரியில் இல்லை. p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 இல் 5 சம பிரிவுகளை தொடர்ச்சியாக ஒதுக்குகிறோம்
A 5 ஐ B உடன் இணைத்து, A 5 B க்கு இணையான A 4, A 3, A 2 மற்றும் A 1 மூலம் அத்தகைய கோடுகளை வரைகிறோம். அவை முறையே AB ஐ B 4, B 3, B 2 மற்றும் B 1 புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றன. இந்த புள்ளிகள் பிரிவு AB ஐ 5 சம பாகங்களாக பிரிக்கிறது. உண்மையில், trapezoid BB 3 A 3 A 5 இலிருந்து BB 4 = B 4 B 3 என்பதைக் காண்கிறோம். அதே வழியில், ட்ரெப்சாய்டு B 4 B 2 A 2 A 4 இலிருந்து நாம் B 4 B 3 = B 3 B 2 ஐப் பெறுகிறோம்

ட்ரேப்சாய்டில் இருந்து B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
பின்னர் B 2 AA 2 இலிருந்து B 2 B 1 = B 1 A. முடிவில் நாம் பெறுகிறோம்:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB பிரிவை மற்றொரு எண்ணிக்கையிலான சம பாகங்களாகப் பிரிக்க, அதே எண்ணிக்கையிலான சமமான பகுதிகளை நாம் கதிர் p மீது செலுத்த வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. பின்னர் மேலே விவரிக்கப்பட்ட முறையில் தொடரவும்.